職業(yè)高中數(shù)列專項訓(xùn)練題庫一、引言數(shù)列是職業(yè)高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，也是高職高考（職業(yè)院校對口招生考試）的必考模塊（占比約15%-20%）。它不僅是后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)、不等式的基礎(chǔ)，更在實際生活中有著廣泛應(yīng)用——如工廠產(chǎn)量的等差數(shù)列增長、銀行復(fù)利的等比數(shù)列計算、分期付款的資金規(guī)劃等。本題庫以職高教材為依托、高職考大綱為導(dǎo)向，聚焦數(shù)列的核心知識點與常考題型，通過“基礎(chǔ)訓(xùn)練—技巧突破—綜合應(yīng)用”的梯度設(shè)計，幫助學(xué)生系統(tǒng)掌握數(shù)列的通項公式、前n項和公式及實際應(yīng)用，提升解題能力。二、等差數(shù)列基礎(chǔ)訓(xùn)練（一）知識點回顧1.定義：從第2項起，每一項與前一項的差為常數(shù)（公差\(d\)），即\(a_{n+1}-a_n=d\)（\(d\)為常數(shù)，\(n\inN^*\)）。2.通項公式：\(a_n=a_1+(n-1)d\)（\(a_1\)為首項，\(n\)為項數(shù)）。3.前\(n\)項和公式：\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)（已知首項和末項）；\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)（已知首項和公差）。4.性質(zhì)：若\(m+n=p+q\)（\(m,n,p,q\inN^*\)），則\(a_m+a_n=a_p+a_q\)。（二）例題解析例1：已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=3\)，公差\(d=2\)，求\(a_5\)及\(S_5\)。解析：通項公式：\(a_5=a_1+(5-1)d=3+4\times2=11\)；前\(5\)項和：\(S_5=\frac{5(a_1+a_5)}{2}=\frac{5\times(3+11)}{2}=35\)（或用\(S_5=5\times3+\frac{5\times4}{2}\times2=35\)）。例2：已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3=7\)，\(a_5=11\)，求\(a_1\)及公差\(d\)。解析：設(shè)首項為\(a_1\)，公差為\(d\)，則：\[\begin{cases}a_1+2d=7\\a_1+4d=11\end{cases}\]解得：\(d=2\)，\(a_1=3\)。（三）專項練習(xí)1.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=5\)，\(d=-1\)，則\(a_7=\_\_\_\_\)。2.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_2=4\)，\(a_4=8\)，則\(S_6=\_\_\_\_\)。3.若等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(3\)項和為\(12\)，且\(a_1=2\)，則公差\(d=\_\_\_\_\)。4.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_5+a_7=16\)，則\(a_6=\_\_\_\_\)（利用性質(zhì)解題）。5.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=2n^2+n\)，則\(a_1=\_\_\_\_\)，\(d=\_\_\_\_\)。三、等比數(shù)列基礎(chǔ)訓(xùn)練（一）知識點回顧1.定義：從第2項起，每一項與前一項的比為常數(shù)（公比\(q\)），即\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=q\)（\(q\neq0\)，\(n\inN^*\)）。2.通項公式：\(a_n=a_1q^{n-1}\)（\(a_1\)為首項，\(q\)為公比）。3.前\(n\)項和公式：當(dāng)\(q=1\)時，\(S_n=na_1\)（常數(shù)列）；當(dāng)\(q\neq1\)時，\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)（或\(S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}\)）。4.性質(zhì)：若\(m+n=p+q\)（\(m,n,p,q\inN^*\)），則\(a_m\cdota_n=a_p\cdota_q\)。（二）例題解析例1：已知等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(q=3\)，求\(a_4\)及\(S_4\)。解析：通項公式：\(a_4=a_1q^{4-1}=2\times3^3=54\)；前\(4\)項和：\(S_4=\frac{2(1-3^4)}{1-3}=\frac{2(1-81)}{-2}=80\)（或用\(S_4=2+6+18+54=80\)）。例2：已知等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_2=4\)，\(a_4=16\)，求\(a_1\)及公比\(q\)。解析：設(shè)首項為\(a_1\)，公比為\(q\)，則：\[\begin{cases}a_1q=4\\a_1q^3=16\end{cases}\]兩式相除得\(q^2=4\)，解得\(q=2\)（\(q=-2\)舍去，職高階段多考查正公比），則\(a_1=2\)。（三）專項練習(xí)1.