河北省南宮市中考數(shù)學真題分類（平行線的證明）匯編專題測試考試時間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘2、答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內相應的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題16分）一、單選題（8小題，每小題2分，共計16分）1、如圖，下列推理正確的是（

）A．∵，∴ B．∵，∴C．∵，∴ D．∵，∴2、如圖，和是分別沿著、邊翻折形成的，若，則的度數(shù)為（

）A．100° B．90° C．85° D．80°3、如圖，，將一副直角三角板作如下擺放，，．下列結論：①；②；③；④．其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．44、如下圖，在下列條件中，能判定AB//CD的是(

)A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠1=∠4 D．∠3=∠45、給出下列命題，正確的有（

）個①等腰三角形的角平分線、中線和高重合；②等腰三角形兩腰上的高相等；③等腰三角形最小邊是底邊；④等邊三角形的高、中線、角平分線都相等；⑤等腰三角形都是銳角三角形A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6、如圖，在△ABC中，D為BC上一點，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝105°，則∠DAC的度數(shù)為（

）A．80° B．82° C．84° D．86°7、如圖點E在BC的延長線上，則下列條件中，不能判定ABCD的是（

）A．∠1＝∠2 B．∠B＝∠DCE C．∠3＝∠4 D．∠D+∠DAB＝180°8、如圖，結合圖形作出了如下判斷或推理：①如圖甲，如果，為垂足，那么點到的距離等于，兩點間的距離；②如圖乙，如果，那么；③如圖丙，如果，，那么；④如圖丁，如果，，那么．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個第Ⅱ卷（非選擇題84分）二、填空題（7小題，每小題2分，共計14分）1、如圖，已知l1∥l2，直線l分別與l1，l2相交于點C，D，把一塊含30°角的三角尺按如圖位置擺放，若∠1＝130°，則∠2＝___．2、如圖，點E是AD延長線上一點，如果添加一個條件，使BC∥AD，則可添加的條件為__________．（任意添加一個符合題意的條件即可）3、一副三角板按如圖所示疊放在一起，其中點B、D重合，若固定三角形AOB，改變三角板ACD的位置（其中A點位置始終不變），下列條件①∠BAD＝30°；②∠BAD＝60°；③∠BAD＝120°；④∠BAD＝150°中，能得到的CD∥AB的有__________．（填序號）4、如圖，將分別含有、角的一副三角板重疊，使直角頂點重合，若兩直角重疊形成的角為，則圖中角的度數(shù)為_______．5、命題“全等三角形的對應角相等”的逆命題是_____命題．(填“真”或“假”)6、如圖，將沿翻折，頂點均落在O處，且與重合于線段，測得，則________度．7、如圖，把一張直角△ABC紙片沿DE折疊，已知∠1＝68°，則∠2的度數(shù)為_______．三、解答題（7小題，每小題10分，共計70分）1、如圖，直線DE、FM，分別交的兩邊于N、G，P、Q，若嗎？如果平行請說明理由．2、如圖，AB⊥BC于點B，DC⊥BC于點C，DE平分∠ADC交BC于點E，點F為線段CD延長線上一點，∠BAF＝∠EDF(1)求證：∠DAF＝∠F；(2)在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出所有與∠CED互余的角．3、（1）在銳角中，邊上的高所在直線和邊上的高所在直線的交點為，，求的度數(shù)．（2）如圖，和分別平分和，當點在直線上時，且B、P、D三點共線，，則_________．（3）在（2）的基礎上，當點在直線外時，如下圖：，，求的度數(shù)．4、（1）探究：如圖1，求證：；（2）應用：如圖2，，，求的度數(shù)．

