第1頁|共2頁2009年陜西省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）（2009?陜西）設(shè)不等式x2﹣x≤0的解集為M，函數(shù)f（x）=ln（1﹣|x|）的定義域為N，則M∩N為（）A．[0，1） B．（0，1） C．[0，1] D．（﹣1，0]2．（5分）（2009?陜西）若tanα=2，則的值為（）A．0 B． C．1 D．3．（5分）（2009?陜西）函數(shù)的反函數(shù)為（）A． B．C． D．4．（5分）（2009?陜西）過原點且傾斜角為60°的直線被圓x2+y2﹣4y=0所截得的弦長為（）A． B．2 C． D．25．（5分）（2009?陜西）某單位共有老、中、青職工430人，其中青年職工160人，中年職工人數(shù)是老年職工人數(shù)的2倍．為了解職工身體狀況，現(xiàn)采用分層抽樣方法進(jìn)行調(diào)查，在抽取的樣本中有青年職工32人，則該樣本中的老年職工人數(shù)為（）A．9 B．18 C．27 D．366．（5分）（2009?陜西）若（1﹣2x）2009=a0+a1x+…+a2009x2009（x∈R），則的值為（）A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣27．（5分）（2009?陜西）”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦點在y軸上的橢圓”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．（5分）（2009?陜西）在△ABC中，M是BC的中點，AM=1，點P在AM上且滿足學(xué)，則等于（）A． B． C． D．9．（5分）（2009?陜西）從1，2，3，4，5，6，7這七個數(shù)字中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為（）A．432 B．288 C．216 D．10810．（5分）（2009?陜西）定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足：對任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有．則（）A．f（3）＜f（﹣2）＜f（1） B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3） C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3） D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）11．（5分）（2009?陜西）若正方體的棱長為，則以該正方體各個面的中心為頂點的凸多面體的體積為（）A． B． C． D．12．（5分）（2009?陜西）設(shè)曲線y=xn+1（n∈N*）在點（1，1）處的切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為xn，則x1?x2?…?xn的值為（）A． B． C． D．1二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分）13．（4分）（2009?陜西）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a6=s3=12，則an=．14．（4分）（2009?陜西）設(shè)x，y滿足約束條件，則x+2y的最小值是，最大值是．15．（4分）（2009?陜西）已知球O的半徑為2，圓O1是一小圓，，A、B是圓O1上兩點，若∠AO1B=，則A，B兩點間的球面距離為．16．（4分）（2009?陜西）某班有36名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組，每名同學(xué)至多參加兩個小組，已知參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為26，15，13，同時參加數(shù)學(xué)和物理小組的有6人，同時參加物理和化學(xué)小組的有4人，則同時參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有人．三、解答題（共6小題，滿分76分）17．（12分）（2009?陜西）已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的周期為π，且圖象上一個最低點為．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）當(dāng)，求f（x）的最值．18．（12分）（2009?陜西）椐統(tǒng)計，某食品企業(yè)一個月內(nèi)被消費者投訴的次數(shù)為0，1，2的概率分別為0.4，0.5，0.1（Ⅰ）求該企業(yè)在一個月內(nèi)共被消費者投訴不超過1次的概率；（Ⅱ）假設(shè)一月份與二月份被消費者投訴的次數(shù)互不影響，求該企業(yè)在這兩個月內(nèi)共被消費者投訴2次的概率．