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(q=2\)，則\(a_5=\_\_\_\_\)。2.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3=9\)，\(a_5=81\)，則\(S_3=\_\_\_\_\)。3.若等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(2\)項和為\(3\)，且\(a_1=1\)，則公比\(q=\_\_\_\_\)。4.已知等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_2\cdota_6=16\)，則\(a_4=\_\_\_\_\)（利用性質(zhì)解題）。5.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=2^n-1\)，則\(a_1=\_\_\_\_\)，\(q=\_\_\_\_\)。四、數(shù)列通項公式求法專項（一）核心方法梳理1.累加法：適用于\(a_{n+1}-a_n=f(n)\)（\(f(n)\)為可求和的函數(shù)，如一次函數(shù)、分式函數(shù)）。步驟：\(a_n=a_1+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+\cdots+(a_n-a_{n-1})=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}f(k)\)。2.累乘法：適用于\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)\)（\(f(n)\)為可乘積的函數(shù)，如分式函數(shù)）。步驟：\(a_n=a_1\cdot\frac{a_2}{a_1}\cdot\frac{a_3}{a_2}\cdots\frac{a_n}{a_{n-1}}=a_1\cdot\prod_{k=1}^{n-1}f(k)\)。3.待定系數(shù)法：適用于\(a_{n+1}=pa_n+q\)（\(p\neq1\)，\(q\)為常數(shù)）。步驟：設(shè)\(a_{n+1}+k=p(a_n+k)\)，展開后對比系數(shù)得\(k=\frac{q}{p-1}\)，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n+k\}\)求解。4.利用前\(n\)項和\(S_n\)求\(a_n\)：公式：\(a_n=\begin{cases}S_1,&n=1\\S_n-S_{n-1},&n\geq2\end{cases}\)（需驗證\(n=1\)時是否滿足\(n\geq2\)的表達式）。（二）例題解析例1（累加法）：已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n+2n\)，求\(a_n\)。解析：\(a_n=a_1+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+\cdots+(a_n-a_{n-1})=1+2(1+2+\cdots+(n-1))=1+2\cdot\frac{(n-1)n}{2}=n^2-n+1\)。例2（待定系數(shù)法）：已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=3\)，\(a_{n+1}=2a_n+1\)，求\(a_n\)。解析：設(shè)\(a_{n+1}+k=2(a_n+k)\)，展開得\(a_{n+1}=2a_n+k\)，對比原式得\(k=1\)。因此，\(\{a_n+1\}\)是首項為\(a_1+1=4\)、公比為\(2\)的等比數(shù)列，故\(a_n+1=4\cdot2^{n-1}=2^{n+1}\)，即\(a_n=2^{n+1}-1\)。（三）專項練習(xí)1.已知\(a_1=2\)，\(a_{n+1}=a_n+3\)，求\(a_n\)（累加法）。2.已知\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n+\frac{1}{n(n+1)}\)，求\(a_n\)（累加法，提示：\(\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)）。3.已知\(a_1=3\)，\(a_{n+1}=\frac{n+1}{n}a_n\)，求\(a_n\)（累乘法）。4.已知\(a_1=2\)，\(a_{n+1}=3a_n-1\)，求\(a_n\)（待定系數(shù)法）。5.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=n^2-1\)，求\(a_n\)（利用\(S_n\)求\(a_n\)）。五、數(shù)列前\(n\)項和求法專項（一）核心方法梳理1.分組求和法：適用于數(shù)列由等差數(shù)列+等比數(shù)列組成（如\(a_n=b_n+c_n\)，\(\{b_n\}\)為等差，\(\{c_n\}\)為等比）。步驟：\(S_n=S_{b_n}+S_{c_n}\)（分別求等差、等比數(shù)列的和）。2.錯位相減法：適用于數(shù)列由等差數(shù)列×等比數(shù)列組成（如\(a_n=n\cdotq^{n-1}\)）。步驟：寫出\(S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n\)；兩邊乘公比\(q\)得\(qS_n=a_1q+a_2q+\cdots+a_nq\)；兩式相減，化簡得\(S_n\)。3.裂項相消法：適用于數(shù)列通項為分式型（如\(a_n=\frac{1}{n(n+1)}\)、\(a_n=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\)）。步驟：將通項裂分為兩個相鄰項的差，求和時中間項抵消，剩余首尾項。（二）例題解析例1（分組求和）：求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n\)，其中\(zhòng)(a_n=2n+3^n\)。