第6章穩(wěn)健方向圖綜合算法6.1傳統(tǒng)方向圖綜合算法6.2基于自適應陣列方法的穩(wěn)健方向圖綜合算法6.3基于LCMV準則的穩(wěn)健方向圖綜合算法6.4基于半正定規(guī)劃的穩(wěn)健方向圖綜合算法6.5基于凸優(yōu)化的穩(wěn)健方向圖綜合算法6.1傳統(tǒng)方向圖綜合算法

6.1.1契比雪夫綜合方法

當陣元數(shù)N為奇數(shù)時，定義權值為(6.1-1)由于陣列方向圖是陣列參數(shù)，如陣元個數(shù)N、陣元間距d、信號波長λ，來波方向θ的函數(shù)，即B(N,d,λ,θ)。為了簡化,通常省略陣元數(shù)N,表示為B(d,λ,θ)，如果令(6.1-2)則陣列方向圖將是該參數(shù)的函數(shù)，即可簡寫為B(ψ)。根據(jù)B(ψ)為實對稱函數(shù)的假設，可得奇數(shù)陣元陣列的實對稱權值：

am=a－m(6.1-3)故可將B(ψ)寫成一個三角函數(shù)的形式：類似地，當N為偶數(shù)時，可以定義(6.1-4)(6.1-5)(6.1-6)因此有(6.1-7)或表示為(6.1-８)圖6.1-1給出了當N為奇數(shù)和偶數(shù)時的陣元加權系數(shù)標號示意圖。圖6.1-1均勻線陣的陣元加權系數(shù)標號示意圖因此，當N為奇數(shù)時，根據(jù)式(6.1-4)，波束形成器的方向圖可以表示為N:odd

(6.1-9)其中αn(n=0,1…,(N－1)/2)定義為(6.1-10)同樣，當N為偶數(shù)時，根據(jù)式(6.1-8)，有下式：

其中αn的定義為

同樣，式(6.1-11)也可以表示為(6.1-11)(6.1-12)(6.1-13)(6.1-14)再利用二項式展開并取實部，可得(6.1-15)并帶入特定的m值，式(6.1-15)可化簡為如下形式：(6.1-16)定義則式(6.1-15)變?yōu)?6.1-18)(6.1-17)式(6.1-18)中的多項式為Chebychev多項式，而且可以表示成一般的形式：對于特定的m值，前8個Chebychev多項式為(6.1-19)(6.1-20)

第m階Chebychev多項式的定義為(6.1-21)(6.1-22)其中cm為正交常數(shù)，且有(6.1-23)多項式可以擴展到區(qū)域|x|<1以外，具體的定義如式(6.1-21)所示。其中階數(shù)小于等于7的前八個Chebychev多項式如圖6.1-2所示。圖6.1-2Chebychev多項式對于Chebychev多項式，存在以下性質：

（1）對于m≥2，有

Tm(x)=2xTm－1(x)－Tm－2(x)(6.1-24)

其中的T0(x)和T1(x)由前面的定義式(6.1-20)給出。（2）Tm(x)有m個實數(shù)根，在區(qū)間|x|<1以內。多項式的根出現(xiàn)在的情況，或者說滿足：(6.1-25)所以，這些根在ψ空間內是均勻間隔的。因此可將x的根表示為xp，且有(6.1-26)（3）Tm(x)在－1<x<1的區(qū)間內具有交替的最大值和最小值，出現(xiàn)的位置為(6.1-27)每個最大值和最小值的幅度為1，即

|Tm(xk)|=1

(6.1-28)所以，多項式在－1<x<1的區(qū)間內具有等波紋的特征。（4）所有的多項式均通過點(1,1)，且在x=±1，有

|Tm(±1)|=1。對于x>1，有

|Tm(x)|>1

(6.1-29)

從前面的方向圖函數(shù)多項式展開式(6.1-16)可知，一個指向為正側視的對稱等間距陣列（全向源），其波束方向圖B(ψ)是一個N－1階的多項式，且變量為x=cos(ψ/2)。在Dolph-Chebychev方法中，主波束的幅度對應于

Tm(x0)的值，其中x0>1，旁瓣的幅度為1。定義主波束最大值和旁瓣電平的比值為R，則(6.1-30)具體的合成過程由下面的5個步驟組成：

（1）對于一個N陣元的陣列，選擇和陣列多項式相同階數(shù)的Chebychev多項式Tm(x)，即有

m=N－1(6.1-31)

（2）選擇R并解得x0。由于R>1，所以x0>1。但是，為了利用x=cos(ψ/2)，需要滿足|x|<1。（3）通過定義一個新的變量ω，進行尺度改變，即并令則(6.1-32)(6.1-33)(6.1-34)（4）波束方向圖為(6.1-35)其中的因子1/R用于歸一化波束方向圖，使得B(0)=1（5）確定上式中的波束方向圖的陣列權值。

為了確定權值矢量，首先應找到波束方向圖的零點。零點的位置由下式給出：或在x空間表示為(6.1-37)(6.1-3６)變換尺度到ω空間，得到(6.1-39)(6.1-38)然后構造一個N×N的陣列流型矩陣V(ψ)，即

V(ψ)=［v(0),v(ψ1),…,v(ψp),…,v(ψN－1)

(6.1-40)

因此，可得權值矢量:

w=［VH(ψ)]－1e1(6.1-41)

其中e1=［1,0,…,0]為假設的歸一化波束方向圖。如果需要，可以從wn轉換到an，但這并不是必要的。6.1.2契比雪夫綜合方法的仿真實例

由于天線的陣元數(shù)N=8，故選擇和陣列多項式相同階數(shù)的Chebychev多項式Tm(x)，由m=N－1=8－1=7可知，令

T7(x0)=31.62(6.1-42)

