_1.3圓冪定理與圓內接四邊形1．3.1圓冪定理[對應學生用書P25][讀教材·填要點]1．相交弦定理圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等．2．切割線定理從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項．3．圓冪定理已知⊙(O，r)，通過一定點P，作⊙O的任一條割線交圓于A，B兩點，則PA·PB為定值，設定值為k，則：(1)當點P在圓外時，k＝PO2－r2，(2)當點P在圓內時，k＝r2－OP2，(3)當點P在⊙O上時，k＝0.[小問題·大思維]1．從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積有什么關系？提示：相等．2．從圓外一點引圓的切線，則這一點、兩個切點及圓心四點是否共圓？若共圓，圓的直徑是什么？提示：四點共圓．且圓心為圓外一點與原圓心連線的中點，直徑為圓外一點到原圓心的距離．[對應學生用書P26]相交弦定理的應用[例1]如圖，AB、CD是半徑為a的圓O的兩條弦，它們相交于AB的中點P，PD＝eq\f(2,3)a，∠OAP＝30°，求CP的長．[思路點撥]本題考查相交弦定理及垂徑定理、勾股定理的綜合應用．解決本題需要先在Rt△OAP中，求得AP的長，然后利用相交弦定理求解．[精解詳析]∵P為AB的中點，∴由垂徑定理得OP⊥AB.在Rt△OAP中，BP＝AP＝acos30°＝eq\f(\r(3),2)a.由相交弦定理，得BP·AP＝CP·DP，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a))2＝CP·eq\f(2,3)a，解之得CP＝eq\f(9,8)a.在實際應用中，若圓中有兩條相交弦，要想到利用相交弦定理．特別地，如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項．1．如圖，已知AB和AC是圓的兩條弦，過點B作圓的切線與AC的延長線相交于點D.過點C作BD的平行線與圓相交于點E，與AB相交于點F，AF＝3，F(xiàn)B＝1，EF＝eq\f(3,2)，則線段CD的長為________．解析：因為AF＝3，EF＝eq\f(3,2)，F(xiàn)B＝1，所以CF＝eq\f(AF·FB,EF)＝eq\f(3×1,\f(3,2))＝2，因為EC∥BD，所以△ACF∽△ADB，所以eq\f(AF,AB)＝eq\f(CF,BD)＝eq\f(AC,AD)＝eq\f(AD－CD,AD)＝eq\f(3,4)，所以BD＝eq\f(CF·AB,AF)＝eq\f(2×4,3)＝eq\f(8,3)，且AD＝4CD，又因為BD是圓的切線，所以BD2＝CD·AD＝4CD2，所以CD＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)切割線定理的應用[例2]自圓O外一點P引圓的一條切線PA，切點為A，M為PA的中點，過點M引圓的割線交圓于B，C兩點，且∠BMP＝100°，∠BPC＝40°.求∠MPB的大小．[思路點撥]本題考查切割線定理，由定理得出△BMP∽△PMC而后轉化角相等進行求解．[精解詳析]因為MA為圓O的切線，所以MA2＝MB·MC.又M為PA的中點，所以MP2＝MB·MC.因為∠BMP＝∠PMC，所以△BMP∽△PMC，于是∠MPB＝∠MCP.在△MCP中，由∠MPB＋∠MCP＋∠BPC＋∠BMP＝180°，得∠MPB＝20°.相交弦定理、切割線定理涉及與圓有關的比例線段問題，利用相交弦定理能做到知三求一，利用切割線定理能做到知二求一．2.(北京高考)如圖，AB為圓O的直徑，PA為圓O的切線，PB與圓O相交于D.若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，則PD＝________；AB＝________.解析：設PD＝9t，DB＝16t，則PB＝25t，根據切割線定理得32＝9t×25t，解得t＝eq\f(1,5)，所以PD＝eq\f(9,5)，PB＝5.在直角三角形APB中，根據勾股定理得AB＝4.