第8章系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析8.1系統(tǒng)的狀態(tài)、狀態(tài)變量與狀態(tài)方程8.2動態(tài)方程的建立8.3連續(xù)系統(tǒng)動態(tài)方程的求解8.4離散系統(tǒng)動態(tài)方程的求解

8.1系統(tǒng)的狀態(tài)、狀態(tài)變量與狀態(tài)方程

8.1.1系統(tǒng)的狀態(tài)、狀態(tài)變量概念

1.系統(tǒng)的狀態(tài)

這里我們先給系統(tǒng)的狀態(tài)下一個定義：系統(tǒng)在t0時刻的狀態(tài)是指一組最少數(shù)目的數(shù)據(jù)，知道這組數(shù)據(jù)并連同t≥t0時的輸入f(t)，足以確定t≥t0任意時刻的輸出y(t)，這組最少數(shù)目的數(shù)據(jù)，就稱為系統(tǒng)在t0時刻的狀態(tài)。例如，一個n階連續(xù)系統(tǒng)t0時刻的n個數(shù)據(jù)和t≥t0時系統(tǒng)的p個輸入分別為

(8.1-1)圖8.1-1由L、C上電壓、電流關(guān)系看“狀態(tài)”

2.系統(tǒng)的狀態(tài)變量

為了簡化書寫，系統(tǒng)t0時刻的狀態(tài)常寫為{x(t0)}，t1時刻的狀態(tài)寫為{x(t1)}。即是說，系統(tǒng)的狀態(tài)是與觀察時刻密切相關(guān)的，若觀察時刻為t(為變量)，則系統(tǒng)的狀態(tài)也隨t變化，

t時刻的狀態(tài)書寫為{x(t)}，即{x1(t)，x2(t)，…，xn(t)}，稱x1(t)～xn(t)這n個變量為n階系統(tǒng)的狀態(tài)變量。8.1.2由電路引出系統(tǒng)的狀態(tài)方程與輸出方程

先從一個具體電路(系統(tǒng))的例子看方程的列寫。圖8.1-2(a)為二階電路(系統(tǒng))，圖中is(t)為激勵源(輸入)，u(t)、iC(t)為兩個響應(yīng)(輸出)。從系統(tǒng)的觀點(diǎn)看，該電路屬于單輸入兩個輸出的系統(tǒng)，如圖8.1-2(b)所示。圖8.1-2二階電路(系統(tǒng))若用先前的外部描述法，可列寫u(t)~is(t)與iC(t)~is(t)二

階微分方程。若選uC(t)、iL(t)為該二階系統(tǒng)的兩個狀態(tài)變量，由節(jié)點(diǎn)a列寫KCL方程:

(8.1-2)

由回路B列寫KVL方程:

(8.1-3)整理式(8.1-2)、式(8.1-3)，分別得

(8.1-4)

(8.1-5)利用內(nèi)部法亦可找到系統(tǒng)的輸出與狀態(tài)變量及系統(tǒng)輸入之間的關(guān)系，即系統(tǒng)輸出用系統(tǒng)的狀態(tài)變量與系統(tǒng)的輸入表示的代數(shù)方程，稱這種代數(shù)方程組為內(nèi)部法描述系統(tǒng)的輸出方程。還是以此電路為例，列寫出該二階系統(tǒng)的輸出方程:

(8.1-6)

(8.1-7)將式(8.1-4)與式(8.1-5)、式(8.1-6)與式(8.1-7)兩方程組分別書寫為矩陣形式，即

(8.1-8)

(8.1-9)8.1.3動態(tài)方程的一般形式

1.連續(xù)系統(tǒng)的動態(tài)方程

如圖8.1-3所示為n階連續(xù)系統(tǒng)的示意框圖，它有p個輸入，q個輸出，n個狀態(tài)變量。一般而言，連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程，是由每個狀態(tài)變量的一階微分置方程的左端，而方程的右端由系統(tǒng)n個狀態(tài)變量經(jīng)相應(yīng)系數(shù)加權(quán)與輸入也經(jīng)相應(yīng)系數(shù)加權(quán)的代數(shù)和組成的狀態(tài)變量的一階微分方程組，圖8.1-3n階連續(xù)系統(tǒng)示意框圖即

