第1頁/共1頁青島二中2024-2025學(xué)年第二學(xué)期期末考試—高一數(shù)學(xué)試題命題人：牟慶生張羽李婉昕審核人：程志一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.某學(xué)校有男生2000名和女生1000名，為了解學(xué)生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法從該校學(xué)生中抽取一個容量為的樣本，已知從男生中抽取100名學(xué)生，則為（）A150 B.200 C.250 D.300【答案】A【解析】【分析】根據(jù)比值關(guān)系直接計算可得.【詳解】由題知，，解得.故選：A2.已知圓錐的底面周長為，側(cè)面積為，則過該圓錐頂點的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為（）A.2 B.48 C.50 D.96【答案】C【解析】【分析】由題可求圓錐底面半徑和母線長，先求當(dāng)截面過中心軸時，頂角為鈍角，然后得出截面面積的最大值即可.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，母線長為，則，當(dāng)截面過中心軸時，所以，所以，由三角形面積公式得當(dāng)時，截面面積最大，最大為.故選：C.3.已知兩個不同的平面，和兩條不重合的直線m，n，則下列說法正確的是（）A.若，，則B.若，且n與平面、所成的角相等，則C.若，，，則D.若m，n為異面直線，且，，，，則【答案】D【解析】【分析】對于A，根據(jù)線面平行性質(zhì)推斷線線位置即可判斷；對于BC，舉出反例可判斷；對于D，結(jié)合異面直線性質(zhì)以及面面平行的判定定理即可判斷.【詳解】對于A，如圖示，若，，則可能是或異面，A錯誤；對于B，若，當(dāng)時，n與平面、所成的角相等，此時，B錯誤；對于C，如圖，設(shè)，且，，當(dāng)時，有成立，此時可斜交，不一定垂直，C錯誤，對于D，如圖，過m作平面γ與平面交于l，由于，，故，而，，故，由于m，n為異面直線，且，故必相交，結(jié)合，得，D正確，故選：D4.抽樣調(diào)查得到20個樣本數(shù)據(jù)，記作，樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為9，方差5.現(xiàn)去掉一個最大值13和一個最小值5，產(chǎn)生一組新數(shù)據(jù)，關(guān)于這組新數(shù)據(jù)，下列說法錯誤的是（）A.中位數(shù)一定不變 B.極差一定變小C.方差一定變小 D.平均數(shù)一定不變【答案】B【解析】【分析】由題可設(shè)20個樣本數(shù)據(jù)從小到大排列為，通過計算可逐項判斷.【詳解】不妨設(shè)20個樣本數(shù)據(jù)從小到大排列為，去掉最小，最大，剩下共18個樣本數(shù)據(jù)，原樣本中位數(shù)為，新樣本中位數(shù)也為，故A正確；新樣本極差為，所以極差有可能與原來相等，故B錯誤；因為原樣本均值為，所以新樣本均值，故D正確；原樣本方差，新樣本方差，所以新樣本方差變小，故C錯誤；故選：B.5.已知事件A，B，C滿足：，，則下列結(jié)論正確的為（）A.若，則C與B相互對立B.若，則C.若事件A與B相互獨立，則D.若事件A與B相互獨立，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對立事件的概念可判斷A；根據(jù)事件的包含關(guān)系可判斷B；根據(jù)并事件的概率和獨立事件概率關(guān)系可判斷CD.【詳解】對于A，因為不一定互斥，所以由得不到C與B對立，錯誤；對于B，若，則，錯誤；對于C，若事件A與B相互獨立，則，則，正確；對于D，若事件A與B相互獨立，則相互獨立，則，錯誤.故選：C6.若，則為整數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】使用列舉法求出樣本空間，列舉出滿足條件的樣本點，然后可得概率.【詳解】從中任取兩個數(shù)的樣本空間為：，共25個.使為整數(shù)的樣本點有，共8個.所以為整數(shù)的概率為.故選：C7.在復(fù)平面中，為坐標(biāo)原點，，，Z所對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，，，且，的面積為，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題可設(shè)，與相交于點，則，利用三點共線可得即可求解.【詳解】設(shè)，與相交于點，又，所以，則，又三點共線，所以，則，所以，即的面積為.故選：B.8.在中，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理角化邊化簡可得，結(jié)合余弦定理可得，進而將進行切化弦，化簡即可求得答案.【詳解】由，得,故，則，，故選：D二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，下列說法中正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則或 D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)賦值的四則運算即模長公式等可逐項判斷.【詳解】設(shè)，，，，即或，故A錯誤；，，即，所以，故B正確；，，則或，所以，則或，故C正確；，，即，故D正確；故選：BCD.10.如圖，在中，D是的中點，O是上一點，且，下列結(jié)論正確的有（）AB.C.過點作一條直線與邊，分別相交于點E，F(xiàn)，若，，則D.若是邊長為4的正三角形，是邊上的動點，則的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運算可判斷AB；根據(jù)向量的線性運算以及三點共線可判斷C；建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算可判斷D.