根據(jù)Chebychev多項式的定義式，有

TN－1(x0)=cosh((N－1)arccoshx0)=R,|x0|>1(6.1-43)或者(6.1-44)帶入R=31.62以及N=8，可得(6.1-4５)所以(6.1-46)為了得到陣列的加權矢量，利用式(6.1-39)得到ψ空間的零點，即(6.1-47)或對于均勻線陣，當導向矢量以為變量時，有故按照式(6.1-40)和式(6.1-41)可得陣列加權矢量為(6.1-49)(6.1-50)圖6.1-3給出了T7(x)和式(6.1-46)所需B（ψ)的映射關系。顯然，當ψ從0變化到π，B(ψ)從R通過3次過零點變化，直到在ψ=π時的0。由于波束方向圖是對稱的，故可以得到一個完整的波束方向圖。圖6.1-3T7(x)和B(ψ)的映射關系圖6.1-4給出了分別利用權矢量w計算的方向圖P(u)和B(ψ)。圖6.1-4Chebychev波束方向圖為了比較在不同旁瓣電平下的Chebychev方向圖，圖6.1-5給出旁瓣電平分別為－20dB、－30dB、－40dB時的綜合方向圖。顯然，隨著旁瓣電平的降低，主瓣寬度逐漸變寬。圖6.1-5不同旁瓣電平時的Chebychev方向圖前面的方向圖設計主要針對指向陣列的法線方向，

如果要求波束指向其它方向，則只需在所求指向法線方向

的權矢量w0點乘上所指方向θ的導向矢量v(θ)即可，即w=w0·v(θ)。

圖6.1-6給出了指向u=0.5或θ=60°的Chebychev綜合方向圖。圖6.1-6指向u=0.5的Chebychev波束方向圖6.1.3泰勒綜合方法

對于均勻加權線陣，其每個陣元的權矢量為即(6.1-51)(6.1-52)其中1為N×1維的單位矢量。在ψ=(2πd/λ)cosθ空間的陣列響應函數(shù)為(6.1-53)即ψ空間的波束方向圖為(6.1-54)

如果令

u=cosθ(6.1-55)則上式的波束方向圖在u空間可以表示成：(6.1-56)同樣，對于一個長度為L的線性孔徑，在均勻加權條件下，其陣列響應函數(shù)為(6.1-57)比較上面的兩個方向圖函數(shù)，為了確定和一個N陣元陣列相對應的等效孔徑長度，令上面兩式分子中的sinc函數(shù)

的參量相等，即(6.1-58)該等式保證了相同的主波束寬度和零點的距離,故有

L=Nd

(6.1-59)如果定義則有通過這樣改變方向圖函數(shù)的變量，方向圖的所有零點均位于整數(shù)值上，即

v=±1,±2,…

(6.1-62)(6.1-60)(6.1-6１)首先將上面的Bv(v)寫成一個無限乘積的形式：然后定義一個新的方向圖：(6.1-63)(6.1-64)Taylor證明了新零點的位置應該為(6.1-65)其中

cosh(πA)=R(6.1-66)其中的R和Dolph-Chebychev推導中的R相同。所以，最大旁瓣高度為－20lgR。為了確定對應的孔徑加權，根據(jù)線性孔徑陣列的響應函數(shù)表達式，有由于加權是對稱的，所以可以把w*(z)用傅立葉余弦級數(shù)展開，得到(6.1-68)(6.1-68)(6.1-67)其中cm是一個實常數(shù)。將上式帶入BT(u)表達式中，可得(6.1-69)現(xiàn)在選擇方向圖的整數(shù)值，即v=0,1,2,…。除非v=m，否則積分值為零，所以：(6.1-70)(6.1-71)根據(jù)前面BT(u)的定義式，當m≥n時，有BT(m)=0，所以，(6.1-72)該式即為所求結果。利用前面求解的v空間零解，根據(jù)u和v的關系式，可得定義在u空間的零點為(6.1-73)同樣，一個標準線性陣列的權矢量也可以參照公式

w=［VH(ψ)]－1e1,不同之處是ψ空間零點的位置由下式給出：(6.1-74)6.1.4泰勒綜合方法的仿真實例

第一步：計算主波束最大值和旁瓣電平的比值R。對于給定的最高旁瓣電平－30dB，可算出R=10－(－30)/20=

31.6228。第二步：選定n。根據(jù)仿真分析結果，通常選擇小于n陣元數(shù)量一半的正整數(shù)即可。對于此場景，選擇n=7。

第三步：計算方向圖零點的位置。對于該場景有(6.1-75)第四步：計算陣列加權矢量。根據(jù)式(6.1-40)和式

(6.1-41)計算加權矢量，不同之處是其中的零點為u空間的零點，而導向矢量也應該選擇以u為變量的導向矢量。對于此場景，權矢量為(6.1-76)圖6.1-7給出了旁瓣電平為－30dB的綜合方向圖。顯然，從主瓣兩邊開始，旁瓣逐漸降低。圖6.1-7不同旁瓣電平時的Taylor方向圖同樣為了設計指向不同方向的Taylor方向圖，只需在所求指向法線方向的權矢量w0點乘上所指方向θ的導向矢量v(θ)即可，即w=w0·v(θ)。圖6.1-8給出了指向u=0.5或θ=60°的Taylor綜合方向圖。圖6.1-8指向u=0.5的Taylor波束方向圖在泰勒方向圖綜合方法中，n

的選擇決定著方向圖的綜合效果，為了分析該參數(shù)對方向圖綜合的影響，圖6.1-9給出了不同n時的方向圖。圖6.1-10給出了當陣元數(shù)N=21時的不同n對應的方向圖。圖6.1-9不同n時的Taylor方向圖(陣元數(shù)N=16）圖6.1-10不同n

時的Taylor方向圖(陣元數(shù)N=21)

6.2基于自適應陣列方法的穩(wěn)健

方向圖綜合算法

6.2.1問題描述

考慮在角度集θ1,θ2,…,θN上的加權方向圖誤差之和E，即(6.2-1)其中：并且為陣列導向矢量，［·]H表示共軛轉置，gi(θ)為第i個陣元的方向圖，Pr(θi)為參考方向圖，f(θi)為加權函數(shù)，φi(θ)=k·xi為由傳播引起的附加相位項，其中k為波束矢量，xi為第i個陣元的位置矢量，w=［w1,w2,…,wM]T為加權矢量。誤差E也可以表示為如下形式：(6.2-3)利用該式，E可以被解釋為具有對應于干擾集合的主通道響應Pr(θ)的旁瓣相消器的平均輸出功率，如圖6.2-1所示。圖6.2-1方向圖綜合的旁瓣相消器解釋在最小化誤差E條件下的權矢量就是眾所周知的最小二乘問題：此外，當需要約束條件進行限制時，方向圖綜合問題可以描述為(6.2-5)(6.2-4)(6.2-6)此外，當需要約束條件進行限制時，方向圖綜合問題可以描述為(6.2-7)其中C為約束矩陣，而h為約束值矢量。該最優(yōu)化問題的最優(yōu)權矢量為其中Emin為最小誤差E：而誤差E為(6.2-8)(6.2-9)(6.2-10)6.2.2方向圖綜合算法