(8.1-10)連續(xù)系統(tǒng)的輸出方程，是由系統(tǒng)的每個輸出置方程左端，而方程的右端由系統(tǒng)每個狀態(tài)變量經(jīng)相應(yīng)系數(shù)加權(quán)與輸入也經(jīng)相應(yīng)系數(shù)加權(quán)的代數(shù)和組成的代數(shù)方程組，即

(8.1-11)有時為了方程式簡潔明了，用

其他量也都如此表示，這樣，式(8.1-10)、式(8.1-11)可分別簡潔表示為

(8.1-12)

(8.1-13)引入狀態(tài)矢量、輸入矢量、輸出矢量及相關(guān)系數(shù)矩陣，可將狀態(tài)方程與輸出方程分別寫為更簡潔的矢量矩陣形式，即

(8.1-14)

(8.1-15)式中分別為狀態(tài)矢量、狀態(tài)矢量的一階導(dǎo)數(shù)矢量、輸入矢量和輸出矢量。其中上標(biāo)T表示轉(zhuǎn)置運(yùn)算。

2.離散系統(tǒng)的動態(tài)方程

圖8.1-4是n階離散系統(tǒng)的示意框圖，它同樣有p個輸入，q個輸出。對于離散系統(tǒng)，有關(guān)狀態(tài)、狀態(tài)變量的概念與連續(xù)系統(tǒng)類似，因?yàn)殡x散信號定義的特殊性，致使?fàn)顟B(tài)變量、輸入、輸出都是序列，狀態(tài)方程表現(xiàn)為狀態(tài)變量的一階前向差分方程組；輸出方程更是與連續(xù)系統(tǒng)的輸出方程形式上類似，只是把連續(xù)變量t換為整數(shù)變量k，同樣都是代數(shù)方程。對于n階多輸入多輸出LTI離散系統(tǒng)，其狀態(tài)方程和輸出方程可分別寫為

(8.1-16)

(8.1-17)式中圖8.1-4n階離散系統(tǒng)示意框圖8.1.4關(guān)于狀態(tài)變量分析中幾點(diǎn)應(yīng)明確的概念

(1)系統(tǒng)的狀態(tài)變量個數(shù)與系統(tǒng)的階數(shù)相匹配。

(2)對于同一個系統(tǒng)來說，狀態(tài)變量的選擇不唯一，對

應(yīng)列寫出的狀態(tài)方程也不唯一。如前面講到的圖8.1-2(a)電路，選擇了uC、iL作為狀態(tài)變量列寫了狀態(tài)方程式(8.1-8)，

我們亦可選擇iC、uL作為該電路的狀態(tài)變量列寫出另外形式旳狀態(tài)方程。事實(shí)上，對于二階系統(tǒng)，如果它的狀態(tài)變量用x1，x2來表示，則這組變量的各種線性組合

(8.1-18a)

(8.1-18b)

(3)狀態(tài)空間與狀態(tài)軌跡概念。

為了使讀者能夠形象直觀地接受狀態(tài)軌跡概念，我們

對圖8.1-2(a)電路簡化配置參數(shù)：令RL=RC=0，L=0.5H，C=0.5F，uC(0)=0，iL(0)=0，is=1A，解得狀態(tài)變量

(8.1-19)圖8.1-5二維狀態(tài)空間狀態(tài)軌跡圖

8.2動態(tài)方程的建立

在系統(tǒng)的狀態(tài)變量法分析中，動態(tài)方程的建立是必需的一個重要環(huán)節(jié)。有了方程，方可施行時域法求解或變換域法求解。8.2.1連續(xù)系統(tǒng)動態(tài)方程的建立

1.電路動態(tài)方程的建立

電路動態(tài)方程的列寫首先遇到的問題是如何選擇狀態(tài)變量。這里明確，一般建議選獨(dú)立電容上的電壓變量、獨(dú)立電感上的電流變量作為狀態(tài)變量。那么電路中的獨(dú)立電容、獨(dú)立電感又該如何確定呢？“獨(dú)立”之意即是彼此不能線性相關(guān)。如圖8.2-1(a)、(b)兩電路中的電容不全是相互獨(dú)立的電容。對于圖(a)電路中的A回路，顯然有

