第頁(yè)北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《4.4探索三角形相似的條件》同步練習(xí)題(附答案)學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。1.如圖，?ABC的頂點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，下列陰影部分的三角形與?ABC相似的是(

)

A. B.

C. D.2.如圖，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，若AC2=AD·AB，則(

)

A.△ADC∽△CBD B.△BDC∽△BCA

C.△ADC∽△ACB D.無法判斷3.如圖，在三角形紙片中，∠A=80°，AB=6，AC=8.將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形相似的有

(

)

A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④4.下列條件：①∠A=45°，AB=12，AC=15，∠A'=45°，A'B'=16，A'C'=20；②∠A=47°，AB=1.5，AC=2，∠B'=47°，A'B'=2.8，B'C'=2.1；③AB=BC=2，AC=3，A'B'=B'C'=4，A'C'=6，其中能判定△ABC與△A'B'C'相似的有

(

)A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)5.如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC=∠BAC，則添加下列條件后，不能判定△ADC和△BAC相似的是(

)

A.CA平分∠BCD B.∠DAC=∠ABC

C.ACBC=CD6.在如圖所示的象棋盤(各個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均相等)中，根據(jù)“馬走日”的規(guī)則，“馬”落在哪個(gè)位置，能使以“馬”“車”“炮”所在位置的格點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形與“帥”“相”“兵”所在位置的格點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形相似？(

)

A.①處 B.②處 C.③處 D.④處7.如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，且CF=14CD，下列結(jié)論：①△ABE∽△ECF；②∠BAE=30°；③AE⊥EF；④△ABE∽△AEF；⑤△ADF∽△ECF，其中正確的個(gè)數(shù)為(

)A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)8.如圖，已知∠1=∠2，添加下面的一個(gè)條件后，仍無法判定△ABC∽△ADE的是

(

)

A.ABAD=ACAE B.∠B=∠D C.二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。9.如圖所示，要使得△ACD∽△ABC，需要補(bǔ)充一個(gè)條件可以是______.(只需要填寫一個(gè)即可)10.如圖，在?ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上(不與點(diǎn)A，C重合)，只需添加一個(gè)條件即可證明?ABC和?BDC相似，這個(gè)條件可以是

(寫出一個(gè)即可)．

11.如圖，已知點(diǎn)D、E分別在?ABC的邊AB和AC上，如果DEBC=AEAC,那么

得到DE//BC.?(填“能”或“不能”)12.如圖，D，E兩點(diǎn)分別在△ABC的AB，AC邊上，要使△AED∽△ABC，則可以添加的一個(gè)條件是______．13.如圖，∠ACB=∠ABD=90°，AB=6，AC=2，當(dāng)AD的長(zhǎng)為

時(shí)，圖中兩直角三角形相似．

14.如圖，要使△AFE∽△ABC，需要補(bǔ)充一個(gè)條件可以是______.(只需要填寫一個(gè)即可)15.如圖，△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，且∠BAD=∠CAE，DE交AC于點(diǎn)F，要證明：△ABC∽△ADE.在不添加任何輔助線的情況下，可添加一個(gè)條件為：______．

16.如圖，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/s，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，停止運(yùn)動(dòng).如果P，Q兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t=______秒時(shí)，由P、B、Q三點(diǎn)連成的三角形與△ABC相似．三、解答題：本題共6小題，共52分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題8分)

如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，連接CD.已知AC=6，AD=4，BD=5，求證：△ACD∽△ABC．18.(本小題8分)如圖，在?ABC中，點(diǎn)D,E分別是邊AB,AC上的點(diǎn)，∠BDE+∠C=180°.

19.(本小題8分)將兩個(gè)全等的等腰直角三角形擺成如圖所示的樣子(圖中的所有點(diǎn)、線都在同一平面內(nèi))，請(qǐng)?jiān)趫D中找出兩對(duì)相似而不全等的三角形，并說明它們相似的理由．

20.(本小題8分)

如圖所示，三個(gè)邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形ABCD，ABEF，EFGH拼在一起．

(1)填空：∠1+∠2+∠3=______．

(2)請(qǐng)找出相似的兩個(gè)三角形，并證明．21.(本小題10分)

如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以1cm/s速度向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從C出發(fā)以2cm/s的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)到終點(diǎn)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止．設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．

(1)根據(jù)題意知：CQ=______，CP=______；(用含t的代數(shù)式表示)；

(2)運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，△CPQ與△CBA相似？22.(本小題10分)

