高中數(shù)學(xué)必修二導(dǎo)學(xué)案全套解析前言本導(dǎo)學(xué)案以《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》為依據(jù)，緊扣必修二教材內(nèi)容，聚焦立體幾何初步與平面解析幾何初步兩大模塊，旨在引導(dǎo)學(xué)生自主梳理知識(shí)、突破重點(diǎn)難點(diǎn)、提升邏輯推理與空間想象能力。導(dǎo)學(xué)案采用"目標(biāo)引領(lǐng)-知識(shí)梳理-典例解析-易錯(cuò)警示-達(dá)標(biāo)檢測(cè)"的遞進(jìn)式結(jié)構(gòu)，注重實(shí)用性與針對(duì)性，助力學(xué)生構(gòu)建系統(tǒng)的知識(shí)體系。第一章空間幾何體本章概述：立體幾何是研究空間圖形的形狀、大小與位置關(guān)系的學(xué)科，是培養(yǎng)空間想象能力的基礎(chǔ)。本章主要內(nèi)容包括空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖與直觀圖、表面積與體積計(jì)算，為后續(xù)學(xué)習(xí)點(diǎn)線面位置關(guān)系奠定基礎(chǔ)。1.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)1.1.1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解棱柱、棱錐、棱臺(tái)的定義；2.掌握棱柱、棱錐、棱臺(tái)的核心結(jié)構(gòu)特征；3.能根據(jù)結(jié)構(gòu)特征識(shí)別簡單幾何體?！局攸c(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征；難點(diǎn)：棱臺(tái)與棱柱、棱錐的區(qū)別（側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)）。【知識(shí)梳理】1.棱柱：有兩個(gè)面互相平行（底面），其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊（側(cè)棱）互相平行的多面體。結(jié)構(gòu)特征：底面平行且全等；側(cè)面為平行四邊形；側(cè)棱平行且相等。2.棱錐：有一個(gè)面是多邊形（底面），其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)（頂點(diǎn)）的三角形的多面體。結(jié)構(gòu)特征：底面為多邊形；側(cè)面為三角形；側(cè)棱交于頂點(diǎn)。3.棱臺(tái)：用平行于棱錐底面的平面截棱錐，底面與截面之間的部分。結(jié)構(gòu)特征：上下底面平行且相似；側(cè)面為梯形；側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)（原棱錐頂點(diǎn)）?！镜淅馕觥坷?：判斷下列幾何體是否為棱柱，并說明理由。（1）長方體；（2）三棱柱；（3）四棱錐。解析：（1）是棱柱，符合"兩個(gè)底面平行、側(cè)棱平行且相等"的特征；（2）是棱柱，滿足棱柱定義；（3）不是棱柱，側(cè)面為三角形（棱錐特征）。例2：下列關(guān)于棱臺(tái)的說法正確的是（）（多選）A.側(cè)棱都相等B.上下底面平行C.側(cè)面為梯形D.側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)解析：選BCD。棱臺(tái)側(cè)棱是否相等取決于原棱錐（斜棱錐截得的棱臺(tái)側(cè)棱不相等），故A錯(cuò)誤；B、C、D均為棱臺(tái)核心特征?！疽族e(cuò)警示】常見錯(cuò)誤：認(rèn)為"棱臺(tái)側(cè)棱都相等"。原因：棱臺(tái)由棱錐截得，原棱錐側(cè)棱不一定相等（如斜棱錐），故截得的棱臺(tái)側(cè)棱也不一定相等。正確做法：聚焦"側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)"這一本質(zhì)特征，而非側(cè)棱長度?！具_(dá)標(biāo)檢測(cè)】1.下列幾何體中，屬于棱柱的是（）（多選）A.圓柱B.長方體C.三棱錐D.四棱柱答案：BD（圓柱為旋轉(zhuǎn)體，三棱錐為棱錐）2.棱錐的側(cè)面都是（）A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形答案：A3.簡述棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征。答案：上下底面平行且相似，側(cè)面為梯形，側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)。1.1.2圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解旋轉(zhuǎn)體的定義（由平面圖形旋轉(zhuǎn)而成）；2.掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征；3.能區(qū)分多面體與旋轉(zhuǎn)體?！局攸c(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征；難點(diǎn)：圓臺(tái)與圓柱、圓錐的關(guān)系（由圓錐截得）。【知識(shí)梳理】1.圓柱：以矩形的一邊所在直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體。結(jié)構(gòu)特征：兩個(gè)底面為等圓；側(cè)面為曲面（展開為矩形）；母線平行且相等。2.圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在直線為軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體。結(jié)構(gòu)特征：底面為圓；側(cè)面為曲面（展開為扇形）；母線交于頂點(diǎn)。3.圓臺(tái)：用平行于圓錐底面的平面截圓錐，底面與截面之間的部分。結(jié)構(gòu)特征：上下底面為不等圓；側(cè)面為曲面（展開為扇環(huán)）；母線延長后交于一點(diǎn)。4.球：以半圓的直徑所在直線為軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體。結(jié)構(gòu)特征：所有點(diǎn)到球心距離相等（半徑）；球面為封閉曲面。【典例解析】例：下列幾何體中，屬于旋轉(zhuǎn)體的是（）（多選）A.棱柱B.圓柱C.圓錐D.球解析：選BCD。棱柱為多面體（由平面多邊形圍成），圓柱、圓錐、球均為旋轉(zhuǎn)體（由平面圖形旋轉(zhuǎn)而成）?！疽族e(cuò)警示】常見錯(cuò)誤：認(rèn)為"圓臺(tái)是由圓柱截得的"。原因：圓臺(tái)與圓柱的形成方式不同，圓柱由矩形旋轉(zhuǎn)而成，圓臺(tái)由圓錐截得。正確做法：圓臺(tái)的本質(zhì)是"圓錐的截體"，母線延長后必交于一點(diǎn)（原圓錐頂點(diǎn)），這是與圓柱的核心區(qū)別?！具_(dá)標(biāo)檢測(cè)】1.旋轉(zhuǎn)體的形成基礎(chǔ)是（）A.平面圖形B.空間圖形C.直線D.點(diǎn)答案：A2.圓臺(tái)的母線延長后交于一點(diǎn)，這是因?yàn)椋ǎ〢.圓臺(tái)由圓錐截得B.圓臺(tái)側(cè)面為扇環(huán)C.圓臺(tái)上下底面平行D.圓臺(tái)是旋轉(zhuǎn)體答案：A1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖1.2.1三視圖【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解三視圖的定義（正視圖、側(cè)視圖、俯視圖）；2.掌握三視圖的繪制規(guī)則（長對(duì)正、高平齊、寬相等）；3.能根據(jù)幾何體繪制三視圖，或根據(jù)三視圖還原幾何體?！局攸c(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn)：三視圖的繪制規(guī)則；難點(diǎn)：根據(jù)三視圖還原幾何體（空間想象能力）?！局R(shí)梳理】1.三視圖定義：正視圖：從幾何體正面觀察得到的視圖；側(cè)視圖：從幾何體左側(cè)觀察得到的視圖（與正視圖等高）；俯視圖：從幾何體上方觀察得到的視圖（與正視圖等長、與側(cè)視圖等寬）。2.繪制規(guī)則：長對(duì)正（正視圖與俯視圖長度一致）、高平齊（正視圖與側(cè)視圖高度一致）、寬相等（側(cè)視圖與俯視圖寬度一致）?！镜淅馕觥坷豪L制長方體的三視圖。解析：長方體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均為矩形，且滿足"長對(duì)正、高平齊、寬相等"（正視圖與俯視圖長相同，正視圖與側(cè)視圖高相同，側(cè)視圖與俯視圖寬相同）?！疽族e(cuò)警示】常見錯(cuò)誤：繪制三視圖時(shí)，側(cè)視圖與俯視圖的寬度不一致。原因：未掌握"寬相等"規(guī)則，側(cè)視圖的寬度對(duì)應(yīng)幾何體的前后方向，俯視圖的寬度也對(duì)應(yīng)前后方向，兩者必須相等。正確做法：繪制前明確幾何體的長（左右）、寬（前后）、高（上下），確保三視圖對(duì)應(yīng)維度一致?！具_(dá)標(biāo)檢測(cè)】1.三視圖的繪制規(guī)則是（）（多選）A.長對(duì)正B.高平齊C.寬相等D.隨意繪制答案：ABC2.一個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖均為三角形，俯視圖為圓，該幾何體是（）A.圓柱B.圓錐C.圓臺(tái)D.球答案：B1.2.2直觀圖（斜二測(cè)畫法）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解直觀圖的作用（表示空間幾何體的平面圖形）；2.掌握斜二測(cè)畫法的步驟；3.