1.全迭代

選擇參考方向圖Pr(θ)如圖6.2-2所示，即在旁瓣區(qū)域內的所有響應值為零，而主瓣峰值響應為給定值A。圖6.2-2參考方向圖Pr(θ)加權函數(shù)(weightingfunction)的更新是通過迭代過程實現(xiàn)的，這與Olen和Compton的方向相似［8］，而且可以獲得滿意的陣列方向圖。具體的迭代公式如下所示：(6.2-11)(6.2-12)由于參考方向圖在該區(qū)域之外為零，故互相關矢量和協(xié)方差矩陣將由下式表示：(6.2-13)(6.2-14)其中σ2為加到協(xié)方差矩陣每一個對角元素的一個給定小常數(shù)，用于防止該協(xié)方差矩陣成為病態(tài)矩陣。因此，下一步的加權矢量為

w(k+1)=R－1s(k+1)rd(k+1)(6.2-15)

2.峰值迭代

該現(xiàn)象可以通過13陣元的非均勻線陣予以說明。如

果選擇目標方向圖Pd(θn)的旁瓣電平為－30dB，則圖

6.2-3~6.3-8給出了綜合方向圖隨著加權函數(shù)在不同迭代步

驟的結果。其中方向圖綜合過程開始于具有單位值的加權函數(shù)。圖6.2-3非均勻線陣的初始方向圖圖6.2-4初始方向圖的加權函數(shù)圖6.2-5第27次迭代的綜合方向圖圖6.2-6第27次迭代的加權函數(shù)圖6.2-7第16336次迭代的綜合方向圖圖6.2-8第16336次迭代的加權函數(shù)協(xié)方差矩陣和互相關矢量可以以殘余協(xié)方差矩陣Ｒs(k)和殘余互相關矢量rd(k)的形式進行表示，而且還加入了當前的影響項，即：～～(6.2-16)(6.2-17)其中：(6.2-18)(6.2-19)這里，rk(n)為殘余加權函數(shù)，它表示了對于在當前迭代中主瓣和旁瓣峰值的糾正量大小。而且rk(n)可以計算如下：其中(6.2-20)(6.2-21)下面的權矢量為(6.2-22)除了上面的rk(n)計算式之外，該算法和前面的算法是等價的。而其中的例外就是在更新協(xié)方差矩陣時僅僅是在旁瓣的峰值位置處進行的。基于該算法的方向圖綜合可以被建模為一個自適應空域濾波器，如圖6.2-9所示。該濾波器的輸入信號具有單位幅度和入射角θn。每一個陣元的接收信號都被加權并求和作為陣列的輸出，該輸出信號再和一個角度范圍之內的目標陣列響應進行比較。圖6.2-9自適應空域濾波器模型（1）選擇輸入的N個具有單位幅度和從各種角度入

射的信號，如從－90°到＋90°，其中相鄰角度值之間相

差1°。

（2）獲得初始加權矢量w(0)，即：(6.2-23)(6.2-24)(6.2-25)6.2.3仿真分析

第一個仿真例子為Chebyshev方向圖綜合，其中天

線陣列為15個陣元的均勻線陣，陣元間距為半波長。圖6.2-10給出了初始方向圖，圖6.2-11給出了一個中間方向圖，而圖6.2-12為最終的綜合方向圖，顯然綜合方向圖與理想的Chebyshev方向圖是完全重合的，其中實線為綜合方向圖，而虛線為Chebyshev方向圖。在仿真中，選擇Kp=36，Km=3000。參考方向圖選擇

的和前面的圖6.2-2相同，不同之處是將主瓣區(qū)域的目標信號方向設置為單位值。最后的綜合方向圖是在23次迭代后給出的。圖6.2-10初始方向圖圖6.2-11中間方向圖圖6.2-12綜合方向圖和Chebyshev方向圖第二個例子是非均勻線陣的方向圖綜合，其中陣元

數(shù)為21，而陣元位置矢量為λ×［5,4.6065,3.8098,3.2995,2.8973,2.3497,1.8494,1.5302,0.6299,0.3749,0,－0.3749,

－0.6299,－1.5302,－1.8494,－2.3497,－3.2995,－3.8098,

－4.6065,-5］。圖6.2-13給出了主瓣形狀為Pr(θ)=cos2(7θ)

的方向圖綜合結果。圖6.2-13綜合方向圖第三個例子是41個陣元的非均勻線陣的方向圖綜合，其中要求綜合方向圖具有如圖6.2-14所示的平頂(flattop)和旁瓣區(qū)域的零槽(notch)。故在綜合過程中結合約束條件來

實現(xiàn)旁瓣區(qū)域的置零。圖6.2-14具有零槽的平頂方向圖第四個例子是非均勻線陣的多波束方向圖綜合(multibeampatternsynthesis)，其中陣列參數(shù)同例三，而

方向圖綜合結果如圖6.2-15所示。圖6.2-15多波束方向圖第五個例子是綜合二維Chebyshev方向圖，其中陣列

為5×5的均勻方形平面陣，即陣元數(shù)為25，而陣元間距為半波長。在圖6.2-16中，理想Chebyshev方向圖用實線給出，并作為參考方向圖和目標方向圖。其中在方位向從0°到180°是利用1°的間隔進行劃分的，在俯仰向從－90°

到90°也是進行1°的等間隔劃分，故加權函數(shù)是在這些離散的方位俯仰角度處取值。圖6.2-16也給出了在18次迭代后的綜合方向圖在徑向切片的最低上限（點線）和最低下限（波折線）。從圖中可以看出，旁瓣峰值相對于理想值的偏差不大于1.5dB。圖6.2-16Chebyshev/綜合方向圖第六個例子為非均勻面陣的二維方向圖綜合。其中陣元數(shù)為61，而陣元位置如圖6.2-17所示，參考方向圖為前面的方向圖進行環(huán)形旋轉而得到，目標方向圖除了旁瓣值被設置為常數(shù)0.06（－24.437dB）以外，其余的與參考方向圖相同。其中利用了Kp=30和Km=300。而初始二維方向圖如圖6.2-18所示，而且以x=sinθcosφ和y=sinθsinφ的函數(shù)形式給

