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文檔簡介
第三節(jié)隨機事件的概率與古典概型高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標要求
1.
結(jié)合具體實例,理解樣本點和有限樣本空間的含義,理解隨機事件與樣
本點的關(guān)系.了解隨機事件的并、交與互斥的含義,能結(jié)合實例進行隨機
事件的并、交運算.2.
結(jié)合具體實例,理解古典概型,能計算古典概型中簡單隨機事件的
概率.3.
通過實例,理解概率的性質(zhì),掌握隨機事件概率的運算法則.4.
結(jié)合實例,會用頻率估計概率.目錄CONTENTS知識·逐點夯實01.考點·分類突破02.課時·跟蹤檢測03.PART01知識·逐點夯實必備知識|課前自修
1.
樣本空間和隨機事件關(guān)鍵詞含義樣本點隨機試驗E的
的基本結(jié)果,常用ω表示樣本
點樣本空間
樣本點的集合,常用Ω表示樣本空間有限樣本空間如果一個隨機試驗有n個可能結(jié)果ω1,ω2,…,ωn,則稱
樣本空間Ω={ω1,ω2,…,ωn}為有限樣本空間每個可能
全體
關(guān)鍵詞含義隨機事件樣本空間Ω的
,常用大寫字母A,B,C,…表
示基本事件只包含一個樣本點的事件必然事件每次試驗
?的事件不可能事件每次試驗
?的事件子集
一定發(fā)生
一定不發(fā)生
2.
兩個事件的關(guān)系和運算事件的關(guān)系和
運算含義符號表示包含關(guān)系A(chǔ)發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生A?B相等關(guān)系B?A且A?BA=B并事件(和事
件)A與B至少有一個發(fā)生A∪B或A+B事件的關(guān)系和
運算含義符號表示交事件(積事
件)A與B同時發(fā)生A∩B或AB互斥事件A與B不能同時發(fā)生A∩B=?互為對立事件A與B有且僅有一個發(fā)生A∩B=?,A∪B=Ω3.
古典概型(1)古典概型的特征①有限性:樣本空間的樣本點只有
個;②等可能性:每個樣本點發(fā)生的可能性
?.有限
相等
4.
概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1:對任意的事件A,都有P(A)≥0;性質(zhì)2:必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(Ω)=1,P
(?)=0;性質(zhì)3:如果事件A與事件B互斥,那么P(A∪B)=
?
?;性質(zhì)4:如果事件A與事件B互為對立事件,那么P(B)=1-P(A),
P(A)=
?;性質(zhì)5:如果A?B,那么P(A)≤P(B),由該性質(zhì)可得,對于任意
事件A,因為??A?Ω,所以0≤P(A)≤1;性質(zhì)6:設(shè)A,B是一個隨機試驗中的兩個事件,我們有P(A∪B)
=
?.P(A)+P
(B)
1-P(B)
P(A)+P(B)-P(A∩B)
5.
頻率和概率隨著試驗次數(shù)n的增大,頻率偏離概率的幅度會縮小,即事件A發(fā)生的頻
率fn(A)會逐漸
事件A發(fā)生的概率P(A),我們稱頻率的這
個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此,可以用頻率fn(A)估計概率P
(
A
).穩(wěn)定于
A
若事件A1,A2,…,An兩兩互斥,則P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)
+P(A2)+…+P(An).
1.
判斷正誤.(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.
(
×
)(2)兩個事件的和事件是指兩個事件同時發(fā)生.
(
×
)(3)若A∪B是必然事件,則A與B是對立事件.
(
×
)(4)擲一枚硬幣兩次,出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”,
這三個結(jié)果是等可能事件.
(
×
)××××2.
(人A必修二P235練習(xí)1題改編)一個人打靶時連續(xù)射擊兩次,與事件
“至多有一次中靶”互斥的事件是(
)A.
至少有一次中靶B.
兩次都中靶C.
只有一次中靶D.
兩次都不中靶解析:
射擊兩次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或兩次都不中
靶”,與該事件不能同時發(fā)生的是“兩次都中靶”.√3.
(人A必修二P257練習(xí)1(1)(2)題改編)把一枚質(zhì)地均勻的硬幣連
續(xù)拋擲1
000次,其中有496次正面朝上,504次反面朝上,則擲一次硬幣正
面朝上的概率為(
)A.0.496B.0.504C.0.5D.1解析:
擲一次硬幣正面朝上的概率是0.5.√4.
