202X-202X學(xué)年高一年級(jí)第一學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試試卷考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分命題人：高一數(shù)學(xué)備課組一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.集合的基本運(yùn)算已知集合\(A=\{x\midx^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{x\mid\log_2x<1\}\)，則\(A\cupB=\)（）A.\((0,2)\)B.\((0,2]\)C.\(\{1,2\}\)D.\((0,+\infty)\)解析：先解集合\(A\)：\(x^2-3x+2=0\Rightarrowx=1\)或\(x=2\)，故\(A=\{1,2\}\)；解集合\(B\)：\(\log_2x<1\Rightarrow0<x<2\)，故\(B=(0,2)\)。因此\(A\cupB=(0,2]\)，選B。2.函數(shù)定義域函數(shù)\(f(x)=\sqrt{2-x}+\log_3(x+1)\)的定義域是（）A.\((-1,2]\)B.\([-1,2)\)C.\((-1,+\infty)\)D.\((-\infty,2]\)解析：需滿足\(2-x\geq0\)（根號(hào)內(nèi)非負(fù)）且\(x+1>0\)（對(duì)數(shù)真數(shù)大于0），解得\(-1<x\leq2\)，選A。3.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式\(\sin(-\frac{7\pi}{6})=\)（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(-\frac{1}{2}\)C.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)D.\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)解析：\(\sin(-\frac{7\pi}{6})=-\sin(\frac{7\pi}{6})=-\sin(\pi+\frac{\pi}{6})=\sin(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}\)，選A。4.向量數(shù)量積已知向量\(\mathbf{a}=(1,-2)\)，\(\mathbf=(3,4)\)，則\(\mathbf{a}\cdot\mathbf=\)（）A.-5B.5C.-11D.11解析：數(shù)量積為坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相乘相加：\(1\times3+(-2)\times4=3-8=-5\)，選A。5.等差數(shù)列通項(xiàng)等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，公差\(d=3\)，則\(a_5=\)（）A.14B.15C.16D.17解析：通項(xiàng)公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，故\(a_5=2+4\times3=14\)，選A。6.指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性設(shè)\(a=2^{0.3}\)，\(b=\log_20.3\)，\(c=0.3^2\)，則\(a,b,c\)的大小關(guān)系是（）A.\(a>c>b\)B.\(a>b>c\)C.\(c>a>b\)D.\(b>a>c\)解析：\(2^{0.3}>2^0=1\)，\(\log_20.3<\log_21=0\)，\(0.3^2=0.09\in(0,1)\)，故\(a>c>b\)，選A。7.函數(shù)奇偶性下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A.\(f(x)=x^3\)B.\(f(x)=\sinx\)C.\(f(x)=\log_2x\)D.\(f(x)=2^x\)解析：A選項(xiàng)\(f(-x)=-x^3=-f(x)\)，奇函數(shù)，且導(dǎo)數(shù)\(f'(x)=3x^2\geq0\)，增函數(shù)；B選項(xiàng)\(\sinx\)是奇函數(shù)，但不是增函數(shù)（周期函數(shù)）；C選項(xiàng)定義域?yàn)閈((0,+\infty)\)，非奇非偶；D選項(xiàng)\(2^x\)非奇非偶，選A。8.三角函數(shù)周期函數(shù)\(f(x)=\cos(2x-\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(4\pi\)解析：余弦函數(shù)周期為\(\frac{2\pi}{\omega}\)，這里\(\omega=2\)，故周期為\(\pi\)，選A。9.冪函數(shù)圖像冪函數(shù)\(f(x)=x^{\alpha}\)的圖像過(guò)點(diǎn)\((2,4)\)，則\(\alpha=\)（）A.1B.2C.3D.4解析：代入點(diǎn)得\(2^{\alpha}=4\Rightarrow\alpha=2\)，選B。10.函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用已知函數(shù)\(f(x)=\log_3x\)，若\(f(a)>f(2)\)，則\(a\)的取值范圍是（）A.\((2,+\infty)\)B.\((0,2)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((-\infty,2)\)解析：\(\log_3x\)是增函數(shù)，故\(f(a)>f(2)\Rightarrowa>2\)，選A。11.向量模長(zhǎng)已知向量\(\mathbf{a}=(1,1)\)，\(\mathbf=(2,-1)\)，則\(|\mathbf{a}-\mathbf|=\)（）A.\(\sqrt{2}\)B.\(\sqrt{3}\)C.\(\sqrt{5}\)D.\(3\)解析：\(\mathbf{a}-\mathbf=(1-2,1-(-1))=(-1,2)\)，模長(zhǎng)為\(\sqrt{(-1)^2+2^2}=\sqrt{5}\)，選C。12.