出。圖6.2-19給出了該初始方向圖的側視結果。圖6.2-20和圖6.2-21分別給出了最終綜合方向圖的兩種觀察結果。圖6.2-17非均勻平面陣的陣元位置示意圖圖6.2-18初始方向圖圖6.2-19初始方向圖的側視圖圖6.2-20綜合方向圖圖6.2-21綜合方向圖的側視圖6.3基于LCMV準則的穩(wěn)健方向圖綜合算法

6.3.1LCMV波束形成算法的導數(shù)約束

1.波束形成器的空間/頻率響應

考慮N個陣元的天線陣列，且已知陣元的空間分布位置，則波束形成器的輸出是通過對陣列接收數(shù)據(jù)應用N個復加權的復共軛并進行求和而形成的。其中復權矢量可以表示為

w=［w1,w2,…,wN]T

(6.3-1)而當頻率為f的信號從方向(θ,φ)入射到陣列時，該信號的波束形成器響應可以表示為

b(θ,φ,f)=wHv(θ,φ,f)(6.3-2)

其中上標“H”表示復共軛轉置?？臻g方向(θ,φ)在x－y－z平面的定義如圖6.3-1所示。圖6.3-1x－y－z平面的(θ,φ)定義復矢量v(θ,φ,f)為已知的導向矢量，它的元素定義了每個陣元的響應（輻射方向圖）及其之間的相對相移關系。尤其是v(θ,φ,f)具有如下的形式：(6.3-3)其中pi(θ,φ,f)為陣元i的單個獨立響應，τi(θ,φ)為該

陣元到一個任意選擇的空間參考點的相對時延。相對于該參考點，陣元i具有位置(xi,yi,zi)，因此，該時延參數(shù)由

下式給出：(6.3-4)其中c為入射波（信號）的傳播速度。假設陣元輻射方向

圖和所有陣元的精確位置是已知的，這樣對于所有的

(θ,φ,f)，導向矢量v(θ,φ,f)將是已知的。因此，波束形成器的空間/頻率響應將是確定的。對于寬帶系統(tǒng)，長度為L的有限沖激響應（FIR）濾波器可以應用于每一個陣元以改善頻率分辨率。在這種情況下，加權矢量w的定義如下：(6.3-5)其中wi為一個L×1維的矢量，它是由陣元I

的加權系數(shù)所構成的。相應地，導向矢量將變?yōu)?6.3-6)

2.導數(shù)約束

利用前面的波束響應定義式(6.3-2)，功率響應可由下式給出：

F(θ,φ,f)=|b(θ,φ,f)|2

(6.3-7)

下面，將根據(jù)以v(θ,φ,f)的導數(shù)形式表示的b(θ,φ,f)和F(θ,φ,f)導數(shù)表達式，對其兩者進行比較。為了簡單，在此對于超過兩階的導數(shù)不予考慮。為了描述的方便，利用下面的符號來表示v(θ,φ,f)的一階和二階導數(shù)：(6.3-8)

1）關于b(θ,φ,f)的導數(shù)約束

通過直接對式(6.3-2)所定義的b(θ,φ,f)的導數(shù)進行處理，可以非常容易地實現(xiàn)約束b(θ,φ,f)在點(θ0,φ0,f0)

處的導數(shù)等于零的數(shù)學描述。而且第一階和第二階導數(shù)約束如下所示：顯然，主要的目的是在點(θ0,φ0,f0)處具有非零的陣列增益。通常假設在(θ0,φ0,f0)處具有單位增益，因此可以強加上增益約束：

wHv=1

(6.3-10)

需要注意的是，上面定義的增益和導數(shù)約束并不是唯一的，這是因為它們依賴于空間參考點的選取。為了更加詳細地研究這種依賴性，令v和v

分別表示陣元位置的定義相對于不同參考點的陣列導向矢量，故利用前面的導向矢量定義式(6.3-3)，可得

其中Δτ(θ,φ)為由兩個參考點的相對位置決定的時延

參數(shù)。對式(6.3-11)兩邊求關于θ微分，可得(6.3-12)由于右邊第二項的存在，故vθ不是vθ的簡單相移形式。

2）關于F(θ,φ,f)的導數(shù)約束\

利用定義式，功率響應F可由下式給出：

F=wHvvHw

(6.3-13)

求該式關于θ的一階導數(shù)，可得(6.3-14)其中Re{·}表示括號里邊量的實部。結合前面的增益約束表達式(6.3-10)，可得

F(θ,φ,f)關于φ和f的一階導數(shù)也具有和該式相似的

形式。

現(xiàn)在考慮F關于φ和f的二階導數(shù)：

(6.3-15)(6.3-16)應用增益約束，可得

注意到該式右邊的第二項可以表示為

(6.3-17)(6.3-1８)其中Im{·}表示取括號中量的虛部。根據(jù)假設，關于θ和

φ的一階導數(shù)約束也被強加，所以上式右邊的第一項為零。這樣：(6.3-20)相位無關導數(shù)約束可以通過設置F(θ,φ,f)的導數(shù)等于零來實現(xiàn)。特殊地，在增益約束假定條件下，一階導數(shù)約束由下式給出：而且，在增益和一階導數(shù)約束假定條件下，二階導數(shù)約束可以表示如下：(6.3-21)

3.相位無關導數(shù)約束在自適應波束形成中的實現(xiàn)

波束形成器在n時刻的輸出通常為

y(n)=wHx(n)

(6.3-22)

其中x(n)為陣列接收數(shù)據(jù)矢量。最小方差波束形成器的最優(yōu)權矢量是在對權矢量的約束下使得輸出y(n)的方差最小而獲得的。特殊地，如果考慮前面所推導的相位無關導數(shù)約束，則當數(shù)據(jù)矢量x(n)的協(xié)方差矩陣用Rxx表示時，問題可以描述為(6.3-23)并受約束于前面的增益約束wHv=1（即式(6.3-10)），以及一階相位無關導數(shù)約束式(6.3-20)和二階相位無關導數(shù)約束式(6.3-21)。