(人A必修二P237例8改編)從集合{1,2,4}中隨機抽取一個數(shù)a,從
集合{2,4,5}中隨機抽取一個數(shù)b,則向量m=(a,b)與向量n=
(2,-1)垂直的概率為(
)A.
B.
√C.
D.
PART02考點·分類突破精選考點|課堂演練
隨機事件關(guān)系的判斷(基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān))1.
口袋中裝有3個紅球和4個黑球,每個球編有不同的號碼,現(xiàn)從中取出3
個球,則互斥而不對立的事件是(
)A.
至少有1個紅球與至少有1個黑球B.
至少有1個紅球與都是黑球C.
至少有1個紅球與至多有1個黑球D.
恰有1個紅球與恰有2個紅球√解析:
對于A,不互斥,如取出2個紅球和1個黑球,與至少有1個黑球
不是互斥事件,所以A不符合題意;對于B,至少有1個紅球與都是黑球不
能同時發(fā)生,且必有其中1個發(fā)生.所以為互斥事件,且為對立事件,所以
B不符合題意;對于C,不互斥.如取出2個紅球和1個黑球,與至多有1個黑
球不是互斥事件,所以C不符合題意;對于D,恰有1個紅球與恰有2個紅球
不能同時發(fā)生,所以為互斥事件,但不對立,如恰有3個紅球.2.
〔多選〕有甲、乙兩種報紙供市民訂閱,記事件E為“只訂甲報紙”,
事件F為“至少訂一種報紙”,事件G為“至多訂一種報紙”,事件I為
“一種報紙也不訂”,下列命題正確的是(
)A.
E與G是互斥事件B.
F與I互為對立事件C.
F與G不是互斥事件D.
G與I是互斥事件解析:
對于A,E與G有可能同時發(fā)生,不是互斥事件,故A錯誤;
對于B,F(xiàn)與I不可能同時發(fā)生,且發(fā)生的概率之和為1,所以F與I互為對
立事件,故B正確;對于C,F(xiàn)與G可以同時發(fā)生,不是互斥事件,故C正
確;對于D,G與I可以同時發(fā)生,不是互斥事件,故D錯誤.√√3.
〔多選〕口袋里裝有1紅,2白,3黃共6個除顏色外完全相同的小球,從
中取出兩個球,事件A=“取出的兩個球同色”,B=“取出的兩個球中
至少有一個黃球”,C=“取出的兩個球至少有一個白球”,D=“取出
的兩個球不同色”,E=“取出的兩個球中至多有一個白球”.下列判斷正
確的是(
)A.
A與D為對立事件B.
B與C是互斥事件C.
C與E是對立事件D.
P(C∪E)=1解析:
當(dāng)取出的兩個球為一黃一白時,B與C都發(fā)生,B不正確;當(dāng)
取出的兩個球中恰有一個白球時,事件C與E都發(fā)生,C不正確;顯然A
與D是對立事件,A正確;C∪E為必然事件,P(C∪E)=1,D正確.√√練后悟通事件關(guān)系判斷的策略(1)判斷事件的互斥、對立關(guān)系時一般用定義判斷,不可能同時發(fā)生的
兩個事件為互斥事件;兩個事件,若有且僅有一個發(fā)生,則這兩個事件為
對立事件,對立事件一定是互斥事件,反之不成立.互斥事件是不可能同
時發(fā)生的事件,但也可以同時不發(fā)生;對立事件是特殊的互斥事件,特殊
在對立的兩個事件不可能都不發(fā)生,即有且僅有一個發(fā)生;(2)判斷事件的交、并關(guān)系時,一是要緊扣運算的定義,二是要全面考
慮同一條件下的試驗可能出現(xiàn)的全部結(jié)果,必要時可列出全部的試驗結(jié)果
進行分析.也可類比集合的關(guān)系,運用Venn圖分析事件.隨機事件的概率(定向精析突破)考向1
古典概型的概率
(1)(2025·湘豫名校聯(lián)考)黨的二十大報告提出:“深化全民閱讀
活動.”今天,我們思索讀書的意義、發(fā)掘知識的價值、強調(diào)閱讀的作
用,正是為了更好地滿足人民群眾精神文化生活新期待.某市把圖書館、
博物館、美術(shù)館、文化館四個公共文化場館面向社會免費開放,開放期間
需要志愿者參與協(xié)助管理.現(xiàn)有A,B,C,D,E共5名志愿者,每名志
愿者均參與本次志愿者服務(wù)工作,每個場館至少需要一名志愿者,每名志
愿者到各個場館的可能性相同,則A,B兩名志愿者不在同一個場館的概
率為(
D
)DA.
