高中物理帶電粒子運(yùn)動(dòng)專題習(xí)題集一、專題概述帶電粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)及復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是高中物理電磁學(xué)與力學(xué)綜合的核心考點(diǎn)，涉及牛頓運(yùn)動(dòng)定律、動(dòng)能定理、圓周運(yùn)動(dòng)、電場(chǎng)力、洛倫茲力等知識(shí)點(diǎn)的交叉應(yīng)用，也是高考的重點(diǎn)（占分比約15%）與難點(diǎn)（失分率高）。本習(xí)題集圍繞三大核心場(chǎng)景（電場(chǎng)運(yùn)動(dòng)、磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)、復(fù)合場(chǎng)運(yùn)動(dòng)），通過知識(shí)點(diǎn)回顧→典型例題→解題思路→易錯(cuò)點(diǎn)提醒的邏輯結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生鞏固基礎(chǔ)、突破難點(diǎn)、提升綜合應(yīng)用能力。二、電場(chǎng)中的帶電粒子運(yùn)動(dòng)電場(chǎng)對(duì)帶電粒子的作用力（電場(chǎng)力）是恒力（勻強(qiáng)電場(chǎng)）或變力（非勻強(qiáng)電場(chǎng)），粒子的運(yùn)動(dòng)類型包括直線運(yùn)動(dòng)（加速/減速）和曲線運(yùn)動(dòng)（類平拋偏轉(zhuǎn)）。（一）知識(shí)點(diǎn)回顧1.電場(chǎng)力：\(F=qE\)（方向：正電荷與電場(chǎng)方向一致，負(fù)電荷相反）；2.加速度：\(a=\frac{qE}{m}\)（勻強(qiáng)電場(chǎng)中加速度恒定，非勻強(qiáng)電場(chǎng)中加速度變化）；3.動(dòng)能定理：\(qU=\DeltaE_k=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}mv_0^2\)（適用于任何電場(chǎng)，無需考慮路徑，是解決電場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的“萬能工具”）；4.類平拋運(yùn)動(dòng)（偏轉(zhuǎn)）：水平方向：勻速直線運(yùn)動(dòng)（\(x=v_0t\)）；豎直方向：初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)（\(y=\frac{1}{2}at^2=\frac{1}{2}\cdot\frac{qE}{m}\cdott^2\)）；偏轉(zhuǎn)角：\(\tan\theta=\frac{v_y}{v_0}=\frac{qEt}{mv_0}\)（\(v_y=at\)為豎直方向末速度）。（二）典型例題例題1（電場(chǎng)中的加速運(yùn)動(dòng)）如圖所示，平行金屬板間有勻強(qiáng)電場(chǎng)（電壓\(U\)，板距\(d\)），一質(zhì)量\(m\)、電荷量\(+q\)的粒子從正極板由靜止釋放，不計(jì)重力，求粒子到達(dá)負(fù)極板時(shí)的速度。解題思路：粒子僅受電場(chǎng)力作用，電場(chǎng)力做功等于動(dòng)能增加，優(yōu)先用動(dòng)能定理（無需計(jì)算加速度和時(shí)間）。解答：由動(dòng)能定理得：\(qU=\frac{1}{2}mv^2-0\)，解得：\(v=\sqrt{\frac{2qU}{m}}\)。例題2（電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)）一束電子（質(zhì)量\(m\)，電荷量\(e\)）以初速度\(v_0\)沿平行于極板方向射入勻強(qiáng)電場(chǎng)（極板長(zhǎng)\(L\)，板距\(d\)，電壓\(U\)），不計(jì)重力。求：（1）電子穿過電場(chǎng)時(shí)的偏轉(zhuǎn)位移\(y\)；（2）電子離開電場(chǎng)時(shí)的偏轉(zhuǎn)角\(\theta\)。解題思路：電子做類平拋運(yùn)動(dòng)，分解為水平勻速（決定時(shí)間）和豎直勻加速（決定偏轉(zhuǎn)）。解答：（1）水平方向：\(L=v_0t\)，得\(t=\frac{L}{v_0}\)；豎直方向：\(a=\frac{eE}{m}=\frac{eU}{md}\)，偏轉(zhuǎn)位移：\(y=\frac{1}{2}at^2=\frac{1}{2}\cdot\frac{eU}{md}\cdot\left(\frac{L}{v_0}\right)^2=\frac{eUL^2}{2mdv_0^2}\)；（2）豎直方向末速度：\(v_y=at=\frac{eU}{md}\cdot\frac{L}{v_0}\)，偏轉(zhuǎn)角：\(\tan\theta=\frac{v_y}{v_0}=\frac{eUL}{mdv_0^2}\)。（三）易錯(cuò)點(diǎn)提醒1.