中學(xué)數(shù)學(xué)模型競(jìng)賽題解析與訓(xùn)練一、數(shù)學(xué)模型競(jìng)賽的核心價(jià)值中學(xué)數(shù)學(xué)模型競(jìng)賽（如全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽、地方級(jí)數(shù)學(xué)模型挑戰(zhàn)賽）的核心目標(biāo)，是將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際問題結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生的“建模思維”——即從現(xiàn)實(shí)問題中提取關(guān)鍵信息、定義變量、建立數(shù)學(xué)關(guān)系，并通過求解模型解決問題的能力。與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)題不同，模型競(jìng)賽題更強(qiáng)調(diào)“實(shí)用性”與“開放性”：?jiǎn)栴}來源于生活（如校園規(guī)劃、交通優(yōu)化、資源分配）；沒有固定的“標(biāo)準(zhǔn)答案”，但要求模型合理、求解正確、結(jié)論可行；注重團(tuán)隊(duì)合作（部分競(jìng)賽為團(tuán)體賽），需要分工完成建模、計(jì)算、寫作等環(huán)節(jié)。通過參與模型競(jìng)賽，學(xué)生能提升以下能力：1.抽象思維：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言（變量、方程、函數(shù)）；2.邏輯推理：推導(dǎo)模型的合理性（假設(shè)、約束條件、目標(biāo)函數(shù)）；3.解決問題：運(yùn)用代數(shù)、幾何、概率等知識(shí)求解模型；4.創(chuàng)新意識(shí)：嘗試不同的模型（如優(yōu)化模型、概率模型）解決同一問題。二、中學(xué)數(shù)學(xué)模型競(jìng)賽常見模型分類與解析中學(xué)階段的模型競(jìng)賽題，常見模型可分為優(yōu)化模型、概率統(tǒng)計(jì)模型、幾何模型、圖論模型四大類。以下結(jié)合例題詳細(xì)解析每類模型的構(gòu)建與求解方法。（一）優(yōu)化模型：尋找最優(yōu)解的利器適用場(chǎng)景：需要“最大化/最小化”某個(gè)目標(biāo)（如利潤(rùn)、效率、距離），且存在約束條件（如時(shí)間、資源、空間限制）的問題。核心要素：目標(biāo)函數(shù)：想要最大化（max）或最小化（min）的量（如利潤(rùn)、距離之和）；約束條件：必須滿足的限制（如時(shí)間不超過24小時(shí)、原料不超過10噸）；決策變量：影響目標(biāo)函數(shù)的變量（如生產(chǎn)數(shù)量、選址坐標(biāo)）。經(jīng)典例題：生產(chǎn)計(jì)劃優(yōu)化>某工廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)1件A需2小時(shí)人工、1噸原料，利潤(rùn)3元；生產(chǎn)1件B需3小時(shí)人工、2噸原料，利潤(rùn)5元。工廠每天有10小時(shí)人工、5噸原料。問每天生產(chǎn)多少件A、B，才能使利潤(rùn)最大？建模過程：1.定義變量：設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品$x$件，B產(chǎn)品$y$件（$x,y\geq0$，整數(shù)）。2.約束條件：人工限制：$2x+3y\leq10$（小時(shí)）；原料限制：$x+2y\leq5$（噸）；非負(fù)性：$x\geq0$，$y\geq0$。3.目標(biāo)函數(shù)：最大化利潤(rùn)$Z=3x+5y$。求解方法：線性規(guī)劃（幾何法）畫出可行域（約束條件圍成的區(qū)域）：由$2x+3y=10$、$x+2y=5$、$x=0$、$y=0$圍成的多邊形；找到可行域的頂點(diǎn)（多邊形的角點(diǎn)）：$(0,0)$、$(0,2.5)$、$(5,0)$；計(jì)算每個(gè)頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值：$(0,0)$：$Z=0$；$(0,2.5)$：$Z=5×2.5=12.5$；$(5,0)$：$Z=3×5=15$。結(jié)論：生產(chǎn)5件A產(chǎn)品、0件B產(chǎn)品時(shí)，利潤(rùn)最大（15元）。注意：若允許非整數(shù)解，結(jié)果可能更優(yōu)，但實(shí)際生產(chǎn)中需調(diào)整為整數(shù)（如本題中$x=5,y=0$已是整數(shù)解）。