第四節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

目錄CONTENTS123知識(shí)體系構(gòu)建課時(shí)跟蹤檢測(cè)考點(diǎn)分類(lèi)突破PART1知識(shí)體系構(gòu)建必備知識(shí)系統(tǒng)梳理基礎(chǔ)重落實(shí)課前自修

1.若函數(shù)

y

＝2cos2

x

－1的最小正周期為

T

，最大值為

A

，則

（

）A.

T

＝π，

A

＝1B.

T

＝2π，

A

＝1C.

T

＝π，

A

＝2D.

T

＝2π，

A

＝2

2.函數(shù)

y

＝4sin（2

x

＋π）的圖象關(guān)于（

）A.

x

軸對(duì)稱(chēng)B.

原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C.

y

軸對(duì)稱(chēng)D.

直線

x

＝

對(duì)稱(chēng)

1

π］（

k

∈Z）

2

PART2考點(diǎn)分類(lèi)突破精選考點(diǎn)典例研析技法重悟通課堂演練三角函數(shù)的定義域和值域

A.［

＋4

k

π，

＋4

k

π］（

k

∈Z）B.［

＋4

k

，

＋4

k

］（

k

∈Z）C.［

＋4

k

π，

＋4

k

π］（

k

∈Z）D.［

＋4

k

，

＋4

k

］（

k

∈Z）

[0，

（3）（2024·成都模擬）已知函數(shù)

f

（

x

）＝cos2

x

＋8cos

x

，則

f

（

x

）的最小值為

?.解析：f

（

x

）＝2cos2

x

＋8cos

x

－1＝2（cos

x

＋2）2－9，因

為－1≤cos

x

≤1，則1≤cos

x

＋2≤3，故當(dāng)cos

x

＝－1時(shí)，函

數(shù)

f

（

x

）取得最小值，即

f

（

x

）min＝2×（－1＋2）2－9＝－7.－7

2.求解三角函數(shù)的值域（最值）常見(jiàn)的幾種類(lèi)型（1）形如

y

＝

a

sin

x

＋

b

cos

x

＋

c

的三角函數(shù)化為

y

＝

A

sin（ω

x

＋

φ）＋

c

的形式，再求值域（最值）；（2）形如

y

＝

a

sin2

x

＋

b

sin

x

＋

c

的三角函數(shù)，可先設(shè)sin

x

＝

t

，

化為關(guān)于

t

的二次函數(shù)求值域（最值）；（3）形如

y

＝

a

sin

x

cos

x

＋

b

（sin

x

±cos

x

）＋

c

的三角函數(shù)，可

先設(shè)

t

＝sin

x

±cos

x

，化為關(guān)于

t

的二次函數(shù)求值域（最值）.

{

x

｜

x

≠1＋6

k

，

k

∈Z}

2.函數(shù)

y

＝sin

x

－cos

x

＋sin

x

cos

x

的值域?yàn)?/p>

?.

三角函數(shù)的周期性、奇偶性與對(duì)稱(chēng)性【例2】

（1）（2023·天津高考5題）已知函數(shù)

f

（

x

）圖象的一條對(duì)

稱(chēng)軸為直線

x

＝2，

f

（

x

）的一個(gè)周期為4，則

f

（

x

）的解析式可能為

（

）A.

f

（

x

）＝sin（

x

）B.

f

（

x

）＝cos（

x

）C.

f

（

x

）＝sin（

x

）D.

f

（

x

）＝cos（

x

）

A.1B.

C.

D.3

2.定義在R上的非常數(shù)函數(shù)

f

（

x

）滿足：

f

（－

x

）＝

f

（

x

），且

f

（2－

x

）＋

f

（

x

）＝0.請(qǐng)寫(xiě)出符合條件的一個(gè)函數(shù)的解析式

f

（

x

）＝

?.

三角函數(shù)的單調(diào)性

A.

B.

C.

D.