重力忽略條件：微觀粒子（電子、質(zhì)子、α粒子）：\(mg\llqE\)，可忽略重力；宏觀物體（帶電小球、液滴、塵埃）：重力不可忽略（題目未明確“忽略重力”時(shí)需考慮）。2.類平拋時(shí)間計(jì)算：偏轉(zhuǎn)時(shí)間由水平方向決定（\(t=\frac{L}{v_0}\)），而非豎直方向。3.非勻強(qiáng)電場(chǎng)的處理：即使電場(chǎng)非勻強(qiáng)，電場(chǎng)力做功仍可用\(W=qU\)（電勢(shì)差與路徑無關(guān)），動(dòng)能定理依然適用。三、磁場(chǎng)中的帶電粒子運(yùn)動(dòng)磁場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)帶電粒子的作用力（洛倫茲力）是向心力（垂直于速度方向），粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)（洛倫茲力不做功，動(dòng)能不變）。（一）知識(shí)點(diǎn)回顧1.洛倫茲力：\(F=qvB\)（方向由左手定則判斷，始終垂直于\(v\)和\(B\)）；2.圓周運(yùn)動(dòng)條件：洛倫茲力提供向心力（\(qvB=m\frac{v^2}{R}\)）；3.軌跡半徑：\(R=\frac{mv}{qB}\)（與速度成正比，與磁感應(yīng)強(qiáng)度成反比）；4.運(yùn)動(dòng)周期：\(T=\frac{2\piR}{v}=\frac{2\pim}{qB}\)（與速度無關(guān)，僅由粒子比荷\(\frac{q}{m}\)和磁場(chǎng)\(B\)決定）。（二）典型例題例題3（磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的圓心與時(shí)間）一帶電粒子（質(zhì)量\(m\)，電荷量\(q\)）以速度\(v\)垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)\(B\)，軌跡為圓弧。若粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與磁場(chǎng)邊界成\(\theta\)角（如圖），求粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。解題思路：圓心確定：洛倫茲力指向圓心，故圓心在速度方向的垂線上；圓心角計(jì)算：粒子進(jìn)入和離開磁場(chǎng)時(shí)速度方向與邊界夾角均為\(\theta\)，軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角\(\alpha=2\theta\)；時(shí)間計(jì)算：\(t=\frac{\alpha}{2\pi}T\)（\(T\)為周期）。解答：軌跡半徑：\(R=\frac{mv}{qB}\)；周期：\(T=\frac{2\pim}{qB}\)；圓心角：\(\alpha=2\theta\)；運(yùn)動(dòng)時(shí)間：\(t=\frac{2\theta}{2\pi}\cdot\frac{2\pim}{qB}=\frac{\thetam}{qB}\)。例題4（磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的半徑應(yīng)用）如圖所示，勻強(qiáng)磁場(chǎng)\(B\)垂直紙面向里，一帶電粒子（質(zhì)量\(m\)，電荷量\(+q\)）從邊界\(O\)點(diǎn)以速度\(v\)射入磁場(chǎng)，軌跡半徑為\(R\)，最終從邊界\(P\)點(diǎn)離開磁場(chǎng)。若\(OP=L\)，求粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與邊界的夾角\(\theta\)。解題思路：軌跡弦長(zhǎng)\(OP=L=2R\sin\theta\)（幾何關(guān)系：弦長(zhǎng)等于2倍半徑乘以圓心角一半的正弦值）；圓心角\(\alpha=2\theta\)，故\(\sin\theta=\frac{L}{2R}\)。解答：由\(L=2R\sin\theta\)，得\(\theta=\arcsin\left(\frac{L}{2R}\right)\)；又\(R=\frac{mv}{qB}\)，代入得\(\theta=\arcsin\left(\frac{qBL}{2mv}\right)\)。（三）易錯(cuò)點(diǎn)提醒1.洛倫茲力不做功：洛倫茲力始終垂直于速度方向，不改變粒子動(dòng)能（僅改變速度方向）。2.半徑與周期的區(qū)別：半徑\(R\)與速度\(v\)成正比（\(R\proptov\)），周期\(T\)與速度無關(guān)（\(T\propto\frac{m}{qB}\)）。3.圓心角與軌跡的關(guān)系：軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角等于粒子速度方向的改變量（如例題3中\(zhòng)(\alpha=2\theta\)）。