2025年中考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編之三角形（二）一．選擇題（共3小題）1．（2025?臺(tái)灣）如圖是某種螺絲釘上螺紋的示意圖，圖中的虛線皆為水平線或鉛垂線，圖上標(biāo)示出角度，也標(biāo)示出水平線間或鉛垂線間的距離．根據(jù)圖中的標(biāo)示，判斷此種螺絲釘?shù)穆菁y深度是螺紋間距的多少倍？（）A．58 B．516 C．532．（2025?臺(tái)灣）如圖，△ADG的頂點(diǎn)G為△ABC的重心，DG與AB相交于E點(diǎn)．若DE：EG＝3：2，AE：EB＝3：4，則△ADG面積為△ABC面積的多少倍？（）A．512 B．514 C．5153．（2025?臺(tái)灣）如圖1為一張五邊形紙片ABCDE，F(xiàn)點(diǎn)在CD上，且以BE、BF、FE為折線將紙片向內(nèi)折至同一平面后，A、C、D恰重疊在同一點(diǎn)P，如圖2所示．若BE＞FE＞BF，則根據(jù)圖2中標(biāo)示的角，判斷下列敘述何者正確？（）A．∠3+∠4＝90°，∠1+∠2＞∠5+∠6 B．∠3+∠4＝90°，∠1+∠2＜∠5+∠6 C．∠3+∠4≠90°，∠1+∠2＞∠5+∠6 D．∠3+∠4≠90°，∠1+∠2＜∠5+∠6二．填空題（共15小題）4．（2025?齊齊哈爾）利用幾何圖形的變化可以制作出形態(tài)各異的圖案．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），以O(shè)A為邊作Rt△OAA1，使∠OAA1＝90°，∠AOA1＝30°，再以O(shè)A1為邊作Rt△OA1A2，使∠OA1A2＝90°，∠A1OA2＝30°，過點(diǎn)A，A1，A2作弧AA2，記作第1條弧；以O(shè)A2為邊作Rt△OA2A3，使∠OA2A3＝90°，∠A2OA3＝30°，再以O(shè)A3為邊作Rt△OA3A4，使∠OA3A4＝90°，∠A3OA4＝30°，過點(diǎn)A2，A3，A4作弧A2A45．（2025?綏化）在邊長為7的等邊三角形ABC中，點(diǎn)D在AB上，BD＝2．點(diǎn)M是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MD，以MD為邊在MD的左側(cè)作等邊三角形MND，連接BN．當(dāng)△BND為直角三角形時(shí)，則CM的長是．6．（2025?河南）定義：有兩個(gè)內(nèi)角的差為90°的三角形叫做“反直角三角形”．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，點(diǎn)P為邊BC上一點(diǎn)，若△APC為“反直角三角形”，則BP的長為．7．（2025?湖南）已知，a，b，c是△ABC的三條邊長，記t=(ac)（1）若三角形為等邊三角形，則t＝；（2）下列結(jié)論正確的是．（寫出所有正確的結(jié)論）①若k＝2，t＝1，則△ABC為直角三角形；②若k=1，a=12b+2，c=1③若k=1，t≤53，a，b，c為三個(gè)連續(xù)整數(shù)，且a＜b＜c，則滿足條件的△8．（2025?福建）某房梁如圖所示，立柱AD⊥BC，E，F(xiàn)分別是斜梁AB，AC的中點(diǎn)．若AB＝AC＝8m，則DE的長為m．9．（2025?德陽）△ABC在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（1，0），B（3，0），如果△ABC的面積為1，那么點(diǎn)C的坐標(biāo)可以是．（只需寫出一個(gè)即可）10．（2025?揚(yáng)州）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段DE的延長線上，且∠BFC＝90°．若AC＝4，BC＝8，則DF的長是．11．（2025?揚(yáng)州）清代揚(yáng)州數(shù)學(xué)家羅士琳癡迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股數(shù)的“羅士琳法則”．法則的提出，不僅簡化了勾股數(shù)的生成過程，也體現(xiàn)了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在數(shù)論領(lǐng)域的貢獻(xiàn)．由此法則寫出了下列幾組勾股數(shù)：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；??根據(jù)上述規(guī)律，寫出第⑤組勾股數(shù)為．12．（2025?德陽）等寬曲線是指在任何方向上的直徑都相等的一種幾何圖形，它在我們的日常生活中應(yīng)用比較廣泛，例如可以利用等寬曲線設(shè)計(jì)自行車的車輪等．如圖，分別以等邊三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑畫弧，得到的封閉圖形就是等寬曲線（圖中陰影部分），如果AB＝1，那么這個(gè)等寬曲線的周長是．13．（2025?蘇州）如圖，在△ABC中，AC＝3，BC＝2，∠C＝60°，D是線段BC上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)B，C重合），連接AD，以AD為邊，在AD的右側(cè)作等邊三角形ADE，線段DE與線段AC交于點(diǎn)F，則線段CF長度的最大值為．14．（2025?廣安）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，則AD的最小值為．15．（2025?廣安）已知△ABC的面積是1．（1）如圖1，若D，E分別是邊BC和AC的中點(diǎn)，AD與BE相交于點(diǎn)F，則四邊形CDFE的面積為．（2）如圖2，若M，N分別是邊BC和AC上距離C點(diǎn)最近的6等分點(diǎn)，AM與BN相交于點(diǎn)G，則四邊形CMGN的面積為．16．（2025?連云港）如圖，長為3m的梯子靠在墻上，梯子的底端離墻腳線的距離為1.8m，則梯子頂端的高度h為m．17．（2025?南充）如圖，∠AOB＝90°，在射線OB上取一點(diǎn)C，以點(diǎn)O為圓心，OC長為半徑畫?。辉僖渣c(diǎn)C為圓心，OC長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)D，連接并延長CD交射線OA于點(diǎn)E．設(shè)OC＝1，則OE的長是．18．（2025?成都）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2．以點(diǎn)A為圓心，以AB長為半徑作??