5、已知：如圖，A、F、C、D在同一直線上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD，求證：(1)BC＝EF；(2)BC∥EF．6、請閱讀下列材料，并完成相應的任務：有趣的“飛鏢圖”如圖，這種形似飛鏢的四邊形，可以形象地稱它為“飛鏢圖”．當我們仔細觀察后發(fā)現(xiàn)，它實際上就是凹四邊形．那么它具有哪些性質呢？又將怎樣應用呢？下面我們進行認識與探究：凹四邊形通俗地說，就是一個角“凹”進去的四邊形，其性質有：凹四邊形中最大內角外面的角等于其余三個內角之和．（即如圖1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C）理由如下：方法一：如圖2，連接AB，則在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．方法二：如圖3，連接CD并延長至F，∵∠1和∠3分別是△ACD和△BCD的一個外角，......大家在探究的過程中，還發(fā)現(xiàn)有很多方法可以證明這一結論，你有自己的方法嗎？任務：(1)填空：“方法一”主要依據(jù)的一個數(shù)學定理是；(2)探索：根據(jù)“方法二”中輔助線的添加方式，寫出該證明過程的剩余部分；(3)應用：如圖4，AE是∠CAD的平分線，BF是∠CBD的平分線，AE與BF交于G，若∠ADB=150°，∠AGB=110°，請你直接寫出∠C的大?。?、完成下列推理過程：已知：如圖，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B求證：∠EDG+∠DGC＝180°證明：∵∠1+∠2＝180°（已知）∠1+∠DFE＝180°（）∴∠2＝（）∴EF∥AB（）∴∠3＝（）又∵∠3＝∠B（已知）∴∠B＝∠ADE（）∴DE∥BC（）∴∠EDG+∠DGC＝180°（）-參考答案-一、單選題1、B【解析】【分析】根據(jù)平行線的判定判斷即可．【詳解】解：A、由∠2=∠4不能推出AD∥BC，故本選項錯誤；B、∵∠1=∠3，∴AD∥BC，故本選項正確；C、由∠4+∠D=180°不能推出AD∥BC，故本選項錯誤；D、由∠4+∠B=180°不能推出AD∥BC，故本選項錯誤；故選：B．【考點】本題考查了平行線的判定的應用，注意：同旁內角互補，兩直線平行，內錯角相等，兩直線平行．2、A【解析】【分析】先根據(jù)三角形的內角和定理易計算出∠1=130°，∠2=35°，∠3=15°，根據(jù)折疊的性質得到∠1=∠BAE=130°，∠E=∠3=15°，∠ACD=∠E=15°，可計算出∠EAC，然后根據(jù)∠α+∠E=∠EAC+∠ACD，即可得到∠α=∠EAC．【詳解】解：設∠3=3x，則∠1=26x，∠2=7x，∵∠1+∠2+∠3=180°，∴26x+7x+3x=180°，解得x=5°．∴∠1=130°，∠2=35°，∠3=15°．∵△ABE是△ABC沿著AB邊翻折180°形成的，∴∠1=∠BAE=130°，∠E=∠3=15°．∴∠EAC=360°-∠BAE-∠BAC=360°-130°-130°=100°．又∵△ADC是△ABC沿著AC邊翻折180°形成的，∴∠ACD=∠E=15°．∵∠α+∠E=∠EAC+∠ACD，∴∠α=∠EAC=100°．故選：A．【考點】本題考查了折疊的性質：折疊前后兩圖形全等，即對應角相等，對應線段相等．也考查了三角形的內角和定理以及周角的定義．3、D【解析】【分析】由內錯角相等，兩直線平行可判斷①，由鄰補角的定義可判斷②，如圖，延長交于先求解從而可判斷③④，于是可得答案.【詳解】解：由題意得：故①符合題意；故②符合題意；如圖，延長交于故③④符合題意；綜上：符合題意的有①②③④故選D【考點】本題考查的是三角形的內角和定理的應用，平行線的判定與性質，三角形外角的性質，等腰直角三角形的兩個銳角都為，掌握以上基礎知識是解本題的關鍵.4、C【解析】【詳解】根據(jù)平行線的判定，可由∠2=∠3，根據(jù)內錯角相等，兩直線平行，得到AD∥BC，由∠1=∠4，得到AB∥CD.故選C.5、B【解析】【詳解】解：①等腰三角形的頂角角平分線、底邊上的中線和底邊上的高重合，故本選項錯誤；②等腰三角形兩腰上的高相等，本選項正確；③等腰三角形最小邊不一定底邊，故本選項錯誤；④等邊三角形的高、中線、角平分線都相等，本選項正確；⑤等腰三角形可以是鈍角三角形，故本選項錯誤，故選B6、A【解析】【分析】根據(jù)三角形的內角和定理和三角形的外角性質即可解決．【詳解】解：∵∠BAC＝105°，∴∠2＋∠3＝75°①∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3＝∠1＋∠2＝2∠2②把②代入①得：3∠2＝75°，∴∠2＝25°．∴∠DAC＝105°?25°＝80°．故選A．【考點】此題主要考查了三角形的外角性質以及三角形內角和定理，熟記三角形的內角和定理，三角形的外角性質是解題的關鍵．7、C【解析】【分析】根據(jù)平行線的判定定理進行逐一分析解答即可．【詳解】解：A、正確，符合“內錯角相等，兩條直線平行”的判定定理；B、正確，符合“同位角相等，兩條直線平行”的判定定理；C、錯誤，若∠3=∠4，則AD∥BE；D、正確，符合“同旁內角互補，兩條直線平行”的判定定理；故選：C．