專題24概率考點01列舉法求概率1．（2025·湖北·中考真題）在下列事件中，不可能事件是（

）A．投擲一枚硬幣，正面向上 B．從只有紅球的袋子中摸出黃球C．任意畫一個圓，它是軸對稱圖形 D．射擊運動員射擊一次，命中靶心【答案】B【分析】本題考查的是事件的分類以及不可能事件的含義，根據(jù)不可能事件的定義，即在一定條件下必然不會發(fā)生的事件，對各選項逐一分析.【詳解】解：選項A：投擲硬幣可能出現(xiàn)正面或反面，是隨機事件，不合題意；選項B：袋子中僅有紅球，無黃球，因此摸出黃球不可能發(fā)生，屬于不可能事件，符合題意；選項C：圓無論大小或位置，始終是軸對稱圖形，屬于必然事件，不合題意；選項D：射擊可能命中或脫靶，是隨機事件，不合題意；綜上，只有選項B符合不可能事件的定義，故選：B．2．（2025·北京·中考真題）一個不透明的袋子中僅有3個紅球、2個黃球和1個白球，這些球除顏色外無其他差別．從袋子中隨機摸出一個球，摸出的球是白球的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查概率公式，解題的關(guān)鍵是掌握隨機事件的概率=事件可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．【詳解】解：∵袋子中僅有3個紅球、2個黃球和1個白球，從袋子中隨機摸出一個球，∴摸出的球是白球的概率是．故選：A．3．（2025·上海·中考真題）小明與小杰在玩卡牌游戲，已知小明手里有1，2，3，4四張牌，小杰手里有2，4，6，8四張牌，小明從小杰手里抽出一張牌，如果抽到小杰手中四張卡牌中的任意一張概率都相等，那么小明抽出的這張卡牌中，和自己手中某一張卡牌的數(shù)字一樣的概率為．【答案】【分析】本題主要考查了簡單的概率計算，直接用小杰手中卡牌上的數(shù)字與小明手中卡牌上的數(shù)字相同的卡牌數(shù)除以小杰的卡牌總數(shù)即可得到答案．【詳解】解：∵小杰一共有4種卡牌，其中有2張卡牌上的數(shù)字與小明手中卡片的數(shù)字相同，∴小明抽出的這張卡牌中，和自己手中某一張卡牌的數(shù)字一樣的概率為，故答案為：．4．（2025·貴州·中考真題）一個不透明的袋子中裝有2個紅球和3個黃球，每個球除顏色外都相同，任意摸出一個球，摸到紅球的概率是．【答案】/【分析】此題考查概率的求法：如果一個事件有種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件出現(xiàn)種可能，那么事件的概率．由紅球的個數(shù)及球的總數(shù)，根據(jù)概率的計算公式即可．【詳解】解：∵一個不透明的袋子中裝有2個紅球和3個黃球，每個球除顏色外都相同，∴任意摸出一個球，摸到紅球的概率是，故答案為：．5．（2024·四川攀枝花·中考真題）班級里有位女同學(xué)和位男同學(xué)，每位同學(xué)的名字都被分別寫在一張小紙條上，放入一個盒中攪勻，如果班長已經(jīng)抽出了6張紙條，其中寫有2位女同學(xué)和4位男同學(xué)的名字，他把這6張紙條放在桌上，閉上眼睛在盒中余下的紙條中再抽第7張，那么這張紙條上寫的是男同學(xué)的名字的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了概率公式，計算剩余紙條中男同學(xué)名字的概率，需先確定剩余男同學(xué)和總剩余紙條的數(shù)量，據(jù)此進行列式計算，即可作答．【詳解】解：總?cè)藬?shù)與剩余紙條數(shù)：班級共有女同學(xué)人，男同學(xué)人，總?cè)藬?shù)為（人），班長已抽出6張紙條，剩余紙條數(shù)為張．∵已抽出的6張中有2位女同學(xué)和4位男同學(xué)，因此剩余女同學(xué)為（人），剩余男同學(xué)為（人）．∴第7張紙條從剩余張中隨機抽取，抽到男同學(xué)的概率為剩余男同學(xué)人數(shù)與剩余總?cè)藬?shù)的比值，即．故選：D．6．（2024·江蘇南京·中考真題）甲袋子中有2個紅球、1個白球；乙袋子中有1個紅球、1個白球．這些球除顏色外無其他差別．先從甲袋子中隨機摸出1個球放入乙袋子，搖勻后，再從乙袋子中隨機摸出1個球．(1)從甲袋子中摸出的球是白球的概率是____________；(2)從兩個袋子中摸出的球都是紅球的概率是多少？【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了列表法與樹狀圖法求概率以及根據(jù)概率公式求概率．（1）由題意知，共有3種等可能的結(jié)果，其中從甲袋子中摸出的球是白球的結(jié)果有1種，利用概率公式可得答案．（2）畫樹狀圖可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及從兩個袋子中摸出的球都是紅球的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【詳解】（1）解：解：由題意知，共有3種等可能的結(jié)果，其中從甲袋子中摸出的球是白球的結(jié)果有1種，∴從甲袋子中摸出的球是白球的概率是．故答案為：．（2）（2）畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結(jié)果，其中從兩個袋子中摸出的球都是紅球的結(jié)果有4種，∴從兩個袋子中摸出的球都是紅球的概率為．7．（2024·青海西寧·中考真題）在一個不透明的袋中裝有5個相同的小球，分別寫有，，，，，隨機摸出一個小球，上面的二次根式是最簡二次根式的概率是．