第8章信號濾波技術(shù)8.1濾波器的基本知識8.2

RC有源濾波器電路綜合

8.1濾波器的基本知識

8.1.1濾波器的類型

按照所處理信號形式的不同，濾波器可分為模擬與數(shù)字兩大類。二者在功能特性方面有許多相似之處，但在結(jié)構(gòu)組成方面有很大差別。前者處理對象為連續(xù)的模擬信號，后者為離散的數(shù)字信號。本章主要介紹模擬有源濾波器的結(jié)構(gòu)及設(shè)計。

濾波器對不同頻率的信號有3種不同的選擇作用：

(1)在通帶內(nèi)使信號受到很小的衰減而通過。

(2)在阻帶內(nèi)使信號受到很大的衰減而抑制。

(3)在通帶與阻帶之間的一段過渡帶使信號受到不同程度的衰減。濾波器的3種頻帶在全頻帶中分布位置不同，可實現(xiàn)對不同頻率信號的選擇作用。根據(jù)所選擇的頻率濾波器可分為4種不同的基本類型：

(1)低通濾波器：通帶從零延伸到某一規(guī)定的上限頻率。

(2)高通濾波器：通帶從某一規(guī)定的下限頻率延伸到無窮大。

(3)帶通濾波器：通帶位于兩個有限非零的上、下限頻率之間。

(4)帶阻濾波器：阻帶位于兩個有限非零的上、下限頻率之間。各種濾波器的通帶與阻帶如圖8-1所示，通帶與阻帶之間是過渡帶。此外還有一種全通濾波器，各種頻率的信號都能通過，但不同頻率信號的相位有不同變化，它實際上是一種移相器。圖8-1各種濾波器頻率特性示意根據(jù)電路組成，濾波器又可分為以下4種。

1.LC無源濾波器

2.RC無源濾波器

3.由特殊元件構(gòu)成的無源濾波器

4.RC有源濾波器8.1.2模擬濾波器的傳遞函數(shù)與特性

1.模擬濾波器的傳遞函數(shù)

模擬濾波器電路的基本形式為線性四端網(wǎng)絡(luò)，其特性可用一個線性微分方程來描述，即

(8-1)對式(8-1)兩邊作拉氏變換，整理后得

(8-2)由線性網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性條件所限，分母中各系數(shù)均應(yīng)為正，并要求n≥m，n稱為網(wǎng)絡(luò)階數(shù)，即濾波器的階數(shù)。它反映了電路的復(fù)雜程度。對傳遞函數(shù)分子、分母進行因式分解，可將其改寫為

(8-3)因為對于實系數(shù)分式，任何復(fù)數(shù)的零點或極點必須共軛出現(xiàn)，因此式(8-3)又可改寫為

(8-4)

2.模擬濾波器的特性

模擬濾波器的傳遞函數(shù)表達了濾波器的輸入與輸出間的傳遞關(guān)系。若濾波器的輸入信號Ui是角頻率為ω的單位信號，則濾波器的輸出Uo(jω)=H(jω)表達了在單位信號輸入情況下的輸出信號隨頻率變化的關(guān)系，稱為濾波器的頻率特性函數(shù)，簡稱頻率特性。在傳遞函數(shù)中，令拉氏變量s=jω可以得到頻率特性函數(shù)H(jω)為

(8-5)

3.濾波器的主要特性指標

1)特征頻率

fp=ωp/(2π)為通帶與過渡帶邊界點的頻率，該點為濾波器增益下降到一個人為規(guī)定的下限值時所對應(yīng)的頻率點，又稱通帶截頻。

濾波器的另一重要特征頻率是濾波器的固有頻率f0=ω0/(2π)，也就是其諧振頻率，復(fù)雜電路往往有多個固有頻率。它是當電路沒有損耗時，即式(8-4)的分母中aj1=0時極點所對應(yīng)的頻率。

(8-6)

2)增益與衰耗

濾波器在通帶內(nèi)的增益Kp并非常數(shù)。對低通濾波器，通常增益一般指ω=0時的增益；高通濾波器指ω→∞時的增益；帶通濾波器則指中心頻率處的增益。對帶阻濾波器，應(yīng)給出阻帶衰耗，定義為增益的倒數(shù)。通帶增益變化量ΔKp指通帶內(nèi)各點增益的最大變化量。如果ΔKp以dB表示，則指增益dB值的變化量。

3)阻尼系數(shù)與品質(zhì)因數(shù)

