第42頁（共42頁）2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之空間向量的應(yīng)用（2025年7月）一．選擇題（共8小題）1．（2025?黃岡校級(jí)模擬）在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，頂點(diǎn)S在底面內(nèi)的射影O在正方形ABCD的內(nèi)部（不在邊上），且SO＝λa，λ為常數(shù)，設(shè)側(cè)面SAB，SBC，SCD，SDA與底面ABCD所成的二面角依次為α1，α2，α3，α4，則下列各式為常數(shù)的是①cotα1+cotα2②cotα1+cotα3③cotα2+cotα3④cotα2+cotα4（）A．①② B．②④ C．②③ D．③④2．（2025春?江西月考）若直線l的一個(gè)方向向量為e→=(1，1，0)，平面α的一個(gè)法向量為A．π6 B．π4 C．π6或5π6 3．（2025春?楊浦區(qū)校級(jí)月考）在空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中，已知點(diǎn)A（﹣1，0，0）、B（0，0，1）、C（1，1，1），則下列向量可以作為平面ABC的一個(gè)法向量的是（）A．（﹣1，1，﹣1） B．（﹣1，1，1） C．（1，1，﹣1） D．（﹣1，﹣1，1）4．（2025春?廣安區(qū)校級(jí)期中）若l∥α，且m→=(2，2t，1)為直線lA．8 B．﹣8 C．﹣6 D．﹣45．（2025?豐臺(tái)區(qū)模擬）如圖，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱長(zhǎng)都為2，E、F分別為AB、A1C1的中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)是（）A．2 B．3 C．5 D．76．（2025?雨花區(qū)校級(jí)模擬）經(jīng)過兩條直線l1：x+y＝2，l2：2x﹣y＝1的交點(diǎn)，且直線的一個(gè)方向向量v→=(-6A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y﹣3＝0 C．3x﹣2y﹣5＝0 D．2x+3y﹣5＝07．（2025春?長(zhǎng)沙月考）已知空間向量a→=（1，n，2），b→=（﹣3，1，3），若a→與bA．6 B．14 C．19 D．148．（2025?江蘇模擬）已知α，β為平面，a，b為直線，下列說法正確的是（）A．若直線a，b與平面α所成角相等，則a∥b B．若a，b?α，且a∥β，b∥β，則α∥β C．若α⊥β，α∩β＝l，a?α，b?β，若a，b均不垂直于l，則a，b不垂直 D．若α⊥β，a?α，b?β，b⊥a，則b∥β二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?山西模擬）如圖，在圓柱O1O2中，軸截面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，M是以AO2為直徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)A，O2），AM與圓柱的底面圓交于點(diǎn)N，則（）A．MO2∥平面NBO1 B．直線NB與直線AO1有可能垂直 C．當(dāng)N為AB的中點(diǎn)時(shí)，二面角O1﹣AN﹣B的余弦值為13D．三棱錐M﹣AO1O2的外接球的體積為5（多選）10．（2025春?余江區(qū)校級(jí)期末）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中ABCD﹣A1B1C1D1，E為線段CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段A1B上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有（）A．過A，D1，E三點(diǎn)的平面截正方體ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面的面積為92B．存在點(diǎn)F，使得平面EF∥平面AD1C C．當(dāng)F在線段A1B上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐C﹣AFD1的體積不變 D．FA+FC的最小值為2（多選）11．（2025春?薌城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC=π2，AB=PA=A．直線AM與BC所成的角為π4B．|DMC．直線AM與平面ADP所成角的余弦值為63D．點(diǎn)M到平面ADP的距離為2（多選）12．（2025春?金昌校級(jí)月考）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)A（1，1，1），B（3，2，0），則下列命題是真命題的是（）A．n→=(2，1B．若平面α的一個(gè)法向量是m→=(1，2，C．若平面β的一個(gè)法向量是v→=(-1，1，-1)，且lD．若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OC→+2OD→=(7，5，1)三．填空題（共4小題）13．（2025春?商丘期末）已知平面α的法向量為m→=(2，3，5)，直線l在平面α外，且方向向量n→=(1，1，14．（2025春?泰州期末）若向量a→=(1，2，3)與b→=(1，15．（2024秋?上海校級(jí)期末）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1，二面角A﹣BD﹣A1的大小為16．（2025春?楊浦區(qū)月考）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”．如圖，在塹堵ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1，則二面角C1﹣AB﹣A1的大小為．四．解答題（共4小題）17．（2025春?楊浦區(qū)校級(jí)期末）如圖．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC1的中點(diǎn)．（1）求證：直線DE與BC是異面直線；（2）求直線DE與平面ABCD所成角的大?。?8．（2025?安順模擬）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，平面ABCD⊥平面ADP，BC∥AD，（1）E為PD上一點(diǎn)，DE→=mDP→（2）平面ABP與平面DCP的交線為l，求l與平面BCP所成角的正弦值．19．（2025春?寶山區(qū)校級(jí)期末）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是D1D，BD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱CD上，且CG=14CD，H為C1（1）求證：EF⊥B1C；（2）求EF與C1G所成角的余弦值；（3）求FH的長(zhǎng)．20．（2024秋?市中區(qū)期末）已知點(diǎn)A（0，1，﹣1），B（2，2，1），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量a→（1）求向量b→同向的單位向量b（2）若(ka→