19．（12分）（2009?陜西）如圖所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=，∠ABC=60°．（1）證明：AB⊥A1C；（2）求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．20．（12分）（2009?陜西）已知函數(shù)f（x）=x3﹣3ax﹣1，a≠0（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（x）在x=﹣1處取得極值，直線y=m與y=f（x）的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍．21．（12分）（2009?陜西）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，an+2=，n∈N*．（1）令bn=an+1﹣an，證明：{bn}是等比數(shù)列；（2）求{an}的通項公式．22．（14分）（2009?陜西）已知雙曲線C的方程為=1（a＞0，b＞0），離心率，頂點到漸近線的距離為．（Ⅰ）求雙曲線C的方程；（Ⅱ）如圖，P是雙曲線C上一點，A，B兩點在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一、二象限，若，求△AOB面積的取值范圍．以下內(nèi)容，題后含答案、解析2009年陜西省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）（2009?陜西）設(shè)不等式x2﹣x≤0的解集為M，函數(shù)f（x）=ln（1﹣|x|）的定義域為N，則M∩N為（）A．[0，1） B．（0，1） C．[0，1] D．（﹣1，0]【分析】先求出不等式的解集和函數(shù)的定義域，然后再求兩個集合的交集．【解答】解：不等式x2﹣x≤0轉(zhuǎn)化為x（x﹣1）≤0解得其解集是{x|0≤x≤1}，而函數(shù)f（x）=ln（1﹣|x|）有意義則需：1﹣|x|＞0解得：﹣1＜x＜1所以其定義域為{﹣1＜x＜1}，所以M∩N=[0，1），故選A2．（5分）（2009?陜西）若tanα=2，則的值為（）A．0 B． C．1 D．【分析】根據(jù)齊次分式的意義將分子分母同時除以cosα（cosα≠0）直接可得答案．【解答】解：利用齊次分式的意義將分子分母同時除以cosα（cosα≠0）得，故選B．3．（5分）（2009?陜西）函數(shù)的反函數(shù)為（）A． B．C． D．【分析】從條件中函數(shù)式數(shù)反解出x，再將x，y互換即得對數(shù)函數(shù)的函數(shù)，再依據(jù)互為反函數(shù)間的定義域與值域的關(guān)系求得反函數(shù)的定義域即可．【解答】解：，逐一驗證，知B正確．故選B．4．（5分）（2009?陜西）過原點且傾斜角為60°的直線被圓x2+y2﹣4y=0所截得的弦長為（）A． B．2 C． D．2【分析】本題考查的知識點是直線與圓方程的應(yīng)用，由已知圓x2+y2﹣4y=0，我們可以將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，求出圓心坐標(biāo)和半徑，又直線由過原點且傾斜角為60°，得到直線的方程，再結(jié)合半徑、半弦長、弦心距滿足勾股定理，即可求解．【解答】解：將圓x2+y2﹣4y=0的方程可以轉(zhuǎn)化為：x2+（y﹣2）2=4，即圓的圓心為A（0，2），半徑為R=2，∴A到直線ON的距離，即弦心距為1，∴ON=，∴弦長2，故選D．5．（5分）（2009?陜西）某單位共有老、中、青職工430人，其中青年職工160人，中年職工人數(shù)是老年職工人數(shù)的2倍．為了解職工身體狀況，現(xiàn)采用分層抽樣方法進(jìn)行調(diào)查，在抽取的樣本中有青年職工32人，則該樣本中的老年職工人數(shù)為（）A．9 B．18 C．27 D．36【分析】根據(jù)條件中職工總數(shù)和青年職工人數(shù)，以及中年和老年職工的關(guān)系列出方程，解出老年職工的人數(shù)，根據(jù)青年職工在樣本中的個數(shù)，算出每個個體被抽到的概率，用概率乘以老年職工的個數(shù)，得到結(jié)果．【解答】解：設(shè)老年職工有x人，中年職工人數(shù)是老年職工人數(shù)的2倍，則中年職工有2x，∵x+2x+160=430，∴x=90，即由比例可得該單位老年職工共有90人，∵在抽取的樣本中有青年職工32人，∴每個個體被抽到的概率是=，用分層抽樣的比例應(yīng)抽取×90=18人．故選B．6．（5分）（2009?陜西）若（1﹣2x）2009=a0+a1x+…+a2009x2009（x∈R），則的值為（）A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2【分析】通過給x賦值，0得到兩等式，兩式相減即得．【解答】解：令x=得0=令x=0得1=a0兩式相減得=﹣1故選項為C7．（5分）（2009?