《三角形的外角》1.三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180°.2.直角三角形的兩個銳角互余.3.有兩個角互余的三角形是直角三角形.練習(xí)：1.在△ABC中，∠A=30°，∠B=∠C，則∠B=_____.2.在Rt△ABC中，銳角∠B=45°，則另一個銳角∠C=____.75°45°知識回顧1.了解三角形外角的概念.2.理解三角形外角性質(zhì)及三角形外角和的探究.3.熟練掌握并運用三角形外角性質(zhì)解決實際問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)鄰補角的概念：如圖，∠1和∠2有一條公共邊OC，它們的另一邊互為反向延長線（∠1和∠2互補），具有這種關(guān)系的兩個角互為鄰補角.鄰補角的性質(zhì)：∠1+∠2=180°.CABO12如果延長△ABC的邊AB至點D，那么該延長線BD與相鄰的邊BC形成的∠CBD具有什么樣的性質(zhì)呢？BCAD課堂導(dǎo)入概念：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.如圖，∠CBD是△ABC的一個外角.問題1：三角形的外角和相鄰的內(nèi)角之間的大小關(guān)系？問題2：三角形的外角具備什么特征？問題3：三角形共有幾個外角？每個頂點處有幾個外角？三角形的外角BCAD知識點1三角形的外角新知探究答案1：三角形的外角和相鄰的內(nèi)角之和為180°.答案2：三角形的外角具備3個特征：①頂點在三角形的一個頂點上；②一條邊是三角形的一條邊；③另外一條邊是三角形某條邊的延長線.答案3：三角形共有6個外角.每個頂點處有2個外角.ABEFC三角形的外角例1如圖，在△ABC中，∠CAD，∠CBE，∠BCF分別是點A，點B，點C處的一個外角，請問∠CAD與∠2，∠3之間的大小關(guān)系？ABEFCD123解：∵∠CAD是△ABC的外角，∠CAD+∠1=180°，則∠1=180°-∠CAD.∵∠1，∠2，∠3是△ABC的三個內(nèi)角，∴∠1+∠2+∠3=180°，則∠1=180°-（∠2+∠3）.∴∠CAD=∠2+∠3.知識點2三角形外角的性質(zhì)新知探究解：∵∠CBE是△ABC的外角，∴∠CBE+∠2=180°，則∠2=180°-∠CBE.∵∠1，∠2，∠3是△ABC的三個內(nèi)角，∴∠1+∠2+∠3=180°，則∠2=180°-（∠1+∠3）.∴∠CBE=∠1+∠3.例2如圖，在△ABC中，∠CAD，∠CBE，∠BCF分別是點A，點B，點C處的一個外角，請問∠CBE與∠1，∠3之間的大小關(guān)系？ABEFCD123解：∵∠BCF是△ABC的外角，∴∠BCF+∠3=180°，則∠3=180°-∠BCF.∵∠1，∠2，∠3是△ABC的三個內(nèi)角，∴∠1+∠2+∠3=180°，則∠3=180°-（∠1+∠2）.∴∠BCF=∠1+∠2.例3如圖，在△ABC中，∠CAD，∠CBE，∠BCF分別是點A，點B，點C處的一個外角，請問∠BCF與∠1，∠2之間的大小關(guān)系？ABEFCD123你能總結(jié)三角形外角的性質(zhì)嗎？例4如圖，在△ABC中，∠CAD，∠CBE，∠BCF分別是點A，點B，點C處的一個外角，請問∠CAD，∠CBE，∠BCF之間的大小關(guān)系？解：∵∠CAD，∠CBE，∠BCF是△ABC的外角，∴∠CAD=∠2+∠3，∠CBE=∠1+∠3，∠BCF=∠1+∠2.

知識點3三角形的外角和定理新知探究ABEFCD123例4如圖，在△ABC中，∠CAD，∠CBE，∠BCF分別是點A，點B，點C處的一個外角，請問∠CAD，∠CBE，∠BCF之間的大小關(guān)系？∴∠CAD+∠CBE+∠BCF=（∠2+∠3）+（∠1+∠3）+（∠1+∠2）=2（∠1+∠2+∠3）.∵∠1+∠2+∠3=180°，

∴∠CAD+∠CBE+∠BCF=360°.

