《高等數(shù)學(xué)》試題庫及答案一、函數(shù)與極限1.選擇題設(shè)函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$，$x\neq1$；$f(x)=2$，$x=1$，則$\lim\limits_{x\to1}f(x)$的值為（）A.0B.1C.2D.不存在答案：C解析：當(dāng)$x\neq1$時，$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=x+1$，根據(jù)極限的運算法則，$\lim\limits_{x\to1}f(x)=\lim\limits_{x\to1}(x+1)=1+1=2$。2.填空題函數(shù)$y=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}$的定義域是______。答案：$(-2,2)$解析：要使函數(shù)有意義，則根號下的數(shù)大于零，即$4-x^2>0$，也就是$x^2<4$，解得$-2<x<2$。3.解答題求$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}$。答案：3解析：根據(jù)等價無窮小，當(dāng)$x\to0$時，$\sinax\simax$（$a$為常數(shù)），所以當(dāng)$x\to0$時，$\sin3x\sim3x$，則$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{3x}{x}=3$。二、導(dǎo)數(shù)與微分1.選擇題函數(shù)$y=x^3$在點$x=1$處的導(dǎo)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4答案：C解析：根據(jù)求導(dǎo)公式$(x^n)^\prime=nx^{n-1}$，對$y=x^3$求導(dǎo)得$y^\prime=3x^2$，將$x=1$代入$y^\prime$，可得$y^\prime|_{x=1}=3\times1^2=3$。2.填空題設(shè)函數(shù)$f(x)=\ln(1+x)$，則$f^\prime(x)=$______。答案：$\frac{1}{1+x}$解析：根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，若$y=\lnu$，$u=1+x$，則$y^\prime=\frac{1}{u}\cdotu^\prime$，$u^\prime=(1+x)^\prime=1$，所以$f^\prime(x)=\frac{1}{1+x}$。3.解答題求函數(shù)$y=e^{2x}\sinx$的導(dǎo)數(shù)。答案：$y^\prime=e^{2x}(2\sinx+\cosx)$解析：根據(jù)乘積的求導(dǎo)法則$(uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime$，設(shè)$u=e^{2x}$，$v=\sinx$。先對$u$求導(dǎo)，$u^\prime=(e^{2x})^\prime=e^{2x}\cdot(2x)^\prime=2e^{2x}$；$v^\prime=(\sinx)^\prime=\cosx$。則$y^\prime=u^\primev+uv^\prime=2e^{2x}\sinx+e^{2x}\cosx=e^{2x}(2\sinx+\cosx)$。三、不定積分1.選擇題$\intx^2dx$等于（）A.$\frac{1}{3}x^3+C$B.$x^3+C$C.$\frac{1}{2}x^2+C$D.$2x+C$答案：A解析：根據(jù)不定積分公式$\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$（$n\neq-1$），當(dāng)$n=2$時，$\intx^2dx=\frac{1}{3}x^3+C$。2.填空題$\int\frac{1}{x}dx=$______。答案：$\ln|x|+C$解析：這是基本的不定積分公式。3.解答題求$\int(2x+\cosx)dx$。答案：$x^2+\sinx+C$解析：根據(jù)不定積分的加法法則$\int(f(x)+g(x))dx=\intf(x)dx+\intg(x)dx$，則$\int(2x+\cosx)dx=\int2xdx+\int\cosxdx$。由$\int2xdx=2\times\frac{1}{2}x^2=x^2$，$\int\cosxdx=\sinx$，所以$\int(2x+\cosx)dx=x^2+\sinx+C$。四、定積分1.選擇題$\int_{0}^{1}2xdx$的值為（）A.0B.1C.2D.3答案：B解析：先求被積函數(shù)$2x$的原函數(shù)，根據(jù)不定積分公式$\int2xdx=x^2+C$，再根據(jù)牛頓-萊布尼茨公式$\int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)$（$F(x)$是$f(x)$的原函數(shù)），則$\int_{0}^{1}2xdx=x^2|_{0}^{1}=1^2-0^2=1$。2.填空題設(shè)$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)，則$\int_{a}^f(x)dx+\int_^{a}f(x)dx=$______。答案：0解析：根據(jù)定積分的性質(zhì)，$\int_^{a}f(x)dx=-\int_{a}^f(x)dx$，所以$\int_{a}^f(x)dx+\int_^{a}f(x)dx=\int_{a}^f(x)dx-\int_{a}^f(x)dx=0$。3.解答題計算$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sinxdx$。答案：1解析：因為$\sinx$的原函數(shù)是$-\cosx$，根據(jù)牛頓-萊布尼茨公式，$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sinxdx=-\cosx|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=-\cos\frac{\pi}{2}+\cos0=0+1=1$。五、多元函數(shù)微分學(xué)1.選擇題設(shè)$z=x^2y$，則$\frac{\partialz}{\partialx}$等于（）A.$2xy$B.$x^2$C.$2x$D.$y$答案：A解析：求$\frac{\partialz}{\partialx}$時，將$y$看作常數(shù)，根據(jù)求導(dǎo)公式$(x^n)^\prime=nx^{n-1}$，對$z=x^2y$關(guān)于$x$求偏導(dǎo)數(shù)，得$\frac{\partialz}{\partialx}=2xy$。2.填空題設(shè)$z=e^{x+y}$，則$\frac{\partialz}{\partialy}=$______。答案：$e^{x+y}$解析：求$\frac{\partialz}{\partialy}$時，將$x$看作常數(shù)，對$z=e^{x+y}$關(guān)于$y$求偏導(dǎo)數(shù)，因為$(e^u)^\prime=e^u\cdotu^\prime$，這里$u=x+y$，$u_y^\prime=1$，所以$\frac{\partialz}{\partialy}=e^{x+y}$。3.解答題設(shè)$z=x^2+3xy+y^2$，求$dz$。答案：$dz=(2x+3y)dx+(3x+2y)dy$解析：先求$\frac{\partialz}{\partialx}$和$\frac{\partialz}{\partialy}$，$\frac{\partialz}{\par