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文檔簡介

第三節(jié)隨機事件的概率與古典概型高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標要求

1.

結(jié)合具體實例,理解樣本點和有限樣本空間的含義,理解隨機事件與樣

本點的關(guān)系.了解隨機事件的并、交與互斥的含義,能結(jié)合實例進行隨機

事件的并、交運算.2.

結(jié)合具體實例,理解古典概型,能計算古典概型中簡單隨機事件的

概率.3.

通過實例,理解概率的性質(zhì),掌握隨機事件概率的運算法則.4.

結(jié)合實例,會用頻率估計概率.目錄CONTENTS知識·逐點夯實01.考點·分類突破02.課時·跟蹤檢測03.PART01知識·逐點夯實必備知識|課前自修

1.

樣本空間和隨機事件關(guān)鍵詞含義樣本點隨機試驗E的

的基本結(jié)果,常用ω表示樣本

點樣本空間

樣本點的集合,常用Ω表示樣本空間有限樣本空間如果一個隨機試驗有n個可能結(jié)果ω1,ω2,…,ωn,則稱

樣本空間Ω={ω1,ω2,…,ωn}為有限樣本空間每個可能

全體

關(guān)鍵詞含義隨機事件樣本空間Ω的

,常用大寫字母A,B,C,…表

示基本事件只包含一個樣本點的事件必然事件每次試驗

?的事件不可能事件每次試驗

?的事件子集

一定發(fā)生

一定不發(fā)生

2.

兩個事件的關(guān)系和運算事件的關(guān)系和

運算含義符號表示包含關(guān)系A(chǔ)發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生A?B相等關(guān)系B?A且A?BA=B并事件(和事

件)A與B至少有一個發(fā)生A∪B或A+B事件的關(guān)系和

運算含義符號表示交事件(積事

件)A與B同時發(fā)生A∩B或AB互斥事件A與B不能同時發(fā)生A∩B=?互為對立事件A與B有且僅有一個發(fā)生A∩B=?,A∪B=Ω3.

古典概型(1)古典概型的特征①有限性:樣本空間的樣本點只有

個;②等可能性:每個樣本點發(fā)生的可能性

?.有限

相等

4.

概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1:對任意的事件A,都有P(A)≥0;性質(zhì)2:必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(Ω)=1,P

(?)=0;性質(zhì)3:如果事件A與事件B互斥,那么P(A∪B)=

?

?;性質(zhì)4:如果事件A與事件B互為對立事件,那么P(B)=1-P(A),

P(A)=

?;性質(zhì)5:如果A?B,那么P(A)≤P(B),由該性質(zhì)可得,對于任意

事件A,因為??A?Ω,所以0≤P(A)≤1;性質(zhì)6:設(shè)A,B是一個隨機試驗中的兩個事件,我們有P(A∪B)

?.P(A)+P

(B)

1-P(B)

P(A)+P(B)-P(A∩B)

5.

頻率和概率隨著試驗次數(shù)n的增大,頻率偏離概率的幅度會縮小,即事件A發(fā)生的頻

率fn(A)會逐漸

事件A發(fā)生的概率P(A),我們稱頻率的這

個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此,可以用頻率fn(A)估計概率P

A

).穩(wěn)定于

A

若事件A1,A2,…,An兩兩互斥,則P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)

+P(A2)+…+P(An).

1.

判斷正誤.(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.

×

)(2)兩個事件的和事件是指兩個事件同時發(fā)生.

×

)(3)若A∪B是必然事件,則A與B是對立事件.

×

)(4)擲一枚硬幣兩次,出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”,

這三個結(jié)果是等可能事件.

×

)××××2.

(人A必修二P235練習(xí)1題改編)一個人打靶時連續(xù)射擊兩次,與事件

“至多有一次中靶”互斥的事件是(

)A.

至少有一次中靶B.

兩次都中靶C.

只有一次中靶D.

兩次都不中靶解析:

射擊兩次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或兩次都不中

靶”,與該事件不能同時發(fā)生的是“兩次都中靶”.√3.

(人A必修二P257練習(xí)1(1)(2)題改編)把一枚質(zhì)地均勻的硬幣連

續(xù)拋擲1

000次,其中有496次正面朝上,504次反面朝上,則擲一次硬幣正

面朝上的概率為(

)A.0.496B.0.504C.0.5D.1解析:

擲一次硬幣正面朝上的概率是0.5.√4.

