專題強(qiáng)化十七帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的多解和臨界問題學(xué)習(xí)目標(biāo)會(huì)分析帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的多解問題和臨界極值問題，提高思維分析綜合能力。考點(diǎn)一帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問題帶電粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由于帶電粒子電性不確定、磁場(chǎng)方向不確定、臨界狀態(tài)不確定、運(yùn)動(dòng)的往復(fù)性造成帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問題。(1)找出多解的原因。(2)畫出粒子的可能軌跡，找出圓心、半徑的可能情況。角度帶電粒子電性不確定形成多解分析圖例帶電粒子可能帶正電荷，也可能帶負(fù)電荷，初速度相同時(shí)，正、負(fù)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡不同，形成多解如帶正電，其軌跡為a;如帶負(fù)電，其軌跡為b例1(多選)如圖所示，在邊長為L的正方形PQMN區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在MN邊界放一剛性擋板，粒子能碰到擋板則能夠以原速率彈回。一質(zhì)量為m、帶電荷量為q的粒子以某一速度從P點(diǎn)射入，恰好從Q點(diǎn)射出，下列說法正確的是()A.帶電粒子一定帶負(fù)電荷B.帶電粒子的速度最小值為qBLC.若帶電粒子與擋板碰撞，則受到擋板作用力的沖量可能為5D.帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間可能為π答案BCD解析若粒子帶正電，與擋板MN碰撞后恰好從Q點(diǎn)射出，設(shè)軌跡半徑為r1，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲所示，由圖中幾何關(guān)系可得L2＋(r1－0.5L)2＝r12，解得r1＝54L，由洛倫茲力提供向心力qv1B＝mv12r1，解得v1＝5qBL4m，由動(dòng)量定理得I＝2mv1＝5qBL2，A錯(cuò)誤，C正確;若粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖乙所示，由左手定則可知，粒子帶負(fù)電，粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑最小，r2＝L2，速度最小，由qv2B＝mv22r2，解得v2＝qBL2m角度磁場(chǎng)方向不確定形成多解分析圖例只知道磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，而未具體指出磁感應(yīng)強(qiáng)度方向，由于磁感應(yīng)強(qiáng)度方向不確定而形成多解粒子帶正電，若B垂直紙面向里，其軌跡為a，若B垂直紙面向外，其軌跡為b例2(多選)如圖所示，A點(diǎn)的離子源沿紙面垂直O(jiān)Q方向向上射出一束負(fù)離子，離子的重力忽略不計(jì)。為把這束負(fù)離子約束在OP之下的區(qū)域，可加垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。已知O、A兩點(diǎn)間的距離為s，負(fù)離子的比荷為qm，速率為v，OP與OQ間的夾角為30°，則所加勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度BA.B>mv3qs，垂直紙面向里 B.B>C.B>mvqs，垂直紙面向外 D.B>3答案BD解析當(dāng)磁場(chǎng)方向垂直紙面向里時(shí)，離子恰好與OP相切的軌跡如圖甲所示，切點(diǎn)為M，設(shè)軌跡半徑為r1，由幾何關(guān)系可知sin30°＝r1s＋r1，可得r1＝s，由r1＝mvqB1可得B1＝mvqs;當(dāng)磁場(chǎng)方向垂直紙面向外時(shí)，其臨界軌跡如圖乙所示，切點(diǎn)為N，由幾何關(guān)系知s＝r2sin30°＋r2，得r2＝s3，又r2＝mvqB2，所以B角度臨界狀態(tài)不確定形成多解分析圖例帶電粒子飛越有界磁場(chǎng)時(shí)，可能穿過磁場(chǎng)飛出，也可能轉(zhuǎn)過180°從入射界面一側(cè)反向飛出，于是形成多解例3(2025·安徽合肥高三開學(xué)考)如圖所示，abcd為紙面內(nèi)矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，矩形區(qū)域內(nèi)(含邊界)處于垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，ad＝L，ab＝3L。一質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的粒子，從a點(diǎn)沿ab方向射入磁場(chǎng)，不計(jì)粒子重力。下列說法正確的是()A.粒子能通過cd邊的最短時(shí)間t＝πB.若粒子恰好從c點(diǎn)射出磁場(chǎng)，粒子速度v＝qBLC.若粒子恰好從d點(diǎn)射出磁場(chǎng)，粒子速度v＝2D.若粒子只能從ad邊界射出磁場(chǎng)，則粒子的入射速度0<v≤qBL答案D解析粒子能通過cd邊，從c點(diǎn)射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，如圖所示，根據(jù)幾何關(guān)系有(r2－L)2＋(3L)2＝r22，解得r2＝2L，則轉(zhuǎn)過的圓心角的正弦sinθ＝3L2L＝32，即θ＝60°，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期T＝2πmqB，則粒子能通過cd邊的最短時(shí)間t＝θ360°T＝πm3qB，故A錯(cuò)誤;若粒子恰好從c點(diǎn)射出磁場(chǎng)，由洛倫茲力提供向心力得qv2B＝mv22r2，解得v2＝2qBLm，故B錯(cuò)誤;若粒子恰好從d點(diǎn)射出磁場(chǎng)，由幾何關(guān)系可知其半徑r1＝L2，根據(jù)qv1B＝mv12r1，解得v1＝qBL2m，故C錯(cuò)誤;若粒子從d點(diǎn)射出磁場(chǎng)，考點(diǎn)二帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界極值問題解決帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問題的關(guān)鍵是以題目中的“恰好”“最大”“至少”等為突破口，尋找臨界點(diǎn)，確定臨界狀態(tài)，根據(jù)磁場(chǎng)邊界和題設(shè)條件畫好軌跡，建立幾何關(guān)系求解。