第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1列寫系統(tǒng)的微分方程2.2傳遞函數(shù)2.3系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖2.4動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換2.5信號(hào)流圖與梅遜公式2.6系統(tǒng)的傳遞函數(shù)習(xí)題2.1列寫系統(tǒng)的微分方程

微分方程是在時(shí)域中描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)模型。列寫系統(tǒng)的微分方程是建立數(shù)學(xué)模型的重要環(huán)節(jié)。研究控制系統(tǒng)時(shí)常用的傳遞函數(shù)、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖等都是在微分方程的基礎(chǔ)上衍生出來的。一般線性定常系統(tǒng)或元件的典型形式為

（2-1）其中,a0≠0且n≥1；b0≠0且m≥0；n≥m。等式左邊是系統(tǒng)輸出變量及其各階導(dǎo)數(shù)，等式右邊是系統(tǒng)輸入變量及其各階導(dǎo)數(shù)，且等式左右兩邊的系數(shù)均為實(shí)數(shù)。圖2-1帶阻尼的彈簧系統(tǒng)

2.1.1機(jī)械系統(tǒng)

例2.1

帶阻尼的彈簧系統(tǒng)如圖2-1所示，試列寫系統(tǒng)的微分方程。

解

(1)明確輸入、輸出量。外作用力F為輸入變量，位移x為輸出變量。

(2)建立輸入、輸出量的動(dòng)態(tài)聯(lián)系。設(shè)質(zhì)量m相對(duì)于初始平衡狀態(tài)的位移、速度和加速度分別為x、dx/dt和d2x/dt2。根據(jù)牛頓定律得

其中，k為彈簧的彈性系數(shù)，f為阻尼器的粘性摩擦系數(shù)。

(3)整理,得系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型：（2-2）（2-3）2.1.2電路系統(tǒng)

例2.2

已知一RLC電路如圖2-2所示，試列寫其微分方程。

解

(1)明確輸入、輸出量。uo(t)為輸出量，ui(t)為輸入量。

(2)建立輸入、輸出量的動(dòng)態(tài)聯(lián)系。（2-４）（2-5）圖2-2RLC電路(3)消去中間變量，得到系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。由式(2-5)得代入式(2-４),得（2-6）

2.1.3機(jī)電系統(tǒng)例2.3

已知一他勵(lì)直流電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)如圖2-3所示，試列寫其微分方程。圖中，u(t)為電樞電壓；Ea為反電動(dòng)勢(shì)；Ia為電樞電流；Ra為電樞電阻；La為電樞電感；M為電磁力矩；Ω為電機(jī)角速度；J為電動(dòng)機(jī)總的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；f為電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折算到軸上的等效粘性阻尼系數(shù)；If為勵(lì)磁電流（常數(shù)）。

解

(1)明確輸入、輸出量。輸出量為Ω，輸入量為u(t)。

圖2-3直流電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)(2)建立輸入、輸出量的動(dòng)態(tài)聯(lián)系。在他勵(lì)直流電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)中有機(jī)械運(yùn)動(dòng)及電磁運(yùn)動(dòng)，二者之間還存在耦合。根據(jù)幾種關(guān)系建立的輸入、輸出量的動(dòng)態(tài)聯(lián)系為機(jī)械運(yùn)動(dòng)：（2-7）電磁運(yùn)動(dòng):（2-8）

機(jī)電之間的耦合關(guān)系：

Ea=CeΩ

（2-９）

M=CmIa

（2-10）其中，Ce為電動(dòng)機(jī)電勢(shì)常數(shù)；Cm為電動(dòng)機(jī)力矩常數(shù)。(3)消去中間變量，得到系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。消去中間變量Ea、Ia和M,得（2-11）