【答案】/0.4【分析】此題考查了簡單概率的計算．熟練掌握概率的意義和計算方法是解題的關(guān)鍵．概率是隨機事件發(fā)生可能性大小的數(shù)值，計算方法是在n次等可能結(jié)果的一次試驗中事件A包含其中的m種結(jié)果，A事件發(fā)生的概率為．在5個二次根式中，，是最簡二次根式，再由概率公式求解即可．【詳解】解：在，，，，這5個二次根式中，，是最簡二次根式，有2個，∴隨機摸出一個小球，上面的二次根式是最簡二次根式的概率是，故答案為：．8．（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，將一枚飛鏢任意投擲到正方形鏢盤內(nèi)，若飛錘落在鏢盤內(nèi)各點的機會相等，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查幾何概率的知識，求出小正方形的面積是關(guān)鍵．設(shè)，則圓的直徑為，求出小正方形的面積，即可求出幾何概率．【詳解】解：如圖：連接，，設(shè)，則圓的直徑為，∵四邊形是正方形，∴，∴小正方形的面積為：，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為：．故選：C．9．（2024·山東濟南·中考真題）如圖是一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤被等分成四個扇形，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時，指針落在紅色區(qū)域的概率為．【答案】【分析】根據(jù)簡單地概率公式計算即可．本題考查了簡單地概率公式計算，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意，一共有4種等可能性，其中紅色的等可能性只有1種，故當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時，指針落在紅色區(qū)域的概率為．故答案為：．10．（2024·湖北·中考真題）在下列事件中，必然事件是（

）A．?dāng)S一次骰子，向上一面的點數(shù)是3B．籃球隊員在罰球線上投籃一次，未投中C．經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到紅燈D．任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是180°【答案】D【分析】本題考查的是隨機事件，熟知在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機事件是解題的關(guān)鍵．根據(jù)必然事件、隨機事件的意義進行判斷即可．【詳解】解：A．?dāng)S一次骰子，向上一面的點數(shù)是3，是隨機事件，不符合題意；B．籃球隊員在罰球線上投籃一次，未投中，是隨機事件，不符合題意；C．經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到紅燈，是隨機事件，不符合題意；D．任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是，是必然事件，符合題意．故選：D．11．（2024·四川雅安·中考真題）將，，，0，，這6個數(shù)分別寫在6張同樣的卡片上，從中隨機抽取1張，卡片上的數(shù)為有理數(shù)的概率是．【答案】【分析】本題考查概率的求法與運用，有理數(shù)與無理數(shù)的識別，一般方法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=．先根據(jù)無理數(shù)的定義得到取到有理數(shù)的有，，0，3.14這4種結(jié)果，再根據(jù)概率公式即可求解．【詳解】解：將，，，0，，3.14這6個數(shù)分別寫在6張相同的卡片上，字面朝下隨意放在桌上，任取一張，有6種等可能結(jié)果，其中取到有理數(shù)的有，，0，3.14這4種結(jié)果，所以取到有理數(shù)的概率為，故答案為：．12．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）為發(fā)展學(xué)生的閱讀素養(yǎng)，某校開設(shè)了《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》四個整本書閱讀項目，甲、乙兩名同學(xué)都通過抽簽的方式從這四個閱讀項目中隨機抽取一個．則他們恰好抽到同一個閱讀項目的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查概率的計算，掌握畫樹狀圖法或列表法是關(guān)鍵，事件發(fā)生的概率事件發(fā)生的次數(shù)所有可能出現(xiàn)的次數(shù)，解題的易錯點是分清題目中抽簽是否放回．先畫樹狀圖求出兩位同學(xué)恰好都抽到同一個閱讀項目的情況，再根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】解：設(shè)《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》四個整本書閱讀項目分別為，畫樹狀圖如下：一共有16種等可能的結(jié)果，其中恰好抽到同一個閱讀項目的結(jié)果有4種可能，∴他們恰好抽到同一個閱讀項目的概率是，故選：D．13．