阻尼系數(shù)α用以表征濾波器對角頻率為ω0的信號的阻尼作用，是濾波器中表示能量衰耗的一項指標，它是與傳遞函數(shù)的極點實部大小相關(guān)的一項系數(shù)。它可由式(8-4)所示的傳遞函數(shù)的分母多項式系數(shù)求得，其大小為

(8-7)

α的倒數(shù)Ｑ=1/α稱為品質(zhì)因數(shù)，是評價帶通與帶阻濾波器頻率選擇特性的一個重要指標，可以證明

(8-8)

式中的Δω為帶通或帶阻濾波器的3dB帶寬，這里ω0指濾波器的中心頻率，在很多情況下中心頻率與固有頻率相等。

4)靈敏度

濾波電路由許多元件構(gòu)成，每個元件參數(shù)的變化都會對濾波器的性能產(chǎn)生影響。濾波器某一性能指標y對某一元件參數(shù)x變化的靈敏度記作Sxy，定義為

(8-9)

在濾波器設(shè)計的工具書中，都給出了各類濾波器各種靈敏度的具體表達式。

5)群時延函數(shù)

當濾波器幅頻特性滿足設(shè)計要求時，為保證輸出信號失真度不超過允許范圍，對其相頻特性j(w)也應(yīng)提出一定要求。在濾波器設(shè)計中，常用群時延函數(shù)

(8-10)

評價信號經(jīng)濾波器后的相位失真程度。t(w)越接近常數(shù)，信號相位失真越小。8.1.3二階濾波器及其特性

二階濾波器傳遞函數(shù)的一般形式為

(8-11)

在式(8-11)中，分子中的系數(shù)b2、b1、b0分別取不同的值，就構(gòu)成了不同類型的濾波器。

1.二階低通濾波器

二階低通濾波器的傳遞函數(shù)的一般形式為

(8-12)

它的固有頻率通帶內(nèi)的增益Kp=b0/a0，阻尼系

數(shù)α=a1/ω0。為了明確其間關(guān)系,式(8-12)又可寫為

(8-13)其幅頻特性與相頻特性分別為

(8-14)

或

(8-15)群時延函數(shù)

(8-16)

對應(yīng)不同α值的二階低通濾波器的幅頻特性和相頻特性如圖

8-2所示。圖8-2二階低通濾波器函數(shù)的特性

2.二階高通濾波器

對式(8-13)所示二階低通濾波器的傳遞函數(shù)進行頻率變換(s/ω0→ω0/s)可以得到二階高通濾波器的傳遞函數(shù)的一般形式

(8-17)其幅頻特性與相頻特性分別為

(8-18)

或

(8-19)群時延函數(shù)

(8-20)

對應(yīng)不同α值的二階高通濾波器的幅頻特性和相頻特性如圖8-3所示。圖8-3二階高通濾波函數(shù)的特性

3.二階帶通濾波器

二階帶通濾波器的傳遞函數(shù)的一般形式為

(8-21)其幅頻特性與相頻特性分別為

(8-22)

或

(8-23)群時延函數(shù)

(8-24)當ω=0或當ω→∞時，A(ω)→0；當ω=ω0時，A(ω)=Kp，達到極大值。因此，該濾波器具有帶通特性。在轉(zhuǎn)折頻率fc=ωc/(2π)處，通帶增益下降3dB，也就是說，當ω=ωc時，

根據(jù)式(8-22)得到解此方程得到兩個轉(zhuǎn)折角頻率分別為這正是前面給出的式(8-8)。在帶通濾波器中，品質(zhì)因數(shù)的倒數(shù)1/Q=Dw/w0,稱為相對帶寬;

Dw則稱為3dB絕對帶寬。Q值越大，相對帶寬越小，頻率選擇性能越強。

對應(yīng)不同Q值的二階帶通濾波器的幅特性和相頻特性如圖8-4所示。圖8-4二階帶通濾波函數(shù)的特性

4.二階帶阻濾波器

二階帶阻濾波器的傳遞函數(shù)的一般形式為

(8-25)其幅頻特性與相頻特性分別為

(8-26)

(8-27)群時延函數(shù)

(8-28)

當ω=ω0時，A(ω)=0；當ω=0或當ω→∞時，A(ω)=Kp，達到極大值，因此該濾波器具有帶阻特性。同樣可以證明，其品質(zhì)因數(shù)Q與中心頻率ω0和阻帶寬Δω具有式(8-8)的關(guān)系。

