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文檔簡(jiǎn)介

3.1系統(tǒng)性能指標(biāo)及動(dòng)態(tài)性能分析3.2一階系統(tǒng)的時(shí)域分析3.3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析3.4高階系統(tǒng)的時(shí)域分析3.5控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析習(xí)題

第3章時(shí)域分析法3.1系統(tǒng)性能指標(biāo)及動(dòng)態(tài)性能分析3.1.1典型輸入信號(hào)和時(shí)域性能指標(biāo)

1.常用的輸入信號(hào)控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能是通過(guò)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)過(guò)程來(lái)評(píng)價(jià)的。而系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)不僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù),還與系統(tǒng)的初始狀態(tài)及輸入信號(hào)有關(guān)。為了便于在統(tǒng)一的條件下進(jìn)行分析和設(shè)計(jì),一方面,假定在輸入信號(hào)作用于系統(tǒng)的瞬時(shí)(t=0)之前系統(tǒng)相對(duì)靜止,即為零初始狀態(tài);

另一方面,也需要假定一些典型的輸入信號(hào)作為系統(tǒng)的試驗(yàn)信號(hào)。典型的輸入信號(hào)一般應(yīng)具備以下兩個(gè)條件:

(1)典型信號(hào)應(yīng)具有一定的代表性,而且其數(shù)學(xué)表達(dá)式簡(jiǎn)單,以便于數(shù)學(xué)分析、計(jì)算與處理。

(2)典型信號(hào)應(yīng)易于在實(shí)驗(yàn)室獲得。因此,在控制工程中常采用下述五種信號(hào)作為典型的輸入信號(hào)。1)階躍信號(hào)階躍輸入信號(hào)表示輸入量的瞬間突變過(guò)程,如圖3-1(a)所示。它的數(shù)學(xué)表達(dá)式為(3-1)相應(yīng)的拉氏變換為(3-2)

其中,R0為常量。當(dāng)R0=1時(shí),稱(chēng)為單位階躍函數(shù),記為1(t)。在時(shí)域分析中,階躍信號(hào)用得最為廣泛。實(shí)際中,電源的突然接通、負(fù)載的突變等均可近似看作階躍信號(hào)。

圖3-1典型輸入信號(hào)(一)(a)階躍信號(hào);(b)斜坡信號(hào);(c)拋物線信號(hào)2)斜坡信號(hào)斜坡信號(hào)表示由零值開(kāi)始隨時(shí)間t線性增長(zhǎng)的信號(hào),如圖3-1(b)所示。它的數(shù)學(xué)表達(dá)式為(3-3)其拉氏變換為(3-4)其中,v0為常量。當(dāng)v0=1時(shí),稱(chēng)為單位斜坡函數(shù)。3)拋物線信號(hào)拋物線信號(hào)亦稱(chēng)等加速度信號(hào),它表示隨時(shí)間以等加速度增長(zhǎng)的信號(hào),如圖3-1(c)所示。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為(3-5)它的拉氏變換為(3-6)4)脈沖信號(hào)脈沖信號(hào)可看作一個(gè)持續(xù)時(shí)間極短的信號(hào),如圖3-2(a)所示。它的數(shù)學(xué)表達(dá)式為(3-7)當(dāng)H=1時(shí),記為δε(t)。若令脈寬ε→0,則稱(chēng)其為單位理想脈沖函數(shù),見(jiàn)圖3-2(b),并用δ(t)表示,即

且其面積(又稱(chēng)脈沖強(qiáng)度)為(3-8)相應(yīng)的拉氏變換為(3-9)

圖3-2典型輸入信號(hào)(二)(a)脈沖信號(hào);(b)單位理想脈沖函數(shù)圖3-3正弦信號(hào)5)正弦信號(hào)正弦信號(hào)如圖3-3所示,它的數(shù)學(xué)表達(dá)式為(3-10)

正弦信號(hào)的拉氏變換為(3-11)3.1.2控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)

1.跟隨性能指標(biāo)在給定信號(hào)r(t)的作用下,系統(tǒng)輸出c(t)的變化情況可用跟隨性能指標(biāo)來(lái)描述。設(shè)圖3-4所示為控制系統(tǒng)典型的階躍響應(yīng)曲線,據(jù)此定義常用的跟隨性能指標(biāo)如下。

