三角形幾何性質(zhì)與向量融合練習(xí)題引言向量是連接代數(shù)與幾何的“橋梁”，其線性運(yùn)算、數(shù)量積及模長性質(zhì)可將三角形的幾何關(guān)系（如邊長、夾角、特殊點(diǎn)）轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，為解決三角形問題提供了簡潔、通用的方法。本文通過基礎(chǔ)概念回顧、題型分類練習(xí)、綜合應(yīng)用提升三個(gè)模塊，系統(tǒng)梳理三角形與向量的融合點(diǎn)，幫助讀者掌握向量法解決三角形問題的核心邏輯與技巧。一、基礎(chǔ)概念回顧：三角形中的向量核心結(jié)論在三角形\(\triangleABC\)中，設(shè)向量\(\overrightarrow{AB}=\mathbf{a}\)，\(\overrightarrow{AC}=\mathbf\)，\(a,b,c\)分別為\(BC,AC,AB\)的邊長（即\(a=|\overrightarrow{BC}|\)，\(b=|\overrightarrow{AC}|\)，\(c=|\overrightarrow{AB}|\)），則以下結(jié)論是向量法的基礎(chǔ)：1.向量線性表示邊的向量關(guān)系：\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\mathbf-\mathbf{a}\)；中線向量：若\(D\)為\(BC\)中點(diǎn)，則\(\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{2}(\mathbf{a}+\mathbf)\)；角平分線向量：若\(E\)為\(\angleBAC\)的角平分線與\(BC\)的交點(diǎn)，則\(\overrightarrow{AE}=\frac{b+c}\overrightarrow{AB}+\frac{c}{b+c}\overrightarrow{AC}\)（角平分線定理的向量形式）。2.特殊點(diǎn)的向量特征重心\(G\)：三條中線的交點(diǎn)，滿足\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\mathbf{0}\)；若\(A,B,C\)的坐標(biāo)為\(\mathbf{a},\mathbf,\mathbf{c}\)，則\(G=\frac{1}{3}(\mathbf{a}+\mathbf+\mathbf{c})\)。垂心\(H\)：三條高的交點(diǎn)，滿足\(\overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{HB}=\overrightarrow{HB}\cdot\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HC}\cdot\overrightarrow{HA}\)（向量垂直條件）。外心\(O\)：外接圓的圓心，滿足\(|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|\)（模長相等）。內(nèi)心\(I\)：內(nèi)切圓的圓心，滿足\(a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\mathbf{0}\)（\(a,b,c\)為邊長）。3.數(shù)量積與三角形邊角關(guān)系余弦定理：\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cosA=bc\cosA\)；面積公式：\(S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|\)（叉乘模長的一半，適用于坐標(biāo)向量）；垂直條件：\(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}\)等價(jià)于\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)。二、題型分類練習(xí)：循序漸進(jìn)提升能力（一）題型1：向量線性表示與幾何量計(jì)算核心目標(biāo)：用已知向量表示未知向量，并通過模長、數(shù)量積計(jì)算幾何量（如長度、夾角）。例題1在\(\triangleABC\)中，\(D\)為\(BC\)中點(diǎn)，\(E\)為\(AD\)中點(diǎn)，用\(\overrightarrow{AB}\)、\(\overrightarrow{AC}\)表示\(\overrightarrow{BE}\)，并求\(\overrightarrow{BE}\)與\(\overrightarrow{BC}\)的夾角余弦值（已知\(AB=2\)，\(AC=3\)，\(\angleBAC=60^\circ\)）。解答1.向量表示：\(D\)為\(BC\)中點(diǎn)，故\(\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\)；\(E\)為\(AD\)中點(diǎn)，故\(\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\)；\(\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})-\overrightarrow{AB}=-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}\)。2.夾角計(jì)算：\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\)；計(jì)算數(shù)量積：\(\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{BC}=\left(-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}\right)\cdot(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})\)\(=-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+\frac{3}{4}|\overrightarrow{AB}|^2+\frac{1}{4}|\overrightarrow{AC}|^2-\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\)\(=\frac{3}{4}|\overrightarrow{AB}|^2+\frac{1}{4}|\overrightarrow{AC}|^2-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\)；代入數(shù)值：\(|\overrightarrow{AB}|^2=4\)，\(|\overrightarrow{AC}|^2=9\)，\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\times3\times\cos60^\circ=3\)，得\(\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{BC}=\frac{3}{4}\times4+\frac{1}{4}\times9-3=3+\frac{9}{4}-3=\frac{9}{4}\)；計(jì)算模長：\(|\overrightarrow{BE}|=\sqrt{\left(-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}\right)^2}=\frac{1}{4}\sqrt{9|\overrightarrow{AB}|^2+|\overrightarrow{AC}|^2-6\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}=\frac{1}{4}\sqrt{36+9-18}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)；\(|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{|\overrightarrow{AC}|^2+|\overrightarrow{AB}|^2-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}=\sqrt{9+4-6}=\sqrt{7}\)；夾角余弦值：\(\cos\theta=\frac{\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BE}||\overrightarrow{BC}|}=\frac{\frac{9}{4}}{\frac{3\sqrt{3}}{4}\times\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}\)。