有其他解法嗎？知識點3三角形的外角和定理新知探究ABEFCD123例4如圖，在△ABC中，∠CAD，∠CBE，∠BCF分別是點A，點B，點C處的一個外角，請問∠CAD，∠CBE，∠BCF之間的大小關(guān)系？知識點3三角形的外角和定理新知探究ABEFCD123方法二解：∵∠CAD，∠CBE，∠BCF是△ABC的外角，∴∠CAD+∠1=180°，則∠CAD=180°-∠1，∠CBE+∠2=180°，則∠CBE=180°-∠2，∠BCF+∠3=180°，則∠BCF=180°-∠3.例4如圖，在△ABC中，∠CAD，∠CBE，∠BCF分別是點A，點B，點C處的一個外角，請問∠CAD，∠CBE，∠BCF之間的大小關(guān)系？知識點3三角形的外角和定理新知探究ABEFCD123∵∠1，∠2，∠3是△ABC的三個內(nèi)角，∴∠1+∠2+∠3=180°.∴∠CAD+∠CBE+∠BCF=（180°-∠1）+（180°-∠2）+（180°-∠3）=540°-（∠1+∠2+∠3）=360°.推論：三角形的三個外角和等于360°.三角形的每一個頂點處各有兩個外角，三角形的外角和不是指六個外角的總和，而是說在三角形的每一個頂點處取一個外角，三個不同頂點處的外角和叫做三角形的外角和.數(shù)學(xué)語言表示：如圖所示，∠CAD+∠CBE+∠BCF=360°.三角形的外角和定理ABEFCD123例5試說出下列圖形中∠1和∠2的度數(shù).解：（1）∠1=180°-80°-60°=40°，∠2=80°+60°=140°.（2）∠1=180°-30°-40°=110°，∠2=30°+40°=70°.（3）∠1=90°-40°=50°，∠2=50°+90°=140°.60?80?12（1）ABC30?40?12（2）ABC40?21┌（3）ABC跟蹤訓(xùn)練新知探究1.判斷下列觀點是否正確.（1）三角形的外角都是鈍角.

（）

（2）三角形的外角大于任何一個內(nèi)角.（

）（3）三角形的外角等于它的兩個內(nèi)角的和.（）（4）三角形的外角和等于360°.（）解：（1）三角形的外角是銳角、鈍角或者直角.（2）三角形的外角大于任何一個不相鄰內(nèi)角.（3）三角形的外角等于它的不相鄰兩個內(nèi)角的和.隨堂練習(xí)解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°.∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠1+∠2=90°.∵∠1=∠2，∴∠1=∠2=45°.2.如圖，AD⊥BC，∠1=∠2，∠C=65°，求∠BAC的度數(shù).BADC21┐∵∠ADB是△ACD的外角，∴∠ADB=∠DAC+∠C=90°.∵∠C=65°，∴∠DAC=90°-∠C=25°.則∠BAC=∠1+∠DAC=70°.2.如圖，AD⊥BC，∠1=∠2，∠C=65°，求∠BAC的度數(shù).BADC21┐3.如圖，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，則∠ECD等于（）A.40°

B.45°

C.50°

D.55°解析：∵∠A=60°，∠B=40°，∴∠ACD=∠A+∠B=100°.∵CE平分∠ACD，∴∠ECD=50°.ABCDEC4.小明把一副含有45°、30°的直角三角板如圖擺放，若∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，則∠α+∠β等于（）