能繪制簡單幾何體的直觀圖?！局攸c(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn)：斜二測(cè)畫法的步驟；難點(diǎn)：平行于y軸的線段長度處理（減半）?！局R(shí)梳理】斜二測(cè)畫法步驟：1.建立坐標(biāo)系：在原圖形中建立直角坐標(biāo)系xOy，直觀圖中建立斜坐標(biāo)系x'O'y'（∠x'O'y'=45°或135°）；2.畫軸：直觀圖中x'軸與y'軸保持原長度比例，z'軸（若有）與x'軸垂直，長度不變；3.畫圖形：平行于x軸或z軸的線段：直觀圖中長度不變；平行于y軸的線段：直觀圖中長度減半；4.連接線段，擦去輔助線?！镜淅馕觥坷河眯倍y(cè)畫法繪制正方形的直觀圖。解析：1.原正方形：邊長為2，坐標(biāo)系xOy，頂點(diǎn)A(0,0)、B(2,0)、C(2,2)、D(0,2)；2.直觀圖：建立x'O'y'（45°），A'(0,0)、B'(2,0)、C'(2,1)（y軸線段減半）、D'(0,1)；3.連接A'B'C'D'，得到平行四邊形（直觀圖）?！疽族e(cuò)警示】常見錯(cuò)誤：斜二測(cè)畫法中，平行于y軸的線段長度未減半。原因：混淆原圖形與直觀圖的坐標(biāo)軸比例，y軸在直觀圖中被壓縮為原長度的1/2。正確做法：牢記"平行于x軸/z軸線段長度不變，平行于y軸線段長度減半"的規(guī)則?！具_(dá)標(biāo)檢測(cè)】1.斜二測(cè)畫法中，∠x'O'y'的度數(shù)是（）A.30°B.45°C.60°D.90°答案：B2.原圖形中平行于y軸的線段，直觀圖中長度變?yōu)樵L度的（）A.1/2B.1C.2倍D.任意答案：A1.3空間幾何體的表面積與體積1.3.1柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握柱體、錐體、臺(tái)體的表面積（側(cè)面積+底面積）與體積公式；2.能計(jì)算簡單組合體的表面積與體積；3.理解公式的推導(dǎo)過程（如柱體體積=底面積×高）?！局攸c(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn)：表面積與體積公式；難點(diǎn)：組合體表面積計(jì)算（減去重疊部分面積）?！局R(shí)梳理】1.表面積公式：柱體：S_表=S_側(cè)+2S_底（圓柱側(cè)面積=2πrh）；錐體：S_表=S_側(cè)+S_底（圓錐側(cè)面積=πrl，l為母線長）；臺(tái)體：S_表=S_側(cè)+S_上底+S_下底（圓臺(tái)側(cè)面積=π(r₁+r₂)l，r₁、r₂為上下底面半徑）。2.體積公式：柱體：V=S_底×h；錐體：V=(1/3)S_底×h；臺(tái)體：V=(1/3)h(S_上底+S_下底+√(S_上底S_下底))?！镜淅馕觥坷河?jì)算底面半徑為1、高為2的圓柱的表面積與體積。解析：表面積：S_側(cè)=2π×1×2=4π，S_底=π×12=π，故S_表=4π+2×π=6π；體積：V=π×12×2=2π。【易錯(cuò)警示】常見錯(cuò)誤：計(jì)算組合體表面積時(shí)，未減去重疊部分面積。例：一個(gè)圓柱（底面半徑1、高2）上方放置一個(gè)圓錐（底面半徑1、高1），求組合體表面積。錯(cuò)誤做法：圓柱表面積+圓錐表面積=6π+（π×1×√(12+12)+π×12）=6π+π(√2+1)；正確做法：組合體表面積=圓柱側(cè)面積+圓柱下底面積+圓錐側(cè)面積（圓柱上底與圓錐底重疊，需減去），即4π+π+π×1×√2=5π+√2π?！具_(dá)標(biāo)檢測(cè)】1.圓錐的體積公式是（）A.V=S_底×hB.V=(1/3)S_底×hC.V=(1/2)S_底×hD.V=πr2h答案：B2.計(jì)算底面邊長為2、高為3的正三棱柱的體積（正三角形底面積=√3/4×邊長2）。答案：S_底=√3/4×22=√3，V=√3×3=3√3。1.3.2球的表面積與體積【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握球的表面積與體積公式；2.能計(jì)算球的表面積與體積；3.理解球的截面性質(zhì)（截面為圓，球心到截面距離d與球半徑R、截面半徑r的關(guān)系：r=√(R2-d2)）?！局攸c(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn)：球的表面積與體積公式；難點(diǎn)：球的截面性質(zhì)應(yīng)用?！局R(shí)梳理】1.球的表面積：S=4πR2；2.球的體積：V=(4/3)πR3；3.截面性質(zhì)：球的任意截面都是圓，球心到截面的距離d與球半徑R、截面半徑r滿足r=√(R2-d2)。【典例解析】例：已知球的半徑為2，求其表面積與體積。解析：表面積：S=4π×22=16π；體積：V=(4/3)π×23=(32/3)π?！疽族e(cuò)警示】常見錯(cuò)誤：混淆球的表面積與體積公式（如將表面積公式記為4πR3）。原因：未理解公式推導(dǎo)（表面積由球面展開為4個(gè)大圓面積，體積由積分推導(dǎo)）。正確做法：牢記"表面積是4πR2（平方），體積是(4/3)πR3（立方）"?！