練習(xí)1在\(\triangleABC\)中，\(F\)為\(AC\)上一點(diǎn)，\(AF=2FC\)，\(G\)為\(BF\)中點(diǎn)，用\(\overrightarrow{AB}\)、\(\overrightarrow{BC}\)表示\(\overrightarrow{AG}\)，并求\(AG\)長度（已知\(AB=1\)，\(BC=2\)，\(\angleABC=120^\circ\)）。答案提示：\(\overrightarrow{AG}=\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\)，\(AG=\frac{\sqrt{61}}{6}\)（推導(dǎo)見附錄）。（二）題型2：數(shù)量積與三角形邊角關(guān)系核心目標(biāo)：通過數(shù)量積求三角形的邊角（如夾角、邊長、面積）。例題2在\(\triangleABC\)中，已知\(|\overrightarrow{AB}|=3\)，\(|\overrightarrow{AC}|=4\)，\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=1\)，求\(BC\)邊長及\(\triangleABC\)面積。解答1.向量轉(zhuǎn)化：\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\)，故\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}-|\overrightarrow{AB}|^2=1\)；2.計(jì)算數(shù)量積：\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=1+|\overrightarrow{AB}|^2=1+9=10\)；3.求\(BC\)邊長：\(|\overrightarrow{BC}|^2=|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}|^2=|\overrightarrow{AC}|^2+|\overrightarrow{AB}|^2-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=16+9-20=5\)，故\(BC=\sqrt{5}\)；4.求面積：\(\cosA=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}\)，故\(\sinA=\sqrt{1-(\frac{5}{6})^2}=\frac{\sqrt{11}}{6}\)，\(S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\sinA=\frac{1}{2}\times3\times4\times\frac{\sqrt{11}}{6}=\sqrt{11}\)。練習(xí)2在\(\triangleABC\)中，\(|\overrightarrow{AB}|=2\)，\(|\overrightarrow{BC}|=3\)，\(\angleABC=60^\circ\)，求\(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}\)的值及\(\triangleABC\)面積。答案：\(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=5\)，面積\(=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)。（三）題型3：特殊點(diǎn)的向量應(yīng)用核心目標(biāo)：利用重心、垂心等特殊點(diǎn)的向量特征解決問題。例題3在\(\triangleABC\)中，\(G\)為重心，已知\(\overrightarrow{AB}=\mathbf{a}\)，\(\overrightarrow{AC}=\mathbf\)，求\(\overrightarrow{AG}\)，并證明\(AG=\frac{2}{3}AD\)（\(D\)為\(BC\)中點(diǎn)）。解答1.求\(\overrightarrow{AG}\)：\(D\)為\(BC\)中點(diǎn)，故\(\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\mathbf{a}+\mathbf)\)；重心\(G\)分中線\(AD\)為\(AG:GD=2:1\)，故\(\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}(\mathbf{a}+\mathbf)\)。2.證明\(AG=\frac{2}{3}AD\)：由重心性質(zhì)\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\mathbf{0}\)，得\(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\)；又\(\overrightarrow{GB}=\mathbf{a}-\overrightarrow{AG}\)，\(\overrightarrow{GC}=\mathbf-\overrightarrow{AG}\)，代入得\(\overrightarrow{AG}=(\mathbf{a}-\overrightarrow{AG})+(\mathbf-\overrightarrow{AG})\)；整理得\(3\overrightarrow{AG}=\mathbf{a}+\mathbf\)，即\(\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\mathbf{a}+\mathbf)\)，而\(\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\mathbf{a}+\mathbf)\)，故\(AG=\frac{2}{3}AD\)。練習(xí)3在\(\triangleABC\)中，\(H\)為垂心，已知\(A(0,0)\)，\(B(2,0)\)，\(C(1,\sqrt{3})\)，求\(H\)點(diǎn)坐標(biāo)。答案：\(H(1,\frac{\sqrt{3}}{3})\)（提示：等邊三角形的垂心與重心重合）。（四）題型4：向量法證明幾何結(jié)論核心目標(biāo)：用向量運(yùn)算證明三角形的幾何性質(zhì)（如三線共點(diǎn)、中位線定理）。例題4用向量法證明三角形的三條高交于一點(diǎn)（垂心）。證明設(shè)\(\triangleABC\)中，\(AD\perpBC\)于\(D\)，\(BE\perpAC\)于\(E\)，\(AD\)與\(BE\)交于\(H\)，需證\(CH\perpAB\)。1.