解析：\(S_n=(2\times1+3^1)+(2\times2+3^2)+\cdots+(2n+3^n)=2(1+2+\cdots+n)+(3^1+3^2+\cdots+3^n)\)\(=2\cdot\frac{n(n+1)}{2}+\frac{3(3^n-1)}{3-1}=n(n+1)+\frac{3^{n+1}-3}{2}\)。例2（錯位相減）：求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n\)，其中\(zhòng)(a_n=n\cdot2^n\)。解析：\(S_n=1\cdot2^1+2\cdot2^2+3\cdot2^3+\cdots+n\cdot2^n\)①\(2S_n=1\cdot2^2+2\cdot2^3+\cdots+(n-1)\cdot2^n+n\cdot2^{n+1}\)②①-②得：\(-S_n=2^1+2^2+2^3+\cdots+2^n-n\cdot2^{n+1}=\frac{2(2^n-1)}{2-1}-n\cdot2^{n+1}=2^{n+1}-2-n\cdot2^{n+1}\)故\(S_n=(n-1)\cdot2^{n+1}+2\)。（三）專項練習(xí)1.求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n\)，其中\(zhòng)(a_n=n+2^{n-1}\)（分組求和）。2.求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n\)，其中\(zhòng)(a_n=(2n-1)\cdot3^{n-1}\)（錯位相減）。3.求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n\)，其中\(zhòng)(a_n=\frac{1}{n(n+2)}\)（裂項相消，提示：\(\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})\)）。4.求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n\)，其中\(zhòng)(a_n=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\)（裂項相消，提示：有理化后為\(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)）。六、數(shù)列實際應(yīng)用問題（一）題型特點數(shù)列實際應(yīng)用問題多以增長率、產(chǎn)量、資金、行程等為背景，考查等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項公式、前\(n\)項和公式的應(yīng)用。解題關(guān)鍵是建立數(shù)列模型（判斷是等差還是等比），并明確首項、公差（公比）、項數(shù)等參數(shù)。（二）例題解析例1（等差數(shù)列應(yīng)用）：某工廠第一個月生產(chǎn)零件\(100\)個，以后每月比前一個月多生產(chǎn)\(5\)個，求第\(6\)個月的產(chǎn)量及前\(6\)個月的總產(chǎn)量。解析：模型：等差數(shù)列，首項\(a_1=100\)，公差\(d=5\)；第\(6\)個月產(chǎn)量：\(a_6=100+(6-1)\times5=125\)（個）；前\(6\)個月總產(chǎn)量：\(S_6=\frac{6\times(100+125)}{2}=675\)（個）。例2（等比數(shù)列應(yīng)用）：某人將\(____\)元存入銀行，年利率為\(3\%\)，每年復(fù)利一次，求\(3\)年后的本利和（結(jié)果保留整數(shù)）。解析：模型：等比數(shù)列，首項\(a_1=____\)，公比\(q=1+3\%=1.03\)；第\(3\)年本利和：\(a_3=____\times1.03^{3-1}=____\times1.03^2=____\)（元）。（三）專項練習(xí)1.某等差數(shù)列的首項為\(2\)，公差為\(3\)，求第\(10\)項及前\(10\)項和（產(chǎn)量問題）。2.某等比數(shù)列的首項為\(500\)，公比為\(1.2\)，求第\(4\)項及前\(4\)項和（銷售額增長問題）。3.某人每月存入銀行\(zhòng)(1000\)元，月利率為\(0.5\%\)，按單利計算（每月利息不計入下月本金），求\(12\)個月后的總存款（等差數(shù)列應(yīng)用）。4.某企業(yè)今年產(chǎn)值為\(200\)萬元，計劃今后每年產(chǎn)值比上一年增長\(10\%\)，求\(5\)年后的產(chǎn)值（等比數(shù)列應(yīng)用）。七、綜合測試卷（高職考模擬）（一）選擇題（每題3分，共30分）1.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則公差\(d=(\quad)\)A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)2.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_2=2\)，\(a_4=8\)，則公比\(q=(\quad)\)A.\(2\)B.\(-2\)C.\(4\)D.\(-4\)3.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=n^2+2n\)，則\(a_5=(\quad)\)A.\(11\)B.\(13\)C.\(15\)D.\(17\)4.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1+a_5=10\)，則\(a_3=(\quad)\)A.\(5\)B.\(6\)C.\(7\)D.\(8\)5.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=2^n-1\)，則\(a_3=(\quad)\)A.