1.臨界條件剛好穿出(穿不出)磁場(chǎng)邊界的條件是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與邊界相切。2.幾種常見的求極值問題(1)時(shí)間極值①當(dāng)速度v一定時(shí)，弧長(弦長)越長或圓心角越大，則帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長。②圓形邊界:公共弦為小圓直徑時(shí)，出現(xiàn)極值，即當(dāng)運(yùn)動(dòng)軌跡圓半徑大于圓形磁場(chǎng)半徑時(shí)，以磁場(chǎng)直徑的兩端點(diǎn)為入射點(diǎn)和出射點(diǎn)的軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角最大，粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長。③最短時(shí)間:弧長最短(弦長最短)，入射點(diǎn)確定，入射點(diǎn)和出射點(diǎn)連線與邊界垂直。如圖，P為入射點(diǎn)，M為出射點(diǎn)，此時(shí)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短。(2)磁場(chǎng)區(qū)域面積極值若磁場(chǎng)邊界為圓形時(shí)，從入射點(diǎn)到出射點(diǎn)連接起來的線段就是圓形磁場(chǎng)的一條弦，以該條弦為直徑的圓就是最小圓，對(duì)應(yīng)的圓形磁場(chǎng)有最小面積。例4(2024·湖北卷，7)如圖所示，在以O(shè)點(diǎn)為圓心、半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。圓形區(qū)域外有大小相等、方向相反、范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的帶電粒子沿直徑AC方向從A點(diǎn)射入圓形區(qū)域。不計(jì)重力，下列說法正確的是()A.粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡可能經(jīng)過O點(diǎn)B.粒子射出圓形區(qū)域時(shí)的速度方向不一定沿該區(qū)域的半徑方向C.粒子連續(xù)兩次由A點(diǎn)沿AC方向射入圓形區(qū)域的最小時(shí)間間隔為7πD.若粒子從A點(diǎn)射入到從C點(diǎn)射出圓形區(qū)域用時(shí)最短，粒子運(yùn)動(dòng)的速度大小為3答案D解析根據(jù)帶電粒子在圓形邊界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)可知粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡不可能經(jīng)過O點(diǎn)，粒子射出圓形區(qū)域時(shí)的速度方向一定沿該區(qū)域的半徑方向，A、B錯(cuò)誤;當(dāng)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為r1＝R時(shí)，粒子連續(xù)兩次由A點(diǎn)沿AC方向射入磁場(chǎng)區(qū)域的時(shí)間間隔最短，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲所示，由洛倫茲力提供向心力有qv1B＝mv12r1，又T1＝2πr1v1，則最短時(shí)間間隔為tmin＝2T1＝4πmqB，C錯(cuò)誤;粒子從A點(diǎn)射入到從C點(diǎn)射出圓形區(qū)域用時(shí)最短時(shí)，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖乙所示，由幾何關(guān)系可知此時(shí)粒子的軌跡半徑為r2＝33R，由洛倫茲力提供向心力有qv2B例5如圖所示，在xOy平面內(nèi)的第一象限內(nèi)存在一有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)(未畫出)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于xOy平面向外。一束質(zhì)量為m、電荷量為＋q的粒子以不同的速率從O點(diǎn)沿xOy平面內(nèi)的OP方向發(fā)射，沿直線飛行到P點(diǎn)時(shí)進(jìn)入有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，O、P兩點(diǎn)間的距離為L，OP連線與x軸正方向的夾角α＝30°，所有粒子在離開磁場(chǎng)后最終都能從x軸上垂直x軸射出，若速度最大的粒子A從x軸上的Q點(diǎn)以速度vm(未知)射出，且射出之前都在磁場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，粒子所受的重力忽略不計(jì)，求:(1)vm的大小;(2)粒子A在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間;(3)有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積。答案(1)3qBL3m(2)2πm解析(1)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示。設(shè)粒子A在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為rm，由幾何關(guān)系得rm＝33粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，有qvmB＝mv解得vm＝3qBL(2)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則有qvB＝