1）一階導數(shù)約束情況

從前面的公式可知，一階相位無關導數(shù)約束式(6.3-20)在復數(shù)域是非線性的，這是因為這些公式涉及取實部運算。然而，注意到(6.3-24)

該表達式在w利用兩維的實數(shù)形式表示下是線性的，即定義(6.3-25)故可以通過將上面的結果利用兩維的實數(shù)形式進行簡單的表示，使得約束線性化。因此，引入以下符號：以及(6.3-26)(6.3-27)利用這些定義式，最小化在增益約束式(6.3-10)和一階導數(shù)約束式(6.3-20)下的最優(yōu)化問題可以按照實數(shù)形式表示為(6.3-28)該式中的約束為線性約束，其中：(6.3-29)(6.3-30)令C和f

是由C和f

經必要的列刪除過程而獲得的新矩陣，則具有增益和一階導數(shù)約束的最小方差波束形成器的最優(yōu)加權矢量具有如下所述的封閉形式最優(yōu)解：～～根據(jù)上面的公式可知，原始的最優(yōu)化問題被轉化為實數(shù)域的線性約束最小方差波束形成問題。文獻中提出的廣義旁瓣相消器（GeneralizedSidelobeCanceller，GSC）結構可以應用于以自適應方式實現(xiàn)的一階導數(shù)約束情況。(6.3-31)

2）二階導數(shù)約束情況

為了實現(xiàn)二階導數(shù)約束，將前面的式(6.3-21)重寫如下：(6.3-32)最小化在增益約束和上面的二階導數(shù)約束

式(6.3-20)與式(6.3-32)下的最優(yōu)化問題可以按照實數(shù)形式表示為(6.3-33)特別地，V和h的定義如下：(6.3-35)其中V的列與式(6.3-27)的v

和

v

的定義相類似?！ㄊ纬善鞯淖顑?yōu)權矢量可以通過在所有可能的h1、h2和h3下最小化下式來求解：在所有約束都是線性獨立的假設下，將有其中Q和g的定義如下：(6.3-36)(6.3-37)(6.3-38)將上面的最優(yōu)權矢量表達式(6.3-37)帶入前面的最小化表達式(6.3-36)，則最小化問題將簡化為尋找h1、h2和h3使得下式最小化，即：

gTAg

(6.3-39)

其中(6.3-40)需要注意的是，式(6.3-39)給出的gTAg只是h1、h2和h3的一個四階多項式，其實系數(shù)是由A和f

所確定的。令Q和g可以分解成下面的形式：(6.3-41)其中q2表示Q的最后一列，g2表示g的最后一個元素。由于q2與Q1具有線性相關的關系，因此它可以表示成Q1各列的線性組合，即

q2=Q1a(6.3-42)其中矢量a是由線性組合的相關系數(shù)組成的。故不獨立的約束關系式為qT2w=g2，而且可以表示為如下形式：～(6.3-44)(6.3-43)當形成最優(yōu)加權矢量wopt(h1,h2,h3)時，該不獨立的約束現(xiàn)在可以被忽略，此時的最小方差為

gT1A1g1(6.3-45)

其中(6.3-46)最后，

h1、h2和h3可以通過在約束aTg1=g2條件下的最小化gT1A1g1來求解。6.3.2基于LCMV準則的方向圖綜合算法

(1)設定主瓣區(qū)域［θML1,θML2]和旁瓣包絡D(θi)。

(2)計算第k次迭代的干擾功率fk(θ1),fk(θ2),…,fk(θN)。當k=0時，其為初始的設置值f0(θ1),f0(θ2),…,f0(θN)。當k≥1時，有如下的迭代公式：(6.3-47)其中：fk－1(θ)為第k－1次迭代中的干擾功率；K為迭代系數(shù)；Pk－1(θ)=|wHa(θ)|為第k－1次迭代中的方向圖，w為其相應的加權矢量，a(θ)為導向矢量；Prk－1為旁瓣參考幅值，如果需要進行任意形狀旁瓣的方向圖綜合，只需將上式中的Prk－1利用Prk－1(θ)=Prk－1·D(θ)進行替換即可，D(θ)為給定的旁瓣包絡。（3）計算數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣Rx，即有

Rx=A·diag［fk(θ1),fk(θ2),…,fk(θN)]·AH+σI

(6.3-48)

其中：A=［a(θ1),a(θ2),…,a(θN)]為陣列的方向矩陣；σ為一給定的很小常數(shù)；

I為單位矩陣，而增加的σI是用于避免協(xié)方差矩陣不可逆。（4）利用如下的線性約束最小方差（LCMV）波束形成算法計算加權矢量w，并進行相應的方向圖綜合。如果滿足要求，則停止，否則，轉第（2）步繼續(xù)。其中w利用下面的LCMV最優(yōu)化問題進行求解(6.3-49)其中C為M×m維的約束矩陣，f為m×1維的約束值矢量。其最優(yōu)解為(6.3-50)在該最優(yōu)化問題的約束條件中，既可以對主瓣約束，也可以對旁瓣約束，即可以按照方向圖綜合要求來選擇所需的約束條件和參數(shù)。6.3.3干擾功率迭代公式的改進

通過對LCMV-PS方法的實現(xiàn)步驟進行仔細分析，不難發(fā)現(xiàn)其中盡管利用了綜合方向圖和參考方向圖之間的相對差值(Pk－1(θ)－Prk－1)/Prk－1作為增益變化的比例因子，以便控制干擾功率的變化方向和變化量，其實對迭代公式中的表達式fk－1(θ)+Kfk－1(θ)進行變形可得(6.3-51)該式說明相鄰迭代之間的干擾功率相差一比例因子，當?shù)禂?shù)K給定時，相鄰迭代之間的干擾功率之比值由綜合方向圖和參考方向圖之間的相對幅度Pk－1(θ)/Prk－1決定。為了改善LCMV-PS方法的迭代效率并簡化迭代系數(shù)K的選取，其干擾功率迭代公式可以改進如下：(6.3-52)其中Kp為用于調整綜合方向圖和參考方向圖之間的相對幅度Pk－1(θ)/Prk－1對干擾功率變化率的影響，即用于調整方向圖綜合方法的迭代效率，其它參數(shù)意義同前。6.3.4仿真分析