具_(dá)標(biāo)檢測(cè)】1.球的表面積公式是（）A.S=4πR2B.S=2πR2C.S=πR2D.S=(4/3)πR3答案：A2.已知球的體積為(32/3)π，求其半徑。答案：由V=(4/3)πR3=(32/3)π，得R3=8，故R=2。第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系本章概述：本章是立體幾何的核心，通過公理、定理研究空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系（平行、垂直），培養(yǎng)邏輯推理與空間想象能力。重點(diǎn)是線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)定理。2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.1.1平面（公理1-3）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解平面的基本性質(zhì)（公理1-3）；2.能運(yùn)用公理判斷點(diǎn)、直線與平面的位置關(guān)系；3.掌握平面的表示方法（如α、平面ABCD）?！局攸c(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn)：公理1-3的內(nèi)容；難點(diǎn)：公理3的應(yīng)用（確定平面的條件）?！局R(shí)梳理】1.公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)（線在面內(nèi)的判定）；2.公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面（確定平面的條件）；3.公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線（面面相交的性質(zhì)）?！镜淅馕觥坷号袛?過兩點(diǎn)有且只有一個(gè)平面"是否正確。解析：不正確。過兩點(diǎn)可以有無數(shù)個(gè)平面（如兩點(diǎn)確定一條直線，直線可以繞其旋轉(zhuǎn)形成無數(shù)個(gè)平面），公理2要求"不在一條直線上的三點(diǎn)"才能確定唯一平面?！疽族e(cuò)警示】常見錯(cuò)誤：認(rèn)為"過三點(diǎn)一定有一個(gè)平面"。原因：若三點(diǎn)共線，則過三點(diǎn)可以有無數(shù)個(gè)平面（如直線上的三點(diǎn)），只有三點(diǎn)不共線時(shí)，才能確定唯一平面（公理2）。【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1.公理2的內(nèi)容是（）A.過兩點(diǎn)有且只有一個(gè)平面B.過不在一條直線上的三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面C.過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面D.過直線和直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面答案：B2.兩個(gè)平面相交，有（）條公共直線。A.0B.1C.2D.無數(shù)答案：B（公理3）2.1.2空間中直線與直線的位置關(guān)系【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解空間直線的三種位置關(guān)系（平行、相交、異面）；2.掌握異面直線的定義（不同在任何一個(gè)平面內(nèi)）；3.理解公理4（平行于同一直線的兩條直線互相平行）?！局攸c(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn)：異面直線的定義；難點(diǎn)：判斷兩條直線是否為異面直線?！局R(shí)梳理】1.空間直線位置關(guān)系：平行：同一平面內(nèi)，無公共點(diǎn)；相交：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；異面：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，無公共點(diǎn)。2.公理4（平行傳遞性）：a∥b，b∥c，則a∥c（適用于空間直線）?！镜淅馕觥坷号袛嗾襟wABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB與A₁D₁的位置關(guān)系。解析：AB與A₁D₁不同在任何一個(gè)平面內(nèi)（AB在平面ABCD，A₁D₁在平面A₁B₁C₁D₁，且無公共點(diǎn)），故為異面直線?！疽族e(cuò)警示】常見錯(cuò)誤：認(rèn)為"異面直線一定不平行"。原因：異面直線的定義是"不同在任何一個(gè)平面內(nèi)"，而平行直線必須在同一平面內(nèi)（平面幾何性質(zhì)），故異面直線一定不平行（也不相交）。