2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之空間向量的應(yīng)用（2025年7月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號(hào)12345678答案BABDCDBC二．多選題（共4小題）題號(hào)9101112答案ACDACDADACD一．選擇題（共8小題）1．（2025?黃岡校級(jí)模擬）在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，頂點(diǎn)S在底面內(nèi)的射影O在正方形ABCD的內(nèi)部（不在邊上），且SO＝λa，λ為常數(shù)，設(shè)側(cè)面SAB，SBC，SCD，SDA與底面ABCD所成的二面角依次為α1，α2，α3，α4，則下列各式為常數(shù)的是①cotα1+cotα2②cotα1+cotα3③cotα2+cotα3④cotα2+cotα4（）A．①② B．②④ C．②③ D．③④【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【答案】B【分析】過O點(diǎn)作MN⊥BC，根據(jù)二面角的定義易得∠SMO即為側(cè)面SBC與底面ABCD所成的二面角，∠SNO即為側(cè)面SDA與底面ABCD所成的二面角，根據(jù)余切函數(shù)的定義及SO＝λa，λ為常數(shù)，易得到答案．【解答】解：過O點(diǎn)作MN⊥BC，則BC⊥AD則OM，ON分別為BM，BN在底面ABCD上的射影則∠SMO即為側(cè)面SBC與底面ABCD所成的二面角，∠SNO即為側(cè)面SDA與底面ABCD所成的二面角，∴∠SMO＝α1，∠SNO＝α3，故cotα1=OMOS，cotα則cotα1+cotα3=即cotα1+cotα3為定值同理可得cotα2+cotα4為定值故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題以余切函數(shù)的定義為載體考查了二面角的定義，其中根據(jù)二面角的定義求出二面角的平面角是解答的關(guān)鍵．2．（2025春?江西月考）若直線l的一個(gè)方向向量為e→=(1，1，0)，平面α的一個(gè)法向量為A．π6 B．π4 C．π6或5π6 【考點(diǎn)】空間向量法求解直線與平面所成的角．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】求出方向向量和法向量夾角余弦值絕對(duì)值后，可得直線l與平面α所成的角的正弦，進(jìn)而可得解．【解答】解：設(shè)直線l與平面α所成的角為θ，因?yàn)橹本€l的一個(gè)方向向量為e→=(1，1，則sinθ=|因?yàn)棣取?0，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．（2025春?楊浦區(qū)校級(jí)月考）在空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中，已知點(diǎn)A（﹣1，0，0）、B（0，0，1）、C（1，1，1），則下列向量可以作為平面ABC的一個(gè)法向量的是（）A．（﹣1，1，﹣1） B．（﹣1，1，1） C．（1，1，﹣1） D．（﹣1，﹣1，1）【考點(diǎn)】平面的法向量．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】先求出AB→和AC→，然后求出平面【解答】解：根據(jù)題意，A（﹣1，0，0），B（0，0，1），C（1，1，1），則AB→=(1，設(shè)平面ABC的法向量為m→則AB→?m→=x+z=0AC→?m故m→依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，對(duì)于向量（﹣1，1，﹣1），因?yàn)?11=1-1≠-對(duì)于B，對(duì)于向量（﹣1，1，1），因?yàn)?11=1-1=對(duì)于C，對(duì)于向量（1，1，﹣1），因?yàn)?1≠1-1≠-1對(duì)于D，對(duì)于向量（﹣1，﹣1，1），因?yàn)?11≠-1-1≠故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面法向量的計(jì)算，涉及平面向量的坐標(biāo)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．4．（2025春?廣安區(qū)校級(jí)期中）若l∥α，且m→=(2，2t，1)為直線lA．8 B．﹣8 C．﹣6 D．﹣4【考點(diǎn)】空間向量語言表述線面的垂直、平行關(guān)系；空間直線的方向向量、空間直線的向量參數(shù)方程；平面的法向量．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)題意，分析可得m→?n→=2+t+2【解答】解：根據(jù)題意，若l∥α，必有m→⊥n則有m→?n→=2+t+2＝0，解可得t故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面法向量的定義和應(yīng)用，涉及直線與平面平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．5．（2025?豐臺(tái)區(qū)模擬）如圖，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱長(zhǎng)都為2，E、F分別為AB、A1C1的中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)是（）A．2 B．3 C．5 D．7【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．【專題】空間位置關(guān)系與距離．【答案】C【分析】由已知中正三棱柱ABC﹣A1B1C1（底面是正三角形的直棱柱為正三棱柱）的每條棱長(zhǎng)均為2，E、F分別是BC、A1C1的中點(diǎn)，我們可以建立空間坐標(biāo)系，求出E，F(xiàn)兩點(diǎn)的坐標(biāo)后，代入空間兩點(diǎn)間的距離公式，即可得到答案．【解答】解：以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，以EC，EA和豎直向上的方向分別為X，Y，Z軸的正方向建立坐標(biāo)系，∵E是BC的中點(diǎn)，則E（0，0，0），A（0，3，0），C（1，0，0）A1（0，3，2），C1（1，0，2）F是A1C1的中點(diǎn)，則F點(diǎn)的坐標(biāo)為（12，32，則|EF|=故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間點(diǎn)、線、面的距離，其中建立坐標(biāo)系，求出E，F(xiàn)兩點(diǎn)的坐標(biāo)，是解答本題的關(guān)鍵．