；再以點(diǎn)C為圓心，以BC長為半徑作弧，兩弧在AC上方交于點(diǎn)D，連接BD，則BD的長為．三．解答題（共2小題）19．（2025?廣東）《九章算術(shù)》是世界上較早給出勾股數(shù)公式的著作，掌握確定勾股數(shù)組的方法對研究直角三角形具有重要意義．若直角三角形的三邊長a，b，c都是正整數(shù)，則a，b，c為一組“勾股數(shù)”．如表中的每一組數(shù)都是勾股數(shù)．3，4，57，24，2511，60，6115，112，11319，180，1814，3，58，15，1712，35，3716，63，6520，21，295，12，139，12，1513，84，8517，144，14521，28，356，8，1010，，2614，48，5018，80，8222，120，122（1）請補(bǔ)全如表中的勾股數(shù)．（2）根據(jù)如表中數(shù)據(jù)規(guī)律，用含字母（均為正整數(shù)）的代數(shù)式分別表示a，b，c，使該組代數(shù)式能表示上表中所有的勾股數(shù)，并證明．（3）某校計(jì)劃在一塊綠地上種花，使之構(gòu)成如圖所示的圖案，該圖案是由四個(gè)全等的直角三角形組成．種花要求：僅在三角形邊上種花，每個(gè)三角形頂點(diǎn)處都種一株花，各邊上相鄰兩株花之間的距離均為1m．如果每個(gè)三角形最短邊都種21株花，那么這塊綠地最少需要種植多少株花？20．（2025?廣西）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，∠ABC＝65°，BC=（1）求證：△BOC≌△DOC；（2）求∠ABD的度數(shù)．

2025年中考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編之三角形（二）參考答案與試題解析一．選擇題（共3小題）題號(hào)123答案DBA一．選擇題（共3小題）1．（2025?臺(tái)灣）如圖是某種螺絲釘上螺紋的示意圖，圖中的虛線皆為水平線或鉛垂線，圖上標(biāo)示出角度，也標(biāo)示出水平線間或鉛垂線間的距離．根據(jù)圖中的標(biāo)示，判斷此種螺絲釘?shù)穆菁y深度是螺紋間距的多少倍？（）A．58 B．516 C．53【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)．【專題】三角形；推理能力．【答案】D【分析】如圖標(biāo)記字母，求出BC，進(jìn)而即可得解．【解答】解：如圖，標(biāo)記字母，過A作AD⊥BC于點(diǎn)D，∵AD＝H，∴BD＝CD=ADsin60°∴螺紋間距為BC=23∵螺紋深度＝H?18H?14∴螺紋深度螺紋間距∴螺紋深度是螺紋間距的53故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2025?臺(tái)灣）如圖，△ADG的頂點(diǎn)G為△ABC的重心，DG與AB相交于E點(diǎn)．若DE：EG＝3：2，AE：EB＝3：4，則△ADG面積為△ABC面積的多少倍？（）A．512 B．514 C．515【考點(diǎn)】三角形的重心；三角形的面積．【專題】三角形；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】B【分析】延長AG交BC于點(diǎn)O，在GO的延長線上取一點(diǎn)H，使OH＝OG，連接CG，BH，CH，BG，設(shè)BG的延長線交AC于點(diǎn)K，證明△GBHC是平行四邊形，則CH∥BK，進(jìn)而得GK是△AHC的中位線，則AG＝GH＝2OG，設(shè)△GOB的面積為a，則△GOC的面積為a，S△GBC＝2a，繼而得S△GACS△GOC=2，S△GABS△GOB=2，則S△GAC＝2a，S△GAB＝2a，S△ABC＝6a，再根據(jù)S△GAES△GBE=AEEB=34得S△GAE=6a7，然后根據(jù)S△DAES△GAE=DEEG=【解答】解：延長AG交BC于點(diǎn)O，在GO的延長線上取一點(diǎn)H，使OH＝OG，連接CG，BH，CH，BG，設(shè)BG的延長線交AC于點(diǎn)K，如圖所示：∵點(diǎn)G為△ABC的重心，∴AO是BC邊上的中線，BK是AC邊上的中線，∴OB＝OC，AK＝CK，又∵OH＝OG，∴△GBHC是平行四邊形，∴CH∥BK，∵AK＝CK，∴GK是△AHC的中位線，∴AG＝GH＝OG+OH＝2OG，設(shè)△GOB的面積為a，∵OB＝OC，∴△GOC的面積為a，∴S△GBC＝2a，根據(jù)等高的兩個(gè)三角形的面積之比等于對應(yīng)底邊的比得：S△GACS△GOC∴S△GAC＝2a，S△GAB＝2a，∴S△ABC＝S△GAC+S△GAB+S△GBC＝6a，又∵S△GAE∴設(shè)S△GAE＝3k，S△GBE＝4k，∴S△GAE+S△GBE＝7k＝2a，∴k=2a∴S△GAE＝3k=6a又∴S△DAE∴S△DAE=32?S△GAE∴S△ADG＝S△GAE+S△DAE=6a∴S△ADG/SS△ADG∴S△ADG=514?S△即△ADG面積為△ABC面積的514故選：B．【點(diǎn)評】此題主要考查了三角形的重心，三角形的面積，熟練掌握三角形的重心，理解等高的兩個(gè)三角形的面積之比等于對應(yīng)底邊的比是解決問題的關(guān)鍵．3．（2025?臺(tái)灣）如圖1為一張五邊形紙片ABCDE，F(xiàn)點(diǎn)在CD上，且以BE、BF、FE為折線將紙片向內(nèi)折至同一平面后，A、C、D恰重疊在同一點(diǎn)P，如圖2所示．若BE＞FE＞BF，則根據(jù)圖2中標(biāo)示的角，判斷下列敘述何者正確？（）A．∠3+∠4＝90°，∠1+∠2＞∠5+∠6 B．∠3+∠4＝90°，∠1+∠2＜∠5+∠6 C．∠3+∠4≠90°，∠1+∠2＞∠5+∠6 D．∠3+∠4≠90°，∠1+∠2＜∠5+∠6【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)．【專題】三角形；推理能力．【答案】A【分析】由折疊易知∠3＝∠BFP，∠4＝∠EFP，再根據(jù)平角定義易求∠3+∠4＝90°；根據(jù)大邊對大角可知∠FBE＞∠BEF，據(jù)此即可得解．【解答】解：由折疊可知，∠3＝∠BFP，∠4＝∠EFP，∵∠3+∠BFP+∠4+∠EFP＝180°，∴2（∠3+∠4）＝180°，∴∠3+∠4＝90°；∵FE＞BF，∴在△BFE中，∠FBE＞∠BEF，根據(jù)折疊可知，∠FBE＝∠1+∠2，∠BEF＝∠5+∠6，∴∠1+∠2＞∠5+∠6；故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、折疊的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共15小題）4．