答案：eq\f(9,5)4三個定理的綜合應用[例3]如圖所示，已知PA與⊙O相切，A為切點，PBC為割線，弦CD∥AP，AD、BC相交于E點，F(xiàn)為CE上一點，且DE2＝EF·EC.(1)求證：∠P＝∠EDF；(2)求證：CE·EB＝EF·EP；(3)若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求PA的長．[思路點撥]本題考查切割線定理、相交弦定理．以及相似三角形的判定與性質的綜合應用．解答本題需要分清各個定理的適用條件，并會合理利用．[精解詳析](1)證明：∵DE2＝EF·EC，∴DE∶CE＝EF∶ED.∵∠DEF是公共角，∴△DEF∽△CED.∴∠EDF＝∠C.∵CD∥AP，∴∠C＝∠P.∴∠P＝∠EDF.(2)證明：∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，∴△DEF∽△PEA.∴DE∶PE＝EF∶EA.即EF·EP＝DE·EA.∵弦AD、BC相交于點E，∴DE·EA＝CE·EB.∴CE·EB＝EF·EP.(3)∵DE2＝EF·EC，DE＝6，EF＝4，∴EC＝9.∵CE∶BE＝3∶2，∴BE＝6.∵CE·EB＝EF·EP，∴9×6＝4×EP.解得：EP＝eq\f(27,2).∴PB＝PE－BE＝eq\f(15,2)，PC＝PE＋EC＝eq\f(45,2).由切割線定理得：PA2＝PB·PC，∴PA2＝eq\f(15,2)×eq\f(45,2).∴PA＝eq\f(15,2)eq\r(3).相交弦定理、切割線定理是最重要的定理，在與圓有關的問題中經常用到，這是因為這三個定理可得到的線段的比例或線段的長，而圓周角定理、弦切角定理得到的是角的關系，這兩者的結合，往往能綜合討論與圓有關的相似三角形問題．因此，在實際應用中，見到圓的兩條相交弦要想到相交弦定理；見到切線和割線要想到切割線定理．3．如圖所示，過點P的直線與⊙O相交于A，B兩點．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，則⊙O的半徑等于________．解析：設⊙O的半徑為r(r>0)，∵PA＝1，AB＝2，∴PB＝PA＋AB＝3.延長PO交⊙O于點C，則PC＝PO＋r＝3＋r.設PO交⊙O于點D，則PD＝3－r.由圓的割線定理知，PA·PB＝PD·PC，∴1×3＝(3－r)(3＋r)，∴9－r2＝3，∴r＝eq\r(6).答案：eq\r(6)[對應學生用書P27]一、選擇題1.如右圖，⊙O的直徑CD與弦AB交于P點，若AP＝4，BP＝6，CP＝3，則⊙O半徑為()A．5.5 B．5C．6 D．6.5解析：由相交弦定理知AP·PB＝CP·PD，∵AP＝4，BP＝6，CP＝3，∴PD＝eq\f(AP·BP,CP)＝eq\f(4×6,3)＝8.∴CD＝3＋8＝11，∴⊙O的半徑為5.5.答案：A2．如圖，P是圓O外一點，過P引圓O的兩條割線PB，PD，PA＝AB＝eq\r(5)，CD＝3，則PC等于()A．2或－5 B．2C．3 D．10解析：設PC＝x，由割線定理知PA·PB＝PC·PD.即eq\r(5)×2eq\r(5)＝x(x＋3)，解得x＝2或x＝－5(舍去)．故選B.答案：B3.如圖，AD、AE和BC分別切⊙O于D，E，F(xiàn)，如果AD＝20，則△ABC的周長為()A．20 B．30C．40 D．35解析：∵AD，AE，BC分別為圓O的切線．∴AE＝AD＝20，BF＝BD，CF＝CE.∴△ABC的周長為AB＋AC＋BC＝AB＋AC＋BF＋CF＝(AB＋BD)＋(AC＋CE)＝AD＋AE＝40.答案：C4．如圖，△ABC中，∠C＝90°，⊙O的直徑CE在BC上，且與AB相切于D點，若CO∶OB＝1∶3，AD＝2，則BE等于()A.eq\r(3) B．2eq\r(2)C．2 D．1解析：連接OD，則OD⊥BD，∴Rt△BOD∽Rt△BAC.∴eq\f(OD,AC)＝eq\f(BD,BC).設⊙O的半徑為a，∵OC∶OB＝1∶3，OE＝OC，∴BE＝EC＝2a.由題知AD、AC均為⊙O的切線，AD＝2，∴AC＝2.∴eq\f(a,2)＝eq\f(BD,4a)，∴BD＝2a2.