第一節(jié)集合高三一輪復(fù)習講義湘教版第一章集合與邏輯、不等式課程標準1.了解集合的含義，了解全集、空集的含義.

2.理解元素與集合的屬于關(guān)系，理解集合間的包含和相等關(guān)系.

3.會求兩個集合的并集、交集與補集.

4.能用自然語言、圖形語言、集合語言描述不同的具體問題，能使用Venn圖表示集合間的基本關(guān)系和基本運算.0403考教銜接精研教材課時測評02考點探究提升能力教材梳理夯實基礎(chǔ)01內(nèi)容索引教材梳理夯實基礎(chǔ)互不相同確定順序?qū)儆诓粚儆凇?.集合與元素(1)集合元素的基本屬性：①同一集合中的元素是_________的.②集合中的元素是_____的.③集合中的元素沒有_____.(2)元素與集合的關(guān)系是_____或_______關(guān)系，用符號___或___表示.(3)集合的表示法：_______、_______、_______.?列舉法描述法圖示法微提醒N為自然數(shù)集(即非負整數(shù)集)，包含0，N+表示正整數(shù)集，不包含0.NN+ZQR(4)常用數(shù)集的記法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號_______________2.集合間的基本關(guān)系表示關(guān)系自然語言符號語言Venn圖子集如果集合A中每個元素都是集合B的元素，則稱A是B的一個子集___________________真子集如果A?B但A≠B，就說A是B的真子集________________集合相等如果A?B并且B?A，就說兩個集合相等A=BA?B(或B?A)A?B(或B?A)微提醒0，{0}，?，{?}之間的關(guān)系：?≠{?}，?∈{?}，0??，0?{?}，0∈{0}，??{0}.3.集合的基本運算

交集并集補集圖形語言符號語言A∩B=________________A∪B=______________?UA=______________{x|x∈A且x∈B}{x|x∈A或x∈B}x|x∈U且x?A}常用結(jié)論(1)若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n－1個.

(2)A?B?A∩B=A?A∪B=B??UA??UB.(3)A∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A，A∪A=A，A∪?=A，A∪B=B∪A.(4)?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).自主檢測1.(多選)下列結(jié)論錯誤的是

A．集合{x∈N|x3=x}，用列舉法表示為{－1，0，1}B．{x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x，y)|y=x2+1}C．若1∈{x2，x}，則x=－1或x=1D．對任意集合A，B，都有(A∩B)?(A∪B)√√√

√√3.已知集合A={x|x2－4x<0，x∈N+}，則集合A真子集的個數(shù)為

A．3 B．4 C．8 D．7√A={x|x2－4x<0，x∈N+}={1，2，3}，所以集合A真子集的個數(shù)為23－1=7個.故選D．4.(用結(jié)論)已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={3，4}，則(?UA)∩(?UB)=

A．{1，5} B．{5}C．{1，2，5} D．{2，3，4}√(?UA)∩(?UB)=?U(A∪B)={5}.故選B．5.設(shè)全集為R，A={x|3≤x<7}，B={x|2<x<10}，則?R(A∪B)=________________，(?RA)∩B=____________________.

{x|x≤2或x≥10}

{x|2<x<3或7≤x<10}返回考點探究提升能力考點一集合的基本概念

自主練透因為集合A={1，2，3，4}，B={5，6}，又x∈A，y∈B，則當y=5時，x+y的值有6，7，8，9，當y=6時，x+y的值有7，8，9，10，于是得C={6，7，8，9，10}，所以C中元素的個數(shù)為5.故選C．1.(2025·江蘇常州模擬)設(shè)集合A={1，2，3，4}，B={5，6}，C={x+y|x∈A，y∈B}，則C中元素的個數(shù)為

A．3 B．4 C．5 D．6√

√

3.已知集合A={0，1，2，3，4}，B={(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，則B中所含元素的個數(shù)為