A.180°

B.210°

C.360°

D.270°解析：∵∠α、∠β是三角形的外角，∴∠α=∠1+∠D，∠β=∠2+∠F.∵∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠2+∠F=∠3+∠4+∠D+∠=210°.BEBCAFDαβ1234三角形的外角定義性質(zhì)三角形外角和三角形的外角和等于360°角的一邊必須是三角形的一邊，另一邊必須是三角形的另一邊的延長線三角形的一個外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角的和課堂小結(jié)1.已知五角星如圖所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù).分析：利用三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)，將∠A，∠B，∠C，∠D，∠E轉(zhuǎn)化在同一個三角形中.仔細(xì)觀察五角星，并在五角星中構(gòu)建出△BGD和△CFE.CABEFGD拓展提升解：∵在△BGD中，∠AGF是它的外角，

∴∠AGF=∠B+∠D.∵在△CFE中，∠AFG是它的外角，∴∠AFG=∠C+∠E.∵在△AFG中，∠A、∠AFG、∠AGF是三個內(nèi)角，∴∠A+∠AFG+∠AGF=180°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.CABEFGD2.如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，且CE交BA的延長線于點E，求證∠BAC=∠B+2∠E.BACDE分析：利用角平分線的性質(zhì)可以得出2倍的數(shù)量關(guān)系的角.利用三角形外角性質(zhì)，將外角轉(zhuǎn)化為兩個不相鄰內(nèi)角的和.將2倍數(shù)量關(guān)系的角和外角進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化，即可得出題目所要證明的結(jié)果.證明：∵∠ECD是△EBC的外角，∴∠ECD=∠B+∠E.

∵∠BAC是△ACE的外角，∴∠BAC=∠E+∠ACE.

∵CE是∠ACD的角平分線，∴∠ACE=∠ECD=∠B+∠E.

∴∠BAC=∠E+∠ACE=∠E+∠B+∠E=∠B+2∠E.

BACDE

認(rèn)識三角形的外角1.

(石家莊長安區(qū)期末)如圖，△

BCE

的一個外角是(

C

)A.

∠

A

B.

∠

ACE

C.

∠

AEC

D.

∠

BCD

C12345678910112.

三角形的三個外角中，鈍角最多有

個，銳角最多

個，直

角最多有

個.3

1

1

1234567891011

三角形的外角的性質(zhì)3.

如圖，∠

CBD

是△

ABC

的一個外角，∠

CBD

＝80°，∠

A

＝35°，

則∠

C

＝(

C

)A.

35°B.

40°C.

45°D.

55°C12345678910114.

(衡水三模)體育課上的側(cè)壓腿動作可以抽象為幾何圖形(如圖)，

如果∠1＝110°，則∠2等于(

B

)A.

10°B.

20°C.

25°D.

30°B12345678910115.

如圖，∠

A

，∠1，∠2的大小關(guān)系是(

B

)A.

∠

A

＞∠1＞∠2B.

∠2＞∠1＞∠

A

C.

∠

A

＞∠2＞∠1D.

∠2＞∠

A

＞∠1【解析】根據(jù)三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角可得

∠1＞∠

A

，∠2＞∠1.∴∠2＞∠1＞∠

A

.

B12345678910116.

(石家莊欒城區(qū)期末)下面是投影屏上出示的搶答題，需回答橫

線上符號代表的內(nèi)容.回答正確的是(

A

)已知：如圖，∠

BEC

＝∠

B

＋∠

C

.

求證：

AB

∥

CD

.

證明：延長

BE

交※于點

F

，則∠

BEC

＝◎＋∠

C

.

又∠

BEC

＝∠

B

＋∠

C

，得∠

B

＝▲.故

AB

∥

CD

(@相等，兩直線平行).AA.

◎代表∠

EFC

B.

@代表同位角C.

▲代表∠

FEC

D.

※代表

EC

1234567891011【解析】延長

BE

交

CD

于點

F

，則∠

BEC

＝∠

EFC

＋∠

C

.

又∠

BEC

＝∠

B

＋∠

C

，得∠

B

＝∠

EFC

.

故

AB

∥

CD

(內(nèi)錯角相等，兩直線平行).∴※代表

CD

，◎代表∠

EFC

，▲代表∠

EFC

，@代表內(nèi)錯角.∴A選項回答正確，符合題意.12345678910117.

