不定方程不定方程，顧名思義就是“不確定”的方程，這里的不確定主要體現(xiàn)在方程的解上．之前我們學(xué)習(xí)的方程一般都有唯一解，比如方程只有一個(gè)解，方程組只有一組解．什么樣的方程，解不唯一呢？舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子，二元一次方程的解就不唯一，因?yàn)槊慨?dāng)y取定一個(gè)數(shù)值時(shí)，x就會(huì)有相應(yīng)的取值和它對(duì)應(yīng)，使方程成立，這樣一來就會(huì)有無窮多組解．通常情況下，當(dāng)未知數(shù)的個(gè)數(shù)大于方程個(gè)數(shù)時(shí)，這個(gè)方程（或方程組）就會(huì)有無窮多個(gè)解．可是方程的解那么多，究竟哪個(gè)才是正確的呢？應(yīng)該說，如果不加任何額外的限制條件，這無窮多個(gè)解都是正確的．但在實(shí)際情況中，我們通常會(huì)限定方程的解必須是自然數(shù)，這樣一來，往往就只有少數(shù)幾個(gè)解能符合要求，甚至在某些情況下所有的解都不對(duì)．

練一練求下列方程的自然數(shù)解：（1）； （2）；（3）； （4）．本講我們要學(xué)習(xí)的就是這樣的一類方程（或方程組）：它們所含未知數(shù)的個(gè)數(shù)往往大于方程的個(gè)數(shù)，而未知數(shù)本身又有一定的取值范圍，這個(gè)范圍通常都是自然數(shù)——這類方程就是“不定方程”．形如（a、b、c為正整數(shù)）的方程是二元一次不定方程的標(biāo)準(zhǔn)形式．解這樣的方程，最基本的方法就是枚舉．那怎樣才能枚舉出方程的全部自然數(shù)解呢？我們下面結(jié)合例題來進(jìn)行講解．甲級(jí)鉛筆7角一支，乙級(jí)鉛筆3角一支，張明用5元錢買這兩種鉛筆，錢恰好花完．請(qǐng)問：張明共買了多少支鉛筆？

「分析」設(shè)張明買了甲級(jí)鉛筆支，乙級(jí)鉛筆支，可以列出不定方程：，其中和都是自然數(shù)．怎么求解呢？

練習(xí)1、（1）求的所有自然數(shù)解；（2）求的所有自然數(shù)解．

一般地，如果是的一組解，那么（當(dāng)時(shí)）也是的一組解．這是因?yàn)椋硗?，（?dāng)時(shí)）也是的一組解，理由相同．這條性質(zhì)有什么用呢？我們以求的自然數(shù)解為例，我們?nèi)菀卓闯鏊幸唤M自然數(shù)解．應(yīng)用上面的規(guī)律，每次增加3，每次減少2（只要還是自然數(shù)），所得結(jié)果仍然是的一組解，所以、、、、都是的自然數(shù)解．另外每次減少3（只要還是自然數(shù)），每次增加2，所得結(jié)果也是的自然數(shù)解，所以、、也都是的自然數(shù)解．而且這樣就已經(jīng)求出了的所有自然數(shù)解，它們是：、、、、、、、、．這就告訴我們，在求形如（a、b、c為正整數(shù)）的不定方程的自然數(shù)解時(shí)，我們可以先找出一組解，之后其余的所有解都可由這一組解的值每次變化，值每次變化得到（注意變化的方向相反，一個(gè)增加，另一個(gè)就得減少，才能保證的大小不變）．采購(gòu)員去超市買雞蛋．每個(gè)大盒里有23個(gè)雞蛋，每個(gè)小盒里有16個(gè)雞蛋．采購(gòu)員要恰好買500個(gè)雞蛋，他一共要買多少盒？「分析」采購(gòu)員要買多少個(gè)大盒，多少個(gè)小盒？大盒個(gè)數(shù)與小盒個(gè)數(shù)之間有什么聯(lián)系？

練習(xí)2、點(diǎn)心店里賣大、小兩種蛋糕．一個(gè)大蛋糕恰好夠7個(gè)人吃，一個(gè)小蛋糕恰好夠4個(gè)人吃，現(xiàn)在有100個(gè)人要吃蛋糕，應(yīng)該準(zhǔn)備大、小蛋糕各多少個(gè)才不浪費(fèi)？如果每個(gè)大蛋糕10元，每個(gè)小蛋糕7元，那么至少要花多少錢？

前面的兩道例題只要求方程的解是自然數(shù)即可，但有的問題除了要求“解必須是自然數(shù)”外，還會(huì)有一些其它的約束．下面我們就來看幾道這樣例題．

