第七節(jié)函數(shù)零點問題高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)重點解讀

利用導(dǎo)數(shù)研究高次式、分式、指數(shù)式、對數(shù)式、三角式及絕對值式等

結(jié)構(gòu)的函數(shù)零點個數(shù)（或方程根的個數(shù)）問題的一般思路：（1）可轉(zhuǎn)化

為利用導(dǎo)數(shù)研究其函數(shù)的圖象與x軸（或直線y＝k）在該區(qū)間上的交點問

題；（2）證明有幾個零點時，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，確定分類討

論的標(biāo)準(zhǔn)，確定函數(shù)在每一個區(qū)間上的極值（最值）、端點函數(shù)值等性

質(zhì)，進而畫出函數(shù)的大致圖象，再利用函數(shù)零點存在定理，在每個單調(diào)區(qū)

間內(nèi)取值證明f（a）·f（b）＜0.目錄CONTENTS考點·分類突破01.微突破隱零點問題02.課時·跟蹤檢測03.PART01考點·分類突破精選考點|課堂演練數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點（師生共研過關(guān)）

解題技法

在借助函數(shù)圖象研究函數(shù)零點問題時，要準(zhǔn)確畫出函數(shù)的圖象，不僅

要研究函數(shù)的單調(diào)性與極值的情況，還要關(guān)注函數(shù)值的正負以及變化趨

勢，把函數(shù)圖象與x軸有無交點，哪一區(qū)間在x軸上方，哪一區(qū)間在x軸下

方等情況分析清楚，這樣才能準(zhǔn)確地研究直線與圖象交點的個數(shù)情況.

若函數(shù)f（x）＝xln

x－x＋｜x－a｜有且僅有兩個零點，求a的取值范

圍.解：由f（x）＝0可得｜x－a｜＝x－xln

x，則

函數(shù)y＝｜x－a｜與函數(shù)y＝x－xln

x的圖象有兩

個交點.設(shè)g（x）＝x－xln

x，則g'（x）＝－ln

x.令g'（x）＝－ln

x＞0，解得0＜x＜1；令g'（x）＝－ln

x＜0，解得x＞1.所以g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，＋∞）上單調(diào)遞減.

函數(shù)性質(zhì)法研究函數(shù)的零點（師生共研過關(guān)）

（2025·鄭州第三次質(zhì)量檢測）已知函數(shù)h（x）＝x2＋4－4（x

sin

x

＋cos

x），試證明h（x）在R上有且僅有三個零點.

解題技法

利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)零點，主要是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最

值或極值的符號確定函數(shù)零點的個數(shù)，此類問題在求解過程中可以通過數(shù)

形結(jié)合的方法確定函數(shù)存在零點的條件.

構(gòu)造法研究函數(shù)的零點（師生共研過關(guān)）

解題技法

在研究較復(fù)雜函數(shù)的零點（求較復(fù)雜方程的根）時，需構(gòu)造出相應(yīng)的

函數(shù)，依據(jù)該函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、極值等）求出函數(shù)的零點（方程的

根），或利用零點（方程的根）求參數(shù)的取值范圍.

已知f（x）＝ax2（a∈R），g（x）＝2ln

x，若方程f（x）＝g（x）

在區(qū)間[1，e]上有兩個不相等的解，求a的取值范圍.

PART02微突破隱零點問題

在求解函數(shù)問題時，很多時候都需要求函數(shù)f（x）在區(qū)間I上的零

點，當(dāng)所述情形都難以求出其準(zhǔn)確值，導(dǎo)致解題過程無法繼續(xù)進行時，可

嘗試這樣求解：先證明函數(shù)f（x）在區(qū)間I上存在唯一的零點x0（例如，

函數(shù)f（x）在區(qū)間I上是單調(diào)函數(shù)且在區(qū)間I的兩個端點的函數(shù)值異號時就

可證明存在唯一的零點），再進行解答即可.因為x0不易求出（當(dāng)然，有時

是可以求出但無需求出），所以把零點x0叫做隱零點（若x0容易求出，就

叫做顯零點）.（1）若曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為x＋y＝0，求

實數(shù)a的值；解：

因為f（x）＝ex

sin

x－ax，所以f'（x）＝ex（sin

x＋cos

x）－a，所以f'（0）＝1－a.因為曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為x＋y＝0，所以f'（0）＝－1，所以1－a＝－1，所以a＝2.