6．（2025?雨花區(qū)校級(jí)模擬）經(jīng)過兩條直線l1：x+y＝2，l2：2x﹣y＝1的交點(diǎn)，且直線的一個(gè)方向向量v→=(-6A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y﹣3＝0 C．3x﹣2y﹣5＝0 D．2x+3y﹣5＝0【考點(diǎn)】空間直線的方向向量、空間直線的向量參數(shù)方程；直線的點(diǎn)斜式方程．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)題意，求出直線l1與l2的交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)為A，再設(shè)直線上任意一點(diǎn)為M，其坐標(biāo)為（x，y），分析可得MA→∥v→，由向量的坐標(biāo)計(jì)算可得4（x﹣1）＝﹣6（y﹣【解答】解：根據(jù)題意，x+y=22x-y=1，解可得x=1y=1設(shè)直線上任意一點(diǎn)為M，其坐標(biāo)為（x，y），直線的一個(gè)方向向量v→=(-6，4)，則則有4（x﹣1）＝﹣6（y﹣1），即4x+6y﹣10＝0，變形可得2x+3y﹣5＝0，故要求直線的方程為2x+3y﹣5＝0．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的方向向量，涉及直線的一般式方程，屬于基礎(chǔ)題．7．（2025春?長(zhǎng)沙月考）已知空間向量a→=（1，n，2），b→=（﹣3，1，3），若a→與bA．6 B．14 C．19 D．14【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】根據(jù)a→與b→垂直即可求出【解答】解：∵a→∴a→?b→=-3+∴a→故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量垂直的充要條件，向量坐標(biāo)的數(shù)量積運(yùn)算，根據(jù)向量坐標(biāo)求向量長(zhǎng)度的公式，是基礎(chǔ)題．8．（2025?江蘇模擬）已知α，β為平面，a，b為直線，下列說法正確的是（）A．若直線a，b與平面α所成角相等，則a∥b B．若a，b?α，且a∥β，b∥β，則α∥β C．若α⊥β，α∩β＝l，a?α，b?β，若a，b均不垂直于l，則a，b不垂直 D．若α⊥β，a?α，b?β，b⊥a，則b∥β【考點(diǎn)】幾何法求解直線與平面所成的角；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；邏輯思維．【答案】C【分析】對(duì)于A：根據(jù)線面角的定義可分析得出；對(duì)于B：根據(jù)面面平行的判定定理即可判斷；對(duì)于C：分情況討論即可判斷；對(duì)于D：作出圖形即可判斷．【解答】對(duì)于A：若a∥b，顯然a、b與平面α所成的角相等；若a、b為圓錐的兩條母線所在的直線，顯然a、b與平面α所成的角相等，此時(shí)a、b為相交直線；若a、b為異面直線，若滿足a∥α，b∥α，此時(shí)a、b與平面α所成的角相等，均為0，故a與b的位置關(guān)系是平行、相交或異面．故A不正確；對(duì)于B：若a，b?α，且a∥β，b∥β，則α∥β或α與β相交，故B不正確；對(duì)于C：若a∥l，b∥l，則a//b，即a與b不垂直；若a∥l，b斜交于l，則b與a也斜交，即a與b不垂直；若b∥l，a斜交于l，則a與b也斜交，即a與b不垂直；若a，b與l都斜交，若a⊥b，則a⊥面β，即a⊥l與假設(shè)不符，所以a與b不垂直，故C正確；對(duì)于D：如圖：b可能與β相交，故D錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面位置關(guān)系的判定，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?山西模擬）如圖，在圓柱O1O2中，軸截面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，M是以AO2為直徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)A，O2），AM與圓柱的底面圓交于點(diǎn)N，則（）A．MO2∥平面NBO1 B．直線NB與直線AO1有可能垂直 C．當(dāng)N為AB的中點(diǎn)時(shí)，二面角O1﹣AN﹣B的余弦值為13D．三棱錐M﹣AO1O2的外接球的體積為5【考點(diǎn)】空間向量法求解二面角及兩平面的夾角；球的體積；直線與平面平行．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】根據(jù)已知結(jié)合圓的性質(zhì)得出MO2∥NB，進(jìn)而即可根據(jù)線面平行的判定定理得出A；假設(shè)NB⊥AO1，然后根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理以及判定定理得出NB⊥AO2，與已知矛盾，即可判斷B項(xiàng)；建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量法求解即可判斷C項(xiàng)；根據(jù)已知推得球心位置，進(jìn)而求出球的半徑，根據(jù)球的體積公式求解，即可得出答案．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A，由已知可得，在平面ABN中，AB，AO2分別為兩圓的直徑，所以有MO2⊥AN，NB⊥AN，所以MO2∥NB，又MO2?平面NBO1，MO2?平面NBO1，所以，MO2∥平面NBO1，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由A知MO2∥NB，假設(shè)NB⊥AO1，則MO2⊥AO1．又O1O2⊥平面ABN，MO2?平面ABN，所以O(shè)1O2⊥MO2．又O1O2∩AO1＝O1，AO1?平面AO1O2，O1O2?平面AO1O2，所以有MO2⊥平面AO1O2，進(jìn)而可得NB⊥平面AO1O2，又AO2?平面AO1O2，所以有NB⊥AO2，這與NB⊥AN相矛盾，假設(shè)錯(cuò)誤，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，連接O2N，當(dāng)N為AB的中點(diǎn)時(shí)，有O2N⊥O2B．如圖，以點(diǎn)O2為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則由已知可得O2（0，0，0），A（0，﹣1，0），B（0，1，0），N（﹣1，0，0），O1（0，0，2），則O2O1→=(0易知O2O1設(shè)n→=(x，則AN→⊥n令x＝2，則y＝2，z＝﹣1，所以n→=(2，2所以cos＜又由圖可知二面角O1﹣AN﹣B為銳角，所以二面角O1﹣AN﹣B的余弦值為13，故選項(xiàng)C對(duì)于選項(xiàng)D，如圖2，分別取DO1，AO2的中點(diǎn)為E1，E2，連接E1E2，則有E1E2⊥平面AMO2，根據(jù)球的性質(zhì)，易知球心O應(yīng)在E1E2上．