（2）（2022·北京高考5題）已知函數(shù)

f

（

x

）＝cos2

x

－sin2

x

，則

（

）A.

f

（

x

）在

上單調(diào)遞減B.

f

（

x

）在

上單調(diào)遞增C.

f

（

x

）在

上單調(diào)遞減D.

f

（

x

）在

上單調(diào)遞增

解題技法求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟（1）將函數(shù)化為

y

＝

A

sin（ω

x

＋φ）或

y

＝

A

cos（ω

x

＋φ）的形

式，若ω＜0，借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)；（2）把ω

x

＋φ看作一個(gè)整體，再根據(jù)

y

＝sin

x

和

y

＝cos

x

的單調(diào)區(qū)間

及

A

的正負(fù)，列不等式求解.

4

解題技法

對(duì)于已知函數(shù)單調(diào)區(qū)間的某一部分確定參數(shù)ω的范圍問(wèn)題，首

先，明確已知的單調(diào)區(qū)間應(yīng)為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的子集，其次，要確定

已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而利用它們之間的關(guān)系求解，另外，若是選

擇題利用特值驗(yàn)證排除法求解更為簡(jiǎn)捷.

A.

f

（

x

）在（－

）上單調(diào)遞增B.

f

（

x

）在（－

）上單調(diào)遞增C.

f

（

x

）在（

）上單調(diào)遞減D.

f

（

x

）在（

）上單調(diào)遞增

PART3課時(shí)跟蹤檢測(cè)關(guān)鍵能力分層施練素養(yǎng)重提升課后練習(xí)

A.4πB.3πC.2πD.π

12345678910111213141516

A.[－1，1]B.

［－

，1］C.［－

］D.

［

，1］

123456789101112131415163.（2024·威海一模）已知函數(shù)

f

（

x

）＝sin

x

cos（2

x

＋φ）

（φ∈[0，π]）為偶函數(shù)，則φ＝（

）A.0B.

C.

D.π

12345678910111213141516

A.

a

＞

b

＞

c

B.

a

＞

c

＞

b

C.

c

＞

a

＞

b

D.

b

＞

a

＞

c

12345678910111213141516

A.

f

（

x

）的最小正周期為

B.

f

（

x

）的定義域?yàn)閧

x

｜

x

≠

＋

k

π，

k

∈Z}C.

f

（

）＝

f

（－

）D.

f

（

x

）在（

）上單調(diào)遞減12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

f

（

x

）的最小正周期為πB.

f

（

x

）在（－

）上單調(diào)遞增C.

f

（

x

）的圖象關(guān)于

x

＝

軸對(duì)稱(chēng)D.

f

（

x

）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

，0）對(duì)稱(chēng)12345678910111213141516

12345678910111213141516

－4

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.－1B.1C.3D.1＋

12345678910111213141516

1234567891011121314151610.已知函數(shù)

f

（

x

）＝cos

x

，若

A

，

B

是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則

一定有（

）A.

f

（sin

A

）＞

f

（sin

B

）B.

f

（cos

A

）＞

f

（cos

B

）C.

f

（sin

A

）＞

f

（cos

B

）D.

f

（cos

A

）＞

f

（sin

B

）12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.ω＝2B.

f

（

x

）的最小正周期為πC.

f

（

x

）圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是（

，0）D.

f

（

x

）的單調(diào)遞增區(qū)間為［－

＋

k

π，

＋

k

π］，

k

∈Z12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

＋

k

π］，

k

∈Z

12345678910111213141516

12345678910111213141516

[0，1）

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516（2）求使

f

（

x

）≥

g

（

x

）成立的

x

的取值集合.

12345678910111213141516

15.（多選）已知函數(shù)

f

（

x

）＝｜sin

x

｜＋｜c(diǎn)os

x

｜，則下列說(shuō)法正

確的是（

）A.

是

f

（

x

）的周期B.

f

（

x

）的最小值為

C.

f

（

－

x

）＝

f

（

x

）D.

f

（

x

）＝

在［－

］上有兩解12345678910111213141516