設(shè)\(H\)為原點(diǎn)，即\(\overrightarrow{HA}=\mathbf{a}\)，\(\overrightarrow{HB}=\mathbf\)，\(\overrightarrow{HC}=\mathbf{c}\)；2.\(AD\perpBC\)等價(jià)于\(\overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{BC}=0\)，即\(\mathbf{a}\cdot(\mathbf{c}-\mathbf)=0\)，得\(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}=\mathbf{a}\cdot\mathbf\)；3.\(BE\perpAC\)等價(jià)于\(\overrightarrow{HB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)，即\(\mathbf\cdot(\mathbf{a}-\mathbf{c})=0\)，得\(\mathbf\cdot\mathbf{a}=\mathbf\cdot\mathbf{c}\)；4.由上述兩式得\(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}=\mathbf\cdot\mathbf{c}\)，即\((\mathbf{a}-\mathbf)\cdot\mathbf{c}=0\)，故\(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{HC}=0\)，即\(CH\perpAB\)；5.因此，三條高交于\(H\)，即垂心存在。練習(xí)4用向量法證明三角形的中位線平行于第三邊且長度為第三邊的一半。提示：設(shè)\(D,E\)分別為\(AB,AC\)中點(diǎn)，則\(\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\)（推導(dǎo)見附錄）。三、綜合應(yīng)用提升：多性質(zhì)融合問題核心目標(biāo)：結(jié)合向量運(yùn)算與三角形性質(zhì)，解決復(fù)雜問題（如最值、軌跡）。例題5在\(\triangleABC\)中，\(AB=AC=2\)，\(\angleBAC=120^\circ\)，\(P\)為\(BC\)邊上的動(dòng)點(diǎn)，求\(\overrightarrow{PA}\cdot(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC})\)的最小值。解答1.技巧轉(zhuǎn)化：\(P\)在\(BC\)上，故\(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{PD}\)（\(D\)為\(BC\)中點(diǎn)，向量平行四邊形法則）；2.因此，\(\overrightarrow{PA}\cdot(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC})=2\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PD}\)；3.建立坐標(biāo)系：設(shè)\(A(0,0)\)，\(B(2,0)\)，\(C(-1,\sqrt{3})\)，則\(D(0.5,\frac{\sqrt{3}}{2})\)；4.設(shè)\(P(x,y)\)在\(BC\)上，滿足\(y=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-2)\)，則\(\overrightarrow{PA}=(-x,-y)\)，\(\overrightarrow{PD}=(0.5-x,\frac{\sqrt{3}}{2}-y)\)；5.計(jì)算數(shù)量積：\(\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PD}=-x(0.5-x)-y(\frac{\sqrt{3}}{2}-y)=x^2-0.5x+y^2-\frac{\sqrt{3}}{2}y\)；6.代入\(y=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-2)\)，化簡得\(\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PD}=\frac{(2x-1)^2}{3}\)（推導(dǎo)見附錄）；7.故\(\overrightarrow{PA}\cdot(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC})=2\times\frac{(2x-1)^2}{3}\geq0\)，當(dāng)且僅當(dāng)\(x=0.5\)（即\(P=D\)）時(shí)取最小值\(0\)。練習(xí)5在\(\triangleABC\)中，\(AB=1\)，\(AC=2\)，\(\angleBAC=60^\circ\)，\(Q\)為\(\triangleABC\)內(nèi)一點(diǎn)，求\(\overrightarrow{QA}\cdot(\overrightarrow{QB}+\overrightarrow{QC})\)的最小值。答案提示：\(-\frac{3}{4}\)（利用中點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值）。四、解題思路總結(jié)：向量法解決三角形問題的核心步驟1.坐標(biāo)系建立：優(yōu)先選擇頂點(diǎn)為原點(diǎn)、邊為坐標(biāo)軸的坐標(biāo)系（如\(A(0,0)\)，\(AB\)在\(x\)軸上），簡化坐標(biāo)計(jì)算。2.向量表示：用向量表示頂點(diǎn)、邊、特殊點(diǎn)（如\(\overrightarrow{AB}=(c,0)\)，\(\overrightarrow{AC}=(b\cosA,b\sinA)\)）。3.運(yùn)算轉(zhuǎn)化：將幾何條件（如垂直、中點(diǎn)）轉(zhuǎn)化為向量等式（如\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)，\(\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\)）。4.性質(zhì)結(jié)合：利用三角形的邊角關(guān)系（余弦定理、面積公式）或特殊點(diǎn)性質(zhì)（重心分中線比）簡化運(yùn)算。5.結(jié)果驗(yàn)證：將代數(shù)結(jié)果還原為幾何意義（如模長對應(yīng)長度、數(shù)量積對應(yīng)夾角），確保符合三角形實(shí)際情況。附錄：練習(xí)答案與提示練習(xí)1解答1.向量表示：\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)；\(AF=2FC\)，故\(\overrightarrow{AF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})\)；\(\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AB}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}\)；\(G\)為\(BF\)中點(diǎn)，故\(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BF}=\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\)。2.長度計(jì)算：\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=1\times2\times\cos60^\cir