第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年甘肅省甘南州夏河縣藏族中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)f(x)=x3+axA.?x0∈R，f(x0)=0

B.函數(shù)y=f(x)的圖象是中心對(duì)稱圖形

C.若x0是f(x)的極小值點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(?∞,x02.已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1=2AB，A.1010 B.15 C.33.設(shè)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f(?1)=0，當(dāng)x>0時(shí)，xf′(x)?f(x)<0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是A.(?∞,?1)∪(0,1)B.(?1,0)∪(1,+∞)C.(?∞,?1)∪(?1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)4.已知AB=a，AC=b，BN=13A.23a+13b B.25.記動(dòng)點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1的對(duì)角線BD1A.(0,1) B.(13,1) C.(0,6.若定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足f′(x)>f(x)，f(2022)=e2022，則不等式f(13A.(0,e6066) B.(0,e2022)7.已知直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，P是邊BC上一點(diǎn)(不包括B、C兩點(diǎn)).若|AB|=2，|BC|=4，且|CD|=|ABA.0 B.2 C.3 D.48.已知函數(shù)f(x)=ex2x,g(x)=?x2+2x+a?1，若?x1，A.(?∞,e) B.(?∞,e] C.(?∞,e2]二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=x2+x?1eA.函數(shù)f(x)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)

B.函數(shù)f(x)既存在極大值又存在極小值

C.當(dāng)?e<k<0時(shí)，方程f(x)=k有且只有兩個(gè)實(shí)根

D.若x∈[t,+∞)時(shí)，f(x)max=510.已知在正三棱錐P?ABC中，PA=3，AB=2，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，下面結(jié)論正確的有(

)A.PC⊥AB B.平面PAD⊥平面PBC

C.PA與平面PBC所成的角的余弦值為13 D.三棱錐P?ABC的外接球的半徑為11.設(shè)函數(shù)f(x)=e2x?8ex+6x，若曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0A.?ln2 B.ln2 C.ln4 D.ln5三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知函數(shù)f(x)是(?π2,π2)上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且f(1)=0，當(dāng)x>0時(shí)，13.若向量a=(x,?4,?5)，b=(1,?2,2)，且a與b的夾角的余弦值為?2614.已知側(cè)棱長(zhǎng)為3的正四棱錐S?ABCD的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，當(dāng)該棱錐體積最大時(shí)，底面ABCD的邊長(zhǎng)為

，此時(shí)球O的表面積為

．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=ex?ax?1．

(1)若a=1，求函數(shù)f(x)的最小值；

(2)若函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2,+∞)，求實(shí)數(shù)a16.(本小題15分)

如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為BB1的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：BC1//17.(本小題15分)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在[?2,3]18.(本小題15分)

如圖，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直線AB，且AB=BP=2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE//BP．

(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)M為棱PD中點(diǎn)，求證：EM//平面ABCD；

(Ⅱ)線段PD上是否存在一點(diǎn)N，使得直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于25？若存在，試確定點(diǎn)N的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19.(本小題17分)

如圖1，在梯形ABCD中，AB//CD，AE⊥CD，垂足為E，AB=AE=12CE=1，DE=2.將△ADE沿AE翻折到△PAE，如圖2所示．M為線段PB的中點(diǎn)，且ME⊥PC．

(1)求證：PE⊥EC；

(2)設(shè)N為線段AE上任意一點(diǎn)，當(dāng)平面BMN與平面PCE所成銳二面角最小時(shí)，求參考答案1.C

2.C

3.A

4.C

5.B

6.A

7.C

8.C

9.ABC

10.AB

11.BCD

12.(1,π13.?3

14.2；9π

15.(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=ex?x?1，定義域?yàn)镽，

則f′(x)=ex?1，由f′(x)=0得x=0，

由f′(x)<0，得x<0；由f′(x)>0，得x>0．

∴f(x)單調(diào)遞減區(qū)間為(?∞,0)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞)．

∴函數(shù)f(x)的最小值為f(0)=0．

(2)由題意，函數(shù)的定義域?yàn)镽，f′(x)=ex?a，

①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0在R上恒成立，∴f(x)在R上單調(diào)遞增，不合題意；

②當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)>0，即ex?a>0得x>lna，16.解：(Ⅰ)由正方體的性質(zhì)可知，AB/?/C1D1中，且AB=C1D1，

∴四邊形ABC1D1是平行四邊形，∴BC1/?/AD1，

又BC1?平面AD1E，AD1?平面AD1E，∴BC1/?/平面AD1E.

(Ⅱ)解法一：以A為原點(diǎn)，AD、AB、AA1分別為x、y和z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則A(0,0,0)，A1(0,0,a)，D1(a,0,a)，E(0,a,12a)，

∴AA1=(0,0,a)，AD1=(a,0,a)，AE=(0,a,12a)，

設(shè)平面AD1E的法向量為m=(x,y,z)，則m?AD1=0m?AE=0，即a(x+z)=0a(y+12z)=0，

令z=2，則x=?2，y=?1，∴m=(?2,?1,2)，

設(shè)直線AA117.解：(1)函數(shù)f(x)=x3+ax2+b，則f′(x)=3x2+2ax，

因?yàn)閒(x)在x=2處有極值?2，所以f(2)=?2f′(2)=0，

即8+4a+b=?212+4a=0，解得a=?3b=2，經(jīng)檢驗(yàn)，a=?3，b=2符合題意，

所以f(x)=x3?3x2+2；

(2)因?yàn)閒(x)=x3?3x2+2所以f′(x)=3x2?6x=0，解得x=0或x=2，

當(dāng)?2<x<0時(shí)，f′(x)>0，則f(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)0<x<2時(shí)，f′(x)<0，則f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)2<x<3時(shí)，f′(x)>0，則f(x)單調(diào)遞增，18.(Ⅰ)證明：∵平面ABCD⊥平面ABEP，平面ABCD∩平面ABEP=AB，BP⊥AB，

∴BP⊥平面ABCD，又AB⊥BC，

∴直線BA，BP，BC兩兩垂直，

以B為原點(diǎn)，分別以BA，BP，BC為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

則P(0,2,0)，B(0,0,0)，D(2,0,1)，E(2,1,0)，C(0,0,1)，∴M(1,1,12)，

∴EM=(?1,0,12)，BP=(0,2,0)．

∵BP⊥平面ABCD，∴BP為平面ABCD的一個(gè)法向量，

∵EM?BP=?1×0+0×2+12×0=0，

∴EM⊥BP.又EM?平面ABCD，

∴EM/?/平面ABCD．

(Ⅱ)解：當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)D重合時(shí)，直線BN與平面PCD所成角的正弦值為25．

理由如下：

∵PD=(2,?2,1)，CD=(2,0,0)，

設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z)，則n?CD=0n?PD=0．

∴2x=02x?2y+z=0.令y=1，得n=(0,1,2)．

假設(shè)線段PD上存在一點(diǎn)N，使得直線BN與平面PCD所成角19.證明：(1)連接EB，由題意PE=2,BE=AB2+AE2=2，

又M是PB中點(diǎn)，

所以ME⊥PB，而ME⊥PC，PC∩PB=P，

所以ME⊥面PBC，BC?面PBC，則BC⊥ME，

由AB//CD且AE⊥CD,AB=AE=12CE=1知：BE=BC=2，

在△BCE中CE=2，則BC2+BE2=CE2，即BC⊥BE．

由ME∩BE=E，則BC⊥面BEM，PE?面BEM，