對應(yīng)不同Q值的二階帶阻濾波器的幅頻特性和相頻特性見圖8-5。圖8-5二階帶阻濾波函數(shù)的特性

5.二階全通濾波電路

二階全通濾波電路的傳遞函數(shù)一般形式為

(8-29)其幅頻特性與相頻特性分別為

(8-30)

或

(8-31)

(8-32)8.1.4濾波器特性的逼近以及阻尼系數(shù)對濾波器特性的影響

1.最平坦響應(yīng)逼近——巴特沃斯(Butterworth)濾波器

這種逼近的濾波器的特點是，幅頻特性在通帶內(nèi)最為平坦(低通在零頻附近，帶通在中心頻率附近，高頻在無限大頻率上)，并且單調(diào)變化，無明顯截止點，轉(zhuǎn)折頻率附近圓滑。

其幅頻特性為

(8-33)其中，n為網(wǎng)絡(luò)階數(shù)，ωc為轉(zhuǎn)折頻率。n階巴特沃斯低通濾波器的傳遞函數(shù)可由下式確定：

(8-34)圖8-6是n=2、4、5階3種巴特沃斯低通濾波器的幅頻與相頻特性。從圖(a)可以看出A(ω)隨頻率單調(diào)下降，隨著電路階數(shù)n的增加逐漸向理想的矩形逼近。從圖(b)可以看出，其相頻特性是非線性的，且隨電路階數(shù)增加線性度變差。圖8-6

3種巴特沃斯低通濾波器的幅頻與相頻特性

2.等起伏逼近——切比雪夫(Chebyshev)濾波器

這種逼近方法的濾波器的特點是，其幅頻特性在通帶內(nèi)有幾個點與理想特性是相符的，但有等幅一定量的波動ΔKp；在通帶外其幅頻特性具有陡峭的衰減(這是以帶內(nèi)起伏為代價的)，形狀上更接近矩形。

切比雪夫濾波器的幅頻特性為

(8-35)其中，n為電路階數(shù)，稱為通帶增益

波紋系數(shù)，ΔKp為通帶內(nèi)允許的波動幅度(單位為dB)，ωp

為通帶截頻(對于切比雪夫濾波器就是波紋區(qū)終止頻率)，

cn(ω/ωp)為n階切比雪夫多項式。由上式可知，切比雪夫濾波器在通帶內(nèi)(ω≤ωp)有

［n/2］(［n/2］表示n/2取整)個等幅波動，通帶增益在

之間變化;在通帶外(ω>>ωp)以ω/ωp

的近似－n次冪的規(guī)律單調(diào)下降;允許的波動幅度越大，其過渡帶越陡峭，且ΔKp所產(chǎn)生的幅度失真也越大。

n階切比雪夫低通濾波器的傳遞函數(shù)可由下式確定：

(8-36)

式中，θk與式(8-34)中的意義相同；b=［arcsinh(1/e)］/n。對于二階低通濾波器，不同的通帶波動幅變ΔKp的切比雪夫逼近對應(yīng)于不同a值，而且wp/w0與wp/wc也各不相同，一般阻尼系數(shù)應(yīng)控制在0.75～1.3之間。表8-1列出了大小不同的

a與ΔKp、wp/w0、wp/wc的對應(yīng)關(guān)系。

3.最大線性相位逼近(最平延遲逼近)——貝賽爾(Bessel)濾波器

這種逼近與前兩種不同，它主要側(cè)重于相頻特性。這種逼近的基本原則是，a的取值應(yīng)使通帶內(nèi)的相頻特性接近于線性，即群時延函數(shù)接近于常量。這樣，就可以使各頻率分量的正弦信號通過濾波器后，其延遲時間與頻率無關(guān)，從而使濾波器對輸入的信號不會產(chǎn)生相位失真。對于二階低通濾波器，取a=3就能滿足這一要求。

圖8-7所示是具有相同的單位增益、相同的3dB轉(zhuǎn)折頻率、以4種不同方式逼近的5階低濾波器的頻率特性曲線。圖8-7

4種不同逼近方式的5階低通濾波器特性

1—貝賽爾濾波器；2—巴特沃斯濾波器；3—通帶波動為0.5dB的切比雪夫濾波器；4—通帶波動為2dB的切比雪夫濾波器

8.2

RC有源濾波器電路綜合

8.2.1有限增益放大源的單端反饋型有源濾波電路

圖8-8所示是有限增益放大源的單端反饋型二階有源濾波電路的基本結(jié)構(gòu)，點畫線框內(nèi)由運算放大器與電阻R和R0構(gòu)