【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1.空間中兩條直線的位置關(guān)系是（）（多選）A.平行B.相交C.異面D.垂直答案：ABC（垂直是相交或異面的特殊情況）2.公理4的作用是（）A.判斷直線與平面平行B.判斷直線與直線平行C.判斷平面與平面平行D.判斷直線與平面垂直答案：B2.1.3空間中直線與平面的位置關(guān)系【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解直線與平面的三種位置關(guān)系（平行、相交、在平面內(nèi)）；2.掌握每種位置關(guān)系的定義與符號(hào)表示（如a∥α，a∩α=A，a?α）；3.能判斷直線與平面的位置關(guān)系?！局攸c(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn)：直線與平面的位置關(guān)系；難點(diǎn)：判斷直線與平面平行（需排除在平面內(nèi)的情況）。【知識(shí)梳理】1.直線與平面位置關(guān)系：在平面內(nèi)：直線上所有點(diǎn)都在平面內(nèi)（a?α）；相交：直線與平面有且只有一個(gè)公共點(diǎn)（a∩α=A）；平行：直線與平面無公共點(diǎn)（a∥α）?！镜淅馕觥坷号袛?直線與平面平行，則直線與平面內(nèi)所有直線平行"是否正確。解析：不正確。直線與平面平行時(shí)，直線與平面內(nèi)的直線可能平行或異面（如直線a∥α，b?α，則a與b可能平行或異面）。【易錯(cuò)警示】常見錯(cuò)誤：認(rèn)為"直線與平面無公共點(diǎn)，則直線與平面平行"。原因：若直線在平面內(nèi)，則直線與平面有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)；若直線與平面無公共點(diǎn)，則直線與平面平行（定義），故需明確"直線不在平面內(nèi)"這一前提。【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1.直線與平面的位置關(guān)系有（）種A.1B.2C.3D.4答案：C（在平面內(nèi)、相交、平行）2.直線a∥平面α，直線b?α，則a與b的位置關(guān)系是（）A.平行B.相交C.異面D.平行或異面答案：D2.1.4空間中平面與平面的位置關(guān)系【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解平面與平面的兩種位置關(guān)系（平行、相交）；2.掌握每種位置關(guān)系的定義與符號(hào)表示（如α∥β，α∩β=l）；3.能判斷平面與平面的位置關(guān)系?！局攸c(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn)：平面與平面的位置關(guān)系；難點(diǎn)：判斷平面與平面平行（需排除相交的情況）?！局R(shí)梳理】1.平面與平面位置關(guān)系：平行：無公共點(diǎn)（α∥β）；相交：有一條公共直線（α∩β=l）?！镜淅馕觥坷号袛?兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面內(nèi)的直線平行"是否正確。解析：不正確。兩個(gè)平面平行時(shí)，平面內(nèi)的直線可能平行或異面（如α∥β，a?α，b?β，則a與b可能平行或異面）。【易錯(cuò)警示】常見錯(cuò)誤：認(rèn)為"兩個(gè)平面有公共點(diǎn)，則兩個(gè)平面相交"。原因：若兩個(gè)平面有公共點(diǎn)，則根據(jù)公理3，它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線，故兩個(gè)平面相交（定義）?！具_(dá)標(biāo)檢測(cè)】1.平面與平面的位置關(guān)系是（）（多選）A.平行B.相交C.垂直D.異面答案：AB（垂直是相交的特殊情況）2.兩個(gè)平面平行的條件是（）A.無公共點(diǎn)B.有一個(gè)公共點(diǎn)C.有兩條公共直線D.有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)答案：A2.2直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1直線與平面平行的判定【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握直線與平面平行的判定定理（平面外一條直線與平面內(nèi)一條直線平行，則直線與平面平行）；2.能運(yùn)用判定定理證明直線與平面平行；3.理解定理的條件（平面外、平面內(nèi)、平行）。【重點(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn)：直線與平面平行的判定定理；難點(diǎn)：構(gòu)造平面內(nèi)的平行直線（輔助線）?！局R(shí)梳理】直線與平面平行的判定定理：符號(hào)表示：a?α，b?