A．5 B．6 C．10 D．15√因為x∈A，y∈A，x－y∈A，所以分以下5種情況：①x－y=1，有四個，(2，1)，(3，2)，(4，3)，(1，0)；②x－y=2，有三個，(3，1)，(4，2)，(2，0)；③x－y=3，有兩個，(4，1)，(3，0)；④x－y=4，有一個，(4，0)；⑤x－y=0，有五個，(0，0)，(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4).綜上，B中所含元素的個數(shù)為15.故選D．4.設(shè)集合A={x|3x－1<m}，若1∈A且2?A，則實數(shù)m的取值范圍是

A．2<m<5 B．2≤m<5C．2<m≤5 D．2≤m≤5√因為集合A={x|3x－1<m}，1∈A且2?A，所以3×1－1<m且3×2－1≥m，解得2<m≤5.故選C．5.若集合A={x|kx2+x+1=0}中有且只有一個元素，則實數(shù)k的取值集合是________.

解決集合含義問題的關(guān)鍵有三點：一是確定構(gòu)成集合的元素；二是確定元素的限制條件；三是根據(jù)元素的特征(滿足的條件)構(gòu)造關(guān)系式解決相應(yīng)問題.注意：含字母的集合問題，在求出字母的值后，需要驗證集合的元素是否滿足互異性.規(guī)律方法考點二集合間的基本關(guān)系

師生共研典例1

√

√因為A?B，則有：若a－2=0，解得a=2，此時A={0，－2}，B={1，0，2}，不符合題意；若2a－2=0，解得a=1，此時A={0，－1}，B={1，

－1，0}，符合題意.綜上所述a=1.故選B．(變條件)將本例(2)中的集合A，B分別變?yōu)锳＝{x|－a<x<a}，B＝{x|

－1<x<3}，其它條件不變，則實數(shù)a的取值范圍為___________．

(－∞，1]變式探究1.判斷集合間關(guān)系的三種方法規(guī)律方法列舉法根據(jù)題中限定條件把集合元素列舉出來，然后比較集合元素的異同，從而找出集合之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)法從元素的結(jié)構(gòu)特點入手，結(jié)合通分、化簡、變形等技巧，從元素結(jié)構(gòu)上找差異進行判斷數(shù)軸法在同一個數(shù)軸上表示出兩個集合，比較端點之間的大小關(guān)系，從而確定集合與集合之間的關(guān)系2.根據(jù)兩集合的關(guān)系求參數(shù)的方法

已知兩個集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關(guān)系，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題.

注意：空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系問題時，必須考慮空集的情況，否則易造成漏解.規(guī)律方法對點練1.(1)已知集合A={x∈N+|x2－2x－3<0}，則滿足B?A的非空集合B的個數(shù)為

A．3 B．4 C．7 D．8√A={x∈N+|x2－2x－3<0}={x∈N+|－1<x<3}={1，2}，所以滿足B?A的非空集合B有{1}，{2}，{1，2}，共3個.故選A．

√

考點三集合的基本運算

多維探究法一：因為N={x|x2－x－6≥0}=(－∞，－2]∪[3，+∞)，而M={－2，

－1，0，1，2}，所以M∩N={－2}.故選C．法二：因為M={－2，－1，0，1，2}，將－2，－1，0，1，2代入不等式x2－x－6≥0，只有－2使不等式成立，所以M∩N={－2}.故選C．典例2角度1

集合的運算(1)(2023·新課標Ⅰ卷)已知集合M={－2，－1，0，1，2}，N={x|x2－x－6≥0}，則M∩N=

A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}C．{－2} D．{2}√(2)(2024·新課標Ⅰ卷)已知集合A={x|－5<x3<5}，B={－3，－1，0，2，3}，則A∩B=

A．{－1，0} B．{2，3}C．{－3，－1，0} D．{－1，0，2}√

√

集合基本運算的方法技巧

規(guī)律方法典例3

√

利用集合的運算求參數(shù)值(范圍)的方法1.與不等式有關(guān)的集合，一般利用數(shù)軸解決，要注意端點值的取舍.

