第二節(jié)等差數(shù)列1.理解等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義.2.探索并掌握等差數(shù)列的前

n

項(xiàng)和公式，理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與

前

n

項(xiàng)和公式的關(guān)系.3.體會等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系.目錄CONTENTS123知識體系構(gòu)建課時(shí)跟蹤檢測考點(diǎn)分類突破PART1知識體系構(gòu)建必備知識系統(tǒng)梳理基礎(chǔ)重落實(shí)課前自修

1.在數(shù)列{

an

}中，

a

1＝－2，

an

＋1－

an

＝2.則

a

5＝（

）A.－6B.6

C

.

－10D.10解析：

∵

an

＋1－

an

＝2，∴數(shù)列{

an

}是公差為2的等差數(shù)列，又

a

1＝－2，∴

a

5＝

a

1＋4

d

＝－2＋2×4＝6.故選B.2.已知等差數(shù)列{

an

}，若

a

1＝12，

a

2＋

a

5＝36，則

a

6＝（

）A.20B.24

C

.

28D.32解析：

由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，

a

1＋

a

6＝

a

2＋

a

5＝36，所以

a

6

＝36－

a

1＝24.故選B.3.已知等差數(shù)列{

an

}中，

a

1＋

a

7＋

a

13＝4π，則tan（

a

2＋

a

12）＝

（

）A.－

B.

C

.

－

D.

4.（2022·全國乙卷13題）記

Sn

為等差數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和.若2

S

3＝3

S

2＋6，則公差

d

＝

?.解析：因?yàn)?

S

3＝3

S

2＋6，所以2（

a

1＋

a

2＋

a

3）＝3（

a

1＋

a

2）＋

6，化簡得3

d

＝6，得

d

＝2.2

5.已知

Sn

為等差數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和，

a

2＝2，

S

4＝14，則

an

＝

?.

3

n

－4

A.0B.1C.2023D.2024

2.在項(xiàng)數(shù)為2

n

的等差數(shù)列中，各奇數(shù)項(xiàng)之和為75，各偶數(shù)項(xiàng)之和為

90，末項(xiàng)與首項(xiàng)之差為27，則

n

＝

?.

5

2

4.已知等差數(shù)列{

an

}的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項(xiàng)之和為319，所

有偶數(shù)項(xiàng)之和為290，則該數(shù)列的中間項(xiàng)為

?.解析：設(shè)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2

n

－1，由結(jié)論4可得，

S

奇－

S

偶＝

an

＝319－

290＝29.29

PART2考點(diǎn)分類突破精選考點(diǎn)典例研析技法重悟通課堂演練等差數(shù)列基本量的計(jì)算1.（2023·全國甲卷5題）記

Sn

為等差數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和.若

a

2＋

a

6＝

10，

a

4

a

8＝45，則

S

5＝（

）A.25B.22C.20D.15

2.（多選）記

Sn

為等差數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和，已知

S

4＝0，

a

5＝5，則

下列選項(xiàng)正確的是（

）A.

a

2＋

a

3＝0B.

an

＝2

n

－5C.

Sn

＝

n

（

n

－4）D.

d

＝－2

3.在我國古代，9是數(shù)字之極，代表尊貴之意，所以中國古代皇家建

筑中包含許多與9相關(guān)的設(shè)計(jì).例如，北京天壇圜丘壇的地面由扇環(huán)

形的石板鋪成，如圖，最高一層的中心是一塊天心石，圍繞它的第

一圈有9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊，共9圈，

則第7圈的石板數(shù)為

，前9圈的石板總數(shù)為

?.63

405

練后悟通等差數(shù)列基本量運(yùn)算的常見類型及解題策略（1）求公差

d

或項(xiàng)數(shù)

n

：在求解時(shí)，一般要運(yùn)用方程思想；（2）求通項(xiàng)：

a

1和

d

是等差數(shù)列的兩個(gè)基本元素；（3）求特定項(xiàng)：利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式或等差數(shù)列的性質(zhì)求解；（4）求前