陜西）”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦點在y軸上的橢圓”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】將方程mx2+ny2=1轉(zhuǎn)化為，然后根據(jù)橢圓的定義判斷．【解答】解：將方程mx2+ny2=1轉(zhuǎn)化為，根據(jù)橢圓的定義，要使焦點在y軸上必須滿足，且，即m＞n＞0反之，當(dāng)m＞n＞0，可得出＞0，此時方程對應(yīng)的軌跡是橢圓綜上證之，”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦點在y軸上的橢圓”的充要條件故選C．8．（5分）（2009?陜西）在△ABC中，M是BC的中點，AM=1，點P在AM上且滿足學(xué)，則等于（）A． B． C． D．【分析】由M是BC的中點，知AM是BC邊上的中線，又由點P在AM上且滿足可得：P是三角形ABC的重心，根據(jù)重心的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：∵M(jìn)是BC的中點，知AM是BC邊上的中線，又由點P在AM上且滿足∴P是三角形ABC的重心∴==﹣又∵AM=1∴=∴=﹣故選A9．（5分）（2009?陜西）從1，2，3，4，5，6，7這七個數(shù)字中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為（）A．432 B．288 C．216 D．108【分析】本題是一個分步計數(shù)原理，先從4個奇數(shù)中取2個再從3個偶數(shù)中取2個共C42C32，再把4個數(shù)排列，其中是奇數(shù)的共A21A33種，根據(jù)分步計數(shù)原理得到結(jié)果．【解答】解：∵由題意知本題是一個分步計數(shù)原理，第一步先從4個奇數(shù)中取2個再從3個偶數(shù)中取2個共C42C32=18種，第二步再把4個數(shù)排列，其中是奇數(shù)的共A21A33=12種，∴所求奇數(shù)的個數(shù)共有18×12=216種．故選C．10．（5分）（2009?陜西）定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足：對任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有．則（）A．f（3）＜f（﹣2）＜f（1） B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3） C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3） D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）【分析】對任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有．可得出函數(shù)在[0，+∞）上是減函數(shù)，再由偶函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)在（﹣∞，0]是增函數(shù)，由此可得出此函數(shù)函數(shù)值的變化規(guī)律，由此規(guī)律選出正確選項【解答】解：任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有．∴f（x）在（0，+∞]上單調(diào)遞減，又f（x）是偶函數(shù)，故f（x）在（﹣∞，0]單調(diào)遞增．且滿足n∈N*時，f（﹣2）=f（2），3＞2＞1＞0，由此知，此函數(shù)具有性質(zhì)：自變量的絕對值越小，函數(shù)值越大∴f（3）＜f（﹣2）＜f（1），故選A．11．（5分）（2009?陜西）若正方體的棱長為，則以該正方體各個面的中心為頂點的凸多面體的體積為（）A． B． C． D．【分析】由題意可知，凸多面體為八面體，八面體體積是兩個底面邊長為1，高為的四棱錐，求出棱錐的體積，即可求出八面體的體積．【解答】解：所求八面體體積是兩個底面邊長為1，高為的四棱錐的體積和，一個四棱錐體積V1=×1×=，故八面體體積V=2V1=．故選B．12．（5分）（2009?陜西）設(shè)曲線y=xn+1（n∈N*）在點（1，1）處的切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為xn，則x1?x2?…?xn的值為（）A． B． C． D．1【分析】欲判x1?x2?…?xn的值，只須求出切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．【解答】解：對y=xn+1（n∈N*）求導(dǎo)得y′=（n+1）xn，令x=1得在點（1，1）處的切線的斜率k=n+1，在點（1，1）處的切線方程為y﹣1=k（xn﹣1）=（n+1）（xn﹣1），不妨設(shè)y=0，則x1?x2?x3…?xn=××，故選B．二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分）13．