(8.2-1)圖8.2-1只有電壓源和電容或僅有電容構(gòu)成的回路再觀察圖(b)電路中的B回路，Us是已知的電壓源，當(dāng)然有

(8.2-2)

類似圖(a)情況的分析，圖(b)中兩個電容只有一個是獨(dú)立電容。

圖8.2-2(a)、(b)兩電路中的電感不全是相互獨(dú)立的電感。對于圖(a)電路中的a節(jié)點(diǎn)，顯然有

(8.2-3)

通過雷同對式(8.2-1)一樣的分析過程，可知這三個電感任取兩個電感為相互獨(dú)立的電感。圖8.2-2只有電流源和電感或僅有電感構(gòu)成的節(jié)點(diǎn)對于圖(b)電路中的b節(jié)點(diǎn)，有

(8.2-4)

也通過類似對式(8.2-2)一樣的分析過程，可知這兩個電感只有一個為獨(dú)立電感。

例8.2-1

圖8.2-3所示電路中，電流iC(t)和電壓u(t)為輸出。試選取狀態(tài)變量，列寫該電路的狀態(tài)方程和輸出方程。圖8.2-3例8.2-1用圖

解本題并未指定狀態(tài)變量，按理說做題者有選擇狀態(tài)變量的自由，但一般都是選擇獨(dú)立電容電壓、獨(dú)立電感電流作為狀態(tài)變量。本題電路中不存在圖8.2-1中所示的回路，也不存在圖8.2-2中所示的節(jié)點(diǎn)，所以該電路中的電容與兩個電感都是獨(dú)立的。選電容電壓uC和電感電流iL2、iL3為狀態(tài)變量，

并令

(8.2-5)對于接有電容C的節(jié)點(diǎn)b，可列出電流方程

(8.2-6)

選包含L2的回路abea和包含L3的回路abcdea，列出兩個獨(dú)立電壓方程

(8.2-7)整理式(8.2-6)、式(8.2-7)，得

(8.2-8)將式(8.2-8)寫為狀態(tài)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為

(8.2-9)再令電路的輸出iC=y1，u=y2，觀察電路可直接寫得輸出方程為

將上式寫為輸出方程的標(biāo)準(zhǔn)形式即矩陣形式

(8.2-10)

例8.2-2

圖8.2-4所示電路中各元件參數(shù)值已標(biāo)示在圖上，電壓u3、電流i2為輸出。試列寫出該電路的狀態(tài)方程與輸出方程。圖8.2-4例8.2-2用圖

解選電感上電流、電容上電壓分別作為狀態(tài)變量x1、x2，如圖中所標(biāo)。對包含電感的回路A列寫KVL方程:

(8.2-11)

對連接電容的節(jié)點(diǎn)b列寫KCL方程:

(8.2-12)對節(jié)點(diǎn)a列寫KCL方程:

(8.2-13)

對回路B列寫KVL方程:

(8.2-14)將式(8.2-13)代入式(8.2-14)并整理得

(8.2-15)

將u3=x2代入式(8.2-12)、將式(8.2-15)代入式(8.2-11)并整理，得

(8.2-16)寫為矩陣形式，有

(8.2-17)

由y1=u3=x2

，y2=i2=－(1/2)x1+(1/4)us，寫得輸出方程的矩陣形式

(8.2-18)

2.由輸入輸出微分方程列寫動態(tài)方程

設(shè)n階LTI連續(xù)系統(tǒng)輸入輸出方程為

(8.2-19)若m=n，即方程兩端輸出與輸入的最高導(dǎo)數(shù)項(xiàng)次數(shù)相等，構(gòu)造函數(shù)y1(t)，使其滿足方程

(8.2-20)

選取狀態(tài)變量

(8.2-21)則寫得狀態(tài)方程

(8.2-22)由線性系統(tǒng)的疊加性及可微分性，得

(8.2-23)