（2025·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）假定鳥卵孵化后，雛鳥為雌鳥與雄鳥的概率相同．如果2枚鳥卵全部成功孵化，那么2只雛鳥都是雄鳥的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了列舉法求概率；設(shè)2枚鳥卵全部成功孵化為A、B兩只雛鳥，列舉出所有可能的結(jié)果數(shù)，2只雛鳥都是雄鳥的結(jié)果數(shù)，利用概率公式即可計算．【詳解】解：設(shè)2枚鳥卵全部成功孵化為A、B兩只雛鳥，所有可能的結(jié)果為：AB兩只雛鳥都是雄鳥，兩只雛鳥都是雌鳥，A雛鳥是雄鳥B雛鳥是雌鳥，A雛鳥是雌鳥B雛鳥是雄鳥，共有4種等可能結(jié)果，其中2只雛鳥都是雄鳥有一種結(jié)果，則2只雛鳥都是雄鳥的概率為；故選：D．14．（2024·山東濰坊·中考真題）小瑩在做手抄報時，用到了紅色、黃色、藍色三支彩筆，這三支彩筆的筆帽和筆芯顏色分別一致．完成手抄報后，她隨機地將三個筆帽分別蓋在三支彩筆上，每個筆帽和筆芯的顏色都不匹配的概率是．【答案】【分析】本題考查了用列舉法求概率，列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，再找出每個筆帽和筆芯的顏色都不匹配的結(jié)果，利用概率公式計算即可求解，正確列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可得，共有種結(jié)果：紅紅，黃黃，藍藍；紅紅，藍黃，黃藍；黃紅，紅黃，藍藍；黃紅，藍黃，紅藍；藍紅，紅黃，黃藍；藍紅，黃黃，紅藍；其中每個筆帽和筆芯的顏色都不匹配的有種結(jié)果，∴每個筆帽和筆芯的顏色都不匹配的概率是，故答案為：．15．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）從1，2，3這三個數(shù)中隨機抽取兩個不同的數(shù)，分別記作和．若點的坐標(biāo)記作，則點在雙曲線上的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出點的坐標(biāo)的所有情況的個數(shù)，然后求出其中在雙曲線上的坐標(biāo)的個數(shù)，根據(jù)隨機事件概率的計算方法，即可得到答案．【詳解】解：從1，2，3這三個數(shù)中隨機抽取兩個不同的數(shù)，點的坐標(biāo)共有6種情況：，，，，，，并且它們出現(xiàn)的可能性相等．點坐標(biāo)在雙曲線上有2種情況:，．所以，這個事件的概率為．故選：A．【點睛】本題主要考查隨機事件的概率，關(guān)鍵是掌握隨機事件概率的計算方法：如果在一次試驗中，有種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件包含其中的種結(jié)果，那么事件發(fā)生的概率．16．（2023·安徽·中考真題）如果一個三位數(shù)中任意兩個相鄰數(shù)字之差的絕對值不超過1，則稱該三位數(shù)為“平穩(wěn)數(shù)”．用，，這三個數(shù)字隨機組成一個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，恰好是“平穩(wěn)數(shù)”的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意列出所有可能，根據(jù)新定義，得出2種可能是“平穩(wěn)數(shù)”，根據(jù)概率公式即可求解．【詳解】解：依題意，用，，這三個數(shù)字隨機組成一個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，可能結(jié)果有，共六種可能，只有是“平穩(wěn)數(shù)”∴恰好是“平穩(wěn)數(shù)”的概率為故選：C．【點睛】本題考查了新定義，概率公式求概率，熟練掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．考點02樹狀圖、列表法求概率1．（2025·黑龍江·中考真題）如圖，隨機閉合開關(guān)中的兩個，能讓兩盞燈泡同時發(fā)光的概率為．【答案】【分析】本題考查列表法求概率，根據(jù)題意，列出表格，利用概率公式進行計算即可．【詳解】解：由題意，列表如下：，，，，，，共有6種等可能的結(jié)果，其中能讓兩盞燈泡同時發(fā)光的結(jié)果有2種，∴．2．（2025·甘肅蘭州·中考真題）現(xiàn)有甲、乙兩個不透明盒子，其中甲盒裝有分別寫著d，t，l的三張聲母卡片，乙盒裝有分別寫著a，e，i的三張韻母卡片（卡片除漢語拼音字母外，其余完全相同），若小明分別從甲、乙盒中隨機各抽取一張卡片，則兩張卡片剛好拼成“德”字讀音的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了列表法或樹狀圖法求概率等知識點，用列表法或樹狀圖法列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果，再根據(jù)概率的定義進行計算即可，熟練掌握列表法或樹狀圖法求概率的方法是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】解：將所有結(jié)果列表格如下：聲母