成同相有限增益電壓放大器，也稱壓控電壓源，壓控增益

Kf=1+R0/R。圖8-8有限增益放大源的單端反饋型二階有源濾波電路的基本結(jié)構(gòu)由電路分析可得:

(8-37)解此方程組得電路的傳遞函數(shù)為

(8-38)

式中，Y1～Y5為所在位置元件的復(fù)導納，對于電阻元件

Yi=1/Ri，對于電容元件Yi=sCi(i=1～5)，Y1～Y5選用適當?shù)碾?/p>

阻、電容元件，該電路可構(gòu)成低通、高通與帶通3種二階有

源濾波電路。

1.低通濾波電路

在圖8-8中，取Y1與Y2為電阻，Y3與Y5為電容，Y4=0開路，可構(gòu)成低通濾波電路，如圖8-9所示。其傳遞函數(shù)為

(8-39)圖8-9二階有源低通濾波電路與標準形式Kpω20/(s2+aw0s+w20)比較，得濾波器的有關(guān)參數(shù)為

通帶內(nèi)增益

(8-40)截止(轉(zhuǎn)折)頻率

(8-41)

(8-42)利用以上關(guān)系，根據(jù)有關(guān)要求可設(shè)計低通濾波器。具體步驟為:

(1)已知條件：Kp、Q=1/a、ω0=2pf0。

(2)選擇電容：C1=C2=C為合適值。

(3)計算電阻必須指出，該電路增益Kf不能過大，若C1=C2=C，

R1=R2=R，則式(8-39)變?yōu)?/p>

可見，當Kf≥3時，Q值趨于無窮大，極點就會位于S平面虛軸上或右半平面，電路就會不穩(wěn)定，所以，這個電路的Q值一般只能小于10左右，否則不能保證電路穩(wěn)定工作。

2.高通濾波電路

在圖8-8中，取Y1與Y2為電容，Y3與Y5為電阻，Y4=0開路，可構(gòu)成高通濾波電路，如圖8-10所示，其傳遞函數(shù)為

(8-43)圖8-10二階有源高通濾波電路濾波器參數(shù)為利用以上關(guān)系，根據(jù)有關(guān)要求可設(shè)計高通濾波器。具體步驟為：

(1)已知條件：Kp、Q=1/a、w0=2pf0。

(2)選擇電容：C1=C2=C為合適值。

(3)計算電阻：

3.帶通濾波電路

二階帶通濾波電路有多種形式，以圖8-8為基本結(jié)構(gòu)，取Y2與Y4為電容，其余為電阻，即可構(gòu)成其中一種，如圖8-11(a)所示，其傳遞函數(shù)為

(8-44)圖8-11二階有源帶通濾波電路若取R1=R2=R3=R，C1=C2=C，則

(8-45)二階帶通濾波電路的另一種結(jié)構(gòu)形式如圖8-11(b)所示，其傳遞函數(shù)的形式為

(8-46)若取R1=R2=R3=R，C1=C2=C

，則

(8-47)可見，其性質(zhì)與第一個電路的相近。與標準形式Kpaw0s/(s2+aw0s+w20)比較，該電路的濾波器參數(shù)為通過對該電路的靈敏度研究可知，Q值受無源元件的影響較大，因此，Q取值不能太大，一般應(yīng)小于10。以式(8-47)為例，電路參數(shù)的設(shè)計步驟為：

(1)已知條件：Q=1/a、w0=2pf0。

(2)選擇電容：C1=C2=C為合適值。

(3)計算參數(shù)：

4.帶阻濾波電路

用壓控電壓源構(gòu)成的二階帶阻濾波電路也有多種形式，圖8-12所示是一種基于RC雙T型網(wǎng)絡(luò)的二階帶阻濾波電路。圖8-12二階帶阻濾波電路為使其傳遞函數(shù)具有如式(8-25)的形式，雙T型網(wǎng)絡(luò)必須具有平衡式結(jié)構(gòu)，R1R2C3=(R1+R2)(C1+C2)R3，或R3=R1∥R2，

C3=C1∥C2。可以證明，在這樣的電路中R、C元件的位置互

換，仍為帶阻濾波電路。通常電容取值為C1=C2=C3/2=C。在上述條件下，濾波器參數(shù)為8.2.2無限增益多路反饋型濾波電路

無限增益多路反饋型濾波電路是由一個理論上具有無限增益運算放大器賦以多路反饋構(gòu)成的濾波電路。與有限增益放大源的單端反饋型二階有源濾波電路一樣，它也可構(gòu)成多