當(dāng)電動(dòng)機(jī)的電感La和粘性摩擦系數(shù)f較小時(shí)，二者對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)影響可以忽略不計(jì)，則式(2-11)可以簡(jiǎn)化為（2-12）其中稱為電動(dòng)機(jī)的機(jī)電時(shí)間常數(shù)。2.1.4非線性方程的線性化嚴(yán)格說，現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)中的元件幾乎都具有不同程度的非線性，所以對(duì)于系統(tǒng)的輸入變量和輸出變量之間的關(guān)系來說，其實(shí)應(yīng)該用非線性動(dòng)態(tài)方程來加以描述。但是在大多數(shù)情況下，非線性因素都比較弱，可以將它們近似為線性元件，然后用線性微分方程加以描述。然而，有的元件的非線性程度較為嚴(yán)重，如果簡(jiǎn)單地將它們看作線性元件，則會(huì)使建立的數(shù)學(xué)模型與實(shí)際情況偏離過大，從而導(dǎo)致分析結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤。通常采用“小偏差法”對(duì)非線性方程進(jìn)行線性化。

應(yīng)用“小偏差法”的條件是輸入變量和輸出變量的函數(shù)及各階導(dǎo)數(shù)值在預(yù)定的工作點(diǎn)附近都存在。該方法的實(shí)質(zhì)是在一個(gè)很小的范圍內(nèi)將非線性曲線用一段直線來代替。方法如下。設(shè)非線性函數(shù)y=f(x)，其特性如圖2-４所示。圖2-4非線性特性

圖中，A點(diǎn)為工作點(diǎn)，y0=f(x0)。x、y在工作點(diǎn)附近做小范圍增量變化，即當(dāng)x=x0+Δx

時(shí)，有y=y0+Δy。則函數(shù)y=f(x)在工作點(diǎn)附近可以展開成泰勒級(jí)數(shù)：（2-13）

當(dāng)Δx很小時(shí)，可以忽略上式的高次項(xiàng)，則式(2-13)可以改寫為

y=f(x0)+f′(x0)Δx

（2-1４）或

y-y0=f′(x0)Δx

（2-15）即

Δy=f′(x0)Δx

（2-16）

對(duì)于式(2-16)，如果略去增量符號(hào)Δ，那么非線性函數(shù)y=f(x)在工作點(diǎn)處的線性化方程就是

y=f′(x0)x

（2-17）令k=f′(x0)，則有

y=kx

（2-18）

2.2.1傳遞函數(shù)的概念設(shè)RC電路如圖2-5所示，輸入電壓為ui(t)，輸出電壓為uo(t)。

（2-19）令RC=T，上式改寫為（2-20）2.2傳遞函數(shù)

圖2-5RC電路

設(shè)初始值uc(0-)=0，對(duì)式(2-20)進(jìn)行拉氏變換，得

TsUo(s)+Uo(s)=Ui(s)（2-21）比較式(2-20)和式(2-21)可以看出，只要將微分方程中的d/dt變?yōu)閟；uo(t)變?yōu)閁o(s)；ui(t)變?yōu)閁i(s)，就可以得到象方程。二者的結(jié)構(gòu)、項(xiàng)數(shù)、系數(shù)和階次完全一致。 一般地，要由微分方程得到其拉氏變換的象方程（零初始條件），只需將微分方程中的d/dt

改寫為s,d2/dt2改寫為s2,…,再將微分方程中的變量改寫為s域中的象函數(shù)即可。將式(2-21)整理,得（2-22）式(2-22)中，Uo(s)和Ui(s)分別為輸出量和輸入量的象函數(shù)。由式(2-22)可知，Uo(s)和Ui(s)的比值是s的有理分式函數(shù)，只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而與輸入信號(hào)無關(guān)。由于它包含了微分方程(2-19)中的全部信息，故可以用它作為在復(fù)頻域中描述RC電路輸入-輸出關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，可記為

這一關(guān)系可以用圖2-6所示的方框圖表示，輸入信號(hào)經(jīng)過G(s)動(dòng)態(tài)傳遞到輸出，故稱G(s)為RC電路的傳遞函數(shù)。（2-23）圖2-6RC電路方框圖

2.2.2傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù)是指在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出變量的拉氏變換象函數(shù)與輸入變量的拉氏變換象函數(shù)之比。設(shè)線性定常系統(tǒng)為