B.
C.
D.
(2)(2025·八省聯(lián)考)有8張卡片,分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,
7,8,現(xiàn)從這8張卡片中隨機抽出3張,則抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與
其余5張卡片上的數(shù)字之和相等的概率為
?.
解題技法古典概型的概率求解步驟(1)求出所有樣本點的個數(shù)n;(2)求出事件A包含的所有樣本點的個數(shù)m;
考向2
互斥事件與對立事件的概率
某商場有獎銷售中,購滿100元商品得1張獎券,多購多得.1
000張獎
券為一個開獎單位,設(shè)特等獎1個,一等獎10個,二等獎50個.設(shè)1張獎券
中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A,B,C,求:(1)1張獎券的中獎概率;
(2)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率.
解題技法互斥事件概率的兩種求法(1)將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個彼此互斥事件的和事件,利用互斥事件概率
的加法公式求解概率;(2)若將一個較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥事件的和事件時分類太
多,而其對立面的分類較少,可考慮先求其對立事件的概率,即運用“正
難則反”的思想.常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率.
1.
從正六邊形的6個頂點中任取3個構(gòu)成三角形,則所得三角形是直角三角
形的概率為(
)A.
B.
√C.
D.
2.
從(3x+1)5的展開式各項的系數(shù)中任取兩個,其和為奇數(shù)的概率
是
?.
3.
經(jīng)統(tǒng)計,在某儲蓄所一個營業(yè)窗口排隊等候的人數(shù)及相應(yīng)的概率如下:排隊人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求:(1)至多2人排隊等候的概率;解:記“無人排隊等候”為事件A,“1人排隊等候”為事件B,“2人排
隊等候”為事件C,“3人排隊等候”為事件D,“4人排隊等候”為事件
E,“5人及5人以上排隊等候”為事件F,則事件A,B,C,D,E,F(xiàn)
彼此互斥.(1)記“至多2人排隊等候”為事件G,則G=A∪B∪C,所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+
0.16+0.3=0.56.(2)至少3人排隊等候的概率.解:法一記“至少3人排隊等候”為事件H,則H=D∪E∪F,所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P
(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.法二記“至少3人排隊等候”為事件H,則其對立事件為事件G,所以P
(H)=1-P(G)=0.44.用頻率估計概率(師生共研過關(guān))
某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4
元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處
理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).
如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,
25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定
六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年的六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得到下
面的頻數(shù)分布表:最高氣
溫[10,
15)[15,
20)[20,
25)[25,
30)[30,
35)[35,40]天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率;
(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當(dāng)六月份
這種酸奶一天的進貨量為450瓶時,寫出Y的所有可能值,并估計Y大于
零的概率.解題技法1.
頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度,頻率是隨機的,而概率是一
個確定的值,通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小,有時也用
頻率來作為隨機事件概率的估計值.2.
利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率,即通過大量的重復(fù)試驗,事件發(fā)生
的頻率會逐步趨近于某一個常數(shù),這個常數(shù)就是概率.
某險種的基本保費為a(單位:元),繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)
保人,續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下表:上年度出險次數(shù)01234≥5保費0.85aa1.25
a1.5a1.75a2a出險次數(shù)01234≥5頻數(shù)605030302010(1)記A為事件“續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”.求P(A)的
估計值;隨機調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在上一年內(nèi)的出險情況,得到如下統(tǒng)
計表:
(2)記B為事件“續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的
160%”.求P(B)的估計值;
(3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值.解:
由所給數(shù)據(jù)得保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a頻率0.300.250.150.150.100.05調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費為0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15
+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192
5a.因此,續(xù)保人本年度平均保費的估計值為1.192
5a.PART03課時·跟蹤檢測關(guān)鍵能力|課后練習(xí)
A.
至多有一張移動卡B.
恰有一張移動卡C.
都不是移動卡D.
至少有一張移動卡
12345678910111213141516171819202022232425√2.
設(shè)A,B為同一試驗中的兩個隨機事件,則“P(A)+P(B)=1”
是“事件A,B互為對立事件”的(
)A.
充分不必要條件B.
必要不充分條件C.
充要條件D.
既不充分也不必要條件√解析:
因為P(A)>0,P(B)>0,所以若事件A,B為對立事
件,則P(A)+P(B)=1;但P(A)+P(B)=1推不出兩個事件
A,B對立,如擲一顆骰子,事件A為出現(xiàn)1點、2點、3點,事件B為出現(xiàn)3
點、4點、5點,此時P(A)+P(B)=1,但兩個事件不對立,所以
“P(A)+P(B)=1”是“事件A,B互為對立事件”的必要不充分
條件.故選B.