韻母aeiddadedittatetillaleli所有可能的組合為9種，符合條件的情況僅1種，故兩張卡片剛好拼成“德”字讀音de的概率為．故選：A．3．（2025·吉林長春·中考真題）長春市人民廣場是中心景觀類環(huán)島型交通廣場，以開闊的空間、精美的建筑和多彩的綠化而馳名．甲、乙兩輛車從人民大街由南向北駛?cè)肴嗣駨V場，它們各自從A、B、C三個出口中隨機選擇一個出口駛出．用畫樹狀圖（或列表）的方法，求甲、乙兩輛車從同一出口駛出的概率．【答案】【分析】本題主要考查了樹狀圖或列表法求解概率，正確畫出樹狀圖或列出表格是解題的關(guān)鍵．先畫出樹狀圖得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到符合題意的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計算公式求解即可．【詳解】解：由題意得，可畫樹狀圖為：由樹狀圖可知一共有9種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中甲、乙兩輛車從同一出口駛出的結(jié)果數(shù)有3種，∴這甲、乙兩輛車從同一出口駛出的概率是．4．（2025·吉林·中考真題）在“健康中國2030”與“體重管理年”的行動引領(lǐng)下，某校田徑社團開展了“2025健康長跑”活動．由于參加的人數(shù)較多，場地空間有限，活動需分A，B，C三組進行，每人只能被隨機分配到其中一組，分組工作由計算機軟件完成．請用畫樹狀圖或列表的方法，求參與者小順和小利被分配到同一組的概率．【答案】【分析】本題主要考查了樹狀圖法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到參與者小順和小利被分配到同一組的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計算公式求解即可．【詳解】解：列表如下：小順小利由表格可知，一共有9種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中參與者小順和小利被分配到同一組的結(jié)果數(shù)有3種，∴參與者小順和小利被分配到同一組的概率為．5．（2025·陜西·中考真題）某班開展主題為“我愛陜西”的綜合實踐活動，班委會決定設(shè)置“山水”“歷史”“文學(xué)”“藝術(shù)”“科技”（分別記作，，，，）共五個研究方向，并采取小組合作的研究方式．同學(xué)們在五張完全相同的不透明卡片的正面繪制了如圖所示的圖案，卡片背面保持完全相同．(1)將這五張卡片背面朝上洗勻后，從中隨機抽取一張，抽到的卡片內(nèi)容是“科技”的概率為______；(2)各小組從這五張卡片中隨機抽取一張，將卡片內(nèi)容作為本小組的研究方向．將這五張卡片背面朝上洗勻后，小秦代表第一小組從中隨機抽取一張，記下結(jié)果，放回，背面朝上洗勻后，小博代表第二小組從中隨機抽取一張．請用列表或畫樹狀圖的方法，求這兩個小組研究方向不同的概率．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了用列表或畫樹狀圖求概率，概率公式，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）理解題意，得一共有五張卡片，卡片內(nèi)容是“科技”的有一張，運用概率公式進行計算，即可作答．（2）先理解題意，再畫樹狀圖，得到一共有種等可能的結(jié)果，其中這兩個小組研究方向不同的等可能結(jié)果有種，運用概率公式進行計算，即可作答．【詳解】（1）解：依題意，一共有五張卡片，卡片內(nèi)容是“科技”的有一張，∴將這五張卡片背面朝上洗勻后，從中隨機抽取一張，抽到的卡片內(nèi)容是“科技”的概率為，故答案為：．（2）解：依題意，畫樹狀圖如下所示：∴一共有種等可能的結(jié)果，其中這兩個小組研究方向不同的等可能結(jié)果有種，∴這兩個小組研究方向不同的概率．6．（2025·江蘇揚州·中考真題）為打造活力校園，某校在大課間開展了豐富多彩的活動，現(xiàn)有4種體育類活動供學(xué)生選擇：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花樣跳繩，D．踢毽子，每名學(xué)生只能選擇其中一種體育活動．(1)若小明在這4種體育活動中隨機選擇，則選中“乒乓球”的概率是______；(2)請用畫樹狀圖或列表的方法，求小明和小聰隨機選擇選到同一種體育活動的概率．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了樹狀圖或列表法求解概率，正確畫出樹狀圖或列出表格是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)概率公式直接求解；（2）先畫出樹狀圖得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到符合題意的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計算公式求解即可．【詳解】（1）解：∵有4種體育類活動供學(xué)生選擇：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花樣跳繩，D．踢毽子，∴選中“乒乓球”的概率是，故答案為：；（2）解：畫樹狀圖為：由樹狀圖可知一共有16種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中小明和小聰隨機選擇選到同一種體育活動的結(jié)果數(shù)有4種，∴小明和小聰隨機選擇選到同一種體育活動的概率是．7．