【詳解】對于A，由題意得，，故，A正確；對于B，，B錯誤；對于C，，，，因三點共線，故可設(shè)，即，解得，C正確；對于D，以D為坐標(biāo)原點，以為x軸，的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)，則，，，故，當(dāng)時，取最大值，當(dāng)時，取最小值，即的取值范圍是，D正確，故選：ACD11.在棱長為4的正方體中，點P為的中點，點E在線段上運動，點M在線段上運動，點N在正方形內(nèi)（包含邊界）運動，則下列結(jié)論正確的有（）A.直線與平面所成角為定值B.三棱錐外接球球心到平面的距離為C.的最小值為8D.若平面，則異面直線與所成角的余弦值取值范圍是【答案】BC【解析】【分析】對于A，由面面平行可得即為直線與平面所成角，，點M在線段上運動，不是定值，故A錯誤；對于B，根據(jù)墻角模型易得外接球半徑，利用球的截面性質(zhì)可求距離；對于C，由要最小，首先要最小，過作平面，可得；對于D，易得在線段D1Q上運動，過作平面，即就是異面直線與所成角或其補角，但需注意當(dāng)N運動到Q點時，此時與共面，需把這個端點值舍去.【詳解】對于A,由正方體性質(zhì)知平面平面，故直線與平面所成角等于直線與平面所成的角，因為⊥平面，所以即為直線與平面所成角，，點M在線段上運動，不是定值，故直線與平面所成角不為定值，A錯誤；對于B，由于兩兩垂直，故三棱錐外接球即為以為長寬高的長方體的外接球，，故外接球直徑為，又，故，故，則的外接圓的半徑為，結(jié)合外接球球心和的外接圓的圓心的連線垂直于平面，故三棱錐外接球球心到平面的距離為，B正確；對于C，要最小，首先要最小，即當(dāng)平面時，取得最小值，過作平面，此時三點共線，，在正方體，易得，所以，則，故C正確；對于D，設(shè)中點為，所以，因為平面，平面，所以平面，同理可得平面，因為，平面，所以平面平面，即在線段運動，過作平面，所以，，顯然為銳角，即就是異面直線與所成角，其中，又為鈍角，所以，又，所以，，當(dāng)時，取得最大值，為，當(dāng)時，取得最小值，為，但當(dāng)BG=2時，此時BN與在平面BCC1所以異面直線與所成角的余弦值取值范圍是，故D錯誤；故選：BC.三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，將曲線向左平移個單位長度后，所得圖象關(guān)于原點對稱，則的最小值為_______.【答案】【解析】【分析】求出平移后圖象對應(yīng)解析式，然后結(jié)合奇偶性即可得解.【詳解】將曲線向左平移個單位長度后，所得曲線解析式為：，因為的圖象關(guān)于原點對稱，所以，即，因為，所以當(dāng)時，取得最小值.故答案為：13.《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中描述了一種五面體——芻甍（chúméng），其底面為矩形，頂棱和底面矩形的一組對邊平行.現(xiàn)有如圖所示——芻甍，，側(cè)面和為等邊三角形，且與底面所成角相等；若，E到底面的距離為，則該芻甍的體積為_______.【答案】【解析】【分析】將其分割成兩個三棱錐和一個直三棱柱，求出所需棱長即可體積.【詳解】記的中點分別為，連接，易知，又，所以，因為為正三角形，所以，因為是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面，又平面，所以平面平面，過作，過分別作的平行線，如圖，因為平面平面，平面，所以平面，平面，所以，，所以，因為平面，所以，易知，是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面，同理平面，所以為直三棱柱，因為，所以，所以該芻甍的體積為.故答案為：14.對于沒有重復(fù)數(shù)據(jù)的樣本，記這m個數(shù)的第k百分位數(shù)為.若在區(qū)間中的樣本數(shù)據(jù)有且只有13個，則m的所有可能值的和為______.【答案】【解析】【分析】分是否為整數(shù)求出，根據(jù)在區(qū)間中的樣本數(shù)據(jù)有且只有13個，取得的范圍，然后驗證可得.【詳解】不妨假設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù).若為正整數(shù)，即為正整數(shù)，則是5的倍數(shù)，此時必是正整數(shù)，則，則在區(qū)間的數(shù)據(jù)為，所以，解得；若都不是正整數(shù)，則，則在區(qū)間的數(shù)據(jù)為，所以，則，解得.綜上，的可能取值有.當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)有，共個數(shù)，滿足題意；當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)有，共個數(shù)，不滿足題意；當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)有，共個數(shù)，不滿足題意；當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)有，共個數(shù)，滿足題意；當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)有，共個數(shù)，滿足題意；當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)數(shù)據(jù)有，共個數(shù)，不滿足題意；當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)有，共個數(shù)，滿足題意；當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)有，共個數(shù)，滿足題意；當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)有，共個數(shù)，不滿足題意；當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)有，共個數(shù)，不滿足題意；故的可能取值有，.