又O1O2⊥平面AMO2，所以有E1E2∥O1O2．根據(jù)球的對(duì)稱性可知，球心O應(yīng)為E1E2的中點(diǎn)，所以半徑R=則三棱錐M﹣AO1O2的外接球的體積為43πR故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何綜合問題，屬于中檔題．（多選）10．（2025春?余江區(qū)校級(jí)期末）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中ABCD﹣A1B1C1D1，E為線段CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段A1B上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有（）A．過A，D1，E三點(diǎn)的平面截正方體ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面的面積為92B．存在點(diǎn)F，使得平面EF∥平面AD1C C．當(dāng)F在線段A1B上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐C﹣AFD1的體積不變 D．FA+FC的最小值為2【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；棱柱的結(jié)構(gòu)特征；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；平面的基本性質(zhì)及推論．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，結(jié)合線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理逐項(xiàng)判定可①②③確定ABC的正誤，利用展開法和點(diǎn)距離的三角不等式，結(jié)合余弦定理計(jì)算可求得FA+FC的最小值，進(jìn)而判定D．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A，∵正方體的對(duì)面互相平行，∴過A，D1，E三點(diǎn)的平面截正方體ABCD﹣A1B1C1D1的對(duì)面ADD1A1，BCC1B1所得截線互相平行，又∵E為線段CC1的中點(diǎn)，∴截面交BC于其中點(diǎn)G，連接AG，GE，ED1，D1A，則四邊形AD1EG即為所求截面，顯然為等腰梯形，且AD梯形的高h(yuǎn)=面積為S=(A對(duì)于選項(xiàng)B：過E與平面AD1C平行的直線都在過E與平面AD1C平行的平面內(nèi)，易知過E與平面AD1C平行的平面截正方體ABCD﹣A1B1C1D1的截面為如圖所示1的六邊形EGHIJK，其各頂點(diǎn)都是正方體的相應(yīng)棱的中點(diǎn)，由于A1B∥IH，A1H?平面EGHIJK，∴平面EGHIJK∥直線A1B，∴平面EGHIJK與線段A1B沒有公共點(diǎn)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：∵A1B∥D1C，D1C?平面AD1C，A1B?平面AD1C，∴A1B∥平面AD1C，又∵F∈A1B，∴F到平面AD1C的距離為定值，又∵△AD1C的面積為定值，∴當(dāng)F在線段A1B上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐C﹣AFD1的體積不變，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：將矩形A1D1CB展開到與等腰直角三角形A1AB在同一平面內(nèi)，如圖2所示，F(xiàn)A+當(dāng)A，F(xiàn)，C共線時(shí)取等號(hào)，故選項(xiàng)D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何綜合問題，屬于中檔題．（多選）11．（2025春?薌城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC=π2，AB=PA=A．直線AM與BC所成的角為π4B．|DMC．直線AM與平面ADP所成角的余弦值為63D．點(diǎn)M到平面ADP的距離為2【考點(diǎn)】空間向量法求解直線與平面所成的角；空間中點(diǎn)到平面的距離；異面直線及其所成的角．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】AD【分析】過A作AE⊥CD，垂足為E，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)即可．【解答】解：過A作AE⊥CD，垂足為E，則DE＝2，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AE，AB，AP所在直線為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B（0，2，0），C(22，2，0)，D(22，-2所以AM→=(2，1對(duì)于A，因?yàn)閏os＜所以直線AM與BC所成的角為π4，故A對(duì)于B，因?yàn)閨DM→|=對(duì)于C，設(shè)平面ADP的法向量為n→因?yàn)锳D→=(22則n→⊥AD令x=2，得設(shè)直線AM與平面ADP所成的角為α，則sinα=|所以直線AM與平面ADP所成角的正弦值為63所以其余弦值為1-(6對(duì)于D，設(shè)點(diǎn)M到平面ADP的距離為d，則d=即點(diǎn)M到平面ADP的距離為263，故故選：AD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量法的應(yīng)用，屬于中檔題．（多選）12．（2025春?金昌校級(jí)月考）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)A（1，1，1），B（3，2，0），則下列命題是真命題的是（）A．n→=(2，1B．若平面α的一個(gè)法向量是m→=(1，2，C．若平面β的一個(gè)法向量是v→=(-1，1，-1)，且lD．若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OC→+2OD→=(7，5，1)【考點(diǎn)】平面的法向量．【專題】分類討論；綜合法；平面向量及應(yīng)用；邏輯思維．【答案】ACD【分析】利用方向向量的性質(zhì)判斷A，利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷B，C，仿照給定條件建立等式，判斷共面即可．【解答】解：對(duì)于A，因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)B（3，2，0），A（1，1，1），所以AB→=(2，1，-1)對(duì)于B，因?yàn)閙→?AB→=2+2-4=0，所以m→⊥AB→，則對(duì)于C，因?yàn)関→?AB因?yàn)閘⊥α，所以l的方向向量AB→為α的法向量，則由v→⊥AB→可得α對(duì)于D，因?yàn)锽（3，2，0），A（1，1，1），所以O(shè)B→=(3，則OA→+2OB故OA→+2OB得到AC→=2DB→，即A，B，C，故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面的法向量和直線的方向向量，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共4小題）13．