由式(8.2-20)知

(8.2-24)將式(8.2-24)代入式(8.2-23)并整理，得

再將式(8.2-21)代入上式，得系統(tǒng)的輸出方程為

(8.2-25)將式(8.2-22)、式(8.2-25)分別寫為矩陣形式

(8.2-26)

(8.2-27)若m＜n，則狀態(tài)方程不變化，而輸出方程有更簡潔形式。令式(8.2-27)中bn=0，得

(8.2-28)

例8.2-3

已知LTI連續(xù)系統(tǒng)的輸入輸出方程為

試列寫該系統(tǒng)的狀態(tài)方程與輸出方程。

解觀察方程，顯然屬于m＜n的情況，所以由式(8.2-26)、式(8.2-28)寫得該系統(tǒng)的狀態(tài)方程、輸出方程分別為

例8.2-4

連續(xù)LTI系統(tǒng)的輸入輸出方程為

試列寫該系統(tǒng)的狀態(tài)方程與輸出方程。

解觀察方程，顯然也屬于m＜n的情況，所以由式

(8.2-26)、式(8.2-28)寫得該系統(tǒng)的狀態(tài)方程、輸出方程分別為

例8.2-5

描述LTI連續(xù)系統(tǒng)的輸入輸出微分方程為

試列寫該系統(tǒng)的狀態(tài)方程與輸出方程。

解觀察方程知，屬m=n的情況且an不等于1。先對方程兩端同除以2，得

由上式認(rèn)定：a2=2.5，a1=1.5，a0=1；b3=1，b2=3.5，b1=1，b0=0。(熟練之后，這一步可不寫出來)，套式(8.2-26)寫得狀態(tài)方程為套式(8.2-27)寫得輸出方程為

3.由框圖描述的系統(tǒng)列寫動態(tài)方程

由模擬框圖列寫動態(tài)方程有一種直觀簡單的方法，其步驟是：

(1)選積分器輸出端為狀態(tài)變量，則積分器輸入端即是狀態(tài)變量的一階微分，正是狀態(tài)方程所需要的形式。

(2)圍繞加法器輸出端，考慮圖中各運(yùn)算部件的運(yùn)算功能，直接列寫狀態(tài)方程與輸出方程。

例8.2-6LTI連續(xù)系統(tǒng)直接形式的框圖如圖8.2-5所示，試列寫該系統(tǒng)的狀態(tài)方程與輸出方程。圖8.2-5LTI連續(xù)系統(tǒng)直接型模擬框圖

解選積分器的輸出端為狀態(tài)變量，分別為x1、x2、x3，如圖8.2-5中所標(biāo)。觀察框圖，則由積分器、加法器運(yùn)算規(guī)則，直接寫得狀態(tài)方程為輸出方程為

y=5x1+4x3

將狀態(tài)方程和輸出方程寫為矩陣形式，有

例8.2-7LTI連續(xù)系統(tǒng)并聯(lián)形式的框圖如圖8.2-6所示，試列寫該系統(tǒng)的狀態(tài)方程與輸出方程。圖8.2-6LTI連續(xù)系統(tǒng)并聯(lián)型模擬框圖

解選積分器的輸出端為狀態(tài)變量，分別為x1、x2、x3，如圖8.2-6中所標(biāo)。則由積分器、加法器運(yùn)算規(guī)則，直接寫得狀態(tài)方程為

輸出方程為

y=4x1－5x2+6x3將狀態(tài)方程和輸出方程寫為矩陣形式，有

例8.2-8LTI連續(xù)系統(tǒng)級聯(lián)形式的框圖如圖8.2-7所示，試列寫該系統(tǒng)的狀態(tài)方程與輸出方程。圖8.2-7LTI連續(xù)系統(tǒng)級聯(lián)型模擬框圖

解選積分器的輸出端為狀態(tài)變量，分別為x1、x2、x3，如圖8.2-7中所標(biāo)。則由積分器、加法器運(yùn)算規(guī)則，直接寫得狀態(tài)方程為