2.若集合中的元素能一一列舉，則一般先用觀察法得到集合中元素之間的關(guān)系，再列方程(組)求解.

注意：在求出參數(shù)后，注意結(jié)果的驗證(滿足集合中元素的互異性).規(guī)律方法

√

(2)已知集合A={x|x<－1或x≥0}，B={x|x≥a}.若A∪B=R，則實數(shù)a的取值范圍是

A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]C．(－∞，0) D．(－1，0)√如圖，在數(shù)軸上表示出集合A，若A∪B=R，則由圖易知a≤－1，所以實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－1].故選B．考點四集合的新定義問題

師生共研典例4

4

1

解決以集合為背景的新定義問題要抓住兩點1.準確轉(zhuǎn)化.解決新定義問題時，一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義，緊扣題目所給定義，結(jié)合題目的要求進行恰當轉(zhuǎn)化，切忌同已有概念或定義相混淆.

2.方法選取.對于新定義問題，可恰當選用特例法、篩選法、一般邏輯推理等方法，并結(jié)合集合的相關(guān)性質(zhì)求解.規(guī)律方法對點練3.(多選)設(shè)A是非空數(shù)集，若對任意x，y∈A，都有x+y∈A，xy∈A，則稱A具有性質(zhì)P，下列命題為真命題的是

A．若A具有性質(zhì)P，則A可以是有限集B．若A1，A2具有性質(zhì)P，且A1∩A2≠?，則A1∩A2具有性質(zhì)PC．若A1，A2具有性質(zhì)P，則A1∪A2具有性質(zhì)PD．若A具有性質(zhì)P，且A≠R，則?RA不具有性質(zhì)P√√√

返回考教銜接精研教材真題再現(xiàn)

√

2.(2023·全國乙卷)設(shè)集合U=R，集合M={x|x<1}，N={x|－1<x<2}，則{x|x≥2}=

A．?U(M∪N) B．N∪?UMC．?U(M∩N) D．M∪?UN√由題意可得M∪N={x|x<2}，則?U(M∪N)={x|x≥2}，故A正確；?UM={x|x≥1}，則N∪?UM={x|x>－1}，故B錯誤；M∩N={x|－1<x<1}，則?U(M∩N)={x|x≤－1，或x≥1}，故C錯誤；?UN={x|x≤－1，或x≥2}，則M∪?UN={x|x<1，或x≥2}，故D錯誤.故選A．返回教材呈現(xiàn)1.(湘教版必修一P12T10)已知集合A={x|－2<x≤5}，B={x|2<x<8}，求?R(A∪B)，?R(A∩B)，(?RA)∩B，A∪(?RB).2.(湘教版必修一P13T16)已知U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A∩(?UB)={1，8}，(?UA)∩B={2，6}，(?UA)∩(?UB)={4，7}，求集合A，B.點評：這兩道高考題主要考查集合的交集、并集與補集運算，與教材習題考查知識點完全相同，不同的是改變了問題的解題角度，對于此類問題一定要注意不等式中端點的開閉.課時測評

√

√

√解不等式x2+2x－3<0，得－3<x<1，即A=(－3，1)，由B=[0，2]，得?UB=(－∞，0)∪(2，+∞)，所以圖中陰影部分表示的集合為A∩(?UB)=

(－3，0).故選A．4.(2025·安徽黃山模擬)已知集合A={x|x>a}，B={x|x<a2}，且(?RA)∩B=B，則實數(shù)a的取值范圍為A．[0，1] B．[0，1)C．(0，1) D．(－∞，0]√因為A={x|x>a}，所以?RA={x|x≤a}，又(?RA)∩B=B，所以B??RA，又B={x|x<a2}，所以a2≤a，解得0≤a≤1，即實數(shù)a的取值范圍為[0，1].故選A．5.(2025·山東青島模擬)已知全集U=R，集合A，B滿足A?(A∩B)，則下列關(guān)系一定正確的是