又BD2＝BE·BC，∴BD2＝2a·4a＝8a2.∴4a4＝8a2，∴a＝eq\r(2).∴BE＝2a＝2eq\r(2).答案：B二、填空題5．(重慶高考)過圓外一點P作圓的切線PA(A為切點)，再作割線PBC分別交圓于B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，則AB＝________.解析：如圖所示，由切割線定理得PA2＝PB·PC＝PB·(PB＋BC)，即62＝PB·(PB＋9)，解得PB＝3(負值舍去)．由弦切角定理知∠PAB＝∠PCA，又∠APB＝∠CPA，故△APB∽△CPA，則eq\f(AB,CA)＝eq\f(AP,CP)，即eq\f(AB,8)＝eq\f(6,3＋9)，解得AB＝4.答案：46．如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F，E是AB延長線上一點，且DF＝CF＝eq\r(2)，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE與圓相切，則線段CE的長為____________．解析：設BE＝x，則FB＝2x，AF＝4x，由相交弦定理得DF·FC＝AF·FB，即2＝8x2，解得x＝eq\f(1,2)，EA＝eq\f(7,2)，再由切割線定理得CE2＝EB·EA＝eq\f(1,2)×eq\f(7,2)＝eq\f(7,4)，所以CE＝eq\f(\r(7),2).答案：eq\f(\r(7),2)解析：由切割線定理知，AB·AC＝AD·AE.即4×6＝3×(3＋DE)，解得DE＝5.∵BD⊥AE，且E、D、B、C四點共圓，∴∠C＝90°.在直角三角形ACE中，AC＝6，AE＝8，∴CE＝eq\r(64－36)＝2eq\r(7).答案：52eq\r(7)8．(重慶高考)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝20，過C作△ABC的外接圓的切線CD，BD⊥CD，BD與外接圓交于點E，則DE的長為________．解析：由題意得BC＝AB·sin60°＝10eq\r(3).由弦切角定理知∠BCD＝∠A＝60°，所以CD＝5eq\r(3)，BD＝15，由切割線定理知，CD2＝DE·BD，則DE＝5.答案：5三、解答題9．如圖，PT切⊙O于T，PAB，PDC是圓O的兩條割線，PA＝3，PD＝4，PT＝6，AD＝2，求弦CD的長和弦BC的長．解：由已知可得PT2＝PA·PB，且PT＝6，PA＝3，∴PB＝12.同理可得PC＝9，∴CD＝5.∵PD·PC＝PA·PB，∴eq\f(PD,PB)＝eq\f(PA,PC)，∴△PDA∽△PBC，∴eq\f(AD,BC)＝eq\f(PD,PB)?eq\f(4,12)＝eq\f(2,BC)，∴BC＝6.10．如圖，⊙O的半徑OB垂直于直徑AC，M為AO上一點，BM的延長線交⊙O于N，過N點的切線交CA的延長線于P.(1)求證：PM2＝PA·PC；(2)若⊙O的半徑為2eq\r(3)，OA＝eq\r(3)OM，求MN的長．解：(1)證明：連接ON，則ON⊥PN，且△OBN為等腰三角形，則∠OBN＝∠ONB，∵∠PMN＝∠OMB＝90°－∠OBN，∠PNM＝90°－∠ONB，∴∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN.由條件，根據切割線定理，有PN2＝PA·PC，所以PM2＝PA·PC.(2)依題意得OM＝2，在Rt△BOM中，BM＝eq\r(OB2＋OM2)＝4.延長BO交⊙O于點D，連接DN.由條件易知△BOM∽△BND，于是eq\f(BO,BN)＝eq\f(BM,BD)，即eq\f(2\r(3),BN)＝eq\f(4,4\r(3))，得BN＝6.所以MN＝BN－BM＝6－4＝2.11．如下圖，已知⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點，過點A作⊙O1的切線，交⊙O2于點C，過點B作兩圓的割線分別交⊙O1，⊙O2于點D、E，DE與AC相交于點P.(1)求證：PA·PE＝PC·PD；(2)當AD與⊙O2相切，且PA＝6，PC