（二）概率統(tǒng)計(jì)模型：用數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)決策適用場(chǎng)景：涉及“不確定性”或“數(shù)據(jù)分布”的問題（如抽獎(jiǎng)概率、成績(jī)分析、風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估）。核心要素：概率：事件發(fā)生的可能性（如抽中紅球的概率）；期望：隨機(jī)變量的平均取值（如抽獎(jiǎng)的期望獎(jiǎng)金）；統(tǒng)計(jì)量：描述數(shù)據(jù)特征（如均值、方差、中位數(shù)）。經(jīng)典例題：抽獎(jiǎng)活動(dòng)的期望獎(jiǎng)金>某商場(chǎng)抽獎(jiǎng)箱中有10個(gè)球：1個(gè)紅球（獎(jiǎng)金100元）、2個(gè)黃球（獎(jiǎng)金50元）、3個(gè)藍(lán)球（獎(jiǎng)金10元）、4個(gè)白球（無獎(jiǎng)金）。顧客消費(fèi)滿100元可抽1次獎(jiǎng)，求顧客抽獎(jiǎng)的期望獎(jiǎng)金。若商場(chǎng)想讓期望獎(jiǎng)金不超過20元，應(yīng)如何調(diào)整獎(jiǎng)球數(shù)量？建模過程：1.定義隨機(jī)變量：設(shè)抽獎(jiǎng)獎(jiǎng)金為$X$（元），則$X$的可能取值為100、50、10、0。2.計(jì)算概率：$P(X=100)=\frac{1}{10}$（紅球數(shù)量/總球數(shù)）；$P(X=50)=\frac{2}{10}$（黃球數(shù)量/總球數(shù)）；$P(X=10)=\frac{3}{10}$（藍(lán)球數(shù)量/總球數(shù)）；$P(X=0)=\frac{4}{10}$（白球數(shù)量/總球數(shù)）。3.計(jì)算期望：$E(X)=100×\frac{1}{10}+50×\frac{2}{10}+10×\frac{3}{10}+0×\frac{4}{10}=10+10+3=23$（元）。問題調(diào)整：期望23元超過商場(chǎng)的20元限制，需減少高獎(jiǎng)金球的數(shù)量。例如：將1個(gè)紅球換成白球，紅球數(shù)量變?yōu)?，黃球2個(gè)、藍(lán)球3個(gè)、白球5個(gè)；新期望：$E(X)=0+50×\frac{2}{10}+10×\frac{3}{10}+0=10+3=13$（元），低于20元，但可能吸引力不足；優(yōu)化方案：紅球1個(gè)、黃球1個(gè)、藍(lán)球4個(gè)、白球4個(gè)；新期望：$E(X)=100×\frac{1}{10}+50×\frac{1}{10}+10×\frac{4}{10}=10+5+4=19$（元），符合要求且保留了紅球的吸引力。結(jié)論：調(diào)整后期望獎(jiǎng)金為19元，滿足商場(chǎng)需求。（三）幾何模型：從圖形到數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化適用場(chǎng)景：涉及“形狀”“位置”“度量”的問題（如面積最大化、最短路徑、圖形投影）。核心要素：幾何性質(zhì)：如矩形的面積公式、三角形的相似定理、圓的周長(zhǎng)公式；極值問題：通過幾何變換（如對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)）或代數(shù)方法（如二次函數(shù)）求極值；坐標(biāo)法：將圖形轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)平面上的點(diǎn)，用代數(shù)方法求解（如距離公式、直線方程）。經(jīng)典例題：矩形面積的最大值>用一根長(zhǎng)20cm的鐵絲圍成一個(gè)矩形，問長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，面積最大？建模過程：1.定義變量：設(shè)矩形的長(zhǎng)為$x$（cm），則寬為$\frac{20-2x}{2}=10-x$（cm）（$0<x<10$）。2.建立面積函數(shù)：面積$S=x(10-x)=-x2+10x$（二次函數(shù)）。3.求極值：二次函數(shù)$S=-x2+10x$的圖像是開口向下的拋物線，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為$x=-\frac{2a}=-\frac{10}{2×(-1)}=5$（$a=-1$，$b=10$）。4.計(jì)算寬與面積：當(dāng)$x=5$時(shí)，寬$=10-5=5$（cm），面積$S=5×5=25$（cm2）。結(jié)論：當(dāng)矩形為正方形（長(zhǎng)=寬=5cm）時(shí)，面積最大（25cm2）。推廣：對(duì)于固定周長(zhǎng)的多邊形，正多邊形的面積最大（如矩形中正方形面積最大，三角形中等邊三角形面積最大）。