（2025?齊齊哈爾）利用幾何圖形的變化可以制作出形態(tài)各異的圖案．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），以O(shè)A為邊作Rt△OAA1，使∠OAA1＝90°，∠AOA1＝30°，再以O(shè)A1為邊作Rt△OA1A2，使∠OA1A2＝90°，∠A1OA2＝30°，過點(diǎn)A，A1，A2作弧AA2，記作第1條弧；以O(shè)A2為邊作Rt△OA2A3，使∠OA2A3＝90°，∠A2OA3＝30°，再以O(shè)A3為邊作Rt△OA3A4，使∠OA3A4＝90°，∠A3OA4＝30°，過點(diǎn)A2，A3，A4作弧A2A4，記作第2條弧??按此規(guī)律，第2025條弧上與原點(diǎn)O【考點(diǎn)】直角三角形的性質(zhì)；規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)．【專題】規(guī)律型；推理能力．【答案】(?2【分析】分別求出OA1=OAcos30°=232=2×23，OA2=OA1cos30°=2×23×23=2×(23)2，OA【解答】解：根據(jù)題意可知：OA＝2，OAOAOA…，OA∵點(diǎn)A，A1，A2作弧AA點(diǎn)A2，A3，A4作弧A2…，∴A4048∴第2025條弧上與原點(diǎn)O的距離最小的點(diǎn)為A4048，∴OA∵∠AOA1＝30°，∠A1OA2＝30°，∠A2OA3＝30°，∠A3OA4＝30°，…，∴12次操作循環(huán)一周，∵4048÷12＝337…4，∴∠AOA4048＝120°，過點(diǎn)A4048作A4048M⊥x軸于點(diǎn)M，如圖所示：∴∠MOA4048＝180°﹣120°＝60°，∴OM=OA4048×cos60°=∴A4048∴第2025條弧上與原點(diǎn)O的距離最小的點(diǎn)的坐標(biāo)為(?2故答案為：(?2【點(diǎn)評】本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律探索，解直角三角形的相關(guān)計(jì)算，根據(jù)題意找出一般規(guī)律是解題的關(guān)鍵．5．（2025?綏化）在邊長為7的等邊三角形ABC中，點(diǎn)D在AB上，BD＝2．點(diǎn)M是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MD，以MD為邊在MD的左側(cè)作等邊三角形MND，連接BN．當(dāng)△BND為直角三角形時(shí)，則CM的長是6或8或9．【考點(diǎn)】三角形綜合題．【專題】幾何綜合題；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】6或8或9．【分析】過點(diǎn)D作DE∥|BC交BC于點(diǎn)E，分類討論，逐個(gè)分析，即可解答．【解答】解：過點(diǎn)D作DE∥BC交BC于點(diǎn)E，①當(dāng)∠DBN＝90°時(shí)，如圖（1），∵△BAC，△DMN是等邊三角形，∠DBN＝90°，∴∠ABC＝∠DEB＝∠MDN＝∠BDE＝60°，DM＝DN，即△DBE是等邊三角形，∴BD＝DE＝BE＝2，∠NBE＝∠DBN﹣∠DBE＝30°，∠EDN+∠NDB＝∠NDB+∠MDB＝60°，∴∠EDN＝∠BDM，∴△DEN≌△DBM（SAS），∴∠DEN＝∠DBM＝180°﹣60°＝120°，BM＝NE，∴∠BEN＝∠DEN﹣∠DEB＝60°，∴∠BNE＝90°，∴NE=1即BM＝1，∴MC＝BC+BM＝7+1＝8．②當(dāng)∠BDN＝90°時(shí)，如圖（2）同理可得△DEN≌△DBM，∠NDE＝∠BDN﹣∠BDE＝90°﹣60°＝30°，∴∠NED＝∠MBD＝60°，即∠DMB＝∠DNE＝90°，∴BM=BDcos60°=2×1∴CM＝BC﹣BM＝6．③當(dāng)∠BND＝90°時(shí)，如圖（3）同理可證△DBN≌△DEM，DE＝BD＝2，∠DEM＝60°，∴∠DME＝∠DNB＝90°，∴ME=DEcos60°=2×1∴CM＝BC﹣BM＝6．④當(dāng)∠BDN＝90°時(shí)，如圖（4）同理可證△DBN≌△DME，DE＝BD＝BE＝2，∠DEM＝60°，∴∠MDE＝∠NDB＝90°，BE＝BC﹣BE＝5，∴ME=DE∴CM＝ME+BE＝9．綜上所述，CM的長是6或8或9．故答案為：6或8或9．【點(diǎn)評】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，含30°角的直角三角形，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．6．（2025?河南）定義：有兩個(gè)內(nèi)角的差為90°的三角形叫做“反直角三角形”．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，點(diǎn)P為邊BC上一點(diǎn)，若△APC為“反直角三角形”，則BP的長為254或112【考點(diǎn)】勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】多解填空題；三角形．【答案】254或11【分析】分情況討論：①當(dāng)∠APC﹣∠C＝90°時(shí)，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，由等腰三角形的性質(zhì)得到BD＝CD＝4，證明△ADB∽△PAB，得到ABBP=BD②當(dāng)∠APC﹣∠CAP＝90°時(shí)，過點(diǎn)P作PM⊥BC交AC于點(diǎn)M，由等角對等邊得到AM＝PM，再證明△CMP∽△CAD，設(shè)CP＝x，進(jìn)而得出PM=34x，CM=54x，根據(jù)AC＝AM+CM＝PM+CM③當(dāng)∠CAP＝∠C+90°時(shí)，利用銳角三角函數(shù)，得出∠C＞30°，∠BAC＜120°，即此種情況不存在；④當(dāng)∠CAP＝∠APC+90°時(shí)，同③理可證，此種情況不存在；即可得解．