（2025·江蘇連云港·中考真題）一只不透明的袋子中裝有1個紅球和3個白球，這些球除顏色外都相同．(1)攪勻后從中任意摸出1個球，則摸到紅球的概率是_______；(2)攪勻后從中任意摸出1個球，記錄顏色后放回、攪勻，再從中任意摸出1個球．用畫樹狀圖或列表的方法，求2次都摸到白球的概率．【答案】(1)(2)【分析】本題考查樹狀圖法求概率，正確的畫出樹狀圖，是解題的關(guān)鍵：（1）直接利用概率公式進行計算即可；（2）畫出樹狀圖，利用概率公式進行計算即可．【詳解】（1）解：由題意，共有個球，攪勻后從中任意摸出1個球，有4種等可能的結(jié)果，其中摸到紅球的情況只有1種，∴摸到紅球的概率是；（2）根據(jù)題意，紅球用A表示，3個白球分別用B，C，D表示，畫出如下的樹狀圖：由圖可知，共有16種等可能結(jié)果，其中2次都摸到白球的結(jié)果有9種，所以2次都摸到白球的概率為．8．（2025·山西·中考真題）如圖是創(chuàng)新小組設(shè)計的一款小程序的界面示意圖，程序規(guī)則為：每點擊一次按鈕，“”就從一個格子向左或向右隨機移動到相鄰的一個格子．當(dāng)“”位于格子A時，小明連續(xù)點擊兩次按鈕，“”回到格子A的概率是．【答案】【分析】本題考查了畫樹狀圖或列表法求概率；根據(jù)題意畫出樹狀圖，求出所有可能的結(jié)果數(shù)及事件發(fā)生的可能結(jié)果數(shù)，利用概率公式即可求解．【詳解】解：畫出樹狀圖如下：由圖知，所有可能的結(jié)果數(shù)為4，其中回到回到格子A的可能結(jié)果數(shù)為2，則回到格子A的概率為；故答案為：．考點03公平性問題1．（2024·山東青島·中考真題）學(xué)校擬舉辦慶?！敖▏?5周年”文藝匯演，每班選派一名志愿者，九年級一班的小明和小紅都想?yún)⒓?，于是兩人決定一起做“摸牌”游戲，獲勝者參加．規(guī)則如下：將牌面數(shù)字分別為1，2，3的三張紙牌（除牌面數(shù)字外，其余都相同）背面朝上，洗勻后放在桌面上，小明先從中隨機摸出一張，記下數(shù)字后放回并洗勻，小紅再從中隨機摸出一張．若兩次摸到的數(shù)字之和大于4，則小明勝；若和小于4，則小紅勝；若和等于4，則重復(fù)上述過程．(1)小明從三張紙牌中隨機摸出一張，摸到“1”的概率是______；(2)請用列表或畫樹狀圖的方法，說明這個游戲?qū)﹄p方是否公平．【答案】(1)(2)樹狀圖見解析，該游戲?qū)﹄p方公平【分析】本題主要考查了簡單的概率計算，樹狀圖法或列表法求解概率：（1）根據(jù)概率計算公式求解即可；（2）畫出樹狀圖得到所有符合題意的等可能性的結(jié)果數(shù)，再分別找到兩次數(shù)字之和大于4和小于4的結(jié)果，再依據(jù)概率計算公式計算出兩人獲勝的概率即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：∵一共有3張牌，其中寫有數(shù)字1的牌有1張，且每張牌被摸到的概率相同，∴小明從三張紙牌中隨機摸出一張，摸到“1”的概率是，故答案為：；（2）解：畫樹狀圖如下所示：由樹狀圖可知，一共有6種（和為4的不符合題意）等可能性的結(jié)果數(shù)，其中兩次摸到的數(shù)字之和大于4的結(jié)果數(shù)有3種，兩次摸到的數(shù)字之和小于4有3種，∴小明獲勝的概率為，小紅獲勝的概率為，∴小明和小紅獲勝的概率相同，∴該游戲?qū)﹄p方公平．2．（2024·甘肅·中考真題）在一只不透明的布袋中，裝有質(zhì)地、大小均相同的四個小球，小球上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4．甲乙兩人玩摸球游戲，規(guī)則為：兩人同時從袋中隨機各摸出1個小球，若兩球上的數(shù)字之和為奇數(shù)，則甲勝；若兩球上的數(shù)字之和為偶數(shù)，則乙勝．(1)請用畫樹狀圖或列表的方法，求甲獲勝的概率．(2)這個游戲規(guī)則對甲乙雙方公平嗎？請說明理由．【答案】(1)(2)這個游戲規(guī)則對甲乙雙方不公平，理由見解析【分析】本題主要考查了樹狀圖法或列表法求解概率，游戲的公平性：（1）先畫出樹狀圖得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到兩球上的數(shù)字之和為奇數(shù)的結(jié)果數(shù)，最后利用概率計算公式求解即可；（2）同（1）求出乙獲勝的概率即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：畫樹狀圖如下：

由樹狀圖可知，一共有12種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中兩球上的數(shù)字之和為奇數(shù)的結(jié)果數(shù)有8種，∴甲獲勝的概率為；（2）解：這個游戲規(guī)則對甲乙雙方不公平，理由如下：由（1）中的樹狀圖可知，兩球上的數(shù)字之和為偶數(shù)的結(jié)果數(shù)有4種，∴乙獲勝的概率為，∵，∴甲獲勝的概率大于乙獲勝的概率，∴這個游戲規(guī)則對甲乙雙方不公平．考點04頻率與概率1．（2025·貴州·中考真題）某學(xué)習(xí)小組拋擲一枚質(zhì)地不均勻的棋子，為了估計“正面朝上”的概率，將同學(xué)們獲得的試驗數(shù)據(jù)整理如下表：（