(人A必修二P237例8改編)從集合{1,2,4}中隨機抽取一個數(shù)a,從

集合{2,4,5}中隨機抽取一個數(shù)b,則向量m=(a,b)與向量n=

(2,-1)垂直的概率為(

)A.

B.

√C.

D.

PART02考點·分類突破精選考點|課堂演練

隨機事件關(guān)系的判斷(基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān))1.

口袋中裝有3個紅球和4個黑球,每個球編有不同的號碼,現(xiàn)從中取出3

個球,則互斥而不對立的事件是(

)A.

至少有1個紅球與至少有1個黑球B.

至少有1個紅球與都是黑球C.

至少有1個紅球與至多有1個黑球D.

恰有1個紅球與恰有2個紅球√解析:

對于A,不互斥,如取出2個紅球和1個黑球,與至少有1個黑球

不是互斥事件,所以A不符合題意;對于B,至少有1個紅球與都是黑球不

能同時發(fā)生,且必有其中1個發(fā)生.所以為互斥事件,且為對立事件,所以

B不符合題意;對于C,不互斥.如取出2個紅球和1個黑球,與至多有1個黑

球不是互斥事件,所以C不符合題意;對于D,恰有1個紅球與恰有2個紅球

不能同時發(fā)生,所以為互斥事件,但不對立,如恰有3個紅球.2.

〔多選〕有甲、乙兩種報紙供市民訂閱,記事件E為“只訂甲報紙”,

事件F為“至少訂一種報紙”,事件G為“至多訂一種報紙”,事件I為

“一種報紙也不訂”,下列命題正確的是(

)A.

E與G是互斥事件B.

F與I互為對立事件C.

F與G不是互斥事件D.

G與I是互斥事件解析:

對于A,E與G有可能同時發(fā)生,不是互斥事件,故A錯誤;

對于B,F(xiàn)與I不可能同時發(fā)生,且發(fā)生的概率之和為1,所以F與I互為對

立事件,故B正確;對于C,F(xiàn)與G可以同時發(fā)生,不是互斥事件,故C正

確;對于D,G與I可以同時發(fā)生,不是互斥事件,故D錯誤.√√3.

〔多選〕口袋里裝有1紅,2白,3黃共6個除顏色外完全相同的小球,從

中取出兩個球,事件A=“取出的兩個球同色”,B=“取出的兩個球中

至少有一個黃球”,C=“取出的兩個球至少有一個白球”,D=“取出

的兩個球不同色”,E=“取出的兩個球中至多有一個白球”.下列判斷正

確的是(

)A.

A與D為對立事件B.

B與C是互斥事件C.

C與E是對立事件D.

P(C∪E)=1解析:

當(dāng)取出的兩個球為一黃一白時,B與C都發(fā)生,B不正確;當(dāng)

取出的兩個球中恰有一個白球時,事件C與E都發(fā)生,C不正確;顯然A

與D是對立事件,A正確;C∪E為必然事件,P(C∪E)=1,D正確.√√練后悟通事件關(guān)系判斷的策略(1)判斷事件的互斥、對立關(guān)系時一般用定義判斷,不可能同時發(fā)生的

兩個事件為互斥事件;兩個事件,若有且僅有一個發(fā)生,則這兩個事件為

對立事件,對立事件一定是互斥事件,反之不成立.互斥事件是不可能同

時發(fā)生的事件,但也可以同時不發(fā)生;對立事件是特殊的互斥事件,特殊

在對立的兩個事件不可能都不發(fā)生,即有且僅有一個發(fā)生;(2)判斷事件的交、并關(guān)系時,一是要緊扣運算的定義,二是要全面考

慮同一條件下的試驗可能出現(xiàn)的全部結(jié)果,必要時可列出全部的試驗結(jié)果

進行分析.也可類比集合的關(guān)系,運用Venn圖分析事件.隨機事件的概率(定向精析突破)考向1

古典概型的概率

(1)(2025·湘豫名校聯(lián)考)黨的二十大報告提出:“深化全民閱讀

活動.”今天,我們思索讀書的意義、發(fā)掘知識的價值、強調(diào)閱讀的作

用,正是為了更好地滿足人民群眾精神文化生活新期待.某市把圖書館、

博物館、美術(shù)館、文化館四個公共文化場館面向社會免費開放,開放期間

需要志愿者參與協(xié)助管理.現(xiàn)有A,B,C,D,E共5名志愿者,每名志

愿者均參與本次志愿者服務(wù)工作,每個場館至少需要一名志愿者,每名志

愿者到各個場館的可能性相同,則A,B兩名志愿者不在同一個場館的概

率為(

D

)DA.