（四）圖論模型：解決網(wǎng)絡(luò)與路徑問題適用場(chǎng)景：涉及“節(jié)點(diǎn)”與“邊”的問題（如路線規(guī)劃、網(wǎng)絡(luò)連接、資源分配）。核心要素：圖的基本概念：節(jié)點(diǎn)（如城市、教學(xué)樓）、邊（如道路、連接）、權(quán)重（如距離、時(shí)間）；路徑問題：最短路徑（如Dijkstra算法）、最長(zhǎng)路徑、哈密頓路徑（訪問所有節(jié)點(diǎn)一次）；樹結(jié)構(gòu)：無環(huán)的連通圖（如最小生成樹，用于網(wǎng)絡(luò)布線）。經(jīng)典例題：最短路徑問題>某同學(xué)從家（A）出發(fā)，要去學(xué)校（B）、圖書館（C）、超市（D），最后回家，問走哪條路線最短？（各節(jié)點(diǎn)間的距離如下表：）節(jié)點(diǎn)A-BA-CA-DB-CB-DC-D距離（米）100150200508060建模過程：1.構(gòu)建圖：節(jié)點(diǎn)為A（家）、B（學(xué)校）、C（圖書館）、D（超市），邊為節(jié)點(diǎn)間的距離（權(quán)重）。2.枚舉所有可能的路線（閉合路徑，訪問所有節(jié)點(diǎn)一次）：路線1：A→B→C→D→A，總距離=100+50+60+200=410米；路線2：A→B→D→C→A，總距離=100+80+60+150=390米；路線3：A→C→B→D→A，總距離=150+50+80+200=480米；路線4：A→C→D→B→A，總距離=150+60+80+100=390米；路線5：A→D→B→C→A，總距離=200+80+50+150=580米；路線6：A→D→C→B→A，總距離=200+60+50+100=410米。3.比較總距離：路線2（A→B→D→C→A）和路線4（A→C→D→B→A）的總距離最短（390米）。結(jié)論：最短路線為A→B→D→C→A或A→C→D→B→A。注意：對(duì)于節(jié)點(diǎn)較多的問題（如10個(gè)節(jié)點(diǎn)），枚舉法效率低，可采用Dijkstra算法（最短路徑算法）或動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解，但中學(xué)階段只需掌握枚舉法（適用于節(jié)點(diǎn)少的情況）。三、中學(xué)數(shù)學(xué)模型競(jìng)賽訓(xùn)練策略要在模型競(jìng)賽中取得好成績(jī)，需系統(tǒng)訓(xùn)練以下能力：（一）構(gòu)建模型庫(kù)：分類整理與總結(jié)分類收集例題：將常見模型（優(yōu)化、概率、幾何、圖論）的例題整理成冊(cè)，標(biāo)注“問題背景”“模型類型”“求解方法”；總結(jié)模型特征：例如，優(yōu)化模型的特征是“有目標(biāo)函數(shù)和約束條件”，概率模型的特征是“涉及隨機(jī)變量和期望”；積累經(jīng)典模型：如“生產(chǎn)計(jì)劃問題”（線性規(guī)劃）、“抽獎(jiǎng)問題”（期望）、“矩形面積問題”（二次函數(shù)極值），這些模型可遷移到類似問題中。（二）提升建模能力：抽象與轉(zhuǎn)化的技巧學(xué)會(huì)“問問題”：面對(duì)實(shí)際問題，先問自己：“我要解決什么問題？”（目標(biāo)）、“有哪些限制條件？”（約束）、“哪些因素會(huì)影響結(jié)果？”（變量）；用“變量”表示問題：例如，“校園快遞點(diǎn)選址”問題中，用$(x,y)$表示快遞點(diǎn)坐標(biāo)，用“到各教學(xué)樓的距離之和”表示目標(biāo)函數(shù)；合理假設(shè)：忽略次要因素（如快遞點(diǎn)到教學(xué)樓的路況差異，假設(shè)距離為直線距離），使模型簡(jiǎn)化但不失去合理性。（三）強(qiáng)化解題技巧：練經(jīng)典與錯(cuò)題復(fù)盤練經(jīng)典題：做歷年模型競(jìng)賽的真題（如全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的初中組題目），熟悉題型和難度；錯(cuò)題復(fù)盤：整理錯(cuò)題，分析“建模錯(cuò)誤”（如目標(biāo)函數(shù)定義錯(cuò)誤）、“求解錯(cuò)誤”（如計(jì)算錯(cuò)誤）、“結(jié)論錯(cuò)誤”（如未考慮約束條件），避免重復(fù)犯錯(cuò)；限時(shí)訓(xùn)練：模擬競(jìng)賽環(huán)境，在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成建模、求解、寫作（如3小時(shí)完成一道題），提高效率。（四）培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)合作：分工與協(xié)同的藝術(shù)明確分工：團(tuán)體賽中，可分為“建模者”（負(fù)責(zé)建立模型）、“計(jì)算者”（負(fù)責(zé)求解模型）、“寫作者”（負(fù)責(zé)撰寫論文）；有效溝通：定期討論模型的合理性（如“這個(gè)目標(biāo)函數(shù)是否正確？”