）拋擲次數(shù)2060100120140160500100020005000“正面朝上”的次數(shù)12385862758827555011002750“正面朝上”的頻率則拋擲這枚棋子出現(xiàn)“正面朝上”的概率約為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了用頻率估計概率，根據(jù)頻率估計概率的原理，當(dāng)試驗次數(shù)足夠大時，事件發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個常數(shù)附近，該常數(shù)即可作為概率的估計值．觀察表格數(shù)據(jù)，隨著拋擲次數(shù)增加，頻率逐漸穩(wěn)定在附近，即可得出答案．【詳解】解：當(dāng)拋擲次數(shù)較小時（如20次、60次等），頻率波動較大（、等），當(dāng)次數(shù)增加到500次及以上時，頻率穩(wěn)定在，所以拋擲這枚棋子出現(xiàn)“正面朝上”的概率約為．故選：B．2．（2024·江蘇揚州·中考真題）數(shù)學(xué)興趣小組做拋擲一枚瓶蓋的實驗后，整理的實驗數(shù)據(jù)如下表：累計拋擲次數(shù)501002003005001000200030005000蓋面朝上次數(shù)2854106157264527105615872650蓋面朝上頻率0.5600.5400.5300.5230.5280.5270.5280.5290.530根據(jù)以上實驗數(shù)據(jù)可以估計出“蓋面朝上”的概率約為（精確到0.01）【答案】0.53【分析】本題考查了利用頻率估計概率的知識，隨著實驗次數(shù)的增多，頻率逐漸穩(wěn)定到某個常數(shù)附近，可用這個常數(shù)表示概率．根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)解答本題即可．【詳解】解：由表中數(shù)據(jù)可得：隨著實驗次數(shù)的增大，“蓋面朝上”的概率接近0.53，故答案為：0.53．3．（2024·貴州·中考真題）小星同學(xué)通過大量重復(fù)的定點投籃練習(xí)，用頻率估計他投中的概率為0.4，下列說法正確的是（

）A．小星定點投籃1次，不一定能投中 B．小星定點投籃1次，一定可以投中C．小星定點投籃10次，一定投中4次 D．小星定點投籃4次，一定投中1次【答案】A【分析】本題主要考查了概率的意義，概率是反映事件發(fā)生機會的大小的概念，只是表示發(fā)生的機會的大小，機會大也不一定發(fā)生，據(jù)此求解即可．【詳解】解：小星同學(xué)通過大量重復(fù)的定點投籃練習(xí)，用頻率估計他投中的概率為0.4，則由概率的意義可知，小星定點投籃1次，不一定能投中，故選項A正確，選項B錯誤；小星定點投籃10次，不一定投中4次，故選項C錯誤；小星定點投籃4次，不一定投中1次，故選項D錯誤故選；A．4．（2024·陜西·中考真題）一個不透明的袋子中共裝有五個小球，其中3個紅球，1個白球，1個黃球，這些小球除顏色外都相同．將袋中小球搖勻，從中隨機摸出一個小球記下顏色后放回，記作隨機摸球一次．(1)隨機摸球10次，其中摸出黃球3次，則這10次摸球中，摸出黃球的頻率是________．(2)隨機摸球2次，用畫樹狀圖或列表的方法，求這兩次摸出的小球都是紅球的概率．【答案】(1)0.3(2)【分析】本題考查求頻率、畫樹狀圖或列表法求概率、概率公式，熟練掌握畫樹狀圖或列表法求概率的方法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“頻數(shù)除以總數(shù)等于頻率”求解即可；（2）畫出樹狀圖可得，共有25種等可能的結(jié)果，其中兩次摸出的小球都是紅球有9種結(jié)果，再利用概率公式求解即可．【詳解】（1）解：由題意得，摸出黃球的頻率是，故答案為：0.3；（2）解：畫樹狀圖得，共有25種等可能的結(jié)果，其中兩次摸出的小球都是紅球有9種結(jié)果，∴兩次摸出的小球都是紅球的概率為．5．（2023·遼寧鞍山·中考真題）在一個不透明的口袋中裝有紅球和白球共12個，這些球除顏色外都相同，將口袋中的球攪勻后，從中隨機摸出1個球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復(fù)這一過程，共摸球200次，發(fā)現(xiàn)有50次摸到紅球，則口袋中紅球約有個．【答案】【分析】利用頻率估計隨機摸出1個球是紅球的概率為，根據(jù)概率公式即可求出答案．【詳解】解：設(shè)紅球有個，則，答：紅球的個數(shù)約為個．故答案為：．【點睛】本題考查利用頻率估計概率，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，計算出相應(yīng)的紅球個數(shù)．6．（2023·湖北恩施·中考真題）縣林業(yè)部門考察銀杏樹苗在一定條件下移植的成活率，所統(tǒng)計的銀杏樹苗移植成活的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：移植的棵數(shù)a1003006001000700015000成活的棵數(shù)b84279505847633713581成活的頻率0.840.930.8420.8470.9050.905根據(jù)表中的信息，估計銀杏樹苗在一定條件下移植成活的概率為（精確到0.1）（）A．0.905 B．0.90 C．0.9 D．0.8【答案】C【分析】利用表格中數(shù)據(jù)估算這種樹苗移植成活率的概率即可得出答案．【詳解】解：由表格數(shù)據(jù)可得，隨著樣本數(shù)量不斷增加，這種樹苗移植成活的頻率穩(wěn)定在0.905，∴銀杏樹苗在一定條件下移植成活的概率為0.9，故選：C．