圖3-4階躍響應(yīng)曲線與跟隨性能指標(biāo)1)上升時(shí)間tr

上升時(shí)間tr指系統(tǒng)輸出響應(yīng)從0開(kāi)始第一次上升到穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間。tr小,表明系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)快。

2)峰值時(shí)間tp

峰值時(shí)間tp指系統(tǒng)輸出響應(yīng)由0開(kāi)始,越過(guò)第一次穩(wěn)態(tài)值到達(dá)峰值所需的時(shí)間。

3)超調(diào)量σ%

超調(diào)量σ%指系統(tǒng)輸出響應(yīng)超出穩(wěn)態(tài)值的最大偏離量占穩(wěn)態(tài)值的百分比。(3-12)4)調(diào)節(jié)時(shí)間ts

調(diào)節(jié)時(shí)間ts指系統(tǒng)的輸出響應(yīng)達(dá)到并保持在穩(wěn)態(tài)值的±5%(或±2%)誤差范圍內(nèi),即輸出響應(yīng)進(jìn)入并保持在±5%(或±2%)誤差帶之內(nèi)所需的時(shí)間。ts小,表示系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)過(guò)程短,快速性好。

5)振蕩次數(shù)N

振蕩次數(shù)N指在調(diào)節(jié)時(shí)間內(nèi),系統(tǒng)輸出量在穩(wěn)態(tài)值上下擺動(dòng)的次數(shù)。次數(shù)少,表明系統(tǒng)穩(wěn)定性好。2.穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能一般是指其穩(wěn)態(tài)精度,常用穩(wěn)態(tài)誤差ess來(lái)表述。穩(wěn)態(tài)誤差ess是指系統(tǒng)期望值與實(shí)際輸出的最終穩(wěn)態(tài)值之間的差值。ess小,說(shuō)明系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度高。3.2一階系統(tǒng)的時(shí)域分析

當(dāng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為一階微分方程式時(shí),稱(chēng)其為一階系統(tǒng)。研究如圖3-5所示的一階系統(tǒng)。在物理上,這個(gè)系統(tǒng)可以表示一個(gè)RC電路,也可以表示一個(gè)熱系統(tǒng)等。系統(tǒng)的輸入-輸出關(guān)系為(3-13)圖3-5一階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖3.2.1一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)設(shè)輸入則輸出量的拉氏變換為(3-14)單位階躍響應(yīng)為(3-15)圖3-6一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線

其單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-6所示。由方程(3-15)可以看出,輸出響應(yīng)的初始值等于0,而最終將變成1。當(dāng)t=T時(shí),c(t)=0.632,這表明輸出響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的63.2%所需的時(shí)間就是一階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)。系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)越小,響應(yīng)就越快。另外,輸出響應(yīng)沒(méi)有振蕩,也就沒(méi)有超調(diào)。減小時(shí)間常數(shù)可提高響應(yīng)的速度。

比較式(3-14)和式(3-15)可知,輸入R(s)的極點(diǎn)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量,而傳遞函數(shù)Φ(s)的極點(diǎn)則產(chǎn)生系統(tǒng)響應(yīng)的瞬態(tài)分量。這一結(jié)論不僅適用于階線性定常系統(tǒng),而且適用于任何階次的線性定常系統(tǒng)。因?yàn)闆](méi)有超調(diào),系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)主要是調(diào)節(jié)時(shí)間ts。從響應(yīng)曲線可知:

t=3T時(shí),c(t)=0.95,故ts=3T(按±5%誤差帶);

t=4T時(shí),c(t)=0.98,故ts=4T(按±2%誤差帶)。

例3.1

一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖3-7所示,其中KK為開(kāi)環(huán)放大倍數(shù),KH為反饋系數(shù)。設(shè)KK=100,KH=0.1,試求系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間ts(按±5%誤差帶)。如果要求ts=0.1s,求反饋系數(shù)。解由結(jié)構(gòu)圖得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可見(jiàn) ,所以(按誤差帶)對(duì)照一階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)式,有由(按誤差帶)可得圖3-7例3.1系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖3.2.2一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)單位斜坡輸入函數(shù)的拉氏變換為

此時(shí)系統(tǒng)輸出響應(yīng)的拉氏變換為(3-16)對(duì)上式取拉氏反變換,得(3-17)誤差信號(hào)e(t)為e(t)=r(t)-c(t)=T(1-e-t/T)