（4分）（2009?陜西）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a6=s3=12，則an=2n．【分析】由a6=s3=12，利用等差數(shù)列的前n項和公式和通項公式得到a1和d的兩個方程，從而求出a1和d，得到an．【解答】解；由a6=s3=12可得解得{an}的公差d=2，首項a1=2，故易得an=2+（2﹣1）n=2n．故答案為：2n14．（4分）（2009?陜西）設(shè)x，y滿足約束條件，則x+2y的最小值是1，最大值是11．【分析】①設(shè)目標(biāo)函數(shù)z=x+2yz為縱截距2倍縱截距取得最值時z也取得最值②畫可行域③平移目標(biāo)函數(shù)線尋找最值【解答】解：設(shè)z=x+2y，z為該直線縱截距2倍，可行域如圖三角形ABC，令Z=0得直線l：x+2y=0，平移l過點C（1，0）時z有最小值1，過點A（3，4）點時有最大值11，故答案為最小值1，最大值11．15．（4分）（2009?陜西）已知球O的半徑為2，圓O1是一小圓，，A、B是圓O1上兩點，若∠AO1B=，則A，B兩點間的球面距離為．【分析】由題意知應(yīng)先求出AB的長度，在直角三角形AO1B中由勾股定理可得AB=2由此知三角形AOB是等邊三角形，由此可以求出∠AOB的值，進(jìn)而利用弧長公式求A，B兩點間的球面距離．【解答】解：由題設(shè)知，OA=OB=2在圓O1中有，又∠AO1B=在直角三角形AO1B中由勾股定理可得AB=2所以在△AOB中，OA=OB=AB=2，則△AOB為等邊三角形，可得∠AOB=60°由弧長公式l=rθ（r為半徑）得A，B兩點間的球面距離lAB=rθ=2×故答案為16．（4分）（2009?陜西）某班有36名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組，每名同學(xué)至多參加兩個小組，已知參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為26，15，13，同時參加數(shù)學(xué)和物理小組的有6人，同時參加物理和化學(xué)小組的有4人，則同時參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有8人．【分析】畫出表示參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組集合的Venn圖，結(jié)合圖形進(jìn)行分析求解即可．【解答】解：由條件知，每名同學(xué)至多參加兩個小組，故不可能出現(xiàn)一名同學(xué)同時參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組，設(shè)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)構(gòu)成的集合分別為A，B，C，則card（A∩B∩C）=0，card（A∩B）=6，card（B∩C）=4，由公式card（A∪B∪C）=card（A）+card（B）+card（C）﹣card（A∩B）﹣card（A∩C）﹣card（B∩C）知36=26+15+13﹣6﹣4﹣card（A∩C）故card（A∩C）=8即同時參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有8人．故答案為：8．三、解答題（共6小題，滿分76分）17．（12分）（2009?陜西）已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的周期為π，且圖象上一個最低點為．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）當(dāng)，求f（x）的最值．【分析】（Ⅰ）由最低點求出A，利用周期求出ω，圖象上一個最低點為．代入函數(shù)解析式求出φ，然后求f（x）的解析式；（Ⅱ）當(dāng)，，然后求出求f（x）的最值．【解答】解：（Ⅰ）由最低點為由由點在圖象上得即所以故又，所以所以（Ⅱ）因為，可得所以當(dāng)時，即x=0時，f（x）取得最小值1；當(dāng)，即時，f（x）取得最大值；18．（12分）（2009?陜西）椐統(tǒng)計，某食品企業(yè)一個月內(nèi)被消費者投訴的次數(shù)為0，1，2的概率分別為0.4，0.5，0.1（Ⅰ）求該企業(yè)在一個月內(nèi)共被消費者投訴不超過1次的概率；（Ⅱ）假設(shè)一月份與二月份被消費者投訴的次數(shù)互不影響，求該企業(yè)在這兩個月內(nèi)共被消費者投訴2次的概率．【分析】本題考查的知識點是相互獨立事件的概率乘法公式．（1）設(shè)事件A表示“一個月內(nèi)被投訴的次數(shù)為0”，事件B表示“一個月內(nèi)被投訴的次數(shù)為1”，由一個月內(nèi)被消費者投訴的次數(shù)為0，1的概率分別為0.4，0.5，則該企業(yè)在一個月內(nèi)共被消費者投訴不超過1次的概率P=P（A+B）=P（A）+P（B），代入即可求出答案．