甲、乙兩個(gè)小隊(duì)去植樹．甲小隊(duì)有一人植樹12棵，其余每人植樹13棵；乙小隊(duì)有一人植樹8棵，其余每人植樹10棵．已知兩小隊(duì)植樹棵數(shù)相等，且每小隊(duì)植樹的棵數(shù)都是四百多棵．問：甲、乙兩小隊(duì)共有多少人？「分析」不妨設(shè)甲小隊(duì)有人，乙小隊(duì)有人．由“兩小隊(duì)植樹棵數(shù)相等”，你能列出一個(gè)關(guān)于與的不定方程嗎？所列出來的不定方程又該如何求解？

練習(xí)3、天氣炎熱，高思學(xué)校購(gòu)置了大、小空調(diào)若干．每臺(tái)大空調(diào)每天耗電38度，每臺(tái)小空調(diào)每天耗電13度．已知所有大空調(diào)日耗電量之和恰好比所有小空調(diào)日耗電量之和少1度．請(qǐng)問：?jiǎn)挝焕镒钌儋?gòu)進(jìn)了多少臺(tái)空調(diào)？

將一根長(zhǎng)為380厘米的合金鋁管截成若干根長(zhǎng)為36厘米和24厘米兩種型號(hào)的短管，加工損耗忽略不計(jì)．問：剩余部分最少是多少厘米？

「分析」不妨設(shè)已經(jīng)截出了根長(zhǎng)36厘米的管子和根長(zhǎng)24厘米的管子．合金鋁管如果剛好能夠被用完，方程應(yīng)該怎么列？列出來的方程有自然數(shù)解嗎？

練習(xí)4、酒店里有500升女兒紅，李一白每次路過這里就打走35升，杜二甫每次路過這里就打走21升．那么若干天后，酒店剩余的女兒紅最少是多少升？

二元一次不定方程只要找到一組自然數(shù)解，就能利用方程系數(shù)有規(guī)律地寫出所有自然數(shù)解．而含有更多未知數(shù)的不定方程又當(dāng)如何求解呢？ 我國(guó)古代數(shù)學(xué)家張丘建在《算經(jīng)》一書中提出了“百雞問題”：雞翁一值錢五，雞母一值錢三，雞雛三值錢一．百錢買百雞，問雞翁、雞母、雞雛各幾何？這個(gè)問題是說：每只公雞價(jià)值5文錢，每只母雞價(jià)值3文錢，每3只小雞價(jià)值1文錢．要想用100文錢恰好買100只雞，公雞、母雞和小雞應(yīng)該分別買多少只？

「分析」題中有幾個(gè)未知量？由這些未知量你能列出幾個(gè)方程？

《張丘建算經(jīng)》張丘建，北魏清河（今山東邢臺(tái)市清河縣）人，中國(guó)古代數(shù)學(xué)家，著有《張丘建算經(jīng)》．該書的體例為問答式，條理精密、文辭古雅，是中國(guó)古代數(shù)學(xué)史上少有的杰作．《張丘建算經(jīng)》現(xiàn)傳本有92問，比較突出的成就有最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的計(jì)算，各種等差數(shù)列問題的解決，某些不定方程問題的求解．百雞問題就是其中一個(gè)著名的不定方程問題．張丘建所處的年代是中國(guó)古代的南北朝時(shí)期．盡管當(dāng)時(shí)的中國(guó)戰(zhàn)火連年，朝代更迭頻繁，且一直處于分裂狀態(tài)，但數(shù)學(xué)發(fā)展的腳步依然沒有停下．與《張丘建算經(jīng)》同時(shí)代的算經(jīng)還有《孫子算經(jīng)》和《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》，而與張丘建本人同時(shí)代的數(shù)學(xué)家還有大名鼎鼎的祖沖之．卡莉婭到商店買糖，巧克力糖13元一包，奶糖17元一包，水果糖7.8元一包，酥糖10.4元一包，最后她共花了360元，且每種糖都買了．請(qǐng)問：卡莉婭買了多少包奶糖？