α，a∥b?a∥α；條件解讀：①直線a在平面α外（a?α）；②直線b在平面α內(nèi)（b?α）；③a與b平行（a∥b）?！镜淅馕觥坷涸谡襟wABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是AB的中點(diǎn)，證明：A₁E∥平面BCC₁B₁。證明：1.取BC的中點(diǎn)F，連接B₁F、EF；2.∵E是AB中點(diǎn)，F(xiàn)是BC中點(diǎn)，∴EF∥AC，且EF=1/2AC；3.∵A₁C₁∥AC，且A₁C₁=AC，∴A₁E∥B₁F（通過平行傳遞性）；4.∵B₁F?平面BCC₁B₁，A₁E?平面BCC₁B₁，∴A₁E∥平面BCC₁B₁（判定定理）。【易錯(cuò)警示】常見錯(cuò)誤：遺漏"直線在平面外"的條件（如a?α，b?α，a∥b?a∥α）。原因：若直線在平面內(nèi)，則直線與平面不平行（定義），故"平面外"是判定定理的必要條件?！具_(dá)標(biāo)檢測(cè)】1.直線與平面平行的判定定理的條件是（）（多選）A.直線在平面外B.直線在平面內(nèi)C.平面內(nèi)有一條直線與該直線平行D.平面內(nèi)有兩條直線與該直線平行答案：AC2.證明：空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，證明EF∥平面BCD。提示：EF是△ABD的中位線，EF∥BD，BD?平面BCD，EF?平面BCD，故EF∥平面BCD。2.2.2平面與平面平行的判定【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握平面與平面平行的判定定理（一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則兩個(gè)平面平行）；2.能運(yùn)用判定定理證明平面與平面平行；3.理解定理的條件（平面內(nèi)、兩條相交直線、平行于另一個(gè)平面）。【重點(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn)：平面與平面平行的判定定理；難點(diǎn)：找到平面內(nèi)的兩條相交直線（輔助線）?！局R(shí)梳理】平面與平面平行的判定定理：符號(hào)表示：a?α，b?α，a∩b=P，a∥β，b∥β?α∥β；條件解讀：①兩條直線a、b在平面α內(nèi)；②a與b相交（a∩b=P）；③a、b都平行于平面β?！镜淅馕觥坷涸谡襟wABCD-A₁B₁C₁D₁中，證明：平面A₁BD∥平面B₁CD₁。證明：1.∵A₁B∥D₁C（正方體面對(duì)角線平行），A₁B?平面A₁BD，D₁C?平面A₁BD，∴D₁C∥平面A₁BD；2.∵BD∥B₁D₁（正方體體對(duì)角線平行），BD?平面A₁BD，B₁D₁?平面A₁BD，∴B₁D₁∥平面A₁BD；3.∵D₁C∩B₁D₁=D₁，D₁C、B₁D₁?平面B₁CD₁，∴平面A₁BD∥平面B₁CD₁（判定定理）。【易錯(cuò)警示】常見錯(cuò)誤：用平面內(nèi)的兩條平行直線證明平面與平面平行（如a∥β，b∥β，a∥b?α∥β）。原因：兩條平行直線無法確定一個(gè)平面（若a∥b，則它們的平行線可能都在同一個(gè)平面內(nèi)，無法保證兩個(gè)平面平行），必須用相交直線（相交直線確定唯一平面）?！具_(dá)標(biāo)檢測(cè)】1.平面與平面平行的判定定理的條件是（）（多選）A.一個(gè)平面內(nèi)有一條直線與另一個(gè)平面平行B.一個(gè)平面內(nèi)有兩條直線與另一個(gè)平面平行C.一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個(gè)平面平行D.一個(gè)平面內(nèi)有兩條平行直線與另一個(gè)平面平行答案：C2.證明：長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面AB₁D₁∥平面BC₁D。提示：AB₁∥DC₁，AD₁∥BC₁，AB₁∩AD₁=A，DC₁∩BC₁=C，故平面AB₁D₁∥平面BC₁D。2.2.3直線與平面平行的性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握直線與平面平行的性質(zhì)定理（直線與平面平行，則過該直線的平面與該平面的交線與該直線平行）；2.能運(yùn)用性質(zhì)定理解決直線與直線平行的問題；3.理解定理的條件（直線與平面平行、過直線的平面與原平面相交）?！局攸c(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn)：直線與平面平行的性質(zhì)定理；難點(diǎn)：構(gòu)造過直線的平面（輔助平面）?！局R(shí)梳理】直線與平面平行的性質(zhì)定理：符號(hào)表示：a∥α，a?β，α∩β=b?a∥b；條件解讀：①直線a與平面α平行（a∥α）；②直線a在平面β內(nèi)（a?β）；③平面α與平面β相交于直線b（α∩β=b）?！镜淅馕觥坷阂阎本€a∥平面α，直線a?平面β，α∩β=b，證明a∥b。證明：1.∵a∥α，∴a與α無公共點(diǎn)；2.∵b?α，∴a與b無公共點(diǎn)；3.