（2）設(shè)事件Ai表示“第i個月被投訴的次數(shù)為0”，事件Bi表示“第i個月被投訴的次數(shù)為1”，事件Ci表示“第i個月被投訴的次數(shù)為2”，事件D表示“兩個月內(nèi)被投訴2次”，該企業(yè)在這兩個月內(nèi)共被消費者投訴2次的概率．P（D）=P（A1C2+A2C1）+P（B1B2）=P（A1C2）+P（A2C1）+P（B1B2），代入數(shù)據(jù)運算后，易得最終答案．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)事件A表示“一個月內(nèi)被投訴的次數(shù)為0”，事件B表示“一個月內(nèi)被投訴的次數(shù)為1”所以P（A+B）=P（A）+P（B）=0.4+0.5=0.9（Ⅱ）設(shè)事件Ai表示“第i個月被投訴的次數(shù)為0”，事件Bi表示“第i個月被投訴的次數(shù)為1”，事件Ci表示“第i個月被投訴的次數(shù)為2”，事件D表示“兩個月內(nèi)被投訴2次”所以P（Ai）=0.4，P（Bi）=0.5，P（Ci）=0.1（i=1，2）所以兩個月中，一個月被投訴2次，另一個月被投訴0次的概率為P（A1C2+A2C1）一、二月份均被投訴1次的概率為P（B1B2）所以P（D）=P（A1C2+A2C1）+P（B1B2）=P（A1C2）+P（A2C1）+P（B1B2）由事件的獨立性的p（D）=0.4×0.1+0.1×0.4+0.5×0.5=0.33．19．（12分）（2009?陜西）如圖所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=，∠ABC=60°．（1）證明：AB⊥A1C；（2）求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．【分析】（1）欲證AB⊥A1C，而A1C?平面ACC1A1，可先證AB⊥平面ACC1A1，根據(jù)三棱柱ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，可知AB⊥AA1，由正弦定理得AB⊥AC，滿足線面垂直的判定定理所需條件；（2）作AD⊥A1C交A1C于D點，連接BD，由三垂線定理知BD⊥A1C，則∠ADB為二面角A﹣A1C﹣B的平面角，在Rt△BAD中，求出二面角A﹣A1C﹣B的余弦值即可．【解答】解：（1）證明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，∴AB⊥AA1，在△ABC中，AB=1，AC=，∠ABC=60°，由正弦定理得∠ACB=30°，∴∠BAC=90°，即AB⊥AC，∴AB⊥平面ACC1A1，又A1C?平面ACC1A1，∴AB⊥A1C．（2）如圖，作AD⊥A1C交A1C于D點，連接BD，由三垂線定理知BD⊥A1C，∴∠ADB為二面角A﹣A1C﹣B的平面角．在Rt△AA1C中，AD===，在Rt△BAD中，tan∠ADB==，∴cos∠ADB=，即二面角A﹣A1C﹣B的余弦值為．20．（12分）（2009?陜西）已知函數(shù)f（x）=x3﹣3ax﹣1，a≠0（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（x）在x=﹣1處取得極值，直線y=m與y=f（x）的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍．【分析】（1）先確求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區(qū)間是增區(qū)間，fˊ（x）＜0的區(qū)間是減區(qū)間．（2）先根據(jù)極值點求出a，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出極值以及端點的函數(shù)值，觀察可知m的范圍．【解答】解析：（1）f′（x）=3x2﹣3a=3（x2﹣a），當(dāng)a＜0時，對x∈R，有f′（x）＞0，當(dāng)a＜0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，+∞）當(dāng)a＞0時，由f′（x）＞0解得或；由f′（x）＜0解得，當(dāng)a＞0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為；f（x）的單調(diào)減區(qū)間為．（2）因為f（x）在x=﹣1處取得極大值，所以f′（﹣1）=3×（﹣1）2﹣3a=0，∴a=1．所以f（x）=x3﹣3x﹣1，f′（x）=3x2﹣3，由f′（x）=0解得x1=﹣1，x2=1．由（1）中f（x）的單調(diào)性可知，f（x）在x=﹣1處取得極大值f（﹣1）=1，在x=1處取得極小值f（1）=﹣3．因為直線y=m與函數(shù)y=f（x）的圖象有三個不同的交點，結(jié)合f（x）的單調(diào)性可知，m的取值范圍是（﹣3，1）．21．（12分）（2009?陜西）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，an+2=，n∈N*．（1）令bn=an+1﹣an，證明：{bn}是等比