1.方向圖綜合的有效性分析

圖6.3-2給出了均勻線陣的單波束方向圖綜合。其中陣元數(shù)為32，陣元間距為半波長(λ/2)，主瓣指向0°，主瓣寬度為22°，干擾功率迭代參數(shù)K=0.5，而Kp=100。在利用LCMV準則求解最優(yōu)加權矢量時，只進行了主瓣指向約束。其中I-LCMV-PS迭代了5次，而LCMV-PS迭代了20次。圖6.3-2均勻線陣的單波束方向圖綜合圖6.3-3給出了非均勻線陣的單波束方向圖綜合。其中陣元數(shù)為32，陣元間距矢量為(λ/2)×［0.29595,1.5655,2.7845,3.9334,4.999,5.9753,6.8645,7.6764,8.428,9.1413,9.842,10.557,11.311,12.127,13.021,14.002,15.073,16.226,17.449,18.72,20.017,21.312,22.579,23.795,24.939,26,26.971,27.856,28.664,29.413,30.125,30.825］，主瓣也指向0°，主瓣寬度也為22°。圖6.3-3非均勻線陣的單波束方向圖綜合圖6.3-4非均勻平面陣的陣元位置分布圖6.3-5和圖6.3-6分別給出了均勻和非均勻線陣的多

波束方向圖綜合結果。其中陣列參數(shù)分別同圖6.3-3和圖

6.3-4，兩波束分別指向-45°和45°，波束寬度為20°。其中I-LCMV-PS的迭代次數(shù)為6次，而LCMV-PS為25次。圖6.3-5均勻線陣的多波束方向圖綜合圖6.3-6非均勻線陣的多波束方向圖綜合圖6.3-7~圖6.3-10分別給出了改進算法I-LCMV-PS的均勻和非均勻平面陣單波束方向圖綜合結果。其中陣元數(shù)都為36，均勻平面陣為方陣，陣元間距為半波長，而非均勻平面陣的陣元位置如圖6.3-4所示，兩種陣列的主波束都指向（0°，0°），而方位向和俯仰向的波束寬度也都為30°。圖6.3-7均勻平面陣的單波束方向圖綜合（1圖6.3-8均勻平面陣的單波束方向圖綜合（2）圖6.3-9非均勻平面陣的單波束方向圖綜合（1）圖6.3-10非均勻平面陣的單波束方向圖綜合（2）

2.方向圖綜合的漸進性分析

圖6.3-11和圖6.3-12分別給出了I-LCMV-PS方法和LCMV-PS方法的均勻線陣綜合方向圖隨迭代次數(shù)的變化情況，其中的參數(shù)取值同前。圖6.3-11改進方法的綜合方向圖隨迭代次數(shù)的變化圖6.3-12原方法的綜合方向圖隨迭代次數(shù)的變化圖6.3-13給出了兩種算法的方向圖綜合誤差相對于迭代次數(shù)的變化曲線。其中方向圖綜合誤差的計算公式為(6.3-53)其中Pr(θ)為參考方向圖，而Pk(θ)為第k次迭代后的綜合方向圖。圖6.3-13方向圖綜合誤差隨迭代次數(shù)的變化為了分析迭代系數(shù)對兩種方法的影響，圖6.3-14和圖6.3-15分別給出了I-LCMV-PS方法和LCMV-PS方法的均勻線陣綜合方向圖隨迭代系數(shù)的變化情況，其中的參數(shù)取值同6.3.4節(jié)中的1.的仿真條件。圖6.3-14改進方法的綜合方向圖隨迭代系數(shù)的變化圖6.3-15原方法的綜合方向圖隨迭代系數(shù)的變化6.4基于半正定規(guī)劃的穩(wěn)健方向圖綜合算法

為了方便理論分析，考慮具有N個陣元的均勻線陣，假設入射信號為窄帶信號，則陣列響應矢量的定義為(6.4-1)其中fi(θ)為第i個天線陣元的方向圖，θ為信號的到達角。

φi(θ)為由于空間傳播而引起的相位延遲，而且通常表

示為

其中λ為發(fā)射信號的波長，dk為第k個陣元的位置。(6.4-２)如果令w=［w1,…,wN]T∈CN表示陣列的復加權矢量，則方向θ處的陣列方向圖或稱為陣列響應（實際上，陣列方向圖是單位輸入信號陣列響應的函數(shù)）為(6.4-3)6.4.1半正定規(guī)劃與APS

線性矩陣不等式（LMI）是形如下式的矩陣不等式：(6.4-4)其中x=［x1,…,xm]∈Rm為自變量，而Fi=FTi∈Rn×n(i=0,…,m)為給定的已知矩陣。具有線性目標函數(shù)和如式(6.4-4)所定義的可行集的半正定規(guī)劃問題是一個凸最優(yōu)化問題，即(6.4-5)APS問題通?？梢员唤槿缦碌淖顑?yōu)化問題，而更詳細的討論將在后面進行：(6.4-6)其中w∈CN為最優(yōu)化變量。Ai∈CN，Bi∈CN，Di∈R，且ε∈R為已知參數(shù)。式(6.4-6)所描述的問題是SOCP問題的一種特例，它的一般形式為(6.4-7)顯然，許多一般的凸優(yōu)化問題，如線性規(guī)劃和二次規(guī)劃問題都是式(6.4-7)的特殊情況。如同式(6.4-7)所示的一般SOCP問題，上面的APS最優(yōu)化模型式(6.4-6)也可以轉化成前面所述的SDP問題式(6.4-5)。尤其是，APS問題式(6.4-6)等價于下面的具有實系數(shù)的SDP問題：(6.4-8)其中為最優(yōu)化變量，且有：(6.4-9)以及(6.4-10)（1）最小最大陣列方向圖綜合：考慮綜合方向圖和目標方向圖之間誤差峰值最小化的一般問題。該問題可以被重新描述為最小最大最優(yōu)化問題：利用方向圖P(θ)的定義式(6.4-3)，該式可以被重新表示成如前所述形式(6.4-6)的最優(yōu)化問題，即(6.4-12)該式提供了用于求解最小最大APS問題的可能求解形式和方法。（2）具有權矢量約束的陣列方向圖綜合：利用附加