∵a?β，b?β，∴a與b在同一平面β內(nèi)且無公共點(diǎn)，故a∥b（平面內(nèi)平行定義）。【易錯(cuò)警示】常見錯(cuò)誤：認(rèn)為"直線與平面平行，則直線與平面內(nèi)所有直線平行"。原因：直線與平面平行時(shí)，直線與平面內(nèi)的直線可能平行或異面（如a∥α，b?α，a與b可能異面），只有當(dāng)b是過a的平面與α的交線時(shí)，a才與b平行（性質(zhì)定理）?！具_(dá)標(biāo)檢測(cè)】1.直線與平面平行的性質(zhì)定理的結(jié)論是（）A.直線與平面內(nèi)所有直線平行B.直線與平面內(nèi)一條直線平行C.直線與平面內(nèi)兩條直線平行D.直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線平行答案：B2.已知a∥α，a?β，α∩β=b，若a=2，則b=（）A.1B.2C.3D.無法確定答案：B（a∥b，長度相等）2.2.4平面與平面平行的性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握平面與平面平行的性質(zhì)定理（兩個(gè)平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行；兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面與它們相交，則交線平行）；2.能運(yùn)用性質(zhì)定理解決直線與平面平行、直線與直線平行的問題；3.理解定理的條件（平面與平面平行、第三個(gè)平面相交）?！局攸c(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn)：平面與平面平行的性質(zhì)定理；難點(diǎn)：應(yīng)用性質(zhì)定理推導(dǎo)直線與直線平行。【知識(shí)梳理】平面與平面平行的性質(zhì)定理：1.若α∥β，a?α，則a∥β（平面內(nèi)直線與另一個(gè)平面平行）；2.若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，則a∥b（交線平行）。【典例解析】例：已知α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，證明a∥b。證明：1.∵α∥β，∴α與β無公共點(diǎn)；2.∵a?α，b?β，∴a與b無公共點(diǎn)；3.∵a?γ，b?γ，∴a與b在同一平面γ內(nèi)且無公共點(diǎn)，故a∥b（平面內(nèi)平行定義）。【易錯(cuò)警示】常見錯(cuò)誤：認(rèn)為"兩個(gè)平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面內(nèi)的直線平行"。原因：兩個(gè)平面平行時(shí)，平面內(nèi)的直線可能平行或異面（如α∥β，a?α，b?β，a與b可能異面），只有當(dāng)a、b是第三個(gè)平面與α、β的交線時(shí)，a才與b平行（性質(zhì)定理）。【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1.平面與平面平行的性質(zhì)定理包括（）（多選）A.一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行B.兩個(gè)平面內(nèi)的直線互相平行C.第三個(gè)平面與它們相交，交線平行D.兩個(gè)平面內(nèi)的直線互相垂直答案：AC2.已知α∥β，a?α，b?β，則a與b的位置關(guān)系是（）A.平行B.相交C.異面D.平行或異面答案：D2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1直線與平面垂直的判定【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握直線與平面垂直的定義（直線與平面內(nèi)所有直線垂直）；2.掌握直線與平面垂直的判定定理（一條直線與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，則直線與平面垂直）；3.能運(yùn)用判定定理證明直線與平面垂直；4.理解定理的條件（平面內(nèi)、兩條相交直線、都垂直）?！局攸c(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn)：直線與平面垂直的判定定理；難點(diǎn)：找到平面內(nèi)的兩條相交直線（輔助線）?！局R(shí)梳理】1.直線與平面垂直的定義：直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，則l⊥α（符號(hào)表示：l⊥α）。2.直線與平面垂直的判定定理：符號(hào)表示：a?α，b?α，a∩b=P，l⊥a，l⊥b?l⊥α；條件解讀：①兩條直線a、b在平面α內(nèi)；②a與b相交（a∩b=P）；③直線l與a、b都垂直（l⊥a，l⊥b）?！镜淅馕觥坷涸谡襟wABCD-A₁B₁C₁D<su