輸出方程為

y=x3將狀態(tài)方程和輸出方程寫為矩陣形式，有

4.由系統(tǒng)函數(shù)列寫動態(tài)方程

例8.2-9

描述某LTI連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為

試列寫該系統(tǒng)的動態(tài)方程。

解由已知的系統(tǒng)函數(shù)寫得系統(tǒng)的輸入輸出方程為

上式兩端同除以4，得由上式認(rèn)定：a2=1.25，a1=1.5，a0=1.75；b2=0.25，b1=0.5，b0=0.75。觀察方程，左端輸出最高導(dǎo)數(shù)項(xiàng)是3，右

端輸入最高導(dǎo)數(shù)項(xiàng)是2，屬于m＜n的情況。套式(8.2-26)、

式(8.2-28)寫得該系統(tǒng)的狀態(tài)方程、輸出方程分別為8.2.2離散系統(tǒng)動態(tài)方程的建立

1.由輸入輸出差分方程列寫動態(tài)方程

例8.2-10

已知LTI二階離散系統(tǒng)的輸入輸出差分方程為

試列寫該二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程與輸出方程。

解我們在第5章離散信號與系統(tǒng)時域分析中就知道：如上二階后向差分方程，若知y(－1)、y(－2)及k≥0時的輸入f(k)，就可完全確定k≥0時的輸出y(k)。聯(lián)系這章8.1節(jié)中講的狀態(tài)、狀態(tài)變量概念，考慮y(－2)是序列y(k－2)在k=0時的值，y(－1)是y(k－1)在k=0時的值，y(－2)、y(－1)是系統(tǒng)k=0時的起始狀態(tài)，所以選y(k－2)、y(k－1)作為該二階系統(tǒng)的兩個狀態(tài)變量。為了通用性，這里亦用x表示狀態(tài)變量，令

(8.2-29)將上式兩端均左移1位并考慮所選的狀態(tài)變量及原差分方程，有

(8.2-30)

式(8.2-30)所表示的一階前向差分方程組即是該系統(tǒng)的狀態(tài)方程。顯然可得系統(tǒng)的輸出方程為

(8.2-31)

將狀態(tài)方程、輸出方程寫為矩陣形式，分別為

(8.2-32)

(8.2-33)

例8.2-11

已知LTI三階離散系統(tǒng)的輸入輸出差分方程為

試列寫該系統(tǒng)的狀態(tài)方程與輸出方程。

解構(gòu)造函數(shù)y1(k)，使其滿足方程

(8.2-34)

選狀態(tài)變量

(8.2-35)將上式兩端均左移1位并考慮所選的狀態(tài)變量及式(8.2-34)表示的差分方程形式，有

(8.2-36)將上式寫為狀態(tài)方程的矩陣形式，有

(8.2-37)由線性系統(tǒng)的疊加性及可差分性，得

(8.2-38)

由式(8.2-34)知

(8.2-39)將式(8.2-39)代入式(8.2-38)，得

(8.2-40)

上式即為該系統(tǒng)的輸出方程，寫為矩陣形式，有

(8.2-41)

例8.2-12

已知n階LTI離散系統(tǒng)的輸入輸出差分方程為

試列寫該系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。

解構(gòu)造函數(shù)y1(k)，使其滿足方程

(8.2-42)選狀態(tài)變量

(8.2-43)將上式兩端均左移1位并考慮所選的狀態(tài)變量及式(8.2-42)表示的差分方程形式，有

(8.2-44)將上式寫為狀態(tài)方程的矩陣形式，有

(8.2-45)

由線性系統(tǒng)的疊加性及可差分性，可以得到輸出方程，但要區(qū)分兩種情況。

(1)m=n情況。

(8.2-46)

由式(8.2-42)，得

(8.2-47)將式(8.2-47)代入式(8.2-46)并整理，得輸出方程為

(8.2-48)寫為矩陣形式，有

(8.2-49)

(2)m＜n情況。這種情況可看作式(8.2-49)的特殊情況。令式(8.2-49)中bn=0，得輸出方程更為簡潔的形式

(8.2-50)