種二階濾波電路。圖8-13所示是由單一運算放大器構(gòu)成的無限增益多路反饋二階濾波電路的基本結(jié)構(gòu)，根據(jù)電路分析可得其傳遞函數(shù)為

(8-48)圖8-13無限增益多路反饋型二階濾波電路基本結(jié)構(gòu)

1.低通濾波電路

在圖8-13中，取Y2、Y5為電容，其余為電阻，可構(gòu)成低通濾波電路，如圖8-14所示。其傳遞函數(shù)為

(8-49)圖8-14多路反饋低通濾波器與標準形式比較后得濾波器有關(guān)參數(shù)為電路參數(shù)的設(shè)計步驟為：

(1)已知條件：Kp、α、ω0=2pf0。

(2)選擇電容：C2=C為合適值；C5=mC(常數(shù)m可預(yù)先確定)。

(3)計算參數(shù)：

為了使R4為實數(shù)，必須使m≥4(1+Kp)/a2。

2.高通濾波電路

在圖8-13中，取Y2、Y5為電阻，其余為電容，可構(gòu)成高通濾波電路，如圖8-15所示。其傳遞函數(shù)為

(8-50)圖8-15多路反饋高通濾波器與標準形式比較后，得濾波器有關(guān)參數(shù)為電路參數(shù)的設(shè)計步驟為：

(1)已知條件：Kp、a、w0=2pf0。

(2)選擇電容：C1=C3=C為合適值。

(3)計算參數(shù)：

3.帶通濾波電路

在圖8-13中，取Y3、Y4為電容，其余為電阻，可構(gòu)成二階帶通濾波電路，如圖8-16(a)所示，其傳遞函數(shù)為

(8-51)圖8-16多路反饋帶通濾波器

與標準形式比較后得濾波器的有關(guān)參數(shù)為：一般取C3=C4=C，R1>>R2，因此

4.帶阻濾波器

構(gòu)造帶阻濾波器的一種方式是采用傳遞函數(shù)綜合的方式，即帶通濾波器+全通器(相減器)。

圖8-17所示是兩種帶阻濾波器的結(jié)構(gòu)，圖(a)所示是反相相加的帶阻濾波器結(jié)構(gòu)，圖(b)所示是同相相加的帶阻濾波器結(jié)構(gòu)。圖8-17帶通濾波器+全通器的帶阻濾波器8.2.3雙二階環(huán)濾波電路

1.低通與帶通濾波電路

圖8-18所示電路可實現(xiàn)兩種濾波功能，從u3點輸出可實現(xiàn)帶通濾波，從u2、u1點輸出可實現(xiàn)低通濾波。該濾波器的參數(shù)為圖8-18具有低通與帶通功能的雙二階環(huán)電路

2.可實現(xiàn)高通、帶阻與全通濾波功能的雙二階環(huán)電路

圖8-19是一種很實用的雙二階環(huán)電路，該電路從uo輸出時，其傳遞函數(shù)為

(8-52)如果令R03開路，并使R01=R02R2/R3，則該電路為高通濾

波電路。如果令R03=R02R5/R4，并仍保R01=R02R2/R3，則該電路為帶阻濾波電路。如果令R01=R02R2/(2R3)，R03=R02R5/R4,則該電路為全通濾波電路。由該電路所實現(xiàn)的各種雙二階環(huán)濾波器的參數(shù)均為圖8-19可實現(xiàn)高通、帶阻與全通功能的雙二階環(huán)電路

3.低通、高通、帶通、帶阻與全通濾波電路

在圖8-20中，如果R01=R02=R03=R04，則uh、ub與ul分別為高通、帶通與低通濾波電路的輸出。濾波器參數(shù)分別為這里，Kph、Kpb、Kpl分別為構(gòu)成高通、帶通、低通濾

波器時的通帶增益。如果令R07開路(虛線斷開)，并且令R05=R06=R0，則ux為帶阻濾波器的輸出，如果接入R07=R0，

則ux為全通濾波器的輸出，增益均為Kp=－1，ω0與Q不變。圖8-20可實現(xiàn)低通、帶通、高通、帶阻與全通功能的雙二階環(huán)電路8.2.4

RC有源濾波器的設(shè)計

1.確定傳遞函數(shù)

對于高通濾波器，式(8-33)與式(8-35)相應(yīng)地變?yōu)?/p>

(8-53)

(8-54)

例8-1確定通帶增益波動為2dB的3階切比雪夫低通濾

波器的傳遞函數(shù)。

解由題意知：n=3；N=1；k=1。按照式(8-36