【暑期預習銜接講義】20252026學年北師大版七年級數(shù)學上冊第五講：有理數(shù)的乘除運算 （知識總結(jié)梳理+4大考點典例精講+變式訓練+高頻精煉）知識點01：有理數(shù)乘法法則同號相乘：同號得正，并把絕對值相乘異號相乘：異號得負，并把絕對值相乘任何數(shù)與0相乘，積仍為0知識點02：倒數(shù)定義：如果兩個有理數(shù)的乘積為1，那么稱其中一個數(shù)是另一個數(shù)的倒數(shù)，也稱這兩個有理數(shù)互為倒數(shù).知識點03：有理數(shù)乘法的運算律乘法交換律：兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變用字母表示：ab=ba乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘或先把后兩個數(shù)相乘，積不變用字母表示：(ab)c=a(bc)乘法對加法的分配律：一個數(shù)與兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)同兩個數(shù)分別相乘再把積相加用字母表示：a(b+c)=ab+ac知識點04：有理數(shù)除法法則1.法則(一)(1)兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除.(2)0除以任何非0的數(shù)都得0.注意：0不能作除數(shù).2.法則二?(1)除以一個數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù).即：a÷b=a×1b

((2)運算步驟：先將除號變?yōu)槌颂?，將除?shù)變?yōu)槠涞箶?shù)，再運用有理數(shù)乘法法則進行計算.知識點05：有理數(shù)的乘除混合運算1.有理數(shù)的乘除混合運算順序按照從左到右的順序計算，有括號的，先計算括號里面的.2.有理數(shù)的乘除混合運算法則有理數(shù)乘除混合運算往往先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后按照多個有理數(shù)相乘的法則計算.考點1：有理數(shù)乘法【典型例題】A．2 B． C．0 D．【答案】A【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘法計算，根據(jù)有理數(shù)的乘法計算法則，分別計算出與四個選項中的數(shù)的乘積即可得到答案．四個算式的運算結(jié)果中，只有是負數(shù)，故選：A．【變式訓練1】下列式子中，積的符號為負的是（

）【答案】D【分析】本題考查有理數(shù)的乘法運算，根據(jù)有理數(shù)乘法的運算法則，積的符號由因數(shù)中負號的個數(shù)決定，奇負偶正，進行判斷即可．【詳解】解：A、有2個負號，積的符號為正，不符合題意；B、有4個負號，積的符號為正，不符合題意；C、積為0，不符合題意；D、有3個負號，積的符號為負，符合題意；故選D．【變式訓練2】A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查有理數(shù)的乘法，絕對值．根據(jù)絕對值的性質(zhì)及有理數(shù)乘法法則，先確定的符號，再求其絕對值．故選：A考點2：倒數(shù)【典型例題】若的倒數(shù)是，則的相反數(shù)是（）A．4 B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了倒數(shù)“乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)”、相反數(shù)“只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)”，熟記倒數(shù)和相反數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．先根據(jù)倒數(shù)的定義可得的值，再根據(jù)相反數(shù)的定義求解即可得．∴的相反數(shù)是4，故選：A．【變式訓練1】的倒數(shù)是（

）A． B．2 C．1 D．【答案】D【分析】本題考查倒數(shù)的概念．倒數(shù)是指乘積為1的兩個數(shù)，求一個數(shù)的倒數(shù)只需將其分子和分母交換位置，并保持符號不變．根據(jù)倒數(shù)的定義進行求解即可．【詳解】解：的倒數(shù)是，故選：D．【變式訓練2】下列各數(shù)，互為倒數(shù)的是（