2.由框圖描述的系統(tǒng)列寫動態(tài)方程

由模擬框圖列寫動態(tài)方程有一種直觀簡單的方法，其步驟是：

(1)選延時器的輸出端為狀態(tài)變量，則輸入端為狀態(tài)變量的左移1位序列，即離散系統(tǒng)所需要的狀態(tài)方程形式。

(2)圍繞加法器輸出端，考慮圖中各運(yùn)算部件的運(yùn)算功能，直接列寫狀態(tài)方程與輸出方程。

例8.2-13LTI離散系統(tǒng)直接形式的框圖如圖8.2-8所示，試列寫該系統(tǒng)的狀態(tài)方程與輸出方程。圖8.2-8LTI離散系統(tǒng)直接型模擬框圖

解選延時器輸出端為狀態(tài)變量，分別為x1、x2、x3，如圖8.2-8中所標(biāo)。觀察框圖，則由延時器、加法器運(yùn)算規(guī)則，直接寫得狀態(tài)方程為

輸出方程為將狀態(tài)方程和輸出方程寫為矩陣形式，有

例8.2-14LTI離散系統(tǒng)并聯(lián)形式的框圖如圖8.2-9所示，試列寫該系統(tǒng)的狀態(tài)方程與輸出方程。圖8.2-9LTI離散系統(tǒng)并聯(lián)型模擬框圖

解選延時器的輸出端為狀態(tài)變量，分別為x1、x2、x3，如圖8.2-9中所標(biāo)。則由延時器、加法器運(yùn)算規(guī)則，直接寫得狀態(tài)方程為

輸出方程為將狀態(tài)方程和輸出方程寫為矩陣形式，有

例8.2-15LTI離散系統(tǒng)級聯(lián)形式的框圖如圖8.2-10所示，試列寫該系統(tǒng)的狀態(tài)方程與輸出方程。圖8.2-10LTI離散系統(tǒng)級聯(lián)型模擬框圖

解選延時器的輸出端為狀態(tài)變量，分別為x1、x2、x3，如圖8.2-10中所標(biāo)。則由延時器、加法器運(yùn)算規(guī)則，直接寫得狀態(tài)方程為

輸出方程為

y=x3將狀態(tài)方程和輸出方程寫為矩陣形式，有

3.由系統(tǒng)函數(shù)列寫動態(tài)方程

例8.2-16

描述某LTI離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為

試列寫該系統(tǒng)的動態(tài)方程。

解因前面講到由后向差分方程列寫動態(tài)方程，所以這里先將系統(tǒng)函數(shù)改寫為z的負(fù)冪次表示的分式形式

再書寫系統(tǒng)的后向差分方程為由以上方程認(rèn)定：a0=8，a1=7，a2=6，a3=1；b0=5，b1=4，b2=1，b3=0。套用式(8.2-45)與式(8.2-50)分別寫得狀態(tài)方程與輸出方程為

8.3連續(xù)系統(tǒng)動態(tài)方程的求解

為了討論問題的一般性，設(shè)n階系統(tǒng)有p個輸入、q個輸出，如圖8.3-1所示。圖8.3-1有p個輸入、q個輸出的LTI系統(tǒng)本章8.1節(jié)中已得到連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程與輸出方程的一般形式，為了求解方便，重書寫在這里。

(8.3-1)

(8.3-2)式中：A、B、C、D分別為n×n階、n×p階、q×n階、q×p階常量矩陣。在求解式(8.3-1)、式(8.3-2)的過程中將使用一個關(guān)鍵的矩陣指數(shù)函數(shù)eAt。在具體討論狀態(tài)方程求解之前，先對矩陣指數(shù)函數(shù)有所認(rèn)識。定義

(8.3-3)式中：I為單位陣；A為n×n方陣，eAt也是n×n方陣，因有時間變量t，所以稱為矩陣指數(shù)函數(shù)。eAt有以下主要性質(zhì)：

(8.3-4)

(8.3-5)

(8.3-6)