【解答】解：∵AB＝AC＝5，∴∠B＝∠C，∵∠APC＝∠B+∠BAP，∴∠APC＞∠B，∴∠APC＞∠C，若△APC為“反直角三角形”，①當(dāng)∠APC﹣∠C＝90°時(shí)，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，∵AB＝AC＝5，BC＝8，∴BD=CD=1∴AD=A∵∠B＝∠C，∴∠APC﹣∠B＝∠BAP＝90°，∵∠B＝∠B，∠ADB＝∠PAB＝90°，∴△ADB∽△PAB，∴ABBP∴5BP∴BP=25②當(dāng)∠APC﹣∠CAP＝90°時(shí)，過點(diǎn)P作PM⊥BC交AC于點(diǎn)M，∴∠APC﹣∠APM＝∠CPM＝90°，∴∠CAP＝∠APM，∴AM＝PM，∵PM⊥BC，AD⊥BC，∴PM∥AD，∴△CMP∽△CAD，∴CPCD設(shè)CP＝x，則BP＝8﹣x，∴x4∴PM=34x，∴AC＝AM+CM＝PM+CM=3∴x=5∴BP=8?5③當(dāng)∠CAP＝∠C+90°時(shí)，∵sin∠C=ADCC=35∴∠C＞30°，∴∠BAC＜120°，若∠CAP＝∠C+90°，則∠CAP＞120°，即∠CAP＞∠BAC，∴此種情況不存在，④當(dāng)∠CAP＝∠APC+90°時(shí)，∵當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，∠APC最小，此時(shí)∠APC＝∠B＞30°，同③理可證，此種情況不存在；綜上可知，BP的長為254或11故答案為：254或11【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，理解“反直角三角形”的定義，利用分類討論的思想解決問題是關(guān)鍵．7．（2025?湖南）已知，a，b，c是△ABC的三條邊長，記t=(ac)（1）若三角形為等邊三角形，則t＝2；（2）下列結(jié)論正確的是①②．（寫出所有正確的結(jié)論）①若k＝2，t＝1，則△ABC為直角三角形；②若k=1，a=12b+2，c=1③若k=1，t≤53，a，b，c為三個(gè)連續(xù)整數(shù)，且a＜b＜c，則滿足條件的△【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理；三角形三邊關(guān)系；等邊三角形的性質(zhì)．【專題】多解填空題；推理能力．【答案】（1）2；（2）①②．【分析】（1）由定義直接判斷求解即可；（2）依據(jù)每一選項(xiàng)逐一代入求解判斷即可．【解答】解：（1）由題可知t＝1k+1k＝1+1＝2，故答案為：2；（2）①當(dāng)k＝2，t＝1時(shí)，則1=(ac)2+(bc)2=∴三角形為直角三角形，故①正確，符合題意；②當(dāng)k＝1，a=12則t=a1°當(dāng)a＞b時(shí)，a﹣b＜c，即12解得：b＞2；2°當(dāng)a＜b時(shí)，b﹣a＜c，即b?1解得：b＜6．綜上，2＜b＜6．當(dāng)b＝2時(shí)，t=3當(dāng)b＝6時(shí)，t=3∴5＜t＜11，故②正確，符合題意；③t=a∴a+b≤5又a+b＞c，∴c＜a+b≤5不妨設(shè)a＝n，則b＝n+1，c＝n+2，∴n+2＜2n+1≤5解得：1＜n≤7，∴n可取2，3，4，5，6，7，對應(yīng)的t值分別為：54故③錯(cuò)誤，不符合題意．故答案為：①②．【點(diǎn)評】本題主要考查了新定義題型，涉及勾股定理逆定理、三角形三邊關(guān)系、等邊三角形的性質(zhì)等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．8．（2025?福建）某房梁如圖所示，立柱AD⊥BC，E，F(xiàn)分別是斜梁AB，AC的中點(diǎn)．若AB＝AC＝8m，則DE的長為4m．【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】4．【分析】由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，即可計(jì)算．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵E是AB的中點(diǎn)，∴DE=12AB=1故答案為：4．【點(diǎn)評】本題考查直角三角形斜邊的中線，關(guān)鍵是掌握直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半．9．（2025?德陽）△ABC在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（1，0），B（3，0），如果△ABC的面積為1，那么點(diǎn)C的坐標(biāo)可以是（2，1）（答案不唯一，縱坐標(biāo)絕對值為1即可）．（只需寫出一個(gè)即可）【考點(diǎn)】三角形的面積；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【專題】平面直角坐標(biāo)系；三角形．【答案】（2，1）．（答案不唯一，縱坐標(biāo)絕對值為1即可）【分析】由A（1，0），B（3，0），得AB＝2，又因?yàn)椤鰽BC的面積為1，可得|yC|＝1，所以yC＝±1從而求解．【解答】解：∵A（1，0），B（3，0），∴AB＝2，∵△ABC的面積為1，∴12∴|yC|＝1，∴yC＝±1，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)可以是（2，1），故答案為：（2，1）．（答案不唯一，縱坐標(biāo)絕對值為1即可）【點(diǎn)評】本題考查了平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的位置，三角形面積公式，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．10．（2025?揚(yáng)州）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段DE的延長線上，且∠BFC＝90°．若AC＝4，BC＝8，則DF的長是6．【考點(diǎn)】三角形中位線定理；勾股定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】6．【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出DE，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)求出FE，進(jìn)而求出DF．【解答】解：∵點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE=12AC在Rt△BFC中，E是斜邊BC的中點(diǎn)，BC＝8，則FE=12BC∴DF＝DE+FE＝2+4＝6，故答案為：6．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，熟記三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．11．