【點睛】此題考查了利用頻率估計概率，大量反復(fù)試驗下頻率穩(wěn)定值即為概率．7．（2023·甘肅蘭州·中考真題）某學(xué)習(xí)小組做拋擲一枚瓶蓋的實驗，整理的實驗數(shù)據(jù)如下表：累計拋擲次數(shù)501002003005001000200030005000蓋面朝上次數(shù)2854106158264527105615872850蓋面朝上頻率下面有三個推斷：①通過上述實驗的結(jié)果，可以推斷這枚瓶蓋有很大的可能性不是質(zhì)地均勻的；②第2000次實驗的結(jié)果一定是“蓋面朝上”；③隨著實驗次數(shù)的增大，“蓋面朝上”的概率接近0.53．其中正確的是．（填序號）【答案】①③【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)及頻率估計概率依次判斷即可．【詳解】解：①通過上述實驗的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)蓋面朝上的次數(shù)多與累計次數(shù)的一半，可以推斷這枚瓶蓋有很大的可能性不是質(zhì)地均勻的，故正確；②實驗是隨機的，第2000次實驗的結(jié)果不一定是“蓋面朝上”，故錯誤；③隨著實驗次數(shù)的增大，“蓋面朝上”的概率接近0.53，故正確．故答案為：①③．【點睛】題目主要考查頻率估計概率，結(jié)合表中數(shù)據(jù)求解是解題關(guān)鍵．8．（2023·江蘇揚州·中考真題）某種綠豆在相同條件下發(fā)芽試驗的結(jié)果如下：每批粒數(shù)n2510501005001000150020003000發(fā)芽的頻數(shù)m2494492463928139618662794發(fā)芽的頻率（精確到0.001）1.0000.8000.9000.8800.9200.9260.9280.9310.9330.931這種綠豆發(fā)芽的概率的估計值為（精確到0.01）．【答案】0.93【分析】根據(jù)題意，用頻率估計概率即可．【詳解】解：由圖表可知，綠豆發(fā)芽的概率的估計值0.93，故答案為：0.93．【點睛】本題考查了利用頻率估計概率．解題的關(guān)鍵在于明確：大量重復(fù)試驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．考點05統(tǒng)計與概率的綜合1．（2025·四川南充·中考真題）為了弘揚優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校擬增設(shè)四類興趣班：A川劇班、B皮影班、C剪紙班、D木偶班．學(xué)校的調(diào)研小組在全校隨機抽取了部分學(xué)生進行問卷調(diào)查，調(diào)查問題是“你最希望增設(shè)的興趣班”（四類中必選并只選一類），調(diào)研小組根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制出如下不完整的統(tǒng)計圖．(1)求問卷調(diào)查的總?cè)藬?shù)，并補全條形圖．(2)若該校共有800名學(xué)生，估計最希望增設(shè)“木偶班”的學(xué)生人數(shù)．(3)本次調(diào)研小組共有5人，其中男生3人，女生2人，現(xiàn)從5人中隨機抽取2人向?qū)W校匯報調(diào)查結(jié)果，求恰好抽中一男一女的概率．【答案】(1)100人，補全統(tǒng)計圖見解析(2)240人(3)【分析】本題考查了扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖的信息關(guān)聯(lián)，用樣本估計總體，樹狀圖或列表法求解概率，正確理解題意，讀懂統(tǒng)計圖是解題的關(guān)鍵．（1）由A川劇班得人數(shù)除以占比，即可求解問卷調(diào)查的總?cè)藬?shù)，然后由總?cè)藬?shù)減去的人數(shù)求出木偶班人數(shù)，即可補全條形統(tǒng)計圖；（2）用樣本估計整體的方法即可求解；（3）先畫出樹狀圖得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到符合題意的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計算公式求解即可．【詳解】（1）解：問卷調(diào)查的總?cè)藬?shù)為：（人），∴木偶班人數(shù)為：（人），∴補全統(tǒng)計圖：（2）解：最希望增設(shè)“木偶班”的學(xué)生人數(shù)：（人），答：最希望增設(shè)“木偶班”的學(xué)生有240人；（3）解：畫樹狀圖為：由樹狀圖可知一共有20種等可能性的結(jié)果數(shù)，恰好抽中一男一女的結(jié)果數(shù)有12種，∴恰好抽中一男一女的概率是．2．（2025·四川遂寧·中考真題）橫空出世，猶如一聲驚雷劈開壟斷，躋身世界最強大模型行列，開啟中國人工智能嶄新的春天．為激發(fā)青少年崇尚科學(xué)，探索未知的熱情，某校開展了“逐夢科技強國”為主題的活動．下面是該校某調(diào)查小組對活動中模具設(shè)計水平的調(diào)查報告，請完成報告中相應(yīng)問題．模型設(shè)計水平調(diào)查報告調(diào)查主題“逐夢科技強國”活動中模具設(shè)計水平調(diào)查目的通過數(shù)據(jù)分析，獲取信息，能在認識及應(yīng)用統(tǒng)計圖表和百分數(shù)的過程中，形成數(shù)據(jù)觀念，發(fā)展應(yīng)用意識．