(3-18)當(dāng)t趨近于無(wú)窮大時(shí),e-t/T趨近于0,因而誤差信號(hào)趨近于T,即

c(∞)=T3.2.3一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)單位脈沖輸入函數(shù)的拉氏變換為

R(s)=L[δ(t)]=1

此時(shí)系統(tǒng)輸出響應(yīng)的拉氏變換為(3-19)對(duì)上式取拉氏反變換,得(3-20)3.3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析

由二階微分方程描述的系統(tǒng)稱(chēng)為二階系統(tǒng)。例如,他激直流電動(dòng)機(jī)控制系統(tǒng)、RLC電路等都是二階系統(tǒng)的實(shí)例。為了使對(duì)二階系統(tǒng)的研究具有普遍的意義,通常構(gòu)造出其典型結(jié)構(gòu),如圖3-8所示。圖3-8二階系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)

根據(jù)圖3-8,可求出二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式:(3-21)其中,ξ為阻尼比,ωn為無(wú)阻尼自然振蕩頻率,它們均為系統(tǒng)參數(shù)。

由式(3-21)可以看出,二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性可以用ξ和ωn這兩個(gè)參數(shù)的形式加以描述。如果0<ξ<1,則閉環(huán)極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù),并且位于左半s平面,這時(shí)系統(tǒng)叫做欠阻尼系統(tǒng),其瞬態(tài)響應(yīng)是振蕩的。如果ξ=1,那么就叫做臨界阻尼系統(tǒng)。而當(dāng)ξ>1時(shí),就叫做過(guò)阻尼系統(tǒng)。臨界阻尼系統(tǒng)和過(guò)阻尼系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)都不振蕩。如果ξ=0,那么瞬態(tài)響應(yīng)變?yōu)榈确袷?。例如,電路的傳遞函數(shù)為對(duì)照二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)式,有即即3.3.1二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)二階系統(tǒng)在單位階躍輸入信號(hào)1(t)作用下的拉氏變換式為其中,由可求得兩個(gè)特征根(3-22)1)ξ>1,過(guò)阻尼

ξ>1時(shí),s1,2=-ξωn±ωn

為兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根,即有其中,A1、A2、A3為待定系數(shù)。據(jù)此,可求得輸出響應(yīng)的拉氏反變換(3-23)2)ξ=1,臨界阻尼

ξ=1時(shí),s1,2=-ωn為一對(duì)重負(fù)實(shí)根。輸出的拉氏變換經(jīng)拉氏反變換,得(3-24)響應(yīng)曲線輸出無(wú)振蕩和超調(diào)。系統(tǒng)的響應(yīng)速度在ξ=1時(shí)比ξ>1時(shí)快。3)0<ξ<1,欠阻尼

0<ξ<1時(shí),令阻尼振蕩頻率則s1,2=-ξωn±jωd為一對(duì)復(fù)數(shù)根。輸出的拉氏變換為取拉氏反變換,得將上式整理為設(shè)欠阻尼二階系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系為

如圖3-9所示,則欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)可寫(xiě)為(3-25)系統(tǒng)的響應(yīng)為衰減振蕩波形,系統(tǒng)有超調(diào)。圖3-9欠阻尼二階系統(tǒng)參數(shù)間的關(guān)系4)ξ=0,無(wú)阻尼ξ=0時(shí),s1,2=±jωn為一對(duì)純虛根。輸出的拉氏變換為其拉氏反變換為c(t)=1-cosωnt

t≥0

(3-26)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為等幅振蕩波形。

圖3-10所示為取不同ξ值時(shí)對(duì)應(yīng)的單位階躍響應(yīng)曲線。由圖可見(jiàn),ξ值越大,系統(tǒng)的平穩(wěn)性越好,超調(diào)越??;ξ值越小,輸出響應(yīng)振蕩越強(qiáng),振蕩頻率越高。當(dāng)ξ=0時(shí),系統(tǒng)輸出為等幅振蕩,不能正常工作,屬不穩(wěn)定。圖3-10不同ξ值時(shí)對(duì)應(yīng)的單位階躍響應(yīng)曲線3.3.2二階系統(tǒng)和它的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)下面主要對(duì)欠阻尼二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)進(jìn)行討論和計(jì)算。欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-4所示。