四、復(fù)合場(chǎng)中的帶電粒子運(yùn)動(dòng)復(fù)合場(chǎng)指電場(chǎng)+磁場(chǎng)或電場(chǎng)+磁場(chǎng)+重力場(chǎng)，粒子的運(yùn)動(dòng)類型包括直線運(yùn)動(dòng)（平衡或勻變速）、圓周運(yùn)動(dòng)（洛倫茲力提供向心力）、曲線運(yùn)動(dòng)（多力合成）。（一）知識(shí)點(diǎn)回顧1.平衡條件：合力為零（\(F_電+F_洛+G=0\)），如速度選擇器（\(qE=qvB\)）；2.圓周運(yùn)動(dòng)條件：洛倫茲力提供向心力，電場(chǎng)力與重力平衡（\(qE=mg\)），如回旋加速器；3.組合運(yùn)動(dòng)：先電場(chǎng)加速（獲得速度），再磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)（測(cè)量比荷），如質(zhì)譜儀。（二）典型例題例題5（速度選擇器與質(zhì)譜儀）如圖所示，速度選擇器由勻強(qiáng)電場(chǎng)（\(E\)，豎直向下）和勻強(qiáng)磁場(chǎng)（\(B_1\)，垂直紙面向里）組成，質(zhì)譜儀由勻強(qiáng)磁場(chǎng)（\(B_2\)，垂直紙面向外）組成。一帶電粒子（質(zhì)量\(m\)，電荷量\(+q\)）以速度\(v\)沿水平方向進(jìn)入速度選擇器，恰好沿直線通過，隨后進(jìn)入質(zhì)譜儀做圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡半徑為\(R\)。求：（1）粒子的速度\(v\)；（2）粒子的質(zhì)量\(m\)。解題思路：速度選擇器：粒子做直線運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力與洛倫茲力平衡；質(zhì)譜儀：粒子做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力。解答：（1）速度選擇器中，平衡條件：\(qE=qvB_1\)，解得：\(v=\frac{E}{B_1}\)；（2）質(zhì)譜儀中，向心力公式：\(qvB_2=m\frac{v^2}{R}\)，代入\(v=\frac{E}{B_1}\)，得：\(m=\frac{qB_1B_2R}{E}\)。例題6（復(fù)合場(chǎng)中的直線運(yùn)動(dòng)）一帶電小球（質(zhì)量\(m\)，電荷量\(+q\)）在勻強(qiáng)電場(chǎng)（\(E\)，水平向右）和勻強(qiáng)磁場(chǎng)（\(B\)，垂直紙面向外）中靜止釋放，求小球的運(yùn)動(dòng)軌跡。解題思路：初始狀態(tài)：小球靜止，無洛倫茲力，僅受電場(chǎng)力（向右）和重力（向下），合力為\(\sqrt{(qE)^2+(mg)^2}\)，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)；運(yùn)動(dòng)后：速度增大，洛倫茲力（\(F_洛=qvB\)，方向由左手定則判斷為向上）增大，當(dāng)\(F_洛=mg\)時(shí)，豎直方向合力為零，此后小球做勻速直線運(yùn)動(dòng)（水平方向電場(chǎng)力仍存在，繼續(xù)加速？不對(duì)，等一下，初始時(shí)小球靜止，釋放后，電場(chǎng)力向右，重力向下，合力向右下方，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，速度方向向右下方，此時(shí)洛倫茲力方向由左手定則：正電荷，速度向右下方，磁場(chǎng)向外，洛倫茲力方向?yàn)橄蜃笊戏剑ù怪庇谒俣确较颍?。隨著速度增大，洛倫茲力增大，當(dāng)洛倫茲力的豎直分量等于重力時(shí)，豎直方向合力為零，此時(shí)水平方向仍有電場(chǎng)力，小球?qū)⒆鰟蚣铀僦本€運(yùn)動(dòng)？或者當(dāng)洛倫茲力的豎直分量等于重力，水平分量等于電場(chǎng)力時(shí)，合力為零，做勻速直線運(yùn)動(dòng)？等一下，正確的分析應(yīng)該是：小球的速度方向?yàn)閈(v\)（向右下方），洛倫茲力\(F_洛=qvB\)，方向垂直于\(v\)（向左上方）。將\(F_洛\)分解為豎直分量\(F_洛_y=qvB\cos\theta\)（向上，\(\theta\)為速度與水平方向的夾角）和水平分量\(F_洛_x=qvB\sin\theta\)（向左）。初始時(shí)，\(v=0\)，\(F_洛=0\)，合力為\(F_合=\sqrt{(qE)^2+(mg)^2}\)，方向向右下方，小球做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，速度增大，\(F_洛\)增大。當(dāng)\(F_洛_y=mg\)時(shí)，豎直方向合力為零，此時(shí)水平方向合力為\(F_合_x=qE-F_洛_x=qE-qvB\sin\theta\)。若\(F_合_x=0\)，則小球做勻速直線運(yùn)動(dòng)；若\(F_合_x\neq0\)，則繼續(xù)加速，但洛倫茲力的水平分量也會(huì)增大，直到\(F_合_x=0\)，最終做勻速直線運(yùn)動(dòng)。