（2025春?商丘期末）已知平面α的法向量為m→=(2，3，5)，直線l在平面α外，且方向向量n→=(1，1，-1)【考點(diǎn)】空間向量語言表述線面的垂直、平行關(guān)系；平面的法向量．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】l∥α．【分析】根據(jù)空間向量法計(jì)算法向量及方向向量垂直得出線面平行即可．【解答】解：根據(jù)題意，平面α的法向量為m→=(2，3，由于m→所以m→⊥n→，所以l?α或因?yàn)閘?α，所以l∥α．故答案為：l∥α．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面的位置關(guān)系，涉及平面的法向量，屬于基礎(chǔ)題．14．（2025春?泰州期末）若向量a→=(1，2，3)與b→=(1，【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】﹣5．【分析】根據(jù)空間向量互相垂直則數(shù)量積為零列式計(jì)算即可．【解答】解：因?yàn)橄蛄縜→=(1，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得，1×1+2x+3×3＝0，解得x＝﹣5．故答案為：﹣5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題．15．（2024秋?上海校級(jí)期末）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1，二面角A﹣BD﹣A1的大小為arctan2【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法．【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間角．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】連接AC，AC∩BD＝O，連接A1O，則∠A1OA為二面角A﹣BD﹣A1的平面角；【解答】解：連接AC，AC∩BD＝O，連接A1O，則∠A1OA為二面角A﹣BD﹣A1的平面角設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，∴AO=2∴tan∠A1OA=a所以∠A1OA＝arctan2．故答案為：arctan2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查面面角與線面角，解題的關(guān)鍵是確定線面角與面面角，屬于基礎(chǔ)題．16．（2025春?楊浦區(qū)月考）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”．如圖，在塹堵ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1，則二面角C1﹣AB﹣A1的大小為π4【考點(diǎn)】幾何法求解二面角及兩平面的夾角．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間角；運(yùn)算求解．【答案】π4【分析】先證∠A1AC1為二面角C1﹣AB﹣A1的平面角，再解三角形即可．【解答】解：因?yàn)橹比庵鵄BC﹣A1B1C1中，所以AA1⊥平面ABC，因?yàn)锳B?平面ABC，所以A1A⊥AB，因?yàn)锳B⊥AC，且AA1∩AC＝A，AA1，AC?平面AA1C1C，所以AB⊥平面AA1C1C，又因?yàn)锳C1?平面AA1C1C，所以AB⊥AC1，故∠A1AC1為二面角C1﹣AB﹣A1的平面角，又因?yàn)锳C＝AA1＝1，所以四邊形AA1C1C為正方形，故∠A1AC1=π故答案為：π4【點(diǎn)評(píng)】本題考查二面角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共4小題）17．（2025春?楊浦區(qū)校級(jí)期末）如圖．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC1的中點(diǎn)．（1）求證：直線DE與BC是異面直線；（2）求直線DE與平面ABCD所成角的大?。究键c(diǎn)】幾何法求解直線與平面所成的角；異面直線的判定．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；運(yùn)算求解．【答案】（1）證明見解析；（2）arctan5【分析】（1）利用反證法可證明．（2）取BC的中點(diǎn)F，連接EF，DF；先根據(jù)正方體的性質(zhì)及線面所成角的定義確定直線DE與平面ABCD所成角；再結(jié)合直角三角形中正切的定義即可求解．【解答】解：（1）證明：用反證法證明：假設(shè)直線DE與BC不是異面直線，則直線DE與BC可以確定一個(gè)平面，記為平面α，所以點(diǎn)E，點(diǎn)B，點(diǎn)C在平面α上．又根據(jù)題意可知：點(diǎn)E，點(diǎn)B，點(diǎn)C在平面ABCD上所以點(diǎn)E，點(diǎn)B，點(diǎn)C三點(diǎn)共線，這與點(diǎn)E是BC1的中點(diǎn)相矛盾，故假設(shè)不成立，所以直線DE與BC是異面直線．（2）根據(jù)題意，取BC的中點(diǎn)F，連接EF，DF，如圖：因?yàn)镋是BC1的中點(diǎn)，則EF∥CC1，且|EF在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，有CC1⊥平面ABCD，則EF⊥平面ABCD，則∠EDF是直線DE與平面ABCD所成角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2a，則|EF|＝a，|DF故tan∠又由∠EDF∈[0【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面所成角的求法，涉及異面直線的判斷，屬于基礎(chǔ)題．18．（2025?安順模擬）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，平面ABCD⊥平面ADP，BC∥AD，（1）E為PD上一點(diǎn)，DE→=mDP→（2）平面ABP與平面DCP的交線為l，求l與平面BCP所成角的正弦值．【考點(diǎn)】空間向量法求解直線與平面所成的角；直線與平面平行．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】（1）12；（2）10【分析】（1）設(shè)F為AP上一點(diǎn)，且滿足EF∥CB，利用線面平行的性質(zhì)，結(jié)合三角形中位線性質(zhì)推理即得．