3.
從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù),則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為(
)A.
B.
C.
D.
√4.
某芯片制造廠有甲、乙、丙三條生產(chǎn)線生產(chǎn)7
nm規(guī)格的芯片.現(xiàn)有25塊
該規(guī)格的芯片,其中來自甲、乙、丙的芯片數(shù)量分別為5塊、10塊、10塊.
若甲、乙、丙生產(chǎn)的芯片的優(yōu)質(zhì)品率分別為0.8,0.8,0.7,則從這25塊
芯片中隨機抽取一塊,該芯片為優(yōu)質(zhì)品的概率是(
)A.0.76B.0.64C.0.58D.0.48
√5.
某學(xué)校為了搞好課后服務(wù)工作,教務(wù)科組建了一批社團,學(xué)生們都能自
主選擇自己喜歡的社團.目前話劇社團、書法社團、攝影社團、街舞社團
分別還可以再接收1名學(xué)生,恰好含甲、乙的4名同學(xué)前來教務(wù)科申請加
入,按學(xué)校規(guī)定每人只能加入一個社團,則甲進街舞社團,乙進書法社團
或攝影社團的概率為(
)A.
B.
C.
D.
√
6.
〔多選〕下列說法中正確的有(
)A.
若事件A與事件B是互斥事件,則P(A∩B)=0B.
若事件A與事件B是對立事件,則P(A∪B)=1C.
某人打靶時連續(xù)射擊三次,則事件“至少有兩次中靶”與事件“至多有
一次中靶”是對立事件D.
把紅、橙、黃3張紙牌隨機分給甲、乙、丙3人,每人分得1張,則事件
“甲分得的不是紅牌”與事件“乙分得的不是紅牌”是互斥事件√√√
7.
《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓.如圖是易經(jīng)先天八卦圖,每一卦由
三根線組成(“
”表示一根陽線,“
”表示一根陰線),現(xiàn)從八卦
中任取兩卦,這兩卦的陽線數(shù)目相同的概率為
?.
8.
(2022·全國甲卷理15題)從正方體的8個頂點中任選4個,則這4個點在
同一個平面的概率為
?.
9.
某市A,B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊參加辯論賽,A中學(xué)推薦了3名男生、2
名女生,B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生,兩所中學(xué)所推薦的學(xué)生一起參
加集訓(xùn).集訓(xùn)后隊員水平相當(dāng),從參加集訓(xùn)的男生中隨機抽取3人、女生中
隨機抽取3人組成代表隊.(1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊的概率;
(2)某場比賽前,從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽,求參賽女生
人數(shù)不少于2人的概率.
10.
某公司現(xiàn)有員工120人,在榮獲“優(yōu)秀員工”稱號的85人中,有75人是
高級工程師.既沒有榮獲“優(yōu)秀員工”稱號又不是高級工程師的員工共有
14人,公司將隨機選擇一名員工接受電視新聞節(jié)目的采訪,被選中的員工
是高級工程師的概率為(
)A.
B.
C.
D.
√
11.
已知隨機事件A和B互斥,且P(A∪B)=0.6,P(A)=0.4,則
事件B的對立事件的概率為(
)A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8解析:
由題得P(A∩B)=0,P(A∪B)=0.6,又P(A∪B)
=P(A)+P(B)-P(A∩B),所以P(B)=0.6-0.4=0.2,所
以事件B的對立事件的概率為1-0.2=0.8,故選D.
√12.
〔多選〕小張上班從家到公司開車有兩條線路,所需時間(分鐘)隨
交通堵塞狀況有所變化,其概率分布如下表所示:所需時間(分鐘)30405060線路一0.50.20.20.1線路二0.30.50.10.1A.
任選一條線路,“所需時間小于50分鐘”與“所需時間為60分鐘”是
對立事件B.
從所需的平均時間看,線路一比線路二更節(jié)省時間C.
如果要求在45分鐘以內(nèi)從家趕到公司,小張應(yīng)該走線路一D.
若小張上、下班走不同線路,則所需時間之和大于100分鐘的概率為
0.04則下列說法正確的是(
)√√解析:
對于選項A,“所需時間小于50分鐘”與“所需時間為60分
鐘”是互斥而不對立事件,所以選項A錯誤;對于選項B,線路一所需的平
均時間為30×0.5+40×0.2+5
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