(8.3-7)8.3.1時域解法

考慮e－At是矩陣指數(shù)函數(shù)，所以對式(8.3-1)兩端同左乘e－At，得

即有對上式兩端作t0～t之積分，有

改變上式左端積分元，得

(8.3-8)由式(8.3-8)顯然可得

對上式兩端左乘eAt可解得狀態(tài)矢量為

(8.3-9)

eAt是計算xx(t)和xf(t)之前必須先計算的關(guān)鍵函數(shù)，從系統(tǒng)狀態(tài)概念考慮，稱它為狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)，用符號j(t)表示，即有

j(t)=eAt(8.3-10)仿照矩陣乘規(guī)則定義二矩陣卷積，但應(yīng)注意矩陣卷積不滿足交換律。若考慮t0=0并將eAt改為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣符號j(t)表示，則式(8.3-9)可改寫為

(8.3-11)

將式(8.3-11)代入式(8.3-2)，得

(8.3-12)式(8.3-12)中第(Ⅰ)部分只與系統(tǒng)起始狀態(tài)x(0)有關(guān)，稱為系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，記為yx(t)；第(Ⅱ)部分只與t≥0時的輸入有關(guān)，稱為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，記為yf(t)。若把這兩種響應(yīng)分別單獨(dú)書寫，即有

(8.3-13)

(8.3-14)再定義單位沖激陣：

(8.3-15)同樣有單位沖激陣與輸入矢量(陣)相卷積，其結(jié)果仍為輸入矢量，即

(8.3-16)

應(yīng)用式(8.3-16)關(guān)系，改寫式(8.3-14)，得

(8.3-17)上式中

(8.3-18)8.3.2狀態(tài)方程的變換域解

考慮應(yīng)用單邊拉氏變換的時域微分性質(zhì)，對式(8.3-1)取拉氏變換，有

由上式解得

(8.3-19)對式(8.3-11)取拉氏變換，并注意應(yīng)用時域卷積定理，得

(8.3-20)

比較式(8.3-19)與式(8.3-20)可知

(8.3-21)

Φ(s)是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣j(t)的拉氏變換象函數(shù)，稱它為s域預(yù)解矩陣。

對式(8.3-2)輸出方程取拉氏變換，有

(8.3-22)將式(8.3-20)代入式(8.3-22)，得

(8.3-23)若對式(8.3-17)作拉氏變換，顯然有

(8.3-24)

比較式(8.3-24)與式(8.3-23)中的第(Ⅱ)部分，顯然可得

(8.3-25)

對H(s)取拉氏逆變換即得系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)矩陣h(t)。8.3.3求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣j(t)即eAt

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣j(t)在整個系統(tǒng)狀態(tài)變量分析中起著非常重要的作用。在時域里有“化對角陣法”、“多項(xiàng)式法”等多種求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的方法，這里只介紹簡單而又常用的“多項(xiàng)式法”。這種方法的基本思路是依據(jù)凱萊-哈密頓定理將eAt定義式(8.3-3)中無窮項(xiàng)和轉(zhuǎn)化為有限項(xiàng)之和。凱萊-哈密頓定理指出，對于n階方陣A，當(dāng)m≥n時，有

(8.3-26)即對于A高于或等于n的冪指數(shù)，可用An－1以下冪次的各項(xiàng)線性組合表示。于是，將eAt定義式(8.3-3)中高于或等于n次的各項(xiàng)冪指數(shù)全部用An－1以下冪次的各項(xiàng)線性組合表示，經(jīng)整理后即可將eAt轉(zhuǎn)化為如下有限項(xiàng)之和形式：

(8.3-27)由凱萊-哈密頓定理還可得出，如果將方陣A的特征根

λi(i=0，1，2，…，n－1)(即A的特征多項(xiàng)式det(λI－A)=0的根)替代式(8.3-27)中的A，方程仍然成立，即有

(8.3-28)若A的特征根λi均為相異單根，則由上式可得n個聯(lián)立方程組

(8.3-29)

解式(8.3-29)方程組，得αi(i=0，1，…，n－1)，代入式

(8.3-27)，即得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣eAt=j(t)。若特征根中有二重根，如λ1=λ2為二重根，其余λi(i=3，4，…，n－1)仍為相異單根，則方程組演變?yōu)?/p>