（2025?揚(yáng)州）清代揚(yáng)州數(shù)學(xué)家羅士琳癡迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股數(shù)的“羅士琳法則”．法則的提出，不僅簡化了勾股數(shù)的生成過程，也體現(xiàn)了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在數(shù)論領(lǐng)域的貢獻(xiàn)．由此法則寫出了下列幾組勾股數(shù)：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；??根據(jù)上述規(guī)律，寫出第⑤組勾股數(shù)為11，60，61．．【考點(diǎn)】勾股數(shù)．【專題】規(guī)律型；等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力．【答案】11，60，61．【分析】通過觀察，得出規(guī)律：這類勾股數(shù)分別為2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，由此可寫出第⑤組勾股數(shù)．【解答】解：通過觀察得：第①組勾股數(shù)分別為：2×1+1＝3，2×12+2×1＝4，2×12+2×1+1＝5；第②組勾股數(shù)分別為：2×2+1＝5，2×22+2×2＝12，2×22+2×2+1＝13；第③組勾股數(shù)分別為：2×3+1＝7，2×32+2×3＝24，2×32+2×3+1＝25；第④組勾股數(shù)為：2×4+1＝9，2×42+2×4＝40，2×42+2×4+1＝41；所以第⑤組勾股數(shù)為：2×5+1＝11，2×52+2×5＝60，2×52+2×5+1＝61．故答案為：11，60，61．【點(diǎn)評】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是勾股數(shù)，此題屬規(guī)律性題目，關(guān)鍵是通過觀察找出規(guī)律求解．12．（2025?德陽）等寬曲線是指在任何方向上的直徑都相等的一種幾何圖形，它在我們的日常生活中應(yīng)用比較廣泛，例如可以利用等寬曲線設(shè)計(jì)自行車的車輪等．如圖，分別以等邊三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑畫弧，得到的封閉圖形就是等寬曲線（圖中陰影部分），如果AB＝1，那么這個(gè)等寬曲線的周長是π．【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；弧長．【專題】等腰三角形與直角三角形；與圓有關(guān)的計(jì)算；幾何直觀；運(yùn)算能力．【答案】π．【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得AB＝BC＝AC＝1，∠A＝∠B＝∠C＝60°，進(jìn)而可根據(jù)弧長公式分別求出弧BC的長為π3，弧AB的長為π3，弧AC的長為【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，且AB＝1，∴AB＝BC＝AC＝1，∠A＝∠B＝∠C＝60°，依題意得：弧BC的圓心為A，半徑為AB＝1，∴弧BC的長為：60π×1180同理：弧AB的長為π3，弧AC的長為π∴這個(gè)等寬曲線的周長是：π3+故答案為：π．【點(diǎn)評】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，弧長的計(jì)算，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，弧長的計(jì)算公式是解決問題的關(guān)鍵．13．（2025?蘇州）如圖，在△ABC中，AC＝3，BC＝2，∠C＝60°，D是線段BC上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)B，C重合），連接AD，以AD為邊，在AD的右側(cè)作等邊三角形ADE，線段DE與線段AC交于點(diǎn)F，則線段CF長度的最大值為34【考點(diǎn)】勾股定理；等邊三角形的性質(zhì)．【專題】三角形．【答案】34【分析】過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，解Rt△AHC得到AH=332，證明△DAC∽△FAD，可得AF=AD2AC=AD23，根據(jù)CF＝AC﹣AF可知，當(dāng)AF有最小值時(shí)，CF有最大值，當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD有最小值，即AF有最小值，此時(shí)點(diǎn)【解答】解：如圖所示，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，在Rt△AHC中，∠C＝60°，∠AHC＝90°，AC＝3，∴AH＝AC?sinC=3∵△ADE是等邊三角形，∴∠ADE＝60°＝∠C，又∵∠DAC＝∠FAD，∴△DAC∽△FAD，∴AFAD∴AF=A∵CF＝AC﹣AF，∴當(dāng)AF有最小值時(shí)，CF有最大值，∴當(dāng)AD有最小值時(shí)，AF有最小值，∴當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD有最小值，即AF有最小值，此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)H重合，∴AD的最小值為33∴AF的最小值為(3∴CF的最大值為3?9故答案為：34【點(diǎn)評】本題主要考查了解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，垂線段最短，掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2025?廣安）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，則AD的最小值為22【考點(diǎn)】等腰直角三角形．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】22．【分析】過A作AH⊥BC于H，判定△ABH是等腰直角三角形，求出AH=22AB＝22，由AD≥AH，即可得到【解答】解：過A作AH⊥BC于H，∴∠AHB＝90°，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝45°，∴△ABH是等腰直角三角形，∴AH=22AB=2∵AD≥AH，∴AD的最小值為22．