A．A=B B．B?AC．A∩(?UB)=? D．(?UA)∩B=?√因為集合A，B滿足A?(A∩B)，故可得A?B，對于A，當A為B的真子集時，不成立；對于B，當A為B的真子集時，也不成立；對于C，A∩(?UB)=?，恒成立；對于D，當A為B的真子集時，不成立.故選C．6.已知集合M={x|x(x－2)<0}，N={x|x－1<0}，則下列Venn圖中陰影部分可以表示集合{x|1≤x<2}的是

x(x－2)<0?0<x<2，x－1<0?x<1，選項A中Venn圖中陰影部分表示M∩N=(0，1)，不符合題意；選項B中Venn圖中陰影部分表示?M(M∩N)=[1，2)，符合題意；選項C中Venn圖中陰影部分表示?N(M∩N)=(－∞，0]，不符合題意；選項D中Venn圖中陰影部分表示M∪N=(－∞，2)，不符合題意.故選B．√

√√

√8.(多選)如圖所示，陰影部分表示的集合是

A．(?UB)∩A B．(?UA)∩BC．?U(A∩B) D．A∩?U(A∩B)√√由題圖及集合的運算，知陰影部分表示的集合為(?UB)∩A或A∩?U(A∩B).故選AD．9.(多選)若集合M={x|－3<x<1}，N={x|x≤3}，則集合{x|x≤－3或x≥1}=A．M∩N B．?RMC．?R(M∩N) D．?R(M∪N)√√由題意得M∩N={x|－3<x<1}，M∪N={x|x≤3}，?RM={x|x≤－3或x≥1}，所以?R(M∩N)={x|x≤－3或x≥1}，?R(M∪N)={x|x>3}.故選BC．(2，3)

10.已知集合A={x|(x－1)(x－3)<0}，B={x|2<x<4}，則A∩B=________，A∪B=________，(?RA)∪B=_________________.

(1，4)

(－∞，1]∪(2，+∞)由已知得A={x|1<x<3}，故A∩B={x|2<x<3}，A∪B={x|1<x<4}，(?RA)∪B={x|x≤1或x>2}.

[1，＋∞)

12.已知集合A={1，a}，B={x|log2x<1}，且A∩B有2個子集，則實數(shù)a的取值范圍為__________________.

(－∞，0]∪[2，+∞)由題意得，B={x|log2x<1}={x|0<x<2}，因為A∩B有2個子集，所以A∩B中的元素個數(shù)為1；因為1∈(A∩B)，所以a?(A∩B)，即a?B，所以a≤0或a≥2，即實數(shù)a的取值范圍為(－∞，0]∪[2，+∞).13.(多選)已知M，N均為實數(shù)集R的子集，且N∩(?RM)=?，則下列結(jié)論中正確的是

A．M∩(?RN)=?B．M∪(?RN)=RC．(?RM)∪(?RN)=?RMD．(?RM)∩(?RN)=?RM√√因為N∩(?RM)=?，所以N?M.若N是M的真子集，則M∩(?RN)≠?，故A錯誤；由N?M，得M∪(?RN)=R，故B正確；由N?M，得?RN??RM，故C錯誤，D正確.故選BD．14.(新情境)某小區(qū)連續(xù)三天舉辦公益活動，第一天有190人參加，第二天有130人參加，第三天有180人參加，其中，前兩天都參加的有30人，后兩天都參加的有40人.第一天參加但第二天沒參加活動的有________人，這三天參加活動的最少有________人.

160

290根據(jù)題意畫出Venn圖，如圖所示，a表示只參加第一天的人，b表示只參加第二天的人，c表示只參加第三天的人，d表示只參加第一天與第二天的人，e表示只參加第一天與第三天的人，f表示只參加第二天與第三天的人，g表示三天都參加的人，所以要使總?cè)藬?shù)最少，則令g最大，其次d，e，f