（2024·茂名二模）已知函數(shù)f（x）＝ex

sin

x－ax.

點評

破解隱零點問題的一般思路：①確定隱零點的范圍，隱零點一般不易

求出，可用零點存在定理、數(shù)形結(jié)合等方法盡可能地縮小其范圍，設(shè)出零

點x0（設(shè)而不求）；②以零點x0為分界點，將函數(shù)劃分為兩類性質(zhì)不同的

單調(diào)區(qū)間（或?qū)Ш瘮?shù)分為大于0、小于0兩個區(qū)間）；③根據(jù)零點所滿足的

關(guān)系式，整體代入求解或證明.

已知函數(shù)f（x）＝xln

x－ex＋1.討論f（x）在（0，＋∞）上的單調(diào)性.

PART03課時·跟蹤檢測關(guān)鍵能力|課后練習(xí)

1.

已知函數(shù)f（x）＝x3＋bx2＋cx＋b2（b＜0）在x＝－1處有極值，且極

值為8，則f（x）的零點個數(shù)為（

）A.1B.2C.3D.4√12345678910111213141516171819202022232425

2.

已知函數(shù)f（x）＝（x＋2）ex－m有兩個零點，則m的取值范圍是

（

）A.

（－

，0）B.

（－

，＋∞）C.

（0，＋∞）D.

（－∞，0）√

3.

〔多選〕（2024·福州質(zhì)檢）已知函數(shù)f（x）＝x3－3ax＋2有兩個極值

點，則（

）A.

f（x）的圖象關(guān)于點（0，2）對稱B.

f（x）的極值之和為－4C.

?a∈R，使得f（x）有三個零點D.

當(dāng)0＜a＜1時，f（x）只有一個零點√√√

5.

已知函數(shù)f（x）＝（x－1）ex－x2.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；解：

由題可得f'（x）＝xex－2x＝x（ex－2），令f'（x）＝0，解得x＝0或x＝ln

2，令f'（x）＜0，解得0＜x＜ln

2；令f'（x）＞0，解得x＜0或x＞ln

2，所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，ln

2）；單調(diào)遞增區(qū)間為（－∞，

0），（ln

2，＋∞）.（2）求f（x）的零點個數(shù).解：

因為f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，ln

2）；單調(diào)遞增區(qū)間為

（－∞，0），（ln

2，＋∞），由于f（0）＝－1＜0，則f（x）在（－∞，0）上無零點；由于f（ln

2）＝2（ln

2－1）－（ln

2）2＜0，則f（x）在（0，ln

2）上無

零點；由于f（2）＝e2－4＞0，則f（x）在（ln

2，2）上存在唯一零點，綜上，函數(shù)f（x）在R上存在唯一零點.6.

已知函數(shù)f（x）＝x3－12x＋m.（1）若f（x）有兩個零點，求m的值；（1）若f（x）恰有兩個零點，則16＋m＝0或－16＋m＝0，所以m＝－

16或m＝16.解：由f（x）＝x3－12x＋m得f'（x）＝3x2－12＝3（x＋2）（x－2）.

令f'（x）＝0得x1＝－2，x2＝2，即得f（x）在區(qū)間（－∞，－2）和

（2，＋∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（－2，2）上單調(diào)遞減，所以f（x）極大值＝f（－2）＝16＋m，f（x）極小值＝f（2）＝－16＋m.（2）若f（x）僅有一個零點，求實數(shù)m的取值范圍；解：若f（x）僅有一個零點，則16＋m＜0或－16＋m＞0，所以m＜－

16或m＞16.故實數(shù)m的取值范圍為（－∞，－16）∪（16，＋∞）.（3）若f（x）有三個零點，且m∈Z，求m的最大值與最小值.

7.

已知函數(shù)f（x）＝ln

x－x＋2sin

x，f'（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù).（1）求證：f'（x）在（0，π）上存在唯一零點；

（2）