【考點】本題考查的是平行線的判定定理，比較簡單．8、B【解析】【分析】根據(jù)點到直線的距離及兩點間的距離的定義可判斷①；根據(jù)平行線的性質及三角形的外角的性質可判斷②；根據(jù)平行線的判定可判斷③；根據(jù)平行線的判定與性質可判斷④．【詳解】解：①由于直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做這點到這條直線的距離，故正確；②設AB與DE相交于點O．∵AB∥CD，∴∠AOE=∠D．又∵∠AOE＞∠B，∴∠D＞∠B，故錯誤；③∵∠ACD=∠CAB，∴AB∥CD，，故錯誤；④∵∠1=∠2，∴AD∥BC，∴∠D+∠BCD=180°，又∵∠D=120°，∴∠BCD=60°，故正確．故選：B．【考點】本題主要考查了點到直線的距離的定義，平行線的判定與性質，三角形的外角的性質，正確理解相關概念和性質是解本題的關鍵．二、填空題1、20°【解析】【分析】先根據(jù)平行線的性質，得到∠BDC=50°，再根據(jù)∠ADB=30°，即可得出∠2=20°．【詳解】解：∵∠1=130°，∴∠3=50°，又∵l1∥l2，∴∠BDC=50°，又∵∠ADB=30°，∴∠2=20°，故答案為：20°．【考點】本題主要考查了平行線的性質，解題時注意：兩直線平行，內錯角相等．2、∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°或∠CBD=∠ADB或∠C=∠CDE【解析】【分析】同位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行，據(jù)此進行判斷（答案不唯一）．【詳解】解：若，則BC∥AD；若∠C+∠ADC=180°，則BC∥AD；若∠CBD=∠ADB，則BC∥AD；若∠C=∠CDE，則BC∥AD；故答案為∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°或∠CBD=∠ADB或∠C=∠CDE．（答案不唯一）【考點】本題主要考查了平行線的判定，同位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行．3、①④【解析】【分析】分兩種情況，根據(jù)CD∥AB，利用平行線的性質，即可得到∠BAD的度數(shù)．【詳解】解：如圖所示：當CD∥AB時，∠BAD=∠D=30°；如圖所示，當AB∥CD時，∠C=∠BAC=60°，∴∠BAD=60°+90°=150°；∴∠BAD=150°或∠BAD=30°．故答案為：①④．【考點】本題主要考查了平行線的判定，平行線的判定是由角的數(shù)量關系判斷兩直線的位置關系，平行線的性質是由直線的平行關系來尋找角的數(shù)量關系．4、##140度【解析】【分析】如圖，首先標注字母，利用三角形的內角和求解，再利用對頂角的相等，三角形的外角的性質可得答案．【詳解】解：如圖，標注字母，由題意得：故答案為：【考點】本題考查的是三角形的內角和定理，三角形的外角的性質，掌握以上知識是解題的關鍵．5、假【解析】【分析】首先分清題設是：兩個三角形全等，結論是：對應角相等，把題設與結論互換即可得到逆命題，然后判斷正誤即可．【詳解】解：“全等三角形的對應角相等”的題設是：兩個三角形全等，結論是：對應角相等，因而逆命題是：對應角相等的三角形全等．是一個假命題．故答案為：假．【考點】本題考查了互逆命題的知識，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理．6、96【解析】【分析】延長FO交AC于點G．根據(jù)三角形內角和定理可求出．由翻折的性質可知，即得出，從而可求出．由三角形外角性質結合三角形內角和定理即可得出，從而可求出．【詳解】解：如圖，延長FO交AC于點G．∵，∴．由翻折可知，∴，即，∴．∵，，∴，即，∴．故答案為：96．【考點】本題考查三角形內角和定理，三角形外角性質，翻折的性質．正確的作出輔助線是解題關鍵．7、46°【解析】【分析】由題意得∠C′＝90°，由折疊得∠CDE＝∠C′DE，那么∠CDE＝180°﹣∠1＝112°，故∠C′DE＝∠C′DA+∠1＝112°，進而推斷出∠C′DA＝112°﹣68°＝44°，從而求得∠2．【詳解】解：由題意得：∠C′＝90°，由折疊得∠CDE＝∠C′DE．∵∠1＝68°，∴∠CDE＝180°﹣∠1＝112°．∴∠C′DE＝∠C′DA+∠1＝112°．∴∠C′DA＝112°﹣68°＝44°．∴∠2＝180°﹣∠C′﹣∠C′DA＝46°．故答案為：46°．【考點】本題考查了三角形折疊問題和三角形內角和，解題關鍵是根據(jù)折疊得出角相等，利用三角形內角和求解．三、解答題1、平行【解析】【分析】由鄰補角關系得出∠BPQ＝115°，得出∠BPQ＝∠BNG，由同位角相等即可得出結論．【詳解】平行，因為，所以，所以根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”可得．【考點】本題考查了平行線的判定方法、鄰補角關系；熟記同位角相等，兩直線平行，證出∠BPQ＝∠BNG是解決問題的關鍵．