1.上升時(shí)間tr

根據(jù)tr的定義,有即于是有(3-27)其中(3-28)2.峰值時(shí)間tp

根據(jù)tp的定義,可采用求極值的方法來(lái)求取。即由有即tan(ωdtp+β)=tanβωdtp=0,π,2π,…于是得

3.超調(diào)量σ%

將tp=π/ωd代入欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)表達(dá)式,求得根據(jù)定義:考慮到

c(∞)=c(t)|t=∞=1得4.調(diào)節(jié)時(shí)間ts

求取調(diào)節(jié)時(shí)間可用近似公式:ξ<0.68,±5%誤差帶

ξ<0.76,±2%誤差帶

其中,T=1/ξωn為系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)。當(dāng)ξ大于上述值時(shí),可采用近似公式計(jì)算:

5.穩(wěn)態(tài)誤差ess

根據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差的定義和終值定理,有(3-33)當(dāng)R(s)=1/s時(shí),由式(3-33)可算得ess=0。

以上為欠阻尼二階系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下性能指標(biāo)的求取。對(duì)于過(guò)阻尼二階系統(tǒng),其性能指標(biāo)只有調(diào)節(jié)時(shí)間ts和穩(wěn)態(tài)誤差ess。ess的計(jì)算同上,而調(diào)節(jié)時(shí)間ts的近似計(jì)算式是根據(jù)特征根s1和s2中絕對(duì)值較小者來(lái)確定的。設(shè)|s1|<|s2|,則ts≈3T1 ±5%誤差帶

ts≈4T1 ±2%誤差帶(3-35)或按式(3-32)作近似計(jì)算。時(shí),可求得(3-36)由于ξ≥1時(shí),系統(tǒng)的響應(yīng)較慢,故二階系統(tǒng)一般不設(shè)計(jì)成臨界阻尼或過(guò)阻尼形式,只有在不允許出現(xiàn)超調(diào)的特殊要求下,才采用過(guò)阻尼形式。另外,若輸入為單位斜坡信號(hào),即

由以上的分析可歸納出二階系統(tǒng)性能分析要點(diǎn):

1)平穩(wěn)性

主要由ξ決定,ξ越大則σ%越小,平穩(wěn)性越好。ξ=0時(shí),系統(tǒng)等幅振蕩,不能穩(wěn)定工作。ξ一定時(shí),ωn越大則ωd越大,系統(tǒng)平穩(wěn)性變差。3)準(zhǔn)確性

ξ的增加和ωn的減小雖然對(duì)系統(tǒng)的平穩(wěn)性有利,但將使得系統(tǒng)跟蹤斜坡信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差增加。例3.2已知隨動(dòng)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖3-11所示,試分別計(jì)算KA=200,1500和10時(shí),系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)tp,ts和σ%。圖3-11例3.2系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖解:(1)對(duì)照標(biāo)準(zhǔn)式,有因而求得據(jù)此可求得動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)(按誤差帶)2) 。用同樣的方法計(jì)算得3)??伤愕孟到y(tǒng)過(guò)阻尼,無(wú)超調(diào)。動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)只有3.3.3改善二階系統(tǒng)性能的措施通過(guò)對(duì)二階系統(tǒng)的分析得知,系統(tǒng)三方面性能對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)的要求往往是矛盾的。工程中,通過(guò)在系統(tǒng)中增加一些合適的附加裝置來(lái)改善二階系統(tǒng)的性能。

1.

比例微分控制圖3-12為采用比例微分控制的二階系統(tǒng)。二階系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為圖3-12比例微分控制的二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)(3-37)其中,(3-38)即有其中ξ′稱(chēng)為等效阻尼比。

由上式可見(jiàn),采用比例微分控制后,二階系統(tǒng)的阻尼比增大,超調(diào)量減少。同時(shí),若傳遞函數(shù)中增加的零點(diǎn)合適,將使得系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間ts減少。另外,在單位斜坡輸入之下,即當(dāng)R(s)=1/s2時(shí),由式(3-33)可以算得與沒(méi)有采用比例微分控制的標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)相同。

設(shè)沒(méi)有采取性能改善措施之前,系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-13中曲線a所示,則采用比例微分控制后系統(tǒng)性能的改善如圖3-13中曲線b所示。圖3-13不同控制對(duì)二階系統(tǒng)性能的改善圖3-14加微分負(fù)反饋的二階系統(tǒng)

2.微分負(fù)反饋控制在二階系統(tǒng)中加入微分負(fù)反饋環(huán)節(jié),如圖3-14所示。這時(shí)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)

閉環(huán)傳遞函數(shù)(3-39)其中,2ωnξ′=2ξωn+τω2n即有(3-40)