）A．與1 B．與【答案】B【分析】本題考查了倒數(shù)的定義，乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)．分別計算各選項中兩數(shù)的乘積，判斷是否等于1即可．故選：B．考點3：有理數(shù)除法【典型例題】A．3 B． C． D．【答案】B故選：B．【變式訓練1】A． B．3 C． D．【答案】B【分析】本題考查有理數(shù)的除法運算，利用除法的運算法則進行計算即可．故選B．【變式訓練2】A．2023 B．2024 C．2025 D．2026【答案】C故選：C．考點4：有理數(shù)乘除混合運算【典型例題】A．10 B． C．5 D．【答案】C【分析】本題考查了有理數(shù)的乘除運算，先把除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后根據(jù)有理數(shù)的乘法法則計算即可．，故選∶C．【變式訓練1】【答案】C【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，根據(jù)有理數(shù)的運算法則判斷即可．熟練掌握有理數(shù)的運算法則是解題的關(guān)鍵．故選：C．【變式訓練2】有一間客廳，用面積是36平方分米的方磚鋪地，需要96塊．如果改用邊長是80厘米的方磚鋪地，需要（

）塊A．24 B．34 C．44 D．54【答案】D【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘除法計算的應(yīng)用，先求出房間的面積，再用房間的面積除以邊長為80厘米的方磚面積即可得到答案．所以需要54塊，故選：D．一、單選題1．2025的相反數(shù)的倒數(shù)是（）【答案】B【分析】本題考查相反數(shù)和倒數(shù)的概念，掌握相反數(shù)的和倒數(shù)的定義成為解題的關(guān)鍵．先確定2025的相反數(shù)，再求其倒數(shù)即可．故選B．A．4 B．15 C．56 D．60【答案】C因此，算出的結(jié)果與正確結(jié)果相差56，故選：C．A．1 B．0 C． D．【答案】A【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法法則，解題的關(guān)鍵是掌握“兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘”．根據(jù)有理數(shù)乘法法則，兩數(shù)相乘結(jié)果為負，當且僅當兩數(shù)符號不同．已知其中一個數(shù)為負數(shù)（），則另一個數(shù)需為正數(shù)．∴內(nèi)的數(shù)字為正數(shù)，故選：A．A．3或 B．3或 C．或1 D．3或或【答案】B故選：B．5．如圖，在所給形狀厚紙片上寫上數(shù)字，圍成一個幾何體后，相對兩個面上的數(shù)的商不可能是（

）A．1.2 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】本題考查長方體的展開圖，有理數(shù)的除法，掌握正方體展開圖是解題的關(guān)鍵．利用長方體的展開圖可以得1與3相對，2與4相對，5與6相對，然后求解判斷即可．【詳解】解：由展開圖可得1與3相對，2與4相對，5與6相對，∴相對兩個面上的數(shù)的商不可能是4．故選：D．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查了有理數(shù)的加減和有理數(shù)的大小比較．由數(shù)軸確定a，b的正負，a，b和絕對值間的關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)各點在數(shù)軸上的位置，運算法則以及絕對值的性質(zhì)求解即可．綜上分析可知，正確的有2個，故選：B．7．已知a，b兩數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點如圖所示，下列結(jié)論正確的是（

）【答案】C【分析】本題考查了有理數(shù)在數(shù)軸上的表示，有理數(shù)的加、減、乘、除等運算法則的理解，深刻理解有理數(shù)的運算法則是解題的關(guān)鍵；綜上分析可知：選項C正確，符合題意；故選：C.8．若，為有理數(shù)，它們在數(shù)軸上的位置如圖所示，以下計算正確的是（