的權矢量約束可以將陣列網(wǎng)絡的功率限制加入到方向圖綜合中，即(6.4-13)其中γ>0為一個用于限制功率的參量。顯然，上式可以直接重新表示成下式：

wHw≤γ

(6.4-14)（3）具有輸出功率約束的陣列方向圖綜合：考慮在某一到達角度范圍內的陣列輸出功率要求，即(6.4-15)定義

因此，容易驗證功率約束式(6.4-15)等價于

wTV(wTV)H≤ξ

(6.4-17)

(6.4-16)6.4.2具有目標幅度響應的陣列方向圖綜合

現(xiàn)在描述非均勻陣列只具有幅度約束的最小最大APS問題：(6.4-18)其中|Pd(θ)|為目標幅度響應。利用P(θ)的定義式(6.4-2)，上式中的矩陣不等式可以寫成：(6.4-19)其中g(θ)=max(0,|Pd(θ)|－ε)。上式的條件對于最優(yōu)化變量w是非凸的。命題1對于給定的v∈CN和ε>0，存在w∈CN使得式(6.4-19)成立，當且僅當存在w1∈CN和w2∈CN使得：(6.4-20)而且，如果式(6.4-20)是可行的，則w=w1+w2為式(6.4-19)的可行解。證明假設式(6.4-20)是可行的，并令

w=w1+w2

由于

wwH>4Re{w1wH2}

因此有所以，當w=w1+w2時式(6.4-19)是可行的。

為了證明逆過程，假設式(6.4-19)是可行的。令

w1=w2=w/2

則盡管式(6.4-20)對于最優(yōu)化變量w1和w2是非凸的，這就是所謂的多凸不等式條件，即當w1固定時，式(6.4-20)對于變量w2是凸的；相似地，當w2固定時，式(6.4-20)對于變量w1是凸的。算法Ⅰ:

第一步：固定w1，求解下面的最優(yōu)化問題：(6.4-21)對于所有的θ∈Θ，其中w2和ε為最優(yōu)化變量。算法Ⅱ:

第一步：利用任意技術為算法Ⅰ尋找一個初始化w1。

第二步：應用算法Ⅰ,令求解的局部最優(yōu)加權矢量為

。且令(6.4-22)利用從第(2)步得到的局部最優(yōu)方向圖的相位作為相應目標幅度|Pd(θ)|的相位。求解：(6.4-23)該式是前面最優(yōu)化問題式(6.4-11)的標準最小最大問題，而且可以利用SOCP或一般的SDP求解器求解全局最優(yōu)。令為其相應的最優(yōu)加權矢量。該結論是根據(jù)下面的不等式關系序列得出的：(6.4-24)6.4.3穩(wěn)健陣列方向圖綜合

1）陣元增益不確定性

考慮陣列的第一個陣元響應具有增益不確定性，即

其中δ∈R為增益不確定性，且滿足|δ|∈ρ，而ρ為一已知的范圍。(6.4-25)相對應的穩(wěn)健陣列方向圖綜合問題為(6.4-26)其中Pδ(θ)=wTvδ(θ)。定理1對于給定的加權矢量w∈CN，式(6.4-26)成立，當且僅當下面的不等式成立：(6.4-27)證明注意到對于任意的δ∈［－ρ,ρ]，vδ(θ)都可以重新表示成vρ(θ)和v－ρ(θ)的凸組合，即(6.4-28)在原始方向圖綜合問題式(6.4-26)中，有(6.4-29)等式右邊的表達式為vδ(θ)的凸函數(shù)。故利用vδ(θ)的表達式(6.4-28)，可得(6.4-30)結果原始方向圖綜合問題式(6.4-26)成立當且僅當或(6.4-31)

2）陣元相位不確定性

考慮陣列的第一個陣元響應具有相位不確定性，即

其中ψ∈R為相位不確定性，且滿足|ψ|∈η，而η為一已知的范圍。

相對應的穩(wěn)健陣列方向圖綜合問題為(6.4-32)(6.4-33)定理2對于給定的加權矢量w∈CN，式(6.4-33)成立，當且僅當下面的不等式成立：(6.4-34)其中：(6.4-3５)證明定理中的條件式(6.4-33)等價于：

由于該式包含了無限多個不等式，因此在數(shù)值上是無法處理的。對于任意的ψ∈［－η,η]，存在αi（i=1,2,3,4）

使得：其中Ki由定義式(6.4-35)給出。因此有(6.4-37)(6.4-38)圖6.4-1給出了相位不確定的集合示意圖。圖6.4-1相位不確定性幾何示意

3）最優(yōu)定點陣列方向圖綜合

在實際的實現(xiàn)中，有限字長影響的量化誤差將會引起性能的下降，解決該問題的一個方法是簡單地約束權矢量

w使其具有固定的有限字長。第二個方法是建模權矢量的量化誤差為一不確定性，并保證陣列性能甚至在該不確定存在下的性能。因此，定義權矢量為(6.4-39)為了設計定點加權矢量wfp使得不等式條件|P(θ)－Pd(θ)|2≤ε成立，求解下面的問題：(6.4-40)如果式(6.4-40)是可行的，則必存在一定點加權矢量：(6.4-41)滿足|P(θ)－Pd(θ)|2≤ε中的不等式。根據(jù)定理1的證明中的相同推理，可以證明式(6.4-40)成立的條件是：(6.4-42)6.4.4仿真分析

例1具有功率約束的非均勻陣列綜合

考慮具有41個陣元的非均勻間距陣列，并施加功率約束，其中陣元位置如表6.4-1所示。目標陣列方向圖為一個平頂主波束方向圖，如圖6.4-2所示。圖6.4-2目標方向圖（θp=20°,而θs=25°)此處求解SDP問題式(6.4-6)來設計最小最大陣列方向圖，并將區(qū)間［－90°90°]的稠密集作為集合Θ，其中的角度是從－90°到90°每1°抽樣一次。最優(yōu)的陣列方向圖如圖6.4-3（a）所示,該方向圖的旁瓣大約為－30dB。(a)無功率約束方向圖綜合（b)功率約束106

(c)功率約束為10３（d)功率約束為10圖6.4-3具有功率約束的平頂主波束方向圖綜合觀察圖6.4-3可以看出，在綜合方向圖和目標方向圖之間的誤差和功率約束之間的折中：當功率約束變得更強時，綜合誤差將變得更大。當功率限制為10時，陣列方向圖的旁瓣為－24.7dB（圖6.4-4）。圖6.4-4方向圖綜合誤差與功率約束之間的關系