（2-2４）

設(shè)初始值為0，對(duì)式(2-2４)兩邊進(jìn)行拉氏變換得

(a0sn+a1sn-1+…+an-1s+an)C(s)

=(b0sm+b1sm-1+…+bm-1s+bm)R(s)（2-25）根據(jù)傳遞函數(shù)的定義得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為（2-26）2.2.3傳遞函數(shù)的性質(zhì)

(1)傳遞函數(shù)是將線性定常系統(tǒng)的微分方程經(jīng)拉氏變換后導(dǎo)出的，因此傳遞函數(shù)的概念只適用于線性定常系統(tǒng)。

(2)傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理分式函數(shù)，通常n≥m，且所有的系數(shù)均為實(shí)數(shù)。

(3)傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入量的形式和大小無關(guān)。

(4)傳遞函數(shù)是在零初始條件下求得的。

2.2.4傳遞函數(shù)的求法

1.根據(jù)系統(tǒng)的微分方程求傳遞函數(shù)首先列寫出系統(tǒng)的微分方程或微分方程組，然后在零初始條件下求各微分方程的拉氏變換，將它們轉(zhuǎn)換為s域的代數(shù)方程組，消去中間變量，得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。例2.4

試求例2.2中RLC電路的傳遞函數(shù)。解

根據(jù)基爾霍夫定律，有（2-27）（2-28）在零初始條件下,將上兩式進(jìn)行拉氏變換得（2-29）（2-30）消去中間變量I(s)后，得

(LCs2+RCs+1)Uo(s)=Ui(s)（2-31）根據(jù)傳遞函數(shù)的定義,可得RLC電路的傳遞函數(shù)為（2-32）

2.用復(fù)阻抗的概念求電路的傳遞函數(shù)在電路中有三種基本的阻抗元件：電阻、電容、電感。流過這三種阻抗元件的電流i與電壓u的關(guān)系是電阻：u=Ri；電容：；電感：

。

對(duì)以上各等式兩邊作拉氏變換（零初始條件），得：電阻：

U(s)=RI(s)

可見電阻R的復(fù)阻抗仍為R。電容：整理得可見電容的復(fù)阻抗為1/(Cs)。

電感：

U(s)=LsI(s)

可見電感的復(fù)阻抗為Ls。復(fù)阻抗在電路中經(jīng)過串聯(lián)、并聯(lián)，組成各種復(fù)雜電路，其等效阻抗的計(jì)算和一般電阻電路完全一樣。通過復(fù)阻抗的概念可以直接寫出一個(gè)電路的傳遞函數(shù)，省掉了微分方程的推導(dǎo)和計(jì)算過程，從而減小了計(jì)算量。

例2.5試用復(fù)阻抗的概念求例2.2所示電路的傳遞函數(shù)。

解

根據(jù)基爾霍夫定律，有（2-33）整理得（2-34）2.3系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖

控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖（方框圖）是描述系統(tǒng)中各變量間關(guān)系的數(shù)學(xué)圖形。應(yīng)用動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖可以簡(jiǎn)化復(fù)雜控制系統(tǒng)的分析和計(jì)算，同時(shí)能直觀地表明控制信號(hào)在系統(tǒng)內(nèi)部的動(dòng)態(tài)傳遞關(guān)系，因此在控制理論中的應(yīng)用十分廣泛。

2.3.1動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖是系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)函數(shù)功能和信號(hào)流向的圖形表示，由函數(shù)方框、信號(hào)線、信號(hào)分支點(diǎn)、信號(hào)相加點(diǎn)等組成（如圖2-７所示）。

(1)信號(hào)線（如圖2-7(a)所示）：表示輸入、輸出通道，箭頭代表信號(hào)的傳遞方向。

(2)函數(shù)方框（傳遞方框，如圖2-7(b)所示）：方框內(nèi)為具體環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。(3)信號(hào)相加點(diǎn)（綜合點(diǎn)、比較點(diǎn)，如圖2-7(c)所示）：表示幾個(gè)信號(hào)相加減。