故答案為：22．【點(diǎn)評】本題考查等腰直角三角形，關(guān)鍵是判定△ABH是等腰直角三角形．15．（2025?廣安）已知△ABC的面積是1．（1）如圖1，若D，E分別是邊BC和AC的中點(diǎn)，AD與BE相交于點(diǎn)F，則四邊形CDFE的面積為13（2）如圖2，若M，N分別是邊BC和AC上距離C點(diǎn)最近的6等分點(diǎn)，AM與BN相交于點(diǎn)G，則四邊形CMGN的面積為121【考點(diǎn)】三角形中位線定理；三角形的面積．【專題】三角形；推理能力．【答案】（1）13（2）121【分析】（1）連接DE，可證明DE是△ABC的中位線，得到DE∥AB，DE=12AB，證明△CDE∽△CBA，可得S△CDES△CBA=(DEAB)2=14，則（2）連接MN，證明△CMN∽△CBA，得到S△CMNS△ABC=(CMBC)2=136，MNAB=CMBC=16，∠CMN＝∠CBA，則可證明MN∥【解答】解：（1）如圖所示，連接DE，∵D，E分別是邊BC和AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥AB，DE=1∴△CDE∽△CBA，∴S△CDE∵△ABC的面積是1，∴S△CDE∵D是BC的中點(diǎn)，∴S△BDE∵DE∥AB，∴△DEF∽△ABF，∴EFBF∴BF＝2EF，∴BE＝BF+EF＝3EF，∴S△DEF∴S△DEF∴S四邊形CDFE故答案為：13（2）如圖所示，連接MN，∵M(jìn)，N分別是邊BC和AC上距離C點(diǎn)最近的6等分點(diǎn)，∴CM=1∴CMCB又∵∠C＝∠C，∴△CMN∽△CBA，∴S△CMNS△ABC=(CM∴MN∥AB；∵△ABC的面積是1，∴S△CMN∵M(jìn)是BC靠近點(diǎn)C的六等分點(diǎn)，∴BMCM∴S△BMN∴S△BMN∵M(jìn)N∥AB，∴△MNG∽△ABG，∴NGBG∴BG＝6NG，∴BN＝BG+NG＝7NG，∴S△MNG∴S四邊形CMGN故答案為：121【點(diǎn)評】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．16．（2025?連云港）如圖，長為3m的梯子靠在墻上，梯子的底端離墻腳線的距離為1.8m，則梯子頂端的高度h為2.4m．【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用．【專題】三角形．【答案】2.4．【分析】根據(jù)長為3m的梯子靠在墻上，梯子的底端離墻腳線的距離為1.8m，進(jìn)行列式計(jì)算，即可作答．【解答】解：∵長為3m的梯子靠在墻上，梯子的底端離墻腳線的距離為1.8m，∴?=3故答案為：2.4．【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵，注意正確計(jì)算．17．（2025?南充）如圖，∠AOB＝90°，在射線OB上取一點(diǎn)C，以點(diǎn)O為圓心，OC長為半徑畫??；再以點(diǎn)C為圓心，OC長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)D，連接并延長CD交射線OA于點(diǎn)E．設(shè)OC＝1，則OE的長是3．【考點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．【專題】三角形．【答案】3．【分析】先確定△OCD是等邊三角形，則∠OCD＝60°，再解直角三角形即可求解．【解答】解：連OD，由作圖可得OD＝OD＝CD，∴△OCD是等邊三角形，∴∠OCD＝60°，∴OE=OC×tanC=3故答案為：3．【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．18．（2025?成都）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2．以點(diǎn)A為圓心，以AB長為半徑作??；再以點(diǎn)C為圓心，以BC長為半徑作弧，兩弧在AC上方交于點(diǎn)D，連接BD，則BD的長為455【考點(diǎn)】勾股定理；作圖—基本作圖；三角形的面積；線段垂直平分線的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；三角形；等腰三角形與直角三角形；尺規(guī)作圖；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】45【分析】連接AD、CD，由作圖可知，AD＝AB，CD＝CB，則AC垂直平分BD，即AC⊥BD，OB＝OD，再由勾股定理求出AC=5，然后由三角形面積求出OB【解答】解：如圖，連接AD、CD，由作圖可知，AD＝AB，CD＝CB，∴AC垂直平分BD，即AC⊥BD，OB＝OD，∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，∴AC=A∵S△ABC=12AC?OB=12∴OB=AB?BC∴BD＝2OB=4故答案為：45【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)、作圖—基本作圖以及三角形面積等知識(shí)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共2小題）19．（2025?廣東）《九章算術(shù)》是世界上較早給出勾股數(shù)公式的著作，掌握確定勾股數(shù)組的方法對研究直角三角形具有重要意義．若直角三角形的三邊長a，b，c都是正整數(shù)，則a，b，c為一組“勾股數(shù)”．如表中的每一組數(shù)都是勾股數(shù)．3，4，57，24，2511，60，6115，112，11319，180，1814，3，58，15，1712，35，3716，63，6520，21，295，12，139，12，1513，84，8517，144，14521，28，356，8，1010，24，2614，48，5018，80，8222，120，122（1）請補(bǔ)全如表中的勾股數(shù)．（2）根據(jù)如表中數(shù)據(jù)規(guī)律，用含字母（均為正整數(shù)）的代數(shù)式分別表示a，b，c，使該組代數(shù)式能表示上表中所有的勾股數(shù)，并證明．（3）某校計(jì)劃在一塊綠地上種花，使之構(gòu)成如圖所示的圖案，該圖案是由四個(gè)全等的直角三角形組成．種花要求：僅在三角形邊上種花，每個(gè)三角形頂點(diǎn)處都種一株花，各邊上相鄰兩株花之間的距離均為1m．如果每個(gè)三角形最短邊都種21株花，那么這塊綠地最少需要種植多少株花？【考點(diǎn)】直角三角形全等的判定；勾股數(shù)．