專題強(qiáng)化三動態(tài)平衡平衡中的臨界與極值問題學(xué)習(xí)目標(biāo)1.學(xué)會運(yùn)用解析法、圖解法等分析處理動態(tài)平衡問題。2.會分析平衡中的臨界與極值問題，并會相關(guān)計算。考點(diǎn)一動態(tài)平衡問題1.動態(tài)平衡是指物體的受力狀態(tài)緩慢發(fā)生變化，但在變化過程中，每一個狀態(tài)均可視為平衡狀態(tài)。2.做題流程方法解析法1.對研究對象進(jìn)行受力分析，畫出受力示意圖。2.根據(jù)物體的平衡條件列式，得到因變量與自變量的關(guān)系表達(dá)式(通常要用到三角函數(shù))。3.根據(jù)自變量的變化確定因變量的變化。例1(2025·河北保定一模)如圖，質(zhì)量為0.2kg的小球A在水平力F作用下，與四分之一光滑圓弧形滑塊B一起靜止在地面上，小球球心跟圓弧圓心連線與豎直方向夾角θ＝60°，g取10m/s2。則以下說法正確的是()A.B對A的支持力大小為23NB.水平地面對B的摩擦力方向水平向右C.增大夾角θ，若A、B依然保持靜止，F(xiàn)減小D.增大夾角θ，若A、B依然保持靜止，地面對B的支持力減小答案B解析對A受力分析，如圖所示，根據(jù)平衡條件，B對A的支持力FN＝mgcosθ＝4N，故A錯誤;對A、B整體受力分析，在水平方向，根據(jù)平衡條件，摩擦力與水平力F等大反向，即摩擦力水平向右，故B正確;對A受力分析，則F＝mgtanθ，增大夾角θ，若A、B依然保持靜止，F(xiàn)增大，故C錯誤;對A、B整體受力分析，在豎直方向，根據(jù)平衡條件，地面對B的支持力與A、B的重力二力平衡，大小相等，與θ角無關(guān)，即地面對B的支持力不變，故方法圖解法用圖解法分析物體的動態(tài)平衡問題時，一般是物體只受三個力作用，且其中一個力大小、方向均不變，另一個力的方向不變，第三個力大小、方向均變化。例2(2025·河北石家莊高三期末)如圖所示，粗糙水平地面上放有橫截面為14A.B對A的作用力不變 B.墻對B的作用力不變C.地面對A的摩擦力不變 D.地面對A的支持力不變答案D解析對物體B受力分析，受到重力mg、A對B的支持力FNAB和墻壁對B的支持力FNB，如圖甲所示，當(dāng)A向左移動后，A對B的支持力FNAB的方向不斷變化，根據(jù)平衡條件結(jié)合合成法可知A對B的支持力FNAB和墻壁對B的支持力FNB都在不斷減小，由牛頓第三定律可知B對A的作用力不斷減小，故A、B錯誤;對A和B整體受力分析，受到總重力G、地面的支持力FN、地面的摩擦力Ff和墻壁的彈力FN1，如圖乙所示，根據(jù)平衡條件，有Ff＝FN1，F(xiàn)N＝G，故地面對A的支持力不變，地面對A的摩擦力Ff逐漸減小，故C錯誤，D正確。方法相似三角形法物體受三個力平衡，其中一個力恒定，另外兩個力的方向同時變化，當(dāng)所作“力的矢量三角形”與空間的某個“幾何三角形”總相似時，可利用相似三角形對應(yīng)邊成比例進(jìn)行計算。例3(多選)(2025·江西鷹潭模擬)如圖所示，圓心為O、半徑為R的四分之一圓形光滑軌道豎直固定在水平地面上，在O點(diǎn)正上方有一光滑的小滑輪，小滑輪到軌道上B點(diǎn)的距離為h，輕繩的一端系一質(zhì)量為m的小球，靠放在光滑圓形軌道上的A點(diǎn)，A點(diǎn)到小滑輪的距離為L，另一端繞過小滑輪后用力拉住。重力加速度大小為g，則()A.若使小球靜止在A點(diǎn)，圓形軌道對小球的支持力大小FN＝mgRB.若使小球靜止在A點(diǎn)，繩對小球的拉力大小FT＝2C.緩慢地拉繩，在使小球由A到B的過程中，圓形軌道對小球的支持力大小FN不變，繩對小球的拉力大小FT變小D.緩慢地拉繩，在使小球由A到B的過程中，圓形軌道對小球的支持力大小FN變小，繩對小球的拉力大小FT先變小后變大答案AC解析對小球受力分析如圖所示，由平衡條件可知，將三個力按順序首尾相接，可形成如圖所示閉合三角形。由圖可知力的三角形與幾何三角形△AOO'相似，則有mgR＋?＝FNR＝FTL，得FN＝mgRR＋?，F(xiàn)T＝mgLR＋?，故A正確，B錯誤;緩慢地拉繩，小球由A到B的過程中，mg、R、h均不變，L方法矢量圓法(正弦定理法)1.矢量圓:如圖所示，物體受三個共點(diǎn)力作用而平衡，其中一力恒定，另外兩力方向一直變化，但兩力的夾角不變，作出不同狀態(tài)的矢量三角形，利用兩力夾角不變，可以作出動態(tài)圓(也可以由正弦定理列式求解)，恒力為圓的一條弦，根據(jù)不同位置判斷各力的大小變化。2.