調(diào)查對象某校學(xué)生模具設(shè)計成績調(diào)查方式抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)收集與表示隨機抽取全校部分學(xué)生的模具設(shè)計成績（成績?yōu)榘俜种?，用表示），并整理，將其分成如下四組：，，，．下面給出了部分信息：其中組的成績?yōu)椋?，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．?dāng)?shù)據(jù)分析與應(yīng)用根據(jù)以上信息解決下列問題：（）本次共抽取了______名學(xué)生的模具設(shè)計成績，成績的中位數(shù)是_____分，在扇形統(tǒng)計圖中，組對應(yīng)圓心角的度數(shù)為______；（）請補全頻數(shù)分布直方圖；（）請估計全校名學(xué)生的模具設(shè)計成績不低于分的人數(shù)；（）學(xué)校決定從模具設(shè)計優(yōu)秀的甲、乙、丙、丁四位同學(xué)中隨機選擇兩名同學(xué)作經(jīng)驗交流，請用畫樹狀圖或列表的方法求出所選的兩位同學(xué)恰為甲和丙的概率．【答案】（），，；（）補圖見解析；（）人；（）【分析】（）由組學(xué)生人數(shù)除以其百分比可求出抽取的學(xué)生人數(shù)，進而可求出組學(xué)生人數(shù)，再根據(jù)中位數(shù)的定義和頻數(shù)直方圖即可求解；（）根據(jù)（）所得組學(xué)生人數(shù)補全頻數(shù)分布直方圖即可；（）用乘以成績不低于分的人數(shù)占比即可；（）畫出樹狀圖，根據(jù)樹狀圖解答即可；本題考查了頻數(shù)直方圖，扇形統(tǒng)計圖，中位數(shù)，樣本估計總體，用樹狀圖或列表法求概率，看懂統(tǒng)計圖是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：（）∵，∴本次共抽取了名學(xué)生的模具設(shè)計成績，∴組學(xué)生人數(shù)為人，∵成績由低到高排列，中位數(shù)為第和第個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，∴中位數(shù)分，組對應(yīng)圓心角的度數(shù)為，故答案為：，，；（）補全頻數(shù)分布直方圖如下：（），答：估計全校名學(xué)生的模具設(shè)計成績不低于分的人數(shù)為人；（）畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，共有種等結(jié)果，其中所選兩位同學(xué)恰為甲和丙的結(jié)果有種，∴所選的兩位同學(xué)恰為甲和丙的概率為．3．（2025·四川資陽·中考真題）為豐富學(xué)生課外鍛煉活動，某學(xué)校增設(shè)了A（足球）、B（籃球）、C（體操）、D（田徑）四個鍛煉項目，每名學(xué)生只能選擇其中的一項．為了解學(xué)生的選擇情況，隨機抽取部分學(xué)生進行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)圖中所提供的信息，解答下列問題：(1)本次調(diào)查共抽取了______名學(xué)生，并補全條形統(tǒng)計圖；(2)在扇形統(tǒng)計圖中，求項目C對應(yīng)的圓心角度數(shù)；(3)已知選擇項目D的學(xué)生是2名男生和2名女生，現(xiàn)從這4名學(xué)生中隨機抽取2名參加比賽，用畫樹狀圖或列表法求抽到兩名性別相同的學(xué)生的概率．【答案】(1)80；條形統(tǒng)計圖見詳解(2)(3)【分析】本題考查了扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖的關(guān)聯(lián)，以及用畫樹狀圖或列表法求概率，解題關(guān)鍵是理解題意，能結(jié)合兩種圖形獲取有效信息．（1）已知A項目所占圓心角度數(shù)為，可根據(jù)，先求出其占總?cè)藬?shù)的比例，再根據(jù)A項目人數(shù)為32人，即可求出總?cè)藬?shù)；進而根據(jù)總?cè)藬?shù)求出C類人數(shù)，即可完成條形統(tǒng)計圖；（2）由（1）中C類人數(shù)，可先求出其占總?cè)藬?shù)的比例，再用比例與相乘即可求出對應(yīng)圓心角的度數(shù)；（3）首先畫出樹狀圖，由圖可得所有等可能的結(jié)果數(shù)量，以及恰好兩名性別相同的學(xué)生的結(jié)果數(shù)量，再根據(jù)概率公式即可求解．【詳解】（1）解：由圖可知，本次被調(diào)查的學(xué)生共有：（人）C項目人數(shù)為：（人），完整條形統(tǒng)計圖如下：（2）C類對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為：．（3）畫出樹狀圖如下所示：由上圖可得，共有12種等可能的結(jié)果，其中兩名性別相同的學(xué)生的結(jié)果有4種，∴恰好兩名性別相同的學(xué)生的概率為：．4．（2025·青海·中考真題）為了讓學(xué)生體驗青海民俗文化，某學(xué)校開設(shè)了特色藝術(shù)實踐課程，課程分別是：．五谷畫，．彩陶，．剪紙，