(4)信號(hào)分支點(diǎn)（引出點(diǎn)，如圖2-7(d)所示）：表示同一信號(hào)輸出到幾個(gè)地方。

圖2-7動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的基本組成部分2.3.2動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的繪制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的繪制步驟如下：

(1)根據(jù)信號(hào)傳遞過程，將系統(tǒng)劃分為若干個(gè)環(huán)節(jié)或部件。

(2)確定各環(huán)節(jié)的輸入量與輸出量，求出各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。

(3)繪出各環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。

(4)將各環(huán)節(jié)相同的量依次連接，得到系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。例2.6試?yán)L制圖2-8所示RC電路的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。圖2-8RC電路

解

(1)根據(jù)信號(hào)傳遞過程，將系統(tǒng)劃分為四個(gè)部件：R1、C1、R2、C2。

(2)確定各環(huán)節(jié)的輸入量與輸出量，求出各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。

R1：輸入量為ui-u1，輸出量為i1；傳遞函數(shù)為C1：輸入量為i1-i2，輸出量為u1；傳遞函數(shù)為R2：輸入量為u1-uo，輸出量為i2；傳遞函數(shù)為C2：輸入量為i2，輸出量為uo；傳遞函數(shù)為(3)繪出各環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖（如圖2-9所示）。

(4)將各環(huán)節(jié)相同的量依次連接，得到系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖（如圖2-10所示）。圖2-9RC電路各部件的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖圖2-10RC電路的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖2.3.3動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的基本連接方式動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的基本連接方式有三種：串聯(lián)、并聯(lián)、反饋。復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖都是由這三種基本的連接方式組合而成的。

1.串聯(lián)如圖2-11所示，在串聯(lián)連接方式中，n個(gè)環(huán)節(jié)首尾相連，前一個(gè)環(huán)節(jié)的輸出作為后一個(gè)環(huán)節(jié)的輸入，這種連接方式稱為串聯(lián)。圖2-11串聯(lián)環(huán)節(jié)n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)后的總傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)的乘積：（2-35）

2.并聯(lián)如圖2-12所示，在并聯(lián)連接方式中，n個(gè)環(huán)節(jié)的輸入相同，而總輸出為各環(huán)節(jié)輸出的代數(shù)和，這種連接方式稱為并聯(lián)。圖2-12并聯(lián)連接n個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)后的總傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之代數(shù)和：（2-36）3.反饋圖2-13所示為反饋連接方式的一般形式，其特點(diǎn)是將系統(tǒng)的輸出信號(hào)C(s)在經(jīng)過某個(gè)環(huán)節(jié)H(s)后，反向送回到輸入端。圖2-13反饋連接

從E(s)到C(s)的通道稱為前向通道，從C(s)到B(s)的通道稱為反饋通道。前向通道和反饋通道在系統(tǒng)中形成閉合回路。從R(s)到C(s)的傳遞函數(shù)稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)，一般用Φ(s)表示。根據(jù)反饋信號(hào)加在相加點(diǎn)的極性，反饋連接方式可以分為負(fù)反饋和正反饋。由圖2-13可知，在負(fù)反饋的情況下：

C(s)=G(s)E(s)=G(s)［R(s)-B(s)］=G(s)［R(s)-H(s)C(s)］

即［1+G(s)H(s)］C(s)=G(s)R(s)

整理得（2-37）相應(yīng)的，在正反饋的情況下：(2-38）

如果反饋通道的傳遞函數(shù)H(s)=1，則稱閉環(huán)系統(tǒng)為單位反饋系統(tǒng)。2.4動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換

2.4.1相加點(diǎn)的移動(dòng)

1.相加點(diǎn)的前移將圖2-14（a）中G(s)方框之后的相加點(diǎn)移到方框之前，需要在被挪動(dòng)的通道串上1/G(s)方框，其等效結(jié)構(gòu)如圖2-14(b)所示。圖2-14相加點(diǎn)的前移移動(dòng)前

C(s)=R(s)G(s)±X(s)