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共17分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知向量，（1）若，求；（2）若向量，，求與夾角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量垂直坐標(biāo)表示求出m，即可求得，即可求解答案；（2）根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示求出m，再利用向量的夾角公式，即可求得答案.【小問1詳解】由于向量，，故，，由，得，即，解得，則，故，【小問2詳解】由于向量，，，則，則，故，故與夾角的余弦值為.16.已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.（1）求C；（2）若的平分線交于D，且，求的值.【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）利用余弦定理以及正弦定理，結(jié)合兩角和的正弦公式對已知等式化簡，即可求得答案；（2）由題意可利用等面積法求出，結(jié)合已知等式即可求得答案.【小問1詳解】由，得,即，則,則，即，由于，故，，故；【小問2詳解】由的平分線交于D，可得,即，即，則，結(jié)合，得.17.某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，從生產(chǎn)的正品中隨機抽取1000件，測得產(chǎn)品質(zhì)量差（質(zhì)量差=生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量-標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量，單位：mg）的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下.（1）求的值：（2）公可從生產(chǎn)的正品中按產(chǎn)品質(zhì)量差進行分揀，若質(zhì)量差在范圍內(nèi)的產(chǎn)品為一等品，其余為二等品.其中，分別為樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差.（i）根據(jù)計算可得，若產(chǎn)品的質(zhì)量差為38mg，試判斷該產(chǎn)品是否屬于一等品，并說明理由；（ⅱ）若公司包裝時要求，4件一等品和2件二等品裝在同一個箱子中，質(zhì)檢員每次從箱子中隨機摸出2件產(chǎn)品進行檢驗，求摸出2件產(chǎn)品中至少有1件一等品的概率.【答案】（1）（2）（i）該產(chǎn)品屬于一等品，理由見詳解；（ⅱ）【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖中的面積之和等于1進行求解；（2）（i）根據(jù)頻率分布直方圖求出平均數(shù)，即可判斷；（ⅱ）利用古典概型的概率公式進行求解即可.【小問1詳解】由圖可知，，解得；【小問2詳解】（i）該產(chǎn)品屬于一等品，理由如下：由圖可得，，所以一等品的質(zhì)量差為，因為，所以該產(chǎn)品屬于一等品；（ⅱ）設(shè)4件一等品為，2件二等品為1,2，則質(zhì)檢員從箱子中隨機摸出2件產(chǎn)品的樣本空間為共15個樣本點，設(shè)“摸出的2件產(chǎn)品中至少有1件一等品”，則共14個樣本點，所以.18.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，平面平面，且，，，.（1）求證：平面平面；（2）當(dāng)時，求直線與平面所成角的正弦值；（3）當(dāng)時，求二面角的正切值的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）先證明，繼而根據(jù)面面垂直的性質(zhì)推出平面，可得，再結(jié)合線面以及面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論；（2）利用等體積法求出D到平面的距離，再根據(jù)線面角的定義即可額求得答案；（3）根據(jù)二面角定義作出二面角的平面角，解三角形求出相關(guān)線段長，即可推出二面角平面角的正切值的表達(dá)式，結(jié)合不等式知識，即可求得答案.【小問1詳解】由，，，可知，故；又平面平面，平面平面，平面，故平面，平面，故，又，平面，故平面，平面，故平面平面；【小問2詳解】由（1）知平面，平面，故，而，底面是平行四邊形，，，故，；設(shè)點D到平面的距離為d，由，得,解得，設(shè)直線與平面所成角為，則，而，故；【小問3詳解】作于M，作于N，連接，由于平面平面，平面平面，平面，故平面，平面，故，而，平面，故平面，則即為二面角的平面角；設(shè)，，則，，由于，可得，又，則，故在中，，設(shè)，則，由于，故，則，即二面角的正切值的取值范圍為.19.給定兩組數(shù)據(jù)與，稱為這兩組數(shù)據(jù)之間的“差異量”.在一次比賽中，n位選手的實際排名為.同學(xué)們在不知道選手實際排名的前提下，根據(jù)自己的經(jīng)驗預(yù)測選手們的排名為，其中集合.記，用A與I的差異量來反映預(yù)測的準(zhǔn)確程度.（1）當(dāng)時，寫出滿足的A的所有可能情況；（2）甲、乙兩位同學(xué)同時預(yù)測，甲的預(yù)測結(jié)果為A，乙的預(yù)測結(jié)果為B，已知，，則是否可能大于?若可能，請給出一個例子，若不可能，請說明理由：（3）證明：對于任意，的值一定為偶數(shù).【答案】（1）、、；（2）不可能，理由見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用列舉的方法，