n

項(xiàng)和：利用等差數(shù)列的前

n

項(xiàng)和公式直接求解或利用等差

中項(xiàng)間接求解.等差數(shù)列的判定與證明【例1】

（2021·全國甲卷18題）已知數(shù)列{

an

}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記

Sn

為{

an

}的前

n

項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外

一個(gè)成立.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

解題技法判斷數(shù)列{

an

}是等差數(shù)列的常用方法（1）定義法：對任意

n

∈N*，

an

＋1－

an

是同一常數(shù)；（2）等差中項(xiàng)法：對任意

n

≥2，

n

∈N*，滿足2

an

＝

an

＋1＋

an

－1；（3）通項(xiàng)公式法：對任意

n

∈N*，都滿足

an

＝

pn

＋

q

（

p

，

q

為常

數(shù)）；（4）前

n

項(xiàng)和公式法：對任意

n

∈N*，都滿足

Sn

＝

An

2＋

Bn

（

A

，

B

為常數(shù)），其中公差

d

＝2A.提醒

（3）（4）只適用于客觀題的求解與判斷.

已知數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和為

Sn

，

a

1＝1，

an

≠0，

anan

＋1＝λ

Sn

－1，

其中λ為常數(shù).（1）證明：

an

＋2－

an

＝λ；解：證明：由題意知，

anan

＋1＝λ

Sn

－1，

an

＋1

an

＋2＝λ

Sn

＋1－1.兩式相減，得

an

＋1（

an

＋2－

an

）＝λ

an

＋1.由于

an

＋1≠0，所以

an

＋2－

an

＝λ.（2）是否存在λ，使得{

an

}為等差數(shù)列？并說明理由.解：由題設(shè)知，

a

1＝1，

a

1

a

2＝λ

S

1－1，可得

a

2＝λ－1.由（1）知，

a

3＝λ＋1.令2

a

2＝

a

1＋

a

3，解得λ＝4.故

an

＋2－

an

＝4，由此可得{

a

2

n

－1}是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，

a

2

n

－1＝4

n

－3；{

a

2

n

}是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，

a

2

n

＝4

n

－1.所以

an

＝2

n

－1，

an

＋1－

an

＝2.因此存在λ＝4，使得{

an

}為等差數(shù)列.等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用考向1

等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)【例2】

（教材題改編）若數(shù)列{

an

}滿足

an

＋1＋

an

－1＝2

an

，且

a

3

＋

a

15＝14，則其前17項(xiàng)和

S

17＝（

）A.136B.119

C

.

102D.85

A.

B.1

C

.

0D.

2.（變條件，變設(shè)問）本例中條件“

a

3＋

a

15＝14”改為“

a

1－

a

9＋

a

17＝7”，則

a

3＋

a

15＝

?.解析：因?yàn)?/p>

a

1－

a

9＋

a

17＝（

a

1＋

a

17）－

a

9＝2

a

9－

a

9＝

a

9＝7，

所以

a

3＋

a

15＝2

a

9＝2×7＝14.

14

119

解題技法

考向2

等差數(shù)列前

n

項(xiàng)和的性質(zhì)【例3】

（1）已知等差數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和為

Sn

，若

S

10＝10，

S

20

＝60，則

S

40＝（

）A.110B.150

C

.

210D.280解析：因?yàn)榈炔顢?shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和為

Sn

，所以

S

10，

S

20

－

S

10，

S

30－

S

20，

S

40－

S

30也成等差數(shù)列.故（

S

30－

S

20）＋

S

10

＝2（

S

20－

S

10），所以

S

30＝150.又因?yàn)椋?/p>

S

20－

S

10）＋（

S

40－

S

30）＝2（

S

30－

S

20），所以

S

40＝280.

解題技法

在等差數(shù)列{

an

}中，

Sn

為其前

n

項(xiàng)和，則：（1）

S

2

n

＝

n

（

a

1＋

a

2

n

）＝…＝

n

（

an

＋

an

＋1），

S

2

n

－1＝（2

n

－

1）

an

；（2）

Sk

，

S

2

k

－

Sk

，

S

3

k

－

S

2

k

，…成等差數(shù)列.考向3

等差數(shù)列前

n

項(xiàng)和的最值問題【例4】

等差數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和為

Sn

，已知

a

1＝13，

S

3＝

S

11，當(dāng)