「分析」題目中出現(xiàn)了四種糖果，我們不妨設(shè)巧克力糖、奶糖、水果糖和酥糖分別有包、包、包和包，再由已知的單價(jià)、總價(jià)可以列出方程．這是一個(gè)四元一次方程，如果按通常的解法枚舉出所有解，勢(shì)必會(huì)有太多可能性需要討論，過于繁瑣．而且題目也沒要我們求出所有解，只要我們求出奶糖的數(shù)量即可．那有沒有辦法不求其它糖果，只求奶糖的數(shù)量呢？練習(xí)6、求的所有自然數(shù)解．蝴蝶效應(yīng)蝴蝶效應(yīng)氣象學(xué)家Lorenz提出一篇論文，名叫“一只蝴蝶拍一下翅膀會(huì)不會(huì)在德克薩斯州引起龍卷風(fēng)？”論述某系統(tǒng)如果初期條件差一點(diǎn)點(diǎn)，結(jié)果會(huì)很不穩(wěn)定，他把這種現(xiàn)象戲稱做「蝴蝶效應(yīng)」．就像我們投擲骰子兩次，無論我們?nèi)绾慰桃馊ネ稊S，兩次的物理現(xiàn)象和投出的點(diǎn)數(shù)也不一定是相同的．Lorenz為何要寫這篇論文呢？這故事發(fā)生在1961年的某個(gè)冬天，他如往常一般在辦公室操作氣象電腦．平時(shí)，他只需要將溫度、濕度、壓力等氣象數(shù)據(jù)輸入，電腦就會(huì)依據(jù)三個(gè)內(nèi)建的微分方程式，計(jì)算出下一刻可能的氣象數(shù)據(jù)，因此模擬出氣象變化圖．

這一天，Lorenz想更進(jìn)一步了解某段紀(jì)錄的后續(xù)變化，他把某時(shí)刻的氣象數(shù)據(jù)重新輸入電腦，讓電腦計(jì)算出更多的后續(xù)結(jié)果．當(dāng)時(shí)，電腦處理數(shù)據(jù)資料的數(shù)度不快，在結(jié)果出來之前，足夠他喝杯咖啡并和友人閑聊一陣．在一小時(shí)后，結(jié)果出來了，不過令他目瞪口呆．結(jié)果和原資訊兩相比較，初期數(shù)據(jù)還差不多，越到后期，數(shù)據(jù)差異就越大了，就像是不同的兩筆資訊．而問題并不出在電腦，問題是他輸入的數(shù)據(jù)差了0.000127，而這些微的差異卻造成天壤之別．所以長(zhǎng)期的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)天氣是不可能的．課堂內(nèi)外

作業(yè)（1）求的所有自然數(shù)解；（2）求的所有自然數(shù)解．

在一次植樹節(jié)的活動(dòng)中，參加活動(dòng)的男生每個(gè)人種11棵樹，女生每個(gè)人種7棵樹，最后所有人一共種了100棵樹，那么參加活動(dòng)的一共有多少人？

一張紙上寫有25個(gè)1.21和25個(gè)1.3．現(xiàn)在要?jiǎng)澣テ渲械囊恍?shù)，使留下來的數(shù)的總和為20.08，那么應(yīng)劃去多少個(gè)1.3？

櫻木同學(xué)特別喜歡吃包子，每天早上都到學(xué)一食堂買包子吃．

（1）第一天早上，櫻木同學(xué)花了6元買了一些冬菜包和豆香包，兩種包子他都買了．已知冬菜包每個(gè)7角，豆香包每個(gè)5角，那么櫻木同學(xué)一共買了多少個(gè)包子？

（2）第二天早上，櫻木同學(xué)去學(xué)一食堂的路上遇到了晴子．于是櫻木邀請(qǐng)晴子一起去吃包子．到學(xué)一食堂后，兩人除了吃冬菜包和豆香包以外還點(diǎn)了幾串羊肉串．已知羊肉串每串1.2元，最后一共花了18元，所點(diǎn)包子與羊肉串?dāng)?shù)量總和是25．那么兩人最多吃了多少串羊肉串？

甲、乙、丙三個(gè)班向希望工程捐贈(zèng)圖書．已知甲班有1人捐6冊(cè)，有2人各捐7冊(cè)，其余都各捐11冊(cè)；乙班有1人捐6冊(cè)，3人各捐8冊(cè)，其余各捐10冊(cè)；丙班有2人各捐4冊(cè)，6人各捐7冊(cè)，其余各捐9冊(cè)．已知甲班捐書總數(shù)比乙班多28冊(cè)，乙班比丙班多101冊(cè)，且每個(gè)班捐贈(zèng)的冊(cè)數(shù)都在400與600之間．各班各有多少人？

不定方程例題：答案：14或10

詳解：由于方程兩邊除以3的余數(shù)相同，，，所以除以3余2．又因?yàn)?，所以是不超過7的自然數(shù)，只能取2或5．當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，．所以張明共買了14支或10支鉛筆．答案：26

詳解：設(shè)買了大盒雞蛋盒，小盒雞蛋盒，則．考慮方程兩邊除以16的余數(shù)，得：除以16的余數(shù)是4．首先要求是4的倍數(shù)，所以是4的倍數(shù)，驗(yàn)證4、8、12、……發(fā)現(xiàn)滿足除以16的余數(shù)是4的最小值是12，相應(yīng)的的值是14，即．由于且，所以方程沒有其它自然數(shù)解，采購(gòu)員一共買了盒雞蛋．答案：76