B.

C.

D.

(2)(2025·八省聯(lián)考)有8張卡片,分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,

7,8,現(xiàn)從這8張卡片中隨機抽出3張,則抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與

其余5張卡片上的數(shù)字之和相等的概率為

?.

解題技法古典概型的概率求解步驟(1)求出所有樣本點的個數(shù)n;(2)求出事件A包含的所有樣本點的個數(shù)m;

考向2

互斥事件與對立事件的概率

某商場有獎銷售中,購滿100元商品得1張獎券,多購多得.1

000張獎

券為一個開獎單位,設(shè)特等獎1個,一等獎10個,二等獎50個.設(shè)1張獎券

中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A,B,C,求:(1)1張獎券的中獎概率;

(2)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率.

解題技法互斥事件概率的兩種求法(1)將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個彼此互斥事件的和事件,利用互斥事件概率

的加法公式求解概率;(2)若將一個較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥事件的和事件時分類太

多,而其對立面的分類較少,可考慮先求其對立事件的概率,即運用“正

難則反”的思想.常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率.

1.

從正六邊形的6個頂點中任取3個構(gòu)成三角形,則所得三角形是直角三角

形的概率為(

)A.

B.

√C.

D.

2.

從(3x+1)5的展開式各項的系數(shù)中任取兩個,其和為奇數(shù)的概率

?.

3.

經(jīng)統(tǒng)計,在某儲蓄所一個營業(yè)窗口排隊等候的人數(shù)及相應(yīng)的概率如下:排隊人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求:(1)至多2人排隊等候的概率;解:記“無人排隊等候”為事件A,“1人排隊等候”為事件B,“2人排

隊等候”為事件C,“3人排隊等候”為事件D,“4人排隊等候”為事件

E,“5人及5人以上排隊等候”為事件F,則事件A,B,C,D,E,F(xiàn)

彼此互斥.(1)記“至多2人排隊等候”為事件G,則G=A∪B∪C,所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+

0.16+0.3=0.56.(2)至少3人排隊等候的概率.解:法一記“至少3人排隊等候”為事件H,則H=D∪E∪F,所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P

(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.法二記“至少3人排隊等候”為事件H,則其對立事件為事件G,所以P

(H)=1-P(G)=0.44.用頻率估計概率(師生共研過關(guān))

某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4

元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處

理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).

如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,

25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定

六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年的六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得到下

面的頻數(shù)分布表:最高氣

溫[10,

15)[15,

20)[20,

25)[25,

30)[30,

35)[35,40]天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率;

(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當(dāng)六月份

這種酸奶一天的進貨量為450瓶時,寫出Y的所有可能值,并估計Y大于

零的概率.解題技法1.

頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度,頻率是隨機的,而概率是一

個確定的值,通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小,有時也用

頻率來作為隨機事件概率的估計值.2.

利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率,即通過大量的重復(fù)試驗,事件發(fā)生

的頻率會逐步趨近于某一個常數(shù),這個常數(shù)就是概率.

某險種的基本保費為a(單位:元),繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)

保人,續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下表:上年度出險次數(shù)01234≥5保費0.85aa1.25

a1.5a1.75a2a出險次數(shù)01234≥5頻數(shù)605030302010(1)記A為事件“續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”.求P(A)的

估計值;隨機調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在上一年內(nèi)的出險情況,得到如下統(tǒng)

計表:

(2)記B為事件“續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的

160%”.求P(B)的估計值;

(3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值.解:

由所給數(shù)據(jù)得保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a頻率0.300.250.150.150.100.05調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費為0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15

+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192

5a.因此,續(xù)保人本年度平均保費的估計值為1.192

5a.PART03課時·跟蹤檢測關(guān)鍵能力|課后練習(xí)

A.

至多有一張移動卡B.

恰有一張移動卡C.

都不是移動卡D.

至少有一張移動卡

12345678910111213141516171819202022232425√2.

設(shè)A,B為同一試驗中的兩個隨機事件,則“P(A)+P(B)=1”

是“事件A,B互為對立事件”的(

)A.

充分不必要條件B.

必要不充分條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件√解析:

因為P(A)>0,P(B)>0,所以若事件A,B為對立事

件,則P(A)+P(B)=1;但P(A)+P(B)=1推不出兩個事件

A,B對立,如擲一顆骰子,事件A為出現(xiàn)1點、2點、3點,事件B為出現(xiàn)3

點、4點、5點,此時P(A)+P(B)=1,但兩個事件不對立,所以

“P(A)+P(B)=1”是“事件A,B互為對立事件”的必要不充分

條件.故選B.