“有沒有更好的求解方法？”）；互相學(xué)習(xí)：借鑒隊(duì)友的思維方式（如建模者學(xué)習(xí)計(jì)算者的嚴(yán)謹(jǐn)，計(jì)算者學(xué)習(xí)寫作者的邏輯）。四、案例實(shí)戰(zhàn)：校園快遞點(diǎn)選址問題解析（一）問題背景與題意分析問題：某中學(xué)有3棟教學(xué)樓，坐標(biāo)分別為A(0,0)、B(100,0)、C(0,100)（單位：米）。學(xué)校要建一個(gè)快遞點(diǎn)，要求：1.快遞點(diǎn)到三棟教學(xué)樓的距離之和最小；2.快遞點(diǎn)不能建在教學(xué)樓內(nèi)，只能建在校園內(nèi)（校園是邊長(zhǎng)為100米的正方形，坐標(biāo)范圍$0\leqx\leq100$，$0\leqy\leq100$）。（二）模型假設(shè)與變量定義假設(shè)：快遞點(diǎn)到教學(xué)樓的距離為直線距離（忽略路況差異）；校園為正方形，邊界坐標(biāo)為$x\in[0,100]$，$y\in[0,100]$；教學(xué)樓為點(diǎn)，快遞點(diǎn)不能與教學(xué)樓重合（$x\neq0$或$y\neq0$，$x\neq100$或$y\neq0$，$x\neq0$或$y\neq100$）。變量定義：快遞點(diǎn)坐標(biāo)：$(x,y)$（$0\leqx\leq100$，$0\leqy\leq100$）；各教學(xué)樓坐標(biāo)：A(0,0)、B(100,0)、C(0,100)；目標(biāo)函數(shù)：快遞點(diǎn)到三棟教學(xué)樓的距離之和$S(x,y)=\sqrt{x2+y2}+\sqrt{(x-100)2+y2}+\sqrt{x2+(y-100)2}$（米）。（三）目標(biāo)函數(shù)與約束條件建立目標(biāo)函數(shù)：最小化距離之和，即$\minS(x,y)=\sqrt{x2+y2}+\sqrt{(x-100)2+y2}+\sqrt{x2+(y-100)2}$；約束條件：$0\leqx\leq100$，$0\leqy\leq100$，且$(x,y)\neq(0,0)$、$(100,0)$、$(0,100)$。（四）模型求解與結(jié)果分析求解方法：1.坐標(biāo)法：將快遞點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)為$(x,y)$，計(jì)算到各教學(xué)樓的距離之和；2.極值分析：通過求導(dǎo)（微積分）或幾何變換（費(fèi)馬點(diǎn)）求最小值。幾何變換（費(fèi)馬點(diǎn)）：對(duì)于三個(gè)不共線的點(diǎn)，費(fèi)馬點(diǎn)是使得該點(diǎn)到三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)。當(dāng)三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的三角形中，每個(gè)角都小于120度時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)是三角形內(nèi)部使得$\angleAPB=\angleBPC=\angleCPA=120^\circ$的點(diǎn)。計(jì)算過程：對(duì)于A(0,0)、B(100,0)、C(0,100)，構(gòu)成直角三角形（$\angleA=90^\circ$），費(fèi)馬點(diǎn)坐標(biāo)約為$(21.1,21.1)$（通過幾何推導(dǎo)或軟件計(jì)算）；計(jì)算距離之和：$S(21.1,21.1)\approx\sqrt{21.12+21.12}+\sqrt{(____.1)2+21.12}+\sqrt{21.12+(____.1)2}\approx29.88+81.63+81.63\approx193.14$（米）。結(jié)果分析：快遞點(diǎn)建在$(21.1,21.1)$處，距離之和最?。s193米）；該位置在校園內(nèi)（$0\leq21.1\leq100$），遠(yuǎn)離教學(xué)樓（距離A(0,0)約29.88米），符合要求。（五）模型推廣與應(yīng)用推廣：若有更多教學(xué)樓（如5棟），可將目標(biāo)函數(shù)改為“到各教學(xué)樓的距離之和”，用多元函數(shù)極值的方法求解（如梯度下降法）；應(yīng)用：該模型可遷移到“超市選址”“醫(yī)院選址”等問題中，核心是“最小化到多個(gè)需求點(diǎn)的距離之和”。五、結(jié)語(yǔ)：從競(jìng)賽到生活的建模思維中學(xué)數(shù)學(xué)模型競(jìng)賽的意義，不僅是為了獲得獎(jiǎng)項(xiàng)，