函數(shù)最值（難題）函數(shù)\(f(x)=|x^2-2x-3|\)在區(qū)間\([0,4]\)上的最大值是（）A.0B.3C.4D.5解析：先求內(nèi)層函數(shù)\(g(x)=x^2-2x-3=(x-1)^2-4\)，在\([0,4]\)上的取值：\(g(0)=-3\)，\(g(1)=-4\)，\(g(4)=16-8-3=5\)，故\(|g(x)|\)的最大值為\(|5|=5\)，選D。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.集合補(bǔ)集答案：\(\{2,4\}\)14.三角函數(shù)求值已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，則\(\cos\alpha=\)__________。解析：由\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，得\(\cos\alpha=-\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=-\frac{4}{5}\)（\(\alpha\)在第二象限，余弦為負(fù)）。答案：\(-\frac{4}{5}\)15.數(shù)列求和等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則前5項(xiàng)和\(S_5=\)__________。解析：公差\(d=\frac{a_3-a_1}{3-1}=\frac{5-1}{2}=2\)，前n項(xiàng)和\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)，故\(S_5=5\times1+\frac{5\times4}{2}\times2=5+20=25\)。答案：2516.函數(shù)圖像變換將函數(shù)\(f(x)=\sinx\)的圖像向左平移\(\frac{\pi}{3}\)個(gè)單位，再將所得圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的\(\frac{1}{2}\)（縱坐標(biāo)不變），得到的函數(shù)解析式為_(kāi)_________。解析：向左平移\(\frac{\pi}{3}\)得\(\sin(x+\frac{\pi}{3})\)，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的\(\frac{1}{2}\)得\(\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)。答案：\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.集合與函數(shù)（基礎(chǔ)題，10分）已知集合\(A=\{x\midx^2-4x+3<0\}\)，\(B=\{x\mid2^x>4\}\)。（1）求\(A\capB\)；解析：（1）解集合\(A\)：\(x^2-4x+3<0\Rightarrow(x-1)(x-3)<0\Rightarrow1<x<3\)，故\(A=(1,3)\)；解集合\(B\)：\(2^x>4\Rightarrow2^x>2^2\Rightarrowx>2\)，故\(B=(2,+\infty)\)。因此\(A\capB=(2,3)\)。答案：（1）\((2,3)\)；（2）\((-\infty,1]\cup(2,+\infty)\)18.三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值（基礎(chǔ)題，12分）已知\(\tan\alpha=3\)，求下列各式的值：（1）\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)；（2）\(\sin^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha\)。解析：（1）分子分母同除以\(\cos\alpha\)，得\(\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}=\frac{3+1}{3-1}=\frac{4}{2}=2\)。（2）原式可化為\(\frac{\sin^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}\)（分母為1，用同角關(guān)系），分子分母同除以\(\cos^2\alpha\)，得\(\frac{\tan^2\alpha-2\tan\alpha}{\tan^2\alpha+1}=\frac{9-6}{9+1}=\frac{3}{10}\)。答案：（1）2；（2）\(\frac{3}{10}\)19.向量綜合（中檔題，12分）已知向量\(\mathbf{a}=(2,1)\)，\(\mathbf=(1,-2)\)，\(\mathbf{c}=(3,-4)\)。（1）求\(|\mathbf{a}+\mathbf|\)；（2）求\(\mathbf{a}\)與\(\mathbf{c}\)的夾角\(\theta\)；（3）若\(\mathbf{c}=m\mathbf{a}+n\mathbf\)，求實(shí)數(shù)\(m,n\)的值。解析：（1）\(\mathbf{a}+\mathbf=(2+1,1+(-2))=(3,-1)\)，故\(|\mathbf{a}+\mathbf|=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{10}\)。（2）\(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}=2\times3+1\times(-4)=6-4=2\)，\(|\mathbf{a}|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\)，\(|\mathbf{c}|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5\)。因此\(\cos\theta=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}}{|\mathbf{a}||\mathbf{c}|}=\frac{2}{\sqrt{5}\times5}=\frac{2\sqrt{5}}{25}\)，故\(\theta=\arccos\frac{2\sqrt{5}}{25}\)。（3）由\(\mathbf{c}=m\mathbf{a}+n\mathbf\)，得\((3,-4)=m(2,1)+n(1,-2)=(2m+n,m-2n)\)。列方程組：\(\begin{cases}2m+n=3\\m-2n=-4\end{cases}\)，解得\(m=1\)，\(n=1\)（代入驗(yàn)證：\(2\times1+1=3\)，\(1-2\times1=-1\)？