移動(dòng)后移動(dòng)前后的輸出相同，可見二者是等效的。

2.相加點(diǎn)的后移將圖2-15（a）中G(s)方框之前的相加點(diǎn)移到方框之后，需要在被挪動(dòng)的通道串上G(s)方框，其等效結(jié)構(gòu)如圖2-15(b)所示。移動(dòng)前

C(s)=［R(s)±X(s)］G(s)

移動(dòng)后

C(s)=R(s)G(s)±X(s)G(s)=［R(s)±X(s)］G(s)

移動(dòng)前后的輸出相同，可見二者是等效的。圖2-15相加點(diǎn)的后移

3.相加點(diǎn)之間的移動(dòng)將圖2-16（a）中的兩個(gè)相加點(diǎn)交換位置之后，其等效結(jié)構(gòu)如圖2-16(b)所示。移動(dòng)前

C(s)=R1(s)±R2(s)±R3(s)

移動(dòng)后

C(s)=R1(s)±R3(s)±R2(s)

移動(dòng)前后的輸出相同，可見二者是等效的。這說明相加點(diǎn)之間可以任意移動(dòng)。圖2-16相加點(diǎn)之間的移動(dòng)2.4.2分支點(diǎn)的移動(dòng)

1.分支點(diǎn)的前移將圖2-17（a）中G(s)方框之后的分支點(diǎn)移到方框之前，需要在被挪動(dòng)的通道串上G(s)方框，其等效結(jié)構(gòu)如圖2-17(b)所示。移動(dòng)前

C(s)=R(s)G(s)

移動(dòng)后

C(s)=R(s)G(s)

移動(dòng)前后的輸出相同，可見二者是等效的。圖2-17分支點(diǎn)的前移2.分支點(diǎn)的后移將圖2-18（a）中G(s)方框之前的分支點(diǎn)移到方框之后，需要在被移動(dòng)的通道串上1/G(s)方框，其等效結(jié)構(gòu)如圖2-18(b)所示。圖2-18分支點(diǎn)的后移

移動(dòng)前

C(s)=R(s)

移動(dòng)后移動(dòng)前后的輸出相同，可見二者是等效的。

3.分支點(diǎn)之間的移動(dòng)將圖2-19（a）中的兩個(gè)分支點(diǎn)交換位置之后，其等效結(jié)構(gòu)如圖2-19(b)所示。移動(dòng)前后相鄰分支點(diǎn)的輸出相同，可見二者是等效的。說明分支點(diǎn)之間可以任意移動(dòng)。圖2-19分支點(diǎn)之間的移動(dòng)

例2.7

化簡(jiǎn)圖2-10所示RC電路的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖，并求出傳遞函數(shù)。

解這是一個(gè)多回路的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖，圖中有多處交叉，所以必須移動(dòng)相加點(diǎn)和分支點(diǎn)，消除交叉連接，使各個(gè)回路互相分離。移動(dòng)過程如圖2-20(a)、(b)、(c)所示，從而求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：（2-39）圖2-20RC電路動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換過程2.5信號(hào)流圖與梅遜公式

信號(hào)流圖與動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖一樣，也是一種描述控制系統(tǒng)信號(hào)傳遞關(guān)系的數(shù)學(xué)圖形，它比動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖更簡(jiǎn)潔。利用梅遜公式可以避免復(fù)雜的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換，直接寫出信號(hào)流圖或動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖所描述的控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。2.5.1信號(hào)流圖的組成信號(hào)流圖的基本單元有兩個(gè)：節(jié)點(diǎn)和支路。在圖2-21所示的信號(hào)流圖中，節(jié)點(diǎn)表示系統(tǒng)中的變量或信號(hào)，在圖中用一個(gè)小圓圈表示。支路是連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的有向線段，支路上的箭頭表示信號(hào)傳遞的方向；兩個(gè)變量之間的因果關(guān)系式叫做增益（相當(dāng)于動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖方框中的傳遞函數(shù)），增益標(biāo)在相應(yīng)的支路上。支路相當(dāng)于一個(gè)乘法器，信號(hào)流經(jīng)支路時(shí)，乘上支路中的增益變?yōu)榱硪恍盘?hào)。增益為１時(shí)可以不標(biāo)出來。如節(jié)點(diǎn)變量X2與其它變量的因果關(guān)系可以表示為：X2=aX1-dX4