其中ξ′稱(chēng)為等效阻尼比。由上式可見(jiàn),與加微分負(fù)反饋之前相比,系統(tǒng)的阻尼比增大,超調(diào)量減少,平穩(wěn)性變好。ξ較小時(shí),在ωn不變的前提下,阻尼比的加大將使ts減少。另外,若輸入為單位斜坡信號(hào),即當(dāng)R(s)=1/s2時(shí),由式(3-33)可以算得

比標(biāo)準(zhǔn)形式的二階系統(tǒng)增加了τ。3.4高階系統(tǒng)的時(shí)域分析

三階及三階以上的系統(tǒng)通常稱(chēng)為高階系統(tǒng)。其傳遞函數(shù)的一般表達(dá)式為改寫(xiě)為零、極點(diǎn)形式:

其中,s=z1,z2,...,zm為Φ(s)的零點(diǎn);s=s1,s2,...,sn為Φ(s)的極點(diǎn)。設(shè)輸入為則有無(wú)重極點(diǎn)時(shí),可寫(xiě)成部分分式:對(duì)上式求拉氏反變換,得輸出響應(yīng)為(3-41)

式(3-41)中的A0表示由輸入引起的輸出穩(wěn)態(tài)分量;其他各項(xiàng)表示輸出瞬態(tài)分量。它們衰減的快慢取決于各項(xiàng)所對(duì)應(yīng)極點(diǎn)的負(fù)實(shí)部值(實(shí)部為正時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定)。據(jù)待定系數(shù)法可求得對(duì)應(yīng)于負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)si的瞬態(tài)分量(3-42)

可見(jiàn),對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)分量按指數(shù)衰減,其系數(shù)與該極點(diǎn)到零點(diǎn)的距離成正比,與該極點(diǎn)到其他極點(diǎn)的距離以及該極點(diǎn)到虛軸的距離成反比。對(duì)應(yīng)于共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)sk、sk+1的瞬態(tài)分量為

,考慮到

sk=σ+jω,sk+1=σ-jωσ<0

同時(shí),考慮到系數(shù)Ak、Ak+1也是共軛復(fù)數(shù),可表示為因此,據(jù)尤拉公式,有(3-43)可見(jiàn),對(duì)應(yīng)的是其振幅按指數(shù)衰減的正弦振蕩的瞬態(tài)分量。

由上述分析可以得出:

(1)高階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)是由慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)的響應(yīng)函數(shù)所組成的。其中,穩(wěn)態(tài)分量由輸入控制信號(hào)所引起,瞬態(tài)分量的形式取決于傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。

(2)極點(diǎn)的實(shí)部越負(fù),即在s左半平面上離虛軸越遠(yuǎn),則相應(yīng)的瞬態(tài)分量衰減越快;反之,在s左半平面上離虛軸很近的極點(diǎn),其對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)分量衰減就很慢,它在總的瞬態(tài)分量中占據(jù)主導(dǎo)地位。(3)如果系統(tǒng)中有一個(gè)極點(diǎn)或一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)離虛軸最近,且附近沒(méi)有零點(diǎn)離虛軸的距離比這一個(gè)或一對(duì)極點(diǎn)離虛軸的距離大5倍以上,則稱(chēng)這一個(gè)或一對(duì)極點(diǎn)為主導(dǎo)極點(diǎn),因?yàn)橹鲗?dǎo)極點(diǎn)所決定的瞬態(tài)分量不僅持續(xù)時(shí)間長(zhǎng),而且初始幅值也大,故可將系統(tǒng)的響應(yīng)近似地看作是由主導(dǎo)極點(diǎn)所產(chǎn)生的。

(4)一個(gè)實(shí)際的高階系統(tǒng),其結(jié)構(gòu)參數(shù)是確定的,不一定存在主導(dǎo)極點(diǎn),但往往可以通過(guò)加入校正裝置,改變其結(jié)構(gòu)參數(shù),使數(shù)個(gè)系統(tǒng)具有一對(duì)合適的共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn),因?yàn)榇藭r(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能比較理想。3.5控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