(8.3-30)

解式(8.3-30)方程組，得αi代入式(8.3-27)，即得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣eAt=j(t)。

例8.3-1

已知

解

依式(8.3-29)列本例方程組

解得代入式

(8.3-27)，得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

例8.3-2

已知

解

依式(8.3-30)列本例方程組解得

將α0、α1代入式(8.3-27)，得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

例8.3-3

已知

解

對上式右端矩陣作拉氏逆變換，得

例8.3-4

已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程與輸出方程分別為

并知求系統(tǒng)的輸出y(t)。

(1)求系統(tǒng)特征根:

解得λ1=－1，λ2=－2。

(2)求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣eAt。

依式(7.3-29)列本例方程組

解得故得

(3)計算狀態(tài)矢量。

(4)計算輸出y(t)。

考慮本問題C=［1

0]，D=0，所以系統(tǒng)輸出為

例8.3-5

已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程與輸出方程分別為

且知求系統(tǒng)的輸出y(t)。

解用拉氏變換解。

(1)求Φ(s)，F(xiàn)(s)。

(2)計算X(s)。

(3)計算Y(s)。

(4)取拉氏逆變換，算得

8.4離散系統(tǒng)動態(tài)方程的求解

離散系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程矩陣形式分別為

(8.4-1) (8.4-2)

這里仍設(shè)n階系統(tǒng)有p個輸入、q個輸出。上式中A、B、C、

D分別為n×n階、n×p階、q×n階、q×p階常量矩陣。8.4.1時域解法

1.迭代歸納解的一般形式

設(shè)x(k0)為k0時刻的狀態(tài)，由式(8.4-1)得觀察規(guī)律，歸納得解的一般形式為令上式中m=k，則得

(8.4-3)

若k0=0，則式(8.4-3)又可改寫為

(8.4-4)式(8.4-4)即是離散系統(tǒng)狀態(tài)矢量的解，其中(Ⅰ)部分為狀態(tài)矢量的零輸入解；(Ⅱ)部分為狀態(tài)矢量的零狀態(tài)解。應(yīng)注意，當(dāng)k=0時，式中(Ⅱ)部分是不存在的，這是因?yàn)榈?Ⅱ)部分的求和式的上、下限是i=0至k－1，所以k－1＞0即要求

k＞1時才有第(Ⅱ)部分。此時的結(jié)果只有第(Ⅰ)項(xiàng)，即x(0)本身。于是將上式對k的限制以乘階躍序列的形式書寫表意更確切，式(8.4-4)可改寫為

(8.4-5)將式(8.4-5)代入式(8.4-2)即得系統(tǒng)的輸出為

(8.4-6)

2.定義狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣j(k)=Ak

與連續(xù)系統(tǒng)類似，離散系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣亦具有以下幾點(diǎn)重要性質(zhì)：將狀態(tài)矢量x(k)與輸出y(k)用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣j(k)表示，改寫式(8.4-5)、式(8.4-6)得

(8.4-10)

(8.4-11)

3.系統(tǒng)單位序列矩陣h(k)

如同連續(xù)系統(tǒng)一樣，這里定義單位序列為

(8.4-12)

亦有定義系統(tǒng)的單位序列矩陣為

(8.4-13)8.4.2狀態(tài)方程的變換域解

對式(8.4-1)取單邊Z變換，得

解上式，得

(8.4-14)

對式(8.4-2)取單邊Z變換，得將式(8.4-14)代入上式，得

(8.4-15)系統(tǒng)函數(shù)為

(8.4-16)

對上式作逆Z變換即得系統(tǒng)的單位序列矩陣h(k)。

1.定義Φ(z)j(k)

應(yīng)用j(k)改寫yx(k)，得

yx(k)=Cj(k)x(0)

(8.4-17)

而由式(8.4-15)知

Yx(z)=C

［zI－A］－1zx(0)

(8.4-18)

觀察對比式(8.4-17)與式(8.4-18)可以看出

j(k)

Φ(z)=［zI－A］－1z(8.4-19)

Φ(z)稱為預(yù)解矩陣，應(yīng)注