如圖，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，點(diǎn)E為邊AD上一點(diǎn)，ED=1cm，連接BE.點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BE方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(0<t<5)．

(1)用含t的代數(shù)式表示：BP=______cm，BQ=______cm；

(2)連接PQ，若存在某一時(shí)刻t，使得以P，Q，B為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，請(qǐng)求出此時(shí)t的值．參考答案1.【答案】A

【解析】應(yīng)用兩三角形相似判定定理，三邊對(duì)應(yīng)成比例，分別對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行分析即可得出答案．【詳解】解：在?ABC中，AB=12+1A、三邊分別為2，2，10，則1B、三邊分別為2，5，3，則1C、三邊分別為2，5，17，則12D、三邊分別為5，5，4，則1故選：A．2.【答案】C

【解析】∵AC2=AD·AB∵∠A=∠A，且∠A為AD，AC和AB，AC的夾角，∴△ADC∽△ACB．3.【答案】B

【解析】①②中陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似；

③中兩三角形的兩組邊對(duì)應(yīng)成比例，但不確定夾角是否相等，故不能判定兩三角形相似；

④中兩三角形的兩組邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，故兩三角形相似．故選B．4.【答案】D

【解析】①由∠A=∠A'，ABA'B'=ACA'C'=34，

可判定△ABC∽△A'B'C'，故①符合題意；

②由∠A=∠B'，ABB'C'=ACB'A'=57，

可判定△ABC∽△B'C'A'，故②符合題意；

5.【答案】C

【解析】解：在△ADC和△BAC中，∠ADC=∠BAC，

若CA是∠BCD的平分線，∠ACB=∠ACD，

∴△ADC∽△BAC;

若∠DAC=∠ABC，△ADC∽△BAC;

若ADAB=DCAC△ADC∽△BAC;

若ACBC=CDAC，無法判定△ADC6.【答案】B

【解析】設(shè)象棋盤中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則以“帥”“相”“兵”所在位置的格點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形的三邊的長(zhǎng)分別為2，25，42，“車”與“炮”之間的距離為1，“炮”與“②”之間的距離為5，“車”與“②”之間的距離為22，∵7.【答案】C

【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，且CF=14CD，

∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠C=∠D=90°，EC=BE=12BC，

設(shè)AB=BC=CD=AD=4m，則EC=BE=2m，CF=m，DF=3m，

∴ABEC=4m2m=2，BECF=2mm=2，

∵ABEC=BECF，且∠B=∠C，

∴△ABE∽△ECF，

故①正確；

∴ABEC=AEEF，∠AEB=∠EFC，

∴ABBE=AEEF，

∴ABAE=BEEF，

∵∠AEB+∠CEF=∠EFC+∠CEF=90°，

∴∠AEF=180°?(∠AEB+∠CEF)=90°，

∴AE⊥EF，∠B=∠AEF，

∴△ABE∽△AEF，

故③正確；④正確；

∵∠B=90°，AB=4m，BE=2m，

∴AE=AB2+BE2=(4m)2+(2m)2=25m，

假設(shè)∠BAE=30°成立，則AE=2BE=4m，與AE=25m相矛盾，

∴∠BAE=30°不成立，

故②錯(cuò)誤；

∵ADEC=4m2m=2，DFCF=3mm=3，

∴ADEC≠DFCF，

∵∠D=∠C，但ADEC≠DFCF，

∴△ADF與△ECF不相似，

故⑤8.【答案】C

【解析】【分析】

根據(jù)已知及相似三角形的判定方法對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而得到最后答案．此題考查了相似三角形的判定：①如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；②如果兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；③如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．

【解答】

解：∵∠1=∠2

∴∠DAE=∠BAC

∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE

選項(xiàng)C中，已知角不是這兩條邊的夾角，所以無法判定，

故選C9.【答案】∠ADC=∠ACB(或∠ACD=∠B或ADAC【解析】解：∵∠CAD=∠BAC，

∴當(dāng)添加∠ADC=∠ACB或∠ACD=∠B或ADAC=ACAB時(shí)，△ACD∽△ABC．

故答案為：∠ADC=∠ACB(或∠ACD=∠B或ADAC=10.【答案】∠A=∠CBD或

/∠ABC=∠BDC

/ACBC=【解析】相似三角形的判定定理：①兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似；②兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．據(jù)此解答即可．【詳解】解：∵∠C=∠C∴添加∠A=∠CBD或∠ABC=∠BDC或ACBC=BC故答案為：∠A=∠CBD或∠ABC=∠BDC或ACBC=BCDC或11.【答案】不能