（2）延長(zhǎng)AB，DC相交于點(diǎn)G，取AD的中點(diǎn)O，利用面面垂直的性質(zhì)證得GO⊥平面ADP，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BCP的法向量，利用線面角的向量求法求解即得．【解答】解：（1）設(shè)F為AP上一點(diǎn)，且滿足EF∥CB，連接EF，BF．由CE∥平面ABP，且平面BFEC∩平面ABP＝BF，得CE∥BF，即四邊形BFEC為平行四邊形，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD＝2BC＝4，則FE∥AD，2FE＝AD，所以E為PD的中點(diǎn)，DE→=1（2）延長(zhǎng)AB，DC相交于點(diǎn)G，設(shè)O為AD中點(diǎn)，則平面ABP與平面DCP的交線l為直線GP，連接GO，PO，由BC∥AD，AD=2BC=4，AB又平面ABCD⊥平面ADP，平面ABCD∩平面ADP＝AD，則GO⊥平面ADP，在△ADP中，PA=PD=22，于是PO⊥AD，且以O(shè)為原點(diǎn)，直線OP，OD，OG分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B（0，﹣1，1），C（0，1，1），P（2，0，0），G（0，0，2），則BC→設(shè)平面BCP法向量n→則n→?BC→=2得n→設(shè)l與平面BCP所成角為θ，則sinθ=|所以l與平面BCP所成角的正弦值為1010【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的應(yīng)用，以及線面角的計(jì)算，屬于中檔題．19．（2025春?寶山區(qū)校級(jí)期末）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是D1D，BD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱CD上，且CG=14CD，H為C1（1）求證：EF⊥B1C；（2）求EF與C1G所成角的余弦值；（3）求FH的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；異面直線及其所成的角；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【專題】數(shù)形結(jié)合；向量法；空間位置關(guān)系與距離；直觀想象．【答案】（1）證明見解析，（2）5117，（3）41【分析】（1）建立空間坐標(biāo)系，計(jì)算EF→?B1C→=0（2）利用向量的夾角公式計(jì)算異面直線所成角；（3）根據(jù)向量的模長(zhǎng)公式計(jì)算兩點(diǎn)間的距離．【解答】解：如圖，建立直角坐標(biāo)系如圖所示：則E（0，0，12），F(xiàn)（12，12，0），C（0，1，0），B1（1，1，1），G（0，3（1）∵EF→=（12，12，-12），B1∴EF→?B1C→=∴EF→∴EF⊥B1C．（2）C1G→=（0，-14，﹣1），|C1GEF→?C1G→=∴cos＜EF∴EF與C1G所成角的余弦值為5117（3）F（12，12，0），H（0，78∴FH→=（-12，∴FH＝|FH→|=【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量與位置關(guān)系證明，空間角計(jì)算和空間距離的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．20．（2024秋?市中區(qū)期末）已知點(diǎn)A（0，1，﹣1），B（2，2，1），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量a→（1）求向量b→同向的單位向量b（2）若(ka→【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）(2（2）65【分析】（1）根據(jù)單位向量定義求向量b→同向的單位向量b（2）應(yīng)用向量的線性運(yùn)算和垂直的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)．【解答】解：（1）因?yàn)锽（2，2，1），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則b→=OB所以與b→同向的單位向量為b（2）因?yàn)?aka又(k所以(ka→+b)?(3a→-b→)=0，即（2，k+2，1﹣k）?（﹣2，1，﹣4）＝0?﹣4+k【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查單位向量的定義，以及向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

考點(diǎn)卡片1．棱柱的結(jié)構(gòu)特征【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．棱柱用表示底面各頂點(diǎn)的字母來表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．認(rèn)識(shí)棱柱底面：棱柱中兩個(gè)互相平行的面，叫做棱柱的底面．側(cè)面：棱柱中除兩個(gè)底面以外的其余各個(gè)面都叫做棱柱的側(cè)面．側(cè)棱：棱柱中兩個(gè)側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱．頂點(diǎn)：棱柱的側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)．高：棱中兩個(gè)底面之間的距離．3．棱柱的結(jié)構(gòu)特征棱柱1根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征，可知棱柱有以下性質(zhì)：（1）側(cè)面都是平行四邊形（2）兩底面是全等多邊形（3）平行于底面的截面和底面全等；對(duì)角面是平行四邊形（4）長(zhǎng)方體一條對(duì)角線長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長(zhǎng)的平方和．4．棱柱的分類（1）根據(jù)底面形狀的不同，可把底面為三角形、四邊形、五邊形…的棱柱稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根據(jù)側(cè)棱是否垂直底面，可把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面為正多邊形，則稱其為正棱柱．5．棱柱的體積公式設(shè)棱柱的底面積為S，高為h，V棱柱＝S×h．2．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式：V柱＝sh，V錐=133．球的體積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】球的體積依賴于球的半徑r，計(jì)算公式為43【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算公式：體積計(jì)算公式為43﹣實(shí)際應(yīng)用：如何根據(jù)實(shí)際問題中的球尺寸進(jìn)行體積計(jì)算．