正弦定理:如圖所示，物體受三個共點(diǎn)力作用而處于平衡狀態(tài)，則三個力中任意一個力的大小與另外兩個力的夾角的正弦成正比，即F1例4(2025·山東煙臺高三期末)一豎直放置的輕質(zhì)圓環(huán)靜止于水平面上，質(zhì)量為m的物體用輕繩系于圓環(huán)邊緣上的A、B兩點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)恰位于圓環(huán)的圓心О點(diǎn)。已知物體靜止時，AO繩水平，BO繩與AO繩的夾角為150°。現(xiàn)使圓環(huán)沿順時針方向緩慢滾動，在AO繩由水平轉(zhuǎn)動至豎直的過程中()A.AO繩中的拉力一直增大 B.AO繩中最大拉力為2mgC.BO繩中的拉力先減小后增大 D.BO繩中最小拉力為mg答案B解析物體始終保持靜止，合力為零，由于重力不變，以及F1和F2的夾角α＝150°不變，β＝30°，則mg、F1、F2構(gòu)成封閉的矢量三角形如圖所示，可知在AO繩由水平轉(zhuǎn)動至豎直的過程中，AO繩中的拉力F1先增大后減小，BO繩中的拉力F2一直減小，故A、C錯誤;當(dāng)F1為直徑時，F(xiàn)1最大，則AO繩中最大拉力為F1m＝mgsin30°＝2mg，故B正確;在AO繩豎直時，BO繩中拉力最小，為零，故D方法總結(jié)動態(tài)平衡模型分析方法矢量三角形法:其中一個力大小方向固定，另一個力方向固定，第三個力大小方向均不固定水平拉力F逐漸增大，繩的拉力也逐漸增大擋板對球的作用力F1先減小后增大，斜面對球的支持力F2逐漸減小相似三角形法:矢量三角形與幾何三角形相似OA輔助圓法:(1)一個力大小、方向固定，另兩個力間的夾角固定。(2)一個力大小、方向固定，另一個力大小固定，第三個力大小、方向均不固定正弦定理G考點(diǎn)二平衡中的臨界與極值問題1.臨界、極值問題特征(1)臨界問題:當(dāng)某物理量變化時，會引起其他幾個物理量的變化，從而使物體所處的平衡狀態(tài)“恰好出現(xiàn)”或“恰好不出現(xiàn)”，在問題的描述中常用“剛好”“剛能”“恰好”等語言敘述。常見的臨界狀態(tài)有:①由靜止到運(yùn)動，摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力。②繩子恰好繃緊，拉力F＝0。③剛好離開接觸面，支持力FN＝0。(2)極值問題:平衡物體的極值，一般指在力的變化過程中的最大值和最小值。2.解決臨界和極值問題的三種方法極限法正確進(jìn)行受力分析和變化過程分析，找到平衡的臨界點(diǎn)和極值點(diǎn);臨界條件必須在變化中尋找，不能在一個狀態(tài)上研究臨界問題，要把某個物理量推向極大或極小數(shù)學(xué)分析法通過對問題的分析，根據(jù)平衡條件列出物理量之間的函數(shù)關(guān)系(畫出函數(shù)圖像)，用數(shù)學(xué)方法求極值(如求二次函數(shù)極值、公式極值、三角函數(shù)極值)物理分析法根據(jù)平衡條件，作出力的矢量圖，通過對物理過程的分析，利用平行四邊形定則進(jìn)行動態(tài)分析，確定最大值和最小值例5(2025·山東臨沂模擬)如圖所示，半徑均為R的光滑球和不光滑的半球由同種材料制成的，球和半球放置在豎直墻壁的左側(cè)。當(dāng)半球的球心到豎直墻壁的距離大于2.2R時，半球?qū)⑾蜃蠡瑒?。?dāng)半球球心到墻壁的距離為L時，即使給球體向下沿通過球心的豎直方向施加的力再大，半球和球始終保持靜止，則L的最大值為()A.55＋2R B.C.105＋1R D.答案D解析設(shè)半球質(zhì)量為m，則光滑球質(zhì)量為2m，對光滑球和不光滑的半球受力分析，如圖所示，當(dāng)半球的球心到豎直墻壁的距離為2.2R時，由幾何關(guān)系，有sinθ＝2.2R?R2R＝0.6，對整體，根據(jù)平衡條件可得Ff＝FN2＝2mgtanθ，F(xiàn)N3＝mg＋2mg，又Ff＝μFN3，聯(lián)立解得μ＝0.5。給球體向下沿通過球心的豎直方向施加力，半球和球始終保持靜止，需要滿足(F＋2mg)tanα≤μ(mg＋F＋2mg)，即tanα≤μmg2mg＋F＋1，當(dāng)半球球心到墻壁的距離為最大值L時，有tanα＝μ，由幾何關(guān)系，有L＝2Rsinα跟蹤訓(xùn)練如圖所示，一輕質(zhì)光滑定滑輪固定在傾斜木板上，質(zhì)量分別為m和2m的物塊A、B，通過不可伸長的輕繩跨過滑輪連接，A、B間的接觸面和輕繩均與木板平行。A與B間、B與木板間的動摩擦因數(shù)均為μ，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。當(dāng)木板與水平面的夾角為45°時，物塊A、B剛好要滑動，則μ的值為()A.13 B.