【解析】本題考查相似三角形的判定定理，根據(jù)條件無法判斷?ADE∽?ABC，據(jù)此即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵DEBC=∴不能得到DE//BC，故答案為：不能．12.【答案】∠AEB=∠B(案不唯一)

【解析】解：∵∠DAE=∠CAB，

∴要使△ADE∽△ACB，則需∠ADE=∠C或∠AED=∠B或ADAC=AEAB．

故答案為：∠AEB=∠B(答案不唯一)．13.【答案】3或3【解析】略14.【答案】∠AEF=∠ACB(答案不唯一)

【解析】解：可添加條件：∠AEF=∠ACB．

證明如下：

∵∠FAE=∠BAC，∠AEF=∠ACB，

∴△AFE∽△ABC，

故答案為：∠AEF=∠ACB(答案不唯一)．

根據(jù)相似三角形的判定定理進(jìn)行解答即可．

此題考查了相似三角形的判定，常用的判定方法有：①有兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似；②有兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，且其夾角相等，則兩個(gè)三角形相似；③三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，則兩個(gè)三角形相似．15.【答案】∠B=∠ADE或∠C=∠E或ABAD【解析】解：∵∠BAD=∠CAE，

∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE，

∴當(dāng)∠B=∠ADE或∠C=∠E或ABAD=ACAE時(shí)，△ABC∽△ADE，

故答案為：∠B=∠ADE或∠C=∠E或ABAD16.【答案】0.8s或2s

【解析】解：在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/s，設(shè)經(jīng)過t秒時(shí)，△QBP與△ABC相似，

∴AP=2t?cm，BP=(8?2t)cm，BQ=4t?cm，

∵∠PBQ=∠ABC，

當(dāng)BPBA=BQBC

時(shí)，△BPQ∽△BAC，

即8?2t8=4t16，

解得：t=2；

當(dāng)BPBC=BQBA

時(shí)，△BPQ∽△BCA，

即8?2t16=4t8，

解得：t=0.8，

綜上所述：經(jīng)過0.8s或2s秒時(shí)，△QBP與△ABC相似，17.【答案】見解答．

【解析】證明：∵AC=6，AD=4，BD=5，

∴AD：AC=4：6=2：3，AC：AB=6：(4+5)=2：3，

∴AD：AC=AC：AB，

∵∠DAC=∠CAB，

∴△ACD∽△ABC．

通過計(jì)算可得AD：AC=AC：AB=2：3，加上∠A為公共角，則根據(jù)相似三角形的判定方法可判斷△ACD∽△ABC．

本題考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．18.【答案】證明：∵∠BDE+∠C=180°，∴∠ADE=∠C，又∵∠A為公共角，∴?ADE∽?ACB．

【解析】本題主要考查了相似三角形的判定問題，由兩個(gè)角相等可判定其相似，而題中∠A而公共角，所以再求解一對(duì)應(yīng)角相等即可，根據(jù)已知條件，即求解∠ADE=∠C．19.【答案】解：△ADE∽△CDA，△AED∽△BEA.理由：∵∠DAE=∠C=45°，∠ADE=∠CDA(公共角)，∴△ADE∽△CDA．同理，可得△AED∽△BEA．

【解析】見答案20.【答案】90°；

△ACF∽△AHC，證明見解析．

【解析】解：(1)如圖，連接AE，EH，AE交CH于N，

∴AC=AE=2，∠CAE=90°，

∵AH//CE，AH=CE，

∴四邊形ACEH是平行四邊形，∠3=∠HCE，

∴AN=NE=12AE=12AC，

∴tan∠ACN=ANAC=12，而tan∠2=CDDF=12，

∴∠2=∠ACN，

∵∠1=45°=∠ACG，

∴∠1+∠2+∠3=45°+∠ACN+∠HCE=45°+45°=90°；

故答案為：90°；

(2)△ACF∽△AHC．

理由如下：

∵AC=2，AF=1，AH=2，

∴AHAC=ACAF=2，

而∠FAC=∠CAH，

∴△ACF∽△AHC．21.【答案】2t?cm；(3?t)