）【答案】A故選A．二、填空題9．的倒數(shù)是．【答案】【分析】本題主要考查倒數(shù)的定義，熟練掌握倒數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，進行求解即可．∴的倒數(shù)是．故答案為：．【答案】7【分析】本題主要考查了新定義運算，有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是理解新定義運算法則．根據(jù)新定義運算法則進行逐步計算即可．【詳解】解：根據(jù)新定義運算法則可得，故答案為：7．【答案】0【分析】本題考查有理數(shù)的乘法運算，核心在于理解零乘以任何數(shù)的結(jié)果都是零.本題的關(guān)鍵點在于識別乘數(shù)中存在0，直接利用乘法中乘零的特性快速得出結(jié)果，無需計算具體數(shù)值的乘積.故答案為：0.12．一臺電視機原價是2500元，現(xiàn)按原價的8折出售，則購買10臺這樣的電視機需要元．【答案】20000【分析】本題考查有理數(shù)乘法的實際應(yīng)用，根據(jù)總價等于售價乘以銷量，列出算式進行計算即可．故答案為：2000013．某工人與老板簽訂了一份30天的勞務(wù)合同：出勤一天可得報酬240元，缺席一天則要從所得報酬中扣掉60元，扣完為止．該工人合同到期后沒有拿到報酬，那么他最多出勤天．【答案】6【分析】本題考查有理數(shù)除法的實際應(yīng)用，根據(jù)出勤一天可得報酬240元，缺席一天則要從所得報酬中扣掉60元，得到每5天出勤1天，即可滿足題意，用總天數(shù)除以5，進行求解即可．即：出勤1天，接下來缺勤4天，滿足題意，故答案為：6．【答案】【分析】本題考查了新定義及有理數(shù)的除法及減法運算，根據(jù)新定義列出式子，根據(jù)運算法則計算即可．故答案為：．【答案】120【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘除法的實際應(yīng)用，根據(jù)路程等于速度乘以時間求出甲、乙兩地的距離，再根據(jù)速度等于路程除以時間即可得到答案．故答案為：120．16．電影《哪吒2魔童鬧?！窡岵サ牡谝惶?，萬達影院3號廳326個座位坐滿了觀眾，這些觀眾中至少有人是同一個月出生的．【答案】28【分析】本題考查了抽屜原理：一年有12個月，把這12個月看做是12個抽屜，326人看作是326個元素，即可解答，理解題意是解題關(guān)鍵．【詳解】解：建立抽屜，把這12個月看做是12個抽屜，考慮最差情況：每個抽屜的人數(shù)盡量的平均：所以至少有28人是同一個月出生的．故答案為：28．三、解答題17．計算：【答案】(1)；(2)．【分析】本題考查了有理數(shù)的乘除混合運算，解題的關(guān)鍵是∶（1）先確定符號，除法轉(zhuǎn)乘法，再計算即可；（2）先確定符號，除法轉(zhuǎn)乘法，再計算即可．18．閱讀下面的解題過程并解答問題：（第三步）(1)上面解題過程從第______步開始出錯，錯誤的原因是______．(2)請寫出正確的解答過程．【答案】(1)二，運算順序不對(2)見解析【分析】本題考查的是有理數(shù)的乘除混合運算；（1）根據(jù)有理數(shù)的乘除混合運算的運算順序可得答案；（2）先計算括號內(nèi)的運算，再按照從左至右的順序進行計算即可.【詳解】（1）解：上面解題過程從第二步開始出錯，錯誤的原因是運算順序不對；19．檢修小組乘汽車在東西方向的高速公路上檢修線路，約定向東行駛為正，向西行駛為負．某天檢修小組自基地出發(fā)到收工時，所走的十段路程（單位：千米）記錄為：，，，，，，，，，(1)收工時檢修小組在基地的什么方向？距基地多遠？(2)若檢修車每千米所耗電費元，求收工處到返回基地共耗電費多少元？【答案】(1)收工時檢修小組在基地的東邊，距基地千米(2)元【分析】本題考查有理數(shù)的混合運算，正數(shù)和負數(shù)，數(shù)軸，結(jié)合已知條件列得正確的算式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)正數(shù)和負數(shù)的實際意義列式計算即可；（2）結(jié)合（1）中所求列式計算即可．即收工時檢修小組在基地的東邊，距基地千米；即收工處到返回基地共耗電費元．20．47中學初一學年體育課訓練排球項目，要求每人每次墊球下，如果某同學墊球下，記作：；如果某同學墊球下，記作：．下面是某組6名同學墊球數(shù)量：學生同學A同學B同學C同學D同學E同學F數(shù)量／個(1)從上面的記錄中，哪名同學墊球最多？墊球最多的同學，墊球多少下？(2)這一組的同學共墊球多少下？(3)這一組同學平均墊球多少下？【答案】(1)