詳解：設(shè)甲、乙兩小隊(duì)分別有人和人．則兩隊(duì)植樹棵數(shù)分別為棵和棵．由分析得：．將0、1、2、……代入方程驗(yàn)證是否是自然數(shù)，可以求出方程的值最小的一組自然數(shù)解，此時(shí)每隊(duì)的植樹棵數(shù)均為38棵．

方程的所有其他的自然數(shù)解都可以由進(jìn)行若干次的“值增加13且同時(shí)值增加10”得到（也就是方程的其他所有自然數(shù)解是，，，……），每次“值增加13且同時(shí)值增加10”意味著每隊(duì)植樹棵數(shù)增加130棵，38棵要變?yōu)樗陌俣嗫?，意味著要增?次，符合要求的自然數(shù)解是．所以甲隊(duì)有33人，乙隊(duì)有43人，兩隊(duì)共有人．答案：8

詳解：設(shè)已經(jīng)截出了根長(zhǎng)36厘米的管子和根長(zhǎng)24厘米的管子，那么被截出的管子一共長(zhǎng)厘米．由，得：一定是12的倍數(shù)．而380不是12的倍數(shù)，所以是沒有自然數(shù)解的！管子不可能剛好被用盡，那么最少會(huì)剩下多少厘米呢？

由于一定是12的倍數(shù)，小于380且能被12整除的最大自然數(shù)是372，而的自然數(shù)解是存在的，如，也就是截出1根長(zhǎng)36厘米的管子和14根長(zhǎng)24厘米的管子，能夠使得截出的管子總長(zhǎng)度達(dá)到最大值372厘米．所以剩余部分最少是厘米．答案：有四種符合要求的買雞方案：公雞0只，母雞25只，小雞75只；公雞4只，母雞18只，小雞78只；公雞8只，母雞11只，小雞81只；公雞12只，母雞4只，小雞84只

詳解：設(shè)公雞、母雞和小雞分別買了只、只和只．依題意，得：．要求這個(gè)方程的自然數(shù)解，我們用“消元”的想法把它轉(zhuǎn)化成二元一次不定方程求自然數(shù)解的問題．我們選擇“消去”：將第二個(gè)方程乘以3，然后減去第一個(gè)方程，得：，即，它的所有自然數(shù)解是、、、．它們對(duì)應(yīng)的值分別為75、78、81、84都是自然數(shù)，于是原不定方程的所有自然數(shù)解是：、、和．所以我們有四種符合要求的買雞方案：公雞0只，母雞25只，小雞75只；公雞4只，母雞18只，小雞78只；公雞8只，母雞11只，小雞81只；公雞12只，母雞4只，小雞84只．答案：12

詳解：不妨設(shè)巧克力糖、奶糖、水果糖和酥糖分別有包、包、包和包，則．把系數(shù)都化成整數(shù)，得：．由于我們只關(guān)心奶糖的數(shù)量，我們將未知數(shù)分為一組，其余未知數(shù)分為另一組：．也就是．令，則．它的自然數(shù)解只有，所以阿奇共買了12包奶糖．

練習(xí)：答案：（1）有三組解：；；；（2）有一組解：

簡(jiǎn)答：（1）考慮方程兩邊除以3的余數(shù)；（2）考慮方程兩邊除以11的余數(shù)．答案：有四種購(gòu)買方案：12個(gè)大蛋糕，4個(gè)小蛋糕；8個(gè)大蛋糕，11個(gè)小蛋糕；4個(gè)大蛋糕，18個(gè)小蛋糕；0個(gè)大蛋糕，25個(gè)小蛋糕；第一個(gè)方案最省錢，只要花元

簡(jiǎn)答：求不定方程的自然數(shù)解即可．答案：4臺(tái)

簡(jiǎn)答：的最小自然數(shù)解為，最少需要大空調(diào)1臺(tái)，小空調(diào)3臺(tái)．答案：3

簡(jiǎn)答：注意是7的倍數(shù)．答案：（1）有三組解：、、；（2）1；2；6

簡(jiǎn)答：（1）消去可解；（2）求的正整數(shù)解即可．

作業(yè)：答案：（1）；（2）；

簡(jiǎn)答：（1）考慮方程兩邊除以3的余數(shù)；（2）消去未知數(shù)y，轉(zhuǎn)化成二元一次不定方程．

答案：12

簡(jiǎn)答：由，得：，所以參加活動(dòng)的共有人．

答案：17

簡(jiǎn)答：設(shè)留下來的數(shù)中有x個(gè)1