（2-40）節(jié)點(diǎn)具有兩個(gè)特點(diǎn)：①節(jié)點(diǎn)所表示的變量等于流入該節(jié)點(diǎn)的信號(hào)之和。②從節(jié)點(diǎn)流出的每一支路信號(hào)都等于該節(jié)點(diǎn)所表示的變量?？梢姽?jié)點(diǎn)起到了動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖中相加點(diǎn)和分支點(diǎn)的作用（這一特點(diǎn)對(duì)于根據(jù)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖畫出信號(hào)流圖而言是非常有用的）。

節(jié)點(diǎn)分為三種：

(1)輸入節(jié)點(diǎn)。只有輸出支路的節(jié)點(diǎn)，又稱為源節(jié)點(diǎn)，用來表示系統(tǒng)的輸入變量，如圖2-21中的X1節(jié)點(diǎn)。

(2)輸出節(jié)點(diǎn)。只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)，又稱為阱節(jié)點(diǎn)，用來表示系統(tǒng)的輸出變量，如圖2-21中的X5節(jié)點(diǎn)。

(3)混合節(jié)點(diǎn)。既有輸入支路，又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)，如圖2-21中的X2、X3、X4節(jié)點(diǎn)。圖2-21信號(hào)流圖2.5.2信號(hào)流圖的繪制信號(hào)流圖可以根據(jù)系統(tǒng)的微分方程繪制：在列寫出系統(tǒng)的微分方程以后，利用拉氏變換將微分方程轉(zhuǎn)換為s域的代數(shù)方程；再根據(jù)系統(tǒng)中各變量的因果關(guān)系，將對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)從左到右順序排列；最后繪制出有關(guān)的支路，并標(biāo)出各支路的增益，就可以得到系統(tǒng)的信號(hào)流圖。當(dāng)然，在畫出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的基礎(chǔ)上，也可以根據(jù)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖繪制信號(hào)流圖。

例2.8

試?yán)L制圖2-22所示RC電路的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖對(duì)應(yīng)的信號(hào)流圖。圖2-22RC電路的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖

解在動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖中的信號(hào)線上流動(dòng)的信號(hào)對(duì)應(yīng)于信號(hào)流圖中的節(jié)點(diǎn)。圖2-22中有8個(gè)不同的信號(hào)：Ui、E1、I1、E2、U1、E3、I2、Uo。

(1)按從左到右的順序，畫出上面的8個(gè)信號(hào)對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)。

(2)按結(jié)構(gòu)圖中信號(hào)的傳遞關(guān)系用支路將這些節(jié)點(diǎn)連接起來，并標(biāo)出支路的信號(hào)傳遞方向。

(3)將結(jié)構(gòu)圖中的傳遞函數(shù)標(biāo)在對(duì)應(yīng)的信號(hào)流圖中的支路旁。如果動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的輸出信號(hào)為負(fù)，則信號(hào)流圖中對(duì)應(yīng)的增益也應(yīng)該加一個(gè)負(fù)號(hào)，如圖2-23所示。圖2-23RC電路的信號(hào)流圖

2.5.3梅遜(S.J.Mason)公式

應(yīng)用梅遜公式可以不進(jìn)行結(jié)構(gòu)變換而直接得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。梅遜公式為（對(duì)于動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖而言）

（2-４1）

其中,Δ為系統(tǒng)的主特征式，且：

Δ=1-∑La+∑LbLc-∑LdLeLf+…

（2-42）∑La為各回路的回路傳遞函數(shù)回路傳遞函數(shù)是指每一個(gè)回路前向通道和反饋通道的傳遞函數(shù)之乘積，并且包含表示反饋極性的正、負(fù)號(hào)。