【命題方向】﹣球的體積計(jì)算：考查如何根據(jù)球的半徑計(jì)算體積．﹣實(shí)際應(yīng)用：如何在實(shí)際問題中應(yīng)用球的體積計(jì)算．4．平面的基本性質(zhì)及推論【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】平面的基本性質(zhì)及推論：1．公理1：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，則這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)．2．公理2：經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．①推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．②推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．③推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．3．公理3：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，且這些公共點(diǎn)的集合是一條過這個(gè)公共點(diǎn)的直線．【解題方法點(diǎn)撥】1．公理1是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)．2．公理2及推論是確定平面的依據(jù)．3．公理3是判定兩個(gè)平面相交的依據(jù)．5．異面直線及其所成的角【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、異面直線所成的角：直線a，b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，作直線a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．異面直線所成的角的范圍：θ∈（0，π2]．當(dāng)θ＝902、求異面直線所成的角的方法：求異面直線的夾角關(guān)鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來轉(zhuǎn)移直線．3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識(shí)：6．異面直線的判定【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】（1）判定空間直線是異面直線方法：①根據(jù)異面直線的定義；②異面直線的判定定理．7．空間中直線與直線之間的位置關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】空間兩條直線的位置關(guān)系：位置關(guān)系共面情況公共點(diǎn)個(gè)數(shù)圖示相交直線在同一平面內(nèi)有且只有一個(gè)平行直線在同一平面內(nèi)無異面直線不同時(shí)在任何一個(gè)平面內(nèi)無8．直線與平面平行【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行．用符號(hào)表示為：若a?α，b?α，a∥b，則a∥α．2、直線與平面平行的判定定理的實(shí)質(zhì)是：對(duì)于平面外的一條直線，只需在平面內(nèi)找到一條直線和這條直線平行，就可判定這條直線必和這個(gè)平面平行．即由線線平行得到線面平行．1、直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行．用符號(hào)表示為：若a∥α，a?β，α∩β＝b，則a∥b．2、直線和平面平行的性質(zhì)定理的實(shí)質(zhì)是：已知線面平行，過已知直線作一平面和已知平面相交，其交線必和已知直線平行．即由線面平行?線線平行．由線面平行?線線平行，并不意味著平面內(nèi)的任意一條直線都與已知直線平行．正確的結(jié)論是：a∥α，若b?α，則b與a的關(guān)系是：異面或平行．即平面α內(nèi)的直線分成兩大類，一類與a平行有無數(shù)條，另一類與a異面，也有無數(shù)條．9．空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】一、空間向量及其有關(guān)概念語言描述共線向量（平行向量）表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合．共面向量平行于同一平面的向量．共線向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量a→，b→（b→≠0），a→∥b→?存在λ∈R共面向量定理若兩個(gè)向量a→，b→不共線，則向量p→與向量a→，b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y），使p→空間向量基本定理（1）定理：如果三個(gè)向量a→、b→、c不共面，那么對(duì)空間任一向量p→，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}使得p→=xa（2）推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間一點(diǎn)P都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x、y、z使＝x+y+z且x+y+z＝1．二、數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算1．兩個(gè)向量的數(shù)量積（1）a→?b→＝|a→||b→|cos（2）a→⊥b→?a→?b→=0（3）|a→|2=a→2，|a2．向量的坐標(biāo)運(yùn)算a→=（a1，a2，a3），b→=（b1，b2向量和a→+b→=（a1+b1，a2+b2，a向量差a→-b→=（a1﹣b1，a2﹣b2，a數(shù)量積a→?b→=a1b1+a2b2+a共線a→∥b→?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈垂直a→⊥b→?a1b1+a2b2+a3b3夾角公式cos＜a→，10．空間直線的方向向量、空間直線的向量參數(shù)方程【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、直線的方向向量：空間中任意一條直線l的位置可以由l上一個(gè)定點(diǎn)A以及一個(gè)定方向確定．直線l上的向量e→以及與e→共線的向量叫做直線①一條直線l有無窮多個(gè)方向向量，這些方向向量之間互相平行．②直線l的方向向量也是所有與l平行的直線的方向向量．2、方向向量的求法：可根據(jù)直線l上的任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)寫出直線l的一個(gè)方向向量．