【專題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）24；（2）令a＝mn，其中，m，n均為正整數(shù)，則b=m2（n2﹣1），c=m2（3）這塊綠地最少需要種植280株花．【分析】（1）先由表中勾股數(shù)規(guī)律，令a＝10，b，c＝26，由勾股數(shù)定義列方程求解即可得到答案；（2）由表中數(shù)據(jù)，分別用代數(shù)式表示出a，b，c，再由整式混合運(yùn)算求證即可得到答案；（3）確定直角三角形最短邊長度：已知每個(gè)三角形最短邊都種21株花，因?yàn)楦鬟吷舷噜弮芍昊ㄖg的距離均為1m，且頂點(diǎn)處都種一株花，所以每個(gè)直角三角形最短邊長為21﹣1＝20米，找出直角三角形三邊長度：查題干中的表可知，當(dāng)最短邊為20米時(shí)，直角三角形的三邊長分別為20米，21米，29米，由于該圖案是由四個(gè)全等的直角三角形組成，下面只需要解決其中一個(gè)直角三角形的種植情況即可，如圖所示，結(jié)合（2）中得到的規(guī)律，分析出一個(gè)直角三角形種植花數(shù)量即可得到答案．【解答】解：（1）由表中勾股數(shù)的規(guī)律可知，令a＝10，b，c＝26，則由勾股數(shù)定義可知a2+b2＝c2，即102+b2＝262，∴b2＝262﹣102＝（26+10）（26﹣10）＝36×16，解得b＝24或b＝﹣24（舍去）；故答案為：24；（2）令a＝mn，其中，m，n均為正整數(shù)，則b=m2（n2﹣1），c=m2證明如下：∵a2＝m2n2，∴c2﹣b2=m24[（n2+1）2﹣（n2=m24[（n2+1）+（n2﹣1）][（n2+1）﹣（=m24×2n2×2＝（mn）2（3）查表可以知道他的最短是202129這個(gè)勾股數(shù)，一個(gè)直角三角形三條邊的長度之和為20+21+29＝70米，因?yàn)閳D案是由四個(gè)全等的直角三角形組成，所以需要種花70×4＝280株．【點(diǎn)評】本題考查勾股定理、整式加減乘法混合運(yùn)算、平方差公式等知識(shí)，觀察分析所給表中勾股數(shù)，分類找準(zhǔn)規(guī)律并靈活運(yùn)算解決實(shí)際問題是關(guān)鍵．20．（2025?廣西）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，∠ABC＝65°，BC=（1）求證：△BOC≌△DOC；（2）求∠ABD的度數(shù)．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）證明過程見解答；（2）40°．【分析】（1）根據(jù)已知易得：∠BOC＝∠DOC，然后利用SAS證明△BOC≌△DOC，即可解答；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠OCB＝65°，再利用三角形內(nèi)角和定理可得∠COB＝50°，然后利用（1）的結(jié)論可得∠DOC＝∠BOC＝50°，從而利用平角定義可得∠AOD＝80°，最后利用圓周角定理進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】（1）證明：∵BC=∴∠BOC＝∠DOC，∵OC＝OC，OD＝OB，∴△BOC≌△DOC（SAS）；（2）解：∵OC＝OB，∴∠ABC＝∠OCB＝65°，∴∠COB＝180°﹣∠ABC﹣∠OCB＝50°，∴∠DOC＝∠BOC＝50°，∴∠AOD＝180°﹣∠DOC﹣∠BOC＝80°，∴∠ABD=12∠【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐標(biāo)系和點(diǎn)坐標(biāo)的意義（2）探索各個(gè)象限的點(diǎn)和坐標(biāo)軸上的點(diǎn)其坐標(biāo)符號(hào)規(guī)律（3）探索關(guān)于平面直角坐標(biāo)系中有關(guān)對稱，平移等變化的點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律．2．重點(diǎn)：探索各個(gè)象限的點(diǎn)和坐標(biāo)軸上的點(diǎn)其坐標(biāo)符號(hào)規(guī)律3．難點(diǎn)：探索關(guān)于平面直角坐標(biāo)系中有關(guān)對稱，平移等變化的點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律．2．坐標(biāo)與圖形性質(zhì)1、點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離與這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個(gè)方面：①到x軸的距離與縱坐標(biāo)有關(guān)，到y(tǒng)軸的距離與橫坐標(biāo)有關(guān)；②距離都是非負(fù)數(shù)，而坐標(biāo)可以是負(fù)數(shù)，在由距離求坐標(biāo)時(shí)，需要加上恰當(dāng)?shù)姆?hào)．2、有圖形中一些點(diǎn)的坐標(biāo)求面積時(shí)，過已知點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，然后求出相關(guān)的線段長，是解決這類問題的基本方法和規(guī)律．3、若坐標(biāo)系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標(biāo)軸的輔助線用“割、補(bǔ)”法去解決問題．3．三角形的面積（1）三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即S△=1（2）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．4．三角形的重心（1）三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)．（2）重心的性質(zhì)：①重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2：1．②重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等．③重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的和最小．（等邊三角形）5．三角形三邊關(guān)系（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．