結(jié)論：小球的運(yùn)動(dòng)軌跡先為曲線（勻加速曲線），后為直線（勻速直線）。（三）易錯(cuò)點(diǎn)提醒1.速度選擇器的條件：僅當(dāng)\(v=\frac{E}{B}\)時(shí)，粒子沿直線通過（與電荷量、質(zhì)量無關(guān)）；若\(v>\frac{E}{B}\)，洛倫茲力大于電場(chǎng)力，粒子向洛倫茲力方向偏轉(zhuǎn)；若\(v<\frac{E}{B}\)，粒子向電場(chǎng)力方向偏轉(zhuǎn)。2.質(zhì)譜儀的應(yīng)用：\(m=\frac{qB_1B_2R}{E}\)，通過測(cè)量\(R\)可計(jì)算粒子質(zhì)量（或比荷），是測(cè)量微觀粒子質(zhì)量的重要工具。3.洛倫茲力的方向判斷：左手定則中，四指指向正電荷運(yùn)動(dòng)方向（負(fù)電荷相反），磁場(chǎng)方向穿掌心，拇指指向洛倫茲力方向。五、綜合練習(xí)（高考改編題）例題7（電場(chǎng)加速與磁場(chǎng)圓周運(yùn)動(dòng)綜合）如圖所示，真空中有一加速電場(chǎng)（電壓\(U\)）和一勻強(qiáng)磁場(chǎng)（\(B\)，垂直紙面向外）。一質(zhì)量為\(m\)、電荷量為\(+q\)的粒子從加速電場(chǎng)正極板由靜止釋放，經(jīng)加速后進(jìn)入磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)。求：（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度\(v\)；（2）粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑\(R\)；（3）粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)周期\(T\)。解答：（1）加速過程：\(qU=\frac{1}{2}mv^2\)，得\(v=\sqrt{\frac{2qU}{m}}\)；（2）磁場(chǎng)中：\(qvB=m\frac{v^2}{R}\)，得\(R=\frac{mv}{qB}=\sqrt{\frac{2mU}{qB^2}}\)；（3）周期：\(T=\frac{2\pim}{qB}\)（與速度無關(guān)）。六、解題技巧總結(jié)1.受力分析優(yōu)先：無論何種場(chǎng)，先畫受力圖（重力、電場(chǎng)力、洛倫茲力），明確合力方向。2.運(yùn)動(dòng)類型判斷：合力為零：靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)；合力恒定且與速度共線：勻變速直線運(yùn)動(dòng)；合力恒定且與速度垂直：類平拋運(yùn)動(dòng)；合力大小恒定且指向圓心：勻速圓周運(yùn)動(dòng)。3.定理選擇策略：勻變速直線運(yùn)動(dòng)：牛頓運(yùn)動(dòng)定律+運(yùn)動(dòng)學(xué)公式；曲線運(yùn)動(dòng)（非圓周）：動(dòng)能定理（忽略路徑）；圓周運(yùn)動(dòng)：向心力公式（洛倫茲力提供向心力）。4.復(fù)合場(chǎng)技巧：速度選擇器：\(v=\frac{E}{B}\)（與電荷量、質(zhì)量無關(guān)）；質(zhì)譜儀：\(m=\frac{qB_1B_2R}{E}\)（通過半徑測(cè)量質(zhì)量）；回旋加速器：\(E_k=\frac{q^2B^2R^2}{2m}\)（最大動(dòng)能由磁場(chǎng)和D形盒半徑?jīng)Q定）。七、易錯(cuò)點(diǎn)匯總1.重力忽略誤區(qū)：微觀粒子（電子、質(zhì)子）忽略重力，宏觀物體（小球、液滴）必須考慮重力；2.洛倫茲力做功誤區(qū)：洛倫茲力始終垂直于速度，不做功（不會(huì)改變粒子動(dòng)能）；3.周期與速度關(guān)系誤區(qū)：磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的周期\(T=\frac{2\pim}{qB}\)，與速度無關(guān)（速度增大，半徑增大，周期不變）；4.類平拋時(shí)間誤區(qū)：偏轉(zhuǎn)時(shí)間由水平方向決定（\(t=\frac{L}{v_0}\)），而非豎直方向；5.速度選擇器條件誤區(qū)：僅當(dāng)\(v=\frac{E}{B}\)時(shí)粒子沿直線通過，速度過大或過小都會(huì)偏轉(zhuǎn)。八、拓展練習(xí)（選做）1.一帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，初速度為\(v_0\)，加速度大小為\(a=\frac{qE}{m}\)，求粒子速度減為零所需時(shí)間和位移。2.一帶電粒子以速度\(v\)沿與磁場(chǎng)成\(30^\circ\)角進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，軌跡為螺旋線，求螺旋線的半徑和螺距。3.一速度選擇器中，電場(chǎng)\(E=100\,\text{N/C}\)，磁場(chǎng)\(B_1=0.1\,\text{T}\)