\(2\)B.\(4\)C.\(6\)D.\(8\)6.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n+3\)，則\(a_4=(\quad)\)A.\(7\)B.\(10\)C.\(13\)D.\(16\)7.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式為\(a_n=2n-1\)，則前\(n\)項和\(S_n=(\quad)\)A.\(n^2\)B.\(n^2+1\)C.\(2n^2-1\)D.\(2n^2+1\)8.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(q=2\)，則前\(5\)項和\(S_5=(\quad)\)A.\(15\)B.\(31\)C.\(63\)D.\(127\)9.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=2\)，\(a_{n+1}=3a_n\)，則\(a_3=(\quad)\)A.\(6\)B.\(12\)C.\(18\)D.\(24\)10.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=3^n-1\)，則\(a_n=(\quad)\)A.\(3^n\)B.\(3^{n-1}\)C.\(2\cdot3^{n-1}\)D.\(2\cdot3^n\)（二）填空題（每題4分，共20分）11.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=3\)，\(d=2\)，則\(a_6=\_\_\_\_\)。12.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3=4\)，\(a_5=16\)，則\(a_7=\_\_\_\_\)。13.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=n^2-3n\)，則\(a_2=\_\_\_\_\)。14.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n+\frac{1}{n}\)，則\(a_2=\_\_\_\_\)。15.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=2\cdot3^n-2\)，則公比\(q=\_\_\_\_\)。（三）解答題（每題10分，共30分）16.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(a_3=8\)，求：（1）公差\(d\)；（2）前\(10\)項和\(S_{10}\)。17.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+1\)，求：（1）數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式；（2）前\(n\)項和\(S_n\)。18.某工廠第一個月生產(chǎn)零件\(500\)個，以后每月比前一個月多生產(chǎn)\(100\)個，求：（1）第\(5\)個月的產(chǎn)量；（2）前\(5\)個月的總產(chǎn)量。八、答案解析（一）等差數(shù)列基礎(chǔ)訓(xùn)練答案1.\(a_7=5+(7-1)\times(-1)=-1\)2.由\(a_2=4\)，\(a_4=8\)得\(d=2\)，\(a_1=2\)，\(S_6=6\times2+\frac{6\times5}{2}\times2=42\)3.\(S_3=3\times2+\frac{3\times2}{2}d=12\)，解得\(d=2\)4.\(a_5+a_7=2a_6=16\)，故\(a_6=8\)5.\(a_1=S_1=2+1=3\)，\(d=2\times2=4\)（或由\(S_n=2n^2+n\)得\(a_n=S_n-S_{n-1}=4n-1\)，故\(d=4\)）（二）等比數(shù)列基礎(chǔ)訓(xùn)練答案1.\(a_5=1\times2^{5-1}=16\)2.由\(a_3=9\)，\(a_5=81\)得\(q=3\)，\(a_1=1\)，\(S_3=1+3+9=13\)3.\(S_2=1+q=3\)，解得\(q=2\)4.\(a_2\cdota_6=a_4^2=16\)，故\(a_4=4\)（\(a_4>0\)）5.\(a_1=S_1=2-1=1\)，\(q=2\)（由\(S_n=2^n-1\)得\(a_n=S_n-S_{n-1}=2^{n-1}\)）（三）數(shù)列通項公式求法專項答案1.\(a_n=2+3(n-1)=3n-1\)（累加法）2.\(a_n=1+(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots+(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})=2-\frac{1}{n}\)（累加法）3.\(a_n=3\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{3}{2}\cdots\frac{n}{n-1}=3n\)（累乘法）4.設(shè)\(a_{n+1}-k=3(a_n-k)\)，得\(k=\frac{1}{2}\)，故\(a_n=\frac{1}{2}\cdot3^{n-1}+\frac{1}{2}\)（待定系數(shù)法）5.\(a_1=S_1=1-1=0\)，\(n\geq2\)時\(a_n=S_n-S_{n-1}=2n-1\)，故\(a_n=\begin{cases}0,&n=1\\2n-1,&n\geq2\end{cases}\)（四）數(shù)列前\(n\)項和求法專項答案1.\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}+(2^n-1)\)（分組求和）2.\(S_n=(n-1)\cdot3^n+1\)