（2）在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時(shí)并不一定要列出三個(gè)不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形．（3）三角形的兩邊差小于第三邊．（4）在涉及三角形的邊長或周長的計(jì)算時(shí)，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗(yàn)，這是一個(gè)隱藏的定時(shí)炸彈，容易忽略．6．三角形內(nèi)角和定理（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大于0°且小于180°．（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．（3）三角形內(nèi)角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個(gè)內(nèi)角移到一起，組合成一個(gè)平角．在轉(zhuǎn)化中借助平行線．（4）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個(gè)角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個(gè)角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．7．三角形的外角性質(zhì)（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六個(gè)外角，其中有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)相等，因此共有三對．（2）三角形的外角性質(zhì)：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．③三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角．（3）若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中去．（4）探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開始，觀察它是哪個(gè)三角形的外角．8．直角三角形全等的判定1、斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都適合它，同時(shí)，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作為“HL”公理就是直角三角形獨(dú)有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時(shí)應(yīng)該抓住“直角”這個(gè)隱含的已知條件．9．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．10．線段垂直平分線的性質(zhì)（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”．（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．11．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論．12．等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個(gè)三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對而言的．（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸．13．等邊三角形的判定與性質(zhì)（1）等邊三角形是一個(gè)非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時(shí)要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用．（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點(diǎn)可以把等邊三角形分成四個(gè)全等的小等邊三角形等．（3）等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時(shí)要抓住已知條件的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，一般地，若從一般三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個(gè)角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個(gè)60°的角判定．14．直角三角形的性質(zhì)（1）有一個(gè)角為90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性質(zhì)：性質(zhì)1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）．性質(zhì)2：在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余．性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）性質(zhì)4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積．性質(zhì)5：在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°．15．直角三角形斜邊上的中線（1）性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）（2）定理：一個(gè)三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形．該定理可以用來判定直角三角形．16．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2?b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．17．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．說明：①勾股定理的逆定理驗(yàn)證利用了三角形的全等．②勾股