3、平面的法向量：由于垂直于同一平面的直線是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直線的方向向量來刻畫平面的“方向”．如果表示向量n→的有向線段所在直線垂直于平面α，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作n→⊥α，如果n→⊥α，那么向量n①法向量一定是非零向量；②一個(gè)平面α有無窮多個(gè)法向量，這些法向量之間互相平行；③向量n→是平面的法向量，向量m→是與平面平行或在平面內(nèi)，則有n→?④一個(gè)平面α的法向量也是所有與平面α平行的平面的法向量．4、法向量的求法：（1）設(shè)：設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)為n→=（u，v，（2）列：根據(jù)a→?n→=（3）解：把u（或v或w）看作常數(shù)，用u（或v或w）表示另外兩個(gè)量（4）?。喝為任意一個(gè)數(shù)（當(dāng)然取得越特殊越好），則得到平面法向量n→1、空間直線的點(diǎn)向式方程或標(biāo)準(zhǔn)方程：設(shè)直線L過點(diǎn)M0（x0，y0，z0），s→=（m，n，p）是直線L的方向向量．設(shè)M（x，y，z）是直線L上任意一點(diǎn)，則M0M→=（x﹣x0，y﹣y0，z﹣zx-改方程組稱為直線的點(diǎn)向式方程或標(biāo)準(zhǔn)方程（當(dāng)m、n、p中有一個(gè)或兩個(gè)為零時(shí)，就理解為相應(yīng)的分子為零）．若直線L的方程為x-x0m=y-y0n=z-z0p，平面π的方程為Ax+By+Cz+D＝0，則直線L2、空間直線的參數(shù)方程：在直線方程x-x0x=這樣，空間直線上動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)x、y、z就都表達(dá)為變量t的函數(shù)．當(dāng)t取遍所有實(shí)數(shù)值時(shí)，由所確定的點(diǎn)M（x，y，z）就描出來直線．形如（※）的方程稱為直線的參數(shù)方程，t為參數(shù)．11．平面的法向量【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、直線的方向向量：空間中任意一條直線l的位置可以由l上一個(gè)定點(diǎn)A以及一個(gè)定方向確定．直線l上的向量e→以及與e→共線的向量叫做直線①一條直線l有無窮多個(gè)方向向量，這些方向向量之間互相平行．②直線l的方向向量也是所有與l平行的直線的方向向量．2、方向向量的求法：可根據(jù)直線l上的任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)寫出直線l的一個(gè)方向向量．3、平面的法向量：由于垂直于同一平面的直線是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直線的方向向量來刻畫平面的“方向”．如果表示向量n→的有向線段所在直線垂直于平面α，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作n→⊥α，如果n→⊥α，那么向量n①法向量一定是非零向量；②一個(gè)平面α有無窮多個(gè)法向量，這些法向量之間互相平行；③向量n→是平面的法向量，向量m→是與平面平行或在平面內(nèi)，則有n→?④一個(gè)平面α的法向量也是所有與平面α平行的平面的法向量．4、法向量的求法：（1）設(shè)：設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)為n→=（u，v，（2）列：根據(jù)a→?n→=（3）解：把u（或v或w）看作常數(shù)，用u（或v或w）表示另外兩個(gè)量（4）?。喝為任意一個(gè)數(shù)（當(dāng)然取得越特殊越好），則得到平面法向量n→12．幾何法求解直線與平面所成的角【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、直線和平面所成的角，應(yīng)分三種情況：（1）直線與平面斜交時(shí)，直線和平面所成的角是指此直線和它在平面上的射影所成的銳角；（2）直線和平面垂直時(shí)，直線和平面所成的角的大小為90°；（3）直線和平面平行或在平面內(nèi)時(shí)，直線和平面所成的角的大小為0°．顯然，斜線和平面所成角的范圍是（0，π2）；直線和平面所成的角的范圍為[0，π22、一條直線和一個(gè)平面斜交，它們所成的角的度量問題（空間問題）是通過斜線在平面內(nèi)的射影轉(zhuǎn)化為兩條相交直線的度量問題（平面問題）來解決的．【解題方法點(diǎn)撥】具體的解題步驟與求異面直線所成的角類似，有如下的環(huán)節(jié)：（1）作﹣﹣?zhàn)鞒鲂本€與射影所成的角；（2）證﹣﹣論證所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂線段、斜線段、斜線段的射影所組成的直角三角形）求出角．（4）答﹣﹣回答求解問題．在求直線和平面所成的角時(shí)，垂線段是其中最重要的元素，它可起到聯(lián)系各線段的紐帶的作用．在直線與平面所成的角的定義中體現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化和分類與整合的數(shù)學(xué)思想．【命題方向】﹣夾角計(jì)算：考查如何使用幾何方法計(jì)算直線與平面之間的夾角．13．空間向量法求解直線與平面所成的角【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】直線與平面所成角的求法：向量求法：設(shè)直線l的方向向量為a→，平面的法向量為u→，直線與平面所成的角為θ，a→與u→的夾角為φ，則有sinθ＝|cos【解題方法點(diǎn)撥】﹣點(diǎn)積和模：計(jì)算向量的數(shù)量積和模，求得角度的余弦值，然后使用反余弦函數(shù)計(jì)算角度．【命題方向】﹣向量法計(jì)算：考查如何使用空間向量法計(jì)算直線與平面之間的夾角．14．二面角的平面角及求法【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面．棱為AB、面分別為α、β的二面角記作二面角α﹣AB﹣β．有時(shí)為了方便，也可在α、β內(nèi)（棱以外的半平面部分）分別取點(diǎn)P、Q，將這個(gè)二面角記作P﹣AB﹣Q．如果棱記作l，那么這個(gè)二面角記作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．2、二面角的平面角﹣﹣在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個(gè)二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小與點(diǎn)O的位置無關(guān)，也就是說，我們可以根據(jù)需要來選擇棱l上的點(diǎn)O．3、二面角的平面角求法：（1）定義；（2）三垂線定理及其逆定理；①定理內(nèi)容：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直．②三垂線定理（逆定理）法