例2

穩(wěn)健陣列方向圖綜合

對于該陣列，陣列響應矢量為(6.4-44)其中φi(θ)的定義同前。當不確定的約束參數(shù)ρ=0.7時，利用定理1的方法設計穩(wěn)健最小最大陣列方向圖的加權矢量。圖6.4-5（a）通過畫出歸一化陣列輸出曲線顯示了該

穩(wěn)健陣列的性能，其中隨機選取了1000個δ(t)，且滿足|δ(t)|≤0.7。當ρ=0時，Dolph-Chebyshev加權矢量w0獲

得了理論上的最優(yōu)設計。圖6.4-5（b）給出了在權矢量w0時的Dolph-Chebyshev陣列輸出，其中的不確定參數(shù)δ(t)與圖6.4-5（a）的相同。通過比較圖6.4-5（a）和（b）中穩(wěn)健陣列和Dolph-Chebyshev陣列之間的性能，可以發(fā)現(xiàn)在最差條件下，非穩(wěn)健Dolph-Chebyshev設計的旁瓣大約比穩(wěn)健設計的高出約3dB。圖6.4-5穩(wěn)健設計和Dolph-Chebychev設計的比較（ρ=0.7）不確定性將對陣列的輸出不產生影響，相應結果如圖6.4-6（a）所示。這樣，陣列實際變成了四陣元的非均勻間距陣列。為了便于比較，在圖6.4-6（b）中也給出了Dolph-Chebyshev陣列的輸出，它的權矢量是基于理想模型設計的。圖6.4-6穩(wěn)健設計和Dolph-Chebychev設計的比較（ρ=2）例3具有目標幅度約束的陣列方向圖綜合

考慮例2中的陣列，并將第二個陣元去掉。圖6.4-6（a）給出了通過求解具有目標幅度響應和目標相位響應的式

(6.4-11)而得到的最優(yōu)陣列設計。由于目標陣列方向圖具有單個觀察方向，主波束的相位要求并沒有引入任何保護（即性能損失），圖6.4-6（a）中的陣列方向圖因而是具有目標幅度響應的式(6.4-18)的一個最優(yōu)解。換句話說，得到了非凸問題式(6.4-18)的全局最優(yōu)解，而且可以利用該信息作為衡量6.4.2節(jié)迭代算法的性能基準。經過第一次迭代，方向圖具有相當寬的主波束。經過

五次迭代，算法Ⅰ收斂到最優(yōu)方向圖（見圖6.4-7）。利用算法Ⅰ設計的加權矢量和通過求解具有目標復陣列響應的式(6.4-11)得到的加權矢量進行比較，可以得出兩個加權矢量元素集合的不同在于相互之間的一個固定相位旋轉。該實事說明，算法Ⅰ的確收斂于全局最優(yōu)幅度響應。

然而，圖6.4-7中方向圖的相位不同于圖6.4-6（a）中的方

向圖相位，它們之間相差一個在所有到達角處的固定相位旋轉。圖6.4-7基于算法Ⅰ設計的具有目標幅度響應的陣列方向圖（5次迭代）6.5基于凸優(yōu)化的穩(wěn)健方向圖綜合算法

6.5.1凸優(yōu)化

凸集（convexset）C：如果集合C中的任意兩點之間的線段包含于集合C，則稱集合C是凸的。即對于任意兩點x1,x2∈C，以及任意的θ(0≤θ≤1)，有

θ·x1+(1－θ)·x2∈C(6.5-1)射集（affineset）C：如果穿過集合C中任意兩個不同點的直線仍在C中，即對于任意x1,x2∈C，以及θ∈R，有θ·x1+(1－θ)·x2∈C，則稱集合C為仿射的。凸函數(shù)（convexfunction）f:Rn→R：如果函數(shù)f的定義域dom(f)為凸集，且對于任意的x1,x2∈dom(f)，以及任意的θ(0≤θ≤1)，有(6.5-2)從幾何關系來看，該不等式意味著(x1,f(x1))和(x2,f(x2))兩點之間的線段位于函數(shù)f從x1到x2的曲線之上。最優(yōu)化問題（optimizationproblem）通常表示為下式：(6.5-3)

該式描述了求解一個x*使得f0(x*)是滿足條件fi(x)≤0（i=1,…,m）和hi(x)=0（i=1,…,p）的所有x的對應函數(shù)值中的最小值，稱x∈Rn為最優(yōu)化變量（optimizationvariable），函數(shù)

f0:Rn→R為目標函數(shù)（objectivefunction）或代價函數(shù)（costfunction）。目標函數(shù)和所有約束函數(shù)所定義的點集(6.5-4)稱為最優(yōu)化問題式(6.5-3)的定義域（domain），如果點x∈D滿足約束fi(x)≤0（i=1,…,m）和hi(x)=0（i=1,…,p），則稱x是可行的（feasible）。最優(yōu)化問題式(6.5-3)的最優(yōu)值（optimalvalue）定義為(6.5-5)如果x*是可行的，而且f0(x*)=p*，則稱x*為最優(yōu)化問題式(6.5-3)一個最優(yōu)點（optimalpoint)。所有最優(yōu)點的集合稱為最優(yōu)集（optimalset），即

(6.5-6)如果問題式(6.5-3)存在一個最優(yōu)點，則稱其最優(yōu)值可以獲得，問題是可求解的。如果Xopt為空集，則稱最優(yōu)值是不可達的。凸優(yōu)化問題（convexoptimizationproblem）通常具有如下形式：(6.5-7)其中f0,…,fm分別為凸函數(shù)。如果假設陣列導向矢量為a(θ)，加權矢量為w，則該方向圖綜合問題可以建模為如下的凸優(yōu)化問題：(6.5-8)通常θs為集合As內的一系列均勻采樣角度值。為了驗證該方法的有效性，圖6.5-1～圖6.5-3分別給出了均勻線陣、均勻平面陣、非均勻平面陣的方向圖綜合示例。為了更加直觀地顯示方向圖綜合效果，分別給出了平面坐標和極坐標的兩種方向圖顯示。圖6.5-1均勻線陣的最低旁瓣方向圖綜合示例圖6.5-2均勻平面陣的最低旁瓣方向圖綜合示例圖6.5-3非均勻平面陣的最低旁瓣