3.

從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù),則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為(

)A.

B.

C.

D.

√4.

某芯片制造廠有甲、乙、丙三條生產(chǎn)線生產(chǎn)7

nm規(guī)格的芯片.現(xiàn)有25塊

該規(guī)格的芯片,其中來自甲、乙、丙的芯片數(shù)量分別為5塊、10塊、10塊.

若甲、乙、丙生產(chǎn)的芯片的優(yōu)質(zhì)品率分別為0.8,0.8,0.7,則從這25塊

芯片中隨機抽取一塊,該芯片為優(yōu)質(zhì)品的概率是(

)A.0.76B.0.64C.0.58D.0.48

√5.

某學(xué)校為了搞好課后服務(wù)工作,教務(wù)科組建了一批社團,學(xué)生們都能自

主選擇自己喜歡的社團.目前話劇社團、書法社團、攝影社團、街舞社團

分別還可以再接收1名學(xué)生,恰好含甲、乙的4名同學(xué)前來教務(wù)科申請加

入,按學(xué)校規(guī)定每人只能加入一個社團,則甲進街舞社團,乙進書法社團

或攝影社團的概率為(

)A.

B.

C.

D.

6.

〔多選〕下列說法中正確的有(

)A.

若事件A與事件B是互斥事件,則P(A∩B)=0B.

若事件A與事件B是對立事件,則P(A∪B)=1C.

某人打靶時連續(xù)射擊三次,則事件“至少有兩次中靶”與事件“至多有

一次中靶”是對立事件D.

把紅、橙、黃3張紙牌隨機分給甲、乙、丙3人,每人分得1張,則事件

“甲分得的不是紅牌”與事件“乙分得的不是紅牌”是互斥事件√√√

7.

《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓.如圖是易經(jīng)先天八卦圖,每一卦由

三根線組成(“

”表示一根陽線,“

”表示一根陰線),現(xiàn)從八卦

中任取兩卦,這兩卦的陽線數(shù)目相同的概率為

?.

8.

(2022·全國甲卷理15題)從正方體的8個頂點中任選4個,則這4個點在

同一個平面的概率為

?.

9.

某市A,B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊參加辯論賽,A中學(xué)推薦了3名男生、2

名女生,B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生,兩所中學(xué)所推薦的學(xué)生一起參

加集訓(xùn).集訓(xùn)后隊員水平相當(dāng),從參加集訓(xùn)的男生中隨機抽取3人、女生中

隨機抽取3人組成代表隊.(1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊的概率;

(2)某場比賽前,從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽,求參賽女生

人數(shù)不少于2人的概率.

10.

某公司現(xiàn)有員工120人,在榮獲“優(yōu)秀員工”稱號的85人中,有75人是

高級工程師.既沒有榮獲“優(yōu)秀員工”稱號又不是高級工程師的員工共有

14人,公司將隨機選擇一名員工接受電視新聞節(jié)目的采訪,被選中的員工

是高級工程師的概率為(

)A.

B.

C.

D.

11.

已知隨機事件A和B互斥,且P(A∪B)=0.6,P(A)=0.4,則

事件B的對立事件的概率為(

)A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8解析:

由題得P(A∩B)=0,P(A∪B)=0.6,又P(A∪B)

=P(A)+P(B)-P(A∩B),所以P(B)=0.6-0.4=0.2,所

以事件B的對立事件的概率為1-0.2=0.8,故選D.

√12.

〔多選〕小張上班從家到公司開車有兩條線路,所需時間(分鐘)隨

交通堵塞狀況有所變化,其概率分布如下表所示:所需時間(分鐘)30405060線路一0.50.20.20.1線路二0.30.50.10.1A.

任選一條線路,“所需時間小于50分鐘”與“所需時間為60分鐘”是

對立事件B.

從所需的平均時間看,線路一比線路二更節(jié)省時間C.

如果要求在45分鐘以內(nèi)從家趕到公司,小張應(yīng)該走線路一D.

若小張上、下班走不同線路,則所需時間之和大于100分鐘的概率為

0.04則下列說法正確的是(

)√√解析:

對于選項A,“所需時間小于50分鐘”與“所需時間為60分

鐘”是互斥而不對立事件,所以選項A錯誤;對于選項B,線路一所需的平

均時間為30×0.5+40×0.2+5

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