3.5.1系統(tǒng)穩(wěn)定的充分與必要條件一個(gè)處于某平穩(wěn)狀態(tài)的線性定常系統(tǒng),若在外部作用下偏離了原來(lái)的平衡狀態(tài),而當(dāng)擾動(dòng)消失后,系統(tǒng)仍能回到原來(lái)的平衡狀態(tài),則稱(chēng)該系統(tǒng)是穩(wěn)定的,否則,系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。穩(wěn)定性是去除外部作用后系統(tǒng)本身的一種恢復(fù)能力,所以是系統(tǒng)的一種固有特性,它只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù),而與外作用及初始條件無(wú)關(guān)。設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般表達(dá)式為

又設(shè)則有其中si為特征方程的根。對(duì)上式求拉氏反變換,得系統(tǒng)輸出響應(yīng)為

其中,第一項(xiàng)為由輸入引起的輸出穩(wěn)態(tài)分量,其余各項(xiàng)為系統(tǒng)輸出的瞬態(tài)分量。顯然,一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng),其輸出瞬態(tài)分量應(yīng)均為0。由上式可知,要做到這一點(diǎn),必須滿足所以,系統(tǒng)穩(wěn)定的充分與必要條件是系統(tǒng)所有特征根的實(shí)部小于零(或其特征方程的根都在s左半平面),即

Re[si]<0i=1,2,...,n

3.5.2勞斯(Routh)穩(wěn)定判據(jù)

勞斯穩(wěn)定判據(jù)能夠告訴我們,在一個(gè)多項(xiàng)式方程中是否存在著正根,而不必實(shí)際求解這一方程。這一穩(wěn)定判據(jù),只能用在只有有限項(xiàng)的多項(xiàng)式中。當(dāng)把這個(gè)判據(jù)應(yīng)用到控制系統(tǒng)時(shí),根據(jù)特征方程的系數(shù),可以直接判斷系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性。

根據(jù)穩(wěn)定的充分與必要條件,求得特征方程的根,就可判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。但對(duì)于高階系統(tǒng),求解方程的根比較困難。如果僅僅判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性,可根據(jù)特征方程的各項(xiàng)系數(shù)來(lái)確定方程的根是否具有正實(shí)部,這就是勞斯穩(wěn)定判據(jù)的基本思想。勞斯穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程式的各項(xiàng)系數(shù),經(jīng)過(guò)代數(shù)運(yùn)算來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性的。設(shè)系統(tǒng)的特征方程為

a0sn+a1sn-1+...+an-1s+an=0根據(jù)特征方程的各項(xiàng)系數(shù)排列成下列勞斯表:sna0a2a4...sn-1a1a3a5...sn-2b31b32b33...sn-3b41b42b43...

s0bn+1

可見(jiàn),表中前面兩行為隔取特征方程中系數(shù)所形成的,從第三行開(kāi)始,各元素的計(jì)算按下述規(guī)律推算。以此類(lèi)推,可求出各元素b31,…,bn+1。

勞斯穩(wěn)定判據(jù)

若特征方程式的各項(xiàng)系數(shù)都大于0(必要條件),且勞斯表中第一列元素均為正值,則所有的特征根均位于s左半平面,相應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則,系統(tǒng)是不穩(wěn)定的,且第一列元素符號(hào)改變的次數(shù)等于特征方程正實(shí)部根的個(gè)數(shù)。

例3.3

已知系統(tǒng)的特征方程

s4+2s3+3s2+4s+5=0

試判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由勞斯陣列表可見(jiàn),第一列元素的符號(hào)改變了兩次,表示有兩個(gè)正實(shí)部根,相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。

例3.4系統(tǒng)如圖3-15所示。為使系統(tǒng)穩(wěn)定,試確定放大倍數(shù)K的取值范圍。圖3-15例3.4系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解首先求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的特征方程為列出勞斯陣列表:系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為即3.5.3兩種特殊情況如果勞斯表中某行的第一個(gè)元素為0,而該行中其余各元素不等于0或沒(méi)有其他元素,將使得勞斯表無(wú)法往下排列。此時(shí),可用一個(gè)接近于零的很小的正常ε來(lái)代替零,完成勞斯表的排列。

例3.5

已知系統(tǒng)的特征方程

s3+2s2+s+2=0

試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解勞斯陣列表為由于第一列中上方的元素與其下方的元素符號(hào)相同,表示該方程中有一對(duì)純虛根存在,相應(yīng)的系統(tǒng)不穩(wěn)定。把上述方程分解成因式相乘的形式,即例3.6