如圖，∠1，∠2，∠3是△

ABC

互不相等的三個外角，則∠1＋∠2＋

∠3的大小為

?.360°

1234567891011

8.

將一副透明三角尺如圖放置，使點

A

落在

DE

上，三角尺

ABC

的頂點

C

與三角尺

CDE

的直角頂點

C

重合.若

BC

∥

DE

，

AB

與

CE

交于點

F

，

則∠

AFC

的度數(shù)為(

D

)A.

30°B.

45°C.

60°D.

75°D1234567891011【解析】∵

BC

∥

DE

，∠

E

＝30°，∴∠

BCE

＝∠

E

＝30°.∵∠

B

＝45°，∴∠

AFC

＝∠

B

＋∠

BCE

＝45°＋30°＝75°.12345678910119.

推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.已知：如圖，∠

ACD

是△

ABC

的外角.求證：∠

ACD

＝∠

A

＋∠

B

.

1234567891011證法1：∵∠

A

＋∠

B

＋∠

ACB

＝180°(三角形內(nèi)角和定理)，又∵∠

ACD

＋∠

ACB

＝180°(平角定義)，∴∠

ACD

＋∠

ACB

＝∠

A

＋∠

B

＋∠

ACB

(等量代換).∴∠

ACD

＝∠

A

＋∠

B

(等式的性質(zhì)).證法2：∵∠

A

＝76°，∠

B

＝59°，且∠

ACD

＝135°(量角器測量所得)，又∵135°＝76°＋59°(計算所得)，∴∠

ACD

＝∠

A

＋∠

B

(等量代換).1234567891011下列說法正確的是(

B

)BA.

證法1還需證明其他形狀的三角形，該定理的證明才完整B.

證法1用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明了該定理C.

證法2用特殊到一般法證明了該定理D.

只要用證法2測量夠一百個三角形進(jìn)行驗證，就能證明該定理1234567891011【解析】∵證法1按照定理證明的一般步驟，從已知出發(fā)經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?/p>

推理論證，得出結(jié)論的正確，具有一般性，無需再證明其他形狀的

三角形，∴A的說法不正確，不符合題意.B的說法正確，符合題意.∵定理的證明必須經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C，不能用特殊情形來說明，∴C的說法不正確，不符合題意.∵定理的證明必須經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C，與測量次數(shù)的多少無關(guān)，∴D的說法不正確，不符合題意.綜上，B的說法正確.123456789101110.

如圖是可調(diào)躺椅示意圖(數(shù)據(jù)如圖)，

AE

與

BD

的交點為

C

，且∠

A

，∠

B

，∠

E

保持不變.為了舒適，需調(diào)整∠

D

的大小，使∠

EFD

＝

110°，則圖中∠

D

應(yīng)

(填“增加”或“減少”)

?°.減少10

1234567891011【解析】如圖，延長

EF

交

CD

于點

G

.

∵∠

CAB

＝50°，∠

ABC

＝60°，∴∠

ACB

＝180°－50°－60°＝70°.∴∠

ECD

＝∠

ACB

＝70°.∵∠

DGF

＝∠

DCE

＋∠

E

，∴∠

DGF

＝70°＋30°＝100°.1234567891011∵∠

EFD

＝110°，∠

EFD

＝∠

DGF

＋∠

D

，∴∠

D

＝10°.而圖中∠

D

＝20°，∴∠

D

應(yīng)減少10°.1234567891011【變式1】寫出上圖中∠

DFE

與∠

DCE

，∠

D

，∠

E

的數(shù)量關(guān)系

?

?；∠

DFE

＝∠

DCE

＋∠

D

＋∠

E

1234567891011【變式2】如圖，

M

，

N

分別為

CD

，

CE

上的點，連接

FM

，

FN

，寫

出∠

DMF

，∠

F

，∠

FNE

，∠

C

的數(shù)量關(guān)系

?

?.∠

DMF

＋∠

FNE

＝∠F

＋∠

C

1234567891011

11.

現(xiàn)有一張三角形紙片

ABC

，

D

，

E

分別是邊

AB