例2.9

試用梅遜公式求圖2-23所示RC電路的信號(hào)流圖的傳遞函數(shù)。解

(1)求Δ。系統(tǒng)有三個(gè)回路：故三個(gè)回路中，只有和互不接觸，所以因此（2-43）(2)求Pk。在該系統(tǒng)中只有一條前向通道（2-44）

(3)求Δk。因?yàn)镻1與三個(gè)回路都有接觸，所以L1、L2、L3都應(yīng)該從Δ的表達(dá)式中除去。故（2-45）⑷求將式（2-43）（2-44（2-45）帶入（2-41），得（2-46）該結(jié)果與采用動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換求得的結(jié)果相同。例2.10

試用梅遜公式求圖2-2４所示動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的傳遞函數(shù)。圖２-２４某系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖(4)求G(s)。將式(2-47)、(2-48)和(2-49)代入式(2-41)，得(2-50)2.6系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

控制系統(tǒng)一般受到兩類信號(hào)的作用。一類是有用信號(hào)r(t),即輸入信號(hào)、給定信號(hào)、指令信號(hào)；另一類是各種干擾信號(hào)n(t)。輸入信號(hào)r(t)加在控制裝置的輸入端，即系統(tǒng)的輸入端。干擾信號(hào)n(t)一般作用在受控對(duì)象上，但也可能出現(xiàn)在其他元部件上，甚至夾雜在輸入信號(hào)中。一個(gè)系統(tǒng)往往有多個(gè)干擾信號(hào)，一般只考慮其中主要的干擾信號(hào)。

閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)如圖2-25所示。在控制系統(tǒng)中，影響系統(tǒng)輸出的因素不僅有輸入信號(hào)r(t)，而且還有干擾信號(hào)n(t)，因此在研究系統(tǒng)被控量c(t)的變化規(guī)律時(shí)，要同時(shí)考慮r(t)和n(t)的影響。下面介紹控制系統(tǒng)中經(jīng)常使用的幾個(gè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的概念。圖2-25閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖2.6.1閉環(huán)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在圖2-25中，將反饋環(huán)節(jié)H(s)的輸出端切斷，斷開系統(tǒng)的反饋通道。則反饋信號(hào)B(s)與輸入信號(hào)R(s)的比值，稱為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)：（2-51）也就是說，閉環(huán)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)等于前向通道的傳遞函數(shù)與反饋通道的傳遞函數(shù)的乘積，一般用Gk(s)表示。

需要注意的是：①要將閉環(huán)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)與開環(huán)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)區(qū)別開來。②閉環(huán)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)與梅遜公式中的回路傳遞函數(shù)是不同的，開環(huán)傳遞函數(shù)不包含反饋的極性。

2.6.2給定輸入信號(hào)r(t)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)由于只考慮r(t)的作用，因此可設(shè)n(t)=0，圖2-25簡(jiǎn)化為圖2-26。

（2-52）稱Φr(s)為r(t)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)。而輸出量為（2-53）圖2-26r(t)作用下的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖2.6.3擾動(dòng)信號(hào)n(t)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)由于只考慮n(t)的作用，因此可設(shè)r(t)=0，圖2-25簡(jiǎn)化為圖2-2７。圖2-27n(t)作用下的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖輸出量c(t)與擾動(dòng)信號(hào)n(t)之間的閉環(huán)傳遞函數(shù)為（2-54）稱Φn(s)為n(t)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)。而輸出量為（2-55）

2.6.4系統(tǒng)的總輸出根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，系統(tǒng)的總輸出為給定輸入r(t)和擾動(dòng)輸入n(t)引起的輸出的總和，將式(2-53)和(2-55)相加，得到系統(tǒng)的總輸出（2-56）

2.6.5閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)誤差的大小反映了系統(tǒng)的控制精度，故有必要分析誤差與輸入信號(hào)r(t)和擾動(dòng)n(t)之間的關(guān)系。閉環(huán)系統(tǒng)的誤差e(t)是指給定輸入信號(hào)r(t)和反饋信號(hào)b(t)之差：

e(t)=r(t)-b(t)（2-57）

E(s)=R(s)-B(s)（2-58）1.r(t)作用下閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)