Sn

最大時(shí)，

n

的值是（

）A.5B.6C.7D.8

（變條件）若將本例中“

a

1＝13，

S

3＝

S

11”改為“

a

1＝20，

S

10＝

S

15”，則

Sn

最大時(shí)，

n

為何值？

法三

由

S

10＝

S

15，得

a

11＋

a

12＋

a

13＋

a

14＋

a

15＝0.所以5

a

13＝0，即

a

13＝0.所以當(dāng)

n

＝12或

n

＝13時(shí)，

Sn

有最大值.解題技法求等差數(shù)列前

n

項(xiàng)和

Sn

最值的兩種方法

1.（2024·寶雞一模）在等差數(shù)列{

an

}中，

a

6，

a

18是方程

x

2－8

x

－17

＝0的兩個(gè)根，則{

an

}的前23項(xiàng)的和為（

）A.－184B.

－92

C

.

92D.184

A.

B.

C.

D.

13

PART3課時(shí)跟蹤檢測關(guān)鍵能力分層施練素養(yǎng)重提升課后練習(xí)1.（2024·蕪湖模擬）在等差數(shù)列{

an

}中，若

a

3＋

a

9＝30，

a

4＝11，

則{

an

}的公差為（

）A.－2B.2

C

.

－3D.3

123456789101112131415161718192021222324252627282.（2024·撫州模擬）中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)

問題：“某賈人擅營，月入益功疾（注：從第2個(gè)月開始，每月比

前一月多入相同量的銅錢），第3月入25貫，全年（按12個(gè)月計(jì)）

共入510貫”，則該人第12月營收貫數(shù)為（

）A.64B.66

C

.

68D.70

A.－2022B.

－2024C.2024D.2022

4.（多選）等差數(shù)列{

an

}的公差為

d

，前

n

項(xiàng)和為

Sn

，當(dāng)首項(xiàng)

a

1和

d

變化時(shí)，

a

3＋

a

8＋

a

13是一個(gè)定值，則下列各數(shù)也為定值的有

（

）A.

a

7B.

a

8C.

S

15D.

S

16

5.（多選）已知

Sn

是等差數(shù)列{

an

}（

n

∈N*）的前

n

項(xiàng)和，且

S

8＞

S

9

＞

S

7，則下列結(jié)論正確的是（

）A.公差

d

＜0B.在所有小于0的

Sn

中，

S

17最大C.

a

8＞

a

9D.滿足

Sn

＞0的

n

的個(gè)數(shù)為15

6.（2024·珠海模擬）已知{

an

}和{

bn

}均為等差數(shù)列，若

a

1＝

b

2＝6，

a

4＋

b

5＝9，則

a

7＋

b

8＝

?.解析：因?yàn)閧

an

}和{

bn

}均為等差數(shù)列，所以

a

1＋

a

7＝2

a

4，

b

2＋

b

8

＝2

b

5，所以

a

1＋

a

7＋

b

2＋

b

8＝2（

a

4＋

b

5），即

a

7＋

b

8＋12＝

2×9，所以

a

7＋

b

8＝6.6

7.（2024·襄陽模擬）已知等差數(shù)列{

an

}中，

a

2＝4，

a

6＝16，若在數(shù)

列{

an

}每相鄰兩項(xiàng)之間插入三個(gè)數(shù)，使得新數(shù)列也是一個(gè)等差數(shù)

列，則新數(shù)列的第43項(xiàng)為

?.

（1）證明：{

an

}是等差數(shù)列；

（2）若

a

4，

a

7，

a

9成等比數(shù)列，求

Sn

的最小值.

9.（2024·北京一模）已知等差數(shù)列{

an

}的公差為

d

，數(shù)列{

bn

}滿足

an

·

bn

＝1（

n

∈N*），則“

d

＞0”是“{

bn

}為遞減數(shù)列”的

（

）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

10.已知數(shù)列{

an

}的前

n

項(xiàng)和為

Sn

，若不等式

an

＋1≤

Sn

對任意的

n

∈N*恒成立，則稱數(shù)列{

an

}為“和保值數(shù)列”.若{

an

}是公差為

d

的等差數(shù)列，且{

an

＋

n

}為“和保值數(shù)列”，則

a

1的取值范圍為

（

）A.[0，＋∞）B.

[－2，＋∞）C.[－1，＋∞）D.

[1，＋∞）

12.已知數(shù)列{

an

}的通項(xiàng)公式

an

＝11－2

n

，