設(shè)系統(tǒng)的特征方程為可見(jiàn),表中第一列元素的符號(hào)變化了兩次。由勞斯判據(jù)可知,該方程有兩個(gè)根在右半平面。勞斯陣列表為上述結(jié)論也可用因式分解的方法來(lái)驗(yàn)證。把原方程改寫(xiě)為即 而驗(yàn)證了勞斯判據(jù)所得結(jié)論的正確性。如果勞斯表中某一行的元素全為零,表示相應(yīng)方程中含有大小相等、符號(hào)相反的實(shí)根和(或)共軛根。此時(shí),應(yīng)以上一行的元素來(lái)構(gòu)成一輔助多項(xiàng)式,該多項(xiàng)式對(duì)求導(dǎo)后,所得多項(xiàng)式的系數(shù)即可用來(lái)取代全零行。同時(shí),由輔助方程可以求得這些根。例3.7

某控制系統(tǒng)的特征方程為試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解:勞斯表為用系數(shù)8和24代替全零行中的0元素,并將勞斯陣列表排列完。

3.5.4勞斯穩(wěn)定判據(jù)在控制系統(tǒng)中的應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)在線性控制系統(tǒng)分析中的應(yīng)用是有一定局限性的,這主要是因?yàn)檫@種判據(jù)不能指出如何改善系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性和如何使不穩(wěn)定的系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定。但是,它可以確定一個(gè)或兩個(gè)系統(tǒng)參數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。下面我們將考慮如何確定參數(shù)值的穩(wěn)定范圍的問(wèn)題。如圖3-16所示的系統(tǒng),其閉環(huán)傳遞函數(shù)為特征方程式為

Ts3+s2+K=0圖3-16結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

1.改變環(huán)節(jié)的積分性質(zhì)可用比例反饋來(lái)包圍有積分作用的環(huán)節(jié)。例如,在積分環(huán)節(jié)外面加單位負(fù)反饋,見(jiàn)圖3-17,這時(shí),環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)變?yōu)閺亩乖瓉?lái)的積分環(huán)節(jié)變成了慣性環(huán)節(jié)。圖3-17積分環(huán)節(jié)外加單位反饋

圖3-17所示系統(tǒng)中的一個(gè)積分環(huán)節(jié)加上單位負(fù)反饋后,系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)變成了系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為特征方程式:

Ts3+(1+T)s2+s+K=0勞斯表:根據(jù)勞斯判據(jù),系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為

即所以,K的取值范圍為可見(jiàn),此時(shí)只要適當(dāng)選取K值就可使系統(tǒng)穩(wěn)定。

2.加入比例微分環(huán)節(jié)

如圖3-18所示,在前述結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)的前向通道中加入比例微分環(huán)節(jié),系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)變?yōu)閳D3-18系統(tǒng)中加入比例微分環(huán)節(jié)勞斯表:系統(tǒng)的穩(wěn)定條件為即可見(jiàn),此時(shí)只要適當(dāng)選取系統(tǒng)參數(shù),便可使系統(tǒng)穩(wěn)定。3.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是衡量系統(tǒng)控制精度的性能指標(biāo)。系統(tǒng)的誤差定義為期望值與實(shí)際值之差。通常系統(tǒng)的輸入量和輸出量為不同的物理量,因此系統(tǒng)的誤差不能直接用它們的差值來(lái)表示,而是用輸入量與反饋量的差值來(lái)定義,即

e(t)=r(t)-b(t)

給定信號(hào)作為期望值,反饋信號(hào)作為實(shí)際值。對(duì)于單位反饋系統(tǒng)來(lái)說(shuō),反饋量b(t)就等于輸出量c(t)。穩(wěn)態(tài)誤差是指系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后的誤差值。即穩(wěn)態(tài)誤差可分為由給定信號(hào)引起的誤差和由擾動(dòng)信號(hào)引起的誤差兩種,下面分別討論。

3.6.1給定信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差及誤差系數(shù)考慮給定信號(hào)R(s)的作用時(shí),設(shè)擾動(dòng)信號(hào)N(s)=0??刂葡到y(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)如圖3-19所示。圖3-19控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)根據(jù)圖3-19可得誤差函數(shù)的拉氏變換為(3-44)根據(jù)終值定理得(3-45)設(shè)系統(tǒng)輸入的一般表達(dá)式為(3-46)其中N為輸入信號(hào)的階次。設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的一般表達(dá)式為(3-47)

根據(jù)式(3-45)、(3-46)和(3-47),系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可表示為(3-48)

也可根據(jù)系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)來(lái)計(jì)算系統(tǒng)在不同輸入信號(hào)之下的穩(wěn)態(tài)誤差,下面作一介紹。

1.靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp

設(shè)階躍輸入信號(hào)r(t)=R01(t),相應(yīng)的拉氏變換式為R(s)=R0/s,由式(3-45)有定義靜態(tài)位置誤差系數(shù)(3-49)則(3-50)另外,將式(3-47)代入式(3-49),得(3-51)由式(3-50)和式(3-51)可得以下結(jié)論:圖3-20階躍響應(yīng)曲線2.

靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv

設(shè)斜坡輸入信號(hào)為r(t)=v0t,相應(yīng)的拉氏變換式為R(s)=v0/s2,由式(3-45)有定義靜態(tài)速度誤差系數(shù)(3-52)則(3-53)另外,將式(3-47)代入式(3-52),得(3-54)由式(3-53)和(3-54)可得以下結(jié)論:ν=0時(shí),Kv=0,essr=∞ν=1時(shí),Kv=K,essr=ν≥2時(shí),Kv=∞,essr=0可見(jiàn),在階躍輸入作用下,僅0型系統(tǒng)有穩(wěn)態(tài)誤差,其大小與階躍輸入的幅值成正比,與系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益近似成反比。對(duì)I型及I型以上系統(tǒng)來(lái)說(shuō),其穩(wěn)態(tài)誤差為零。圖3—20給出了不同型別時(shí)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線。圖3-21不同型別時(shí)系統(tǒng)的斜坡響應(yīng)曲線3.靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka

設(shè)拋物線輸入信號(hào)相應(yīng)的拉氏變換式為由式(3-45)有定義靜態(tài)加速度誤差系數(shù)(3-55

)(3-56

)(3-57

)則另外,將式(3-47)代入式(3-55),得由式(3-56)和(3-57)可得以下結(jié)論:ν≤1時(shí),Ka=0,essr=∞ν=2時(shí),Ka=K,essr=ν≥3時(shí),Ka=∞,essr=0圖3-22拋物線輸入信號(hào)作用下的響應(yīng)曲線例3.8

已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖3-23所示。求時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。圖3-23例3.8系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為3.6.2擾動(dòng)信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差考慮擾動(dòng)信號(hào)N(s)的作用時(shí),設(shè)R(s)=0,則圖3-19所示系統(tǒng)可表示成如圖3-24所示的形式。

擾動(dòng)信號(hào)引起的誤差用en(t)來(lái)表示,其拉氏變換為圖3-24擾動(dòng)信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差當(dāng)G1(s)G2(s)H(s)>>1時(shí),上式可近似為(3-58)根據(jù)終值定理,擾動(dòng)作用之下的穩(wěn)態(tài)誤差為(3-59)例3.9

設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖3-19所示,其中又設(shè)

r(t)=2t,n(t)=0.5×1(t)求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為3.6.3改善系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度的方法系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差主要是由積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)和放大系數(shù)來(lái)確定的。為了提高精度等級(jí),可增加積分環(huán)節(jié)的數(shù)目;為了減小有限誤差,可增加放大系數(shù)。但這樣一來(lái)都會(huì)使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。而采用補(bǔ)償?shù)姆椒?,則可在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下減小穩(wěn)態(tài)誤差。

1.引入輸入補(bǔ)償

系統(tǒng)如圖3-25所示,為了減小由給定信號(hào)引起的穩(wěn)態(tài)誤差,從輸入端引入一補(bǔ)償環(huán)節(jié)Gc(s),這時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為圖3-25引入輸入補(bǔ)償?shù)膹?fù)合系統(tǒng)

可見(jiàn),若使1-Gc(s)G2(s)=0,則E(s)=0。即取(3-60)

圖3-26引入擾動(dòng)補(bǔ)償2.引入擾動(dòng)補(bǔ)償系統(tǒng)如圖3-26所示,為了減小擾動(dòng)信號(hào)引起的誤差,利用擾動(dòng)信號(hào)經(jīng)過(guò)Gc(s)來(lái)進(jìn)行補(bǔ)償。設(shè)R(s)=0,可見(jiàn),要使E(s)=0,必須滿足(3-61)即取就可實(shí)現(xiàn)完全補(bǔ)償。習(xí)題3.1設(shè)溫度計(jì)需要在1min內(nèi)指示出響應(yīng)

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