2、（1）證明見解析；（2）與∠CED互余的角有∠ADE，∠CDE，∠F，∠FAD．【解析】【分析】（1）依據(jù)AB⊥BC于點B，DC⊥BC于點C，即可得到AB∥CF，進而得出∠BAF+∠F＝180°，再根據(jù)∠BAF＝∠EDF，即可得出ED∥AF，依據(jù)三角形外角性質以及角平分線的定義，即可得到∠DAF＝∠F；（2）結合圖形，根據(jù)余角的概念，即可得到所有與∠CED互余的角．【詳解】解：（1）∵AB⊥BC于點B，DC⊥BC于點C，∴∠B+∠C＝180°，∴AB∥CF，∴∠BAF+∠F＝180°，又∵∠BAF＝∠EDF，∴∠EDF+∠F＝180°，∴ED∥AF，∴∠ADE＝∠DAF，∠EDC＝∠F，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠DAF＝∠F；（2）∵∠C＝90°，∴∠CED+∠CDE＝90°，∴∠CED與∠CDE互余，又∵∠ADE＝∠DAF＝∠EDC＝∠F，∴與∠CED互余的角有∠ADE，∠CDE，∠F，∠FAD．【考點】本題主要考查了平行線的判定與性質、余角的概念，平行線的判定是由角的數(shù)量關系判斷兩直線的位置關系，平行線的性質是由平行關系來尋找角的數(shù)量關系．3、（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）根據(jù)對頂角相等以及四邊形的內角和進行判斷即可；（2）法一：根據(jù)以及和分別平分和，算出和,從而算出；法二：根據(jù)三角形的外角定理得到∠APC=∠B+∠PAB＋∠PCB，再求出∠PAB＋∠PCB，故可求解；（3）法一：連接AC，根據(jù)三角形的內角和與角平分線的性質分別求出，，故可求解；法二：連接BD并延長到G根據(jù)三角形的外角定理得到∠ADC＝∠2＋∠4＋∠APC，再求出∠2＋∠4，故可求解．【詳解】（1）如圖邊上的高所在直線和邊上的高所在直線的交點為∴又∵∴∵在四邊形中，內角和為∴．（2）法一：∵和分別平分和∴又∵∴∴∴．法二：連接BD，∵B、P、D三點共線∴BD、AF、CE交于P點∵∠APD=∠BAP+∠ABP，∠CPD=∠BCP+∠CBP，∴∠APC=∠B+∠PAB＋∠PCB∵和分別平分和，∴∠PAC=∠PAB，∠PCA=∠PCB，∵∠APC＝100°，∴∠PAC＋∠PCA＝180°?100°＝80°，∴∠PAB＋∠PCB＝80°，∴∠B＝∠APC?（∠PAB＋∠PCB）＝100°?80°＝20°．（3）法一：如圖：連接AC∵，∴∴又∵和分別平分和∴∴∴．法二：如圖，連接BD并延長到G，∵∠ADG＝∠2＋∠APD，∠CDG＝∠4＋∠CPD，∴∠ADC＝∠2＋∠4＋∠APC，∴∠2＋∠4=30°同理可得∠APC＝∠1＋∠3＋∠B，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠B＝∠APC-∠2-∠4=100°-30°=70°∴∠B＝70°．【考點】本題考查三角形的外角，角平分線的定義，三角形內角和定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．4、230°【解析】【分析】（1）連接OA并延長，由三角形外角的性質可知∠1＋∠B＝∠3，∠2＋∠C＝∠4，兩式相加即可得出結論；（2）連接AD，由（1）的結論可知∠F＋∠2＋∠3＝∠DEF，∠1＋∠4＋∠C＝∠ABC，兩式相加即可得出結論．【詳解】（1）如圖1，連接AO并延長，∵是的外角，∴.①；∵是的外角，∴②；①+②，得，∴.（2）如圖2，連接AD.由（1），得③；④；③+④得：，∵，，∴.

【考點】本題考查的是三角形外角的性質，根據(jù)題意作出輔助線，構造出三角形是解答此題的關鍵．5、(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的性質和全等三角形的判定和性質解答即可．（2）根據(jù)全等三角形的性質和平行線的判定解答即可．(1)證明：（1），，，，在與中，，．(2)（2），，．【考點】考查了全等三角形的判定與性質、平行線的判定與性質等知識，證明三角形全等是解決問題的關鍵．6、(1)三角形內角和定理（或三角形的內角和等于180°）；(2)見解析；(3)70°【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形內角和定理，即可求解；（2）根據(jù)三角形外角的性質可得∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B，從而得到∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B，即可求證；（3）由（2）可得：∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C，∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C，從而得到∠CAE+∠CBF=110°-∠C，∠CAD+∠CBD=150°-∠C，再由AE是∠CAD的平分線，BF是∠CBD的平分線，可得150°-∠C=2（110°-∠C），即可求解．(1)解：三角形內角和定理（或三角形