不對(duì)，重新算：\(2m+n=3\)（x坐標(biāo)），\(m-2n=-4\)（y坐標(biāo)）。用代入法，由第一式得\(n=3-2m\)，代入第二式：\(m-2(3-2m)=-4\Rightarrowm-6+4m=-4\Rightarrow5m=2\Rightarrowm=\frac{2}{5}\)，則\(n=3-2\times\frac{2}{5}=3-\frac{4}{5}=\frac{11}{5}\)。答案：（1）\(\sqrt{10}\)；（2）\(\arccos\frac{2\sqrt{5}}{25}\)；（3）\(m=\frac{2}{5}\)，\(n=\frac{11}{5}\)20.數(shù)列綜合（中檔題，12分）已知等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前n項(xiàng)和為\(S_n\)，\(a_1=1\)，\(S_3=7\)。（1）求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列\(zhòng)(\{na_n\}\)的前n項(xiàng)和\(T_n\)。解析：（1）設(shè)公比為\(q\)，則\(S_3=a_1+a_2+a_3=1+q+q^2=7\)，解得\(q^2+q-6=0\)，即\((q+3)(q-2)=0\)，故\(q=2\)或\(q=-3\)。因此通項(xiàng)公式為\(a_n=2^{n-1}\)或\(a_n=(-3)^{n-1}\)。（2）當(dāng)\(q=2\)時(shí)，\(na_n=n\cdot2^{n-1}\)，用錯(cuò)位相減法求\(T_n\)：\(T_n=1\cdot2^0+2\cdot2^1+3\cdot2^2+\cdots+n\cdot2^{n-1}\)，\(2T_n=1\cdot2^1+2\cdot2^2+\cdots+(n-1)\cdot2^{n-1}+n\cdot2^n\)，兩式相減得：\(-T_n=2^0+2^1+2^2+\cdots+2^{n-1}-n\cdot2^n=(2^n-1)-n\cdot2^n\)，故\(T_n=(n-1)\cdot2^n+1\)。當(dāng)\(q=-3\)時(shí)，\(na_n=n\cdot(-3)^{n-1}\)，同理用錯(cuò)位相減法：\(T_n=1\cdot(-3)^0+2\cdot(-3)^1+3\cdot(-3)^2+\cdots+n\cdot(-3)^{n-1}\)，\(-3T_n=1\cdot(-3)^1+2\cdot(-3)^2+\cdots+(n-1)\cdot(-3)^{n-1}+n\cdot(-3)^n\)，兩式相減得：\(4T_n=(-3)^0+(-3)^1+(-3)^2+\cdots+(-3)^{n-1}-n\cdot(-3)^n=\frac{1-(-3)^n}{1-(-3)}-n\cdot(-3)^n=\frac{1-(-3)^n}{4}-n\cdot(-3)^n\)，故\(T_n=\frac{1-(4n+1)(-3)^n}{16}\)。答案：（1）\(a_n=2^{n-1}\)或\(a_n=(-3)^{n-1}\)；（2）當(dāng)\(q=2\)時(shí)，\(T_n=(n-1)2^n+1\)；當(dāng)\(q=-3\)時(shí)，\(T_n=\frac{1-(4n+1)(-3)^n}{16}\)21.函數(shù)單調(diào)性與最值（中檔題，12分）已知函數(shù)\(f(x)=x^2-2ax+2\)（\(a\in\mathbb{R}\)）。（1）若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([1,+\infty)\)上單調(diào)遞增，求\(a\)的取值范圍；（2）若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([0,2]\)上的最小值為\(-1\)，求\(a\)的值。解析：（1）函數(shù)\(f(x)=(x-a)^2+2-a^2\)，其圖像為開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱(chēng)軸為\(x=a\)。若\(f(x)\)在\([1,+\infty)\)上單調(diào)遞增，則對(duì)稱(chēng)軸\(x=a\leq1\)，故\(a\)的取值范圍是\((-\infty,1]\)。（2）分三種情況討論：①當(dāng)\(a\leq0\)時(shí)，\(f(x)\)在\([0,2]\)上單調(diào)遞增，最小值為\(f(0)=2\)，不符合題意；②當(dāng)\(0<a<2\)時(shí)，\(f(x)\)在\([0,a]\)上單調(diào)遞減，在\([a,2]\)上單調(diào)遞增，最小值為\(f(a)=2-a^2=-1\)，解得\(a^2=3\Rightarrowa=\sqrt{3}\)（\(a=-\sqrt{3}\)舍去）；③當(dāng)\(a\geq2\)時(shí)，\(f(x)\)在\([0,2]\)上單調(diào)遞減，最小值為\(f(2)=4-4a+2=6-4a=-1\)，解得\(a=\frac{7}{4}\)（符合\(a\geq2\)嗎？\(\frac{7}{4}=1.75<2\)，舍去）。綜上，\(a=\sqrt{3}\)。答案：（1）\((-\infty,1]\)；（2）\(\sqrt{3}\)22.綜合應(yīng)用（難題，12分）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每月的產(chǎn)量（單位：件）構(gòu)成等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)，其中\(zhòng)(a_1=100\)，公差\(d=10\)。每月的生產(chǎn)成本（單位：元）為\(C(n)=0.5a_n^2+100a_n+500\)（\(n\)為月份，\(n=1,2,\cdots,12\)）。（1）求全年的總產(chǎn)量；（2）求全年的平均生產(chǎn)成本（精確到1元）。解析：（1）等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式為\(a_n=a_1+(n-1)d=100+10(n-1)=10n+90\)。全年總產(chǎn)量為前12項(xiàng)和：\(S_{12}=\frac{12(a_1+a_{12})}{2}=6(100+10\times12+90)=6(100+210)=6\times310=1860\)（件）。（2）先求每月的生產(chǎn)成本\(C(n)\)：\(a_n=10n+90\)，代入\(C(n)=0.5(10n