上海寶山世外學(xué)校高中國(guó)內(nèi)部2023/2024學(xué)年第二學(xué)期5月評(píng)估高一數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間:120分鐘滿分:150分）一.填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.1.已知?jiǎng)t等于________2.若的終邊所在直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則__________．3.向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若則___________4.如圖，是一平面圖的直觀圖，斜邊，則這個(gè)平面圖形的面積是__________5.以下四個(gè)命題：①兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)差是純虛數(shù)；②若，則；③若、，且，則；④，則.其中正確的有______個(gè).6.單調(diào)增區(qū)間為_______7.已知?jiǎng)t在上的投影向量為______8.在不等邊中，為最大邊，若，則的取值范圍為________.9.已知為復(fù)數(shù)，滿足，則的值是________10.自平面外一點(diǎn)向平面引垂線段及兩條斜線段，它們?cè)谄矫鎯?nèi)的射影長(zhǎng)分別為2和12，且這兩條斜線與平面所成角相差45°，則垂線段的長(zhǎng)為_______.11.在中，角的對(duì)邊分別為，為邊上的高，有以下結(jié)論：①；②；③；④.其中所有的正確序號(hào)的是__________.12.已知△ABC中，AB邊上的高與AB邊的長(zhǎng)相等，則的最大值為________．二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.13.下列命題中，正確的命題是（）A.若，則B.若，則C.若，則與有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)D.若，則與沒(méi)有公共點(diǎn)14.下圖是函數(shù)的部分圖像，則（）A. B.C. D.15.在中，的對(duì)邊分別記為，且，都是方程的根，則（）A.等腰三角形，但不是直角三角形B.直角三角形，但不是等腰三角形C.是等腰直角三角形D.不是等腰三角形，也不是直角三角形16.下圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A（前輪），圓D（后輪）的半徑均為△ABE，△BEC，△ECD均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形.設(shè)點(diǎn)P為后輪上的一點(diǎn)，則在騎動(dòng)該自行車的過(guò)程中，的最大值為（）A.18 B.24 C.36 D.48三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)位置寫出必要的步驟.17.已知，且與的夾角為（1）求與的夾角；（2）若向量與的夾角是銳角，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.18.（1）如圖，在圓柱中，是圓柱的母線，是圓柱的底面的直徑，是底面圓周上異于、的點(diǎn)．求證：平面.（2）正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，求動(dòng)點(diǎn)從沿表面移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)的最短的路程.19.2021年5月，第十屆中國(guó)花卉博覽會(huì)將在美麗的崇明島舉辦，主辦方要對(duì)布展區(qū)域精心規(guī)劃.如圖，凸四邊形ABCD是一個(gè)花卉布展區(qū)域的平面示意圖，為了展示不同品種的花卉，將BD連接，經(jīng)測(cè)量已知（1）若，求此花卉布展區(qū)域總面積；（2）求證：一個(gè)定值；（3）在銳角中，內(nèi)角A，B，C對(duì)的邊分別為a，b，c.若，求的取值范圍20.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，，BC=1，，PD=CD=2.（I）求異面直線PA與BC所成角正切值；（II）證明平面PDC⊥平面ABCD；（III）求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值．21.已知函數(shù)．（1）試