八年級數(shù)學基礎(chǔ)知識點重點練習前言八年級是初中數(shù)學學習的關(guān)鍵過渡階段，既承接初一的有理數(shù)、整式運算等基礎(chǔ)，又開啟三角形、函數(shù)、統(tǒng)計等核心模塊的學習。這些知識點不僅是中考的高頻考點，更是后續(xù)幾何、代數(shù)綜合應用的基石。為幫助同學們精準鞏固基礎(chǔ)、突破重點，本文匯總了八年級數(shù)學各章節(jié)的核心知識點及典型練習，每道題附詳細解析，旨在通過針對性練習，實現(xiàn)“知識點—解題方法—能力提升”的轉(zhuǎn)化。一、三角形1.核心知識點梳理分類：按邊分為不等邊三角形、等腰三角形（含等邊三角形）；按角分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊（簡化判斷：最小兩邊之和＞最大邊）；任意兩邊之差小于第三邊。內(nèi)角和：三角形內(nèi)角和為180°（延伸：n邊形內(nèi)角和為(n-2)×180°）。外角性質(zhì)：外角等于不相鄰兩內(nèi)角之和；外角大于任何一個不相鄰內(nèi)角。三線性質(zhì)：高：從頂點向?qū)呑鞔咕€，垂足與頂點間的線段（直角三角形的高有兩條與邊重合）；中線：頂點與對邊中點的連線（平分三角形面積）；角平分線：平分內(nèi)角且交對邊于一點的線段（角平分線上的點到兩邊距離相等）。2.重點練習及解析例1（選擇題）：下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）A.3,4,5B.2,3,5C.1,2,3D.4,4,9解析：根據(jù)“最小兩邊之和＞最大邊”判斷：A選項：3+4＞5（7＞5），符合；B選項：2+3=5，不符合；C選項：1+2=3，不符合；D選項：4+4=8＜9，不符合。答案：A例2（填空題）：在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，則∠C=______，△ABC是______三角形（按角分類）。解析：∠C=180°-∠A-∠B=90°；有一個角為90°的三角形是直角三角形。答案：90°；直角例3（解答題）：已知等腰三角形的腰長為5，底邊長為6，求底邊的高及面積。解析：等腰三角形三線合一（高、中線、角平分線重合），底邊的高將三角形分成兩個直角三角形，直角邊為底邊的一半（3）和腰長（5）。高：\(h=\sqrt{5^2-3^2}=4\)；面積：\(S=\frac{1}{2}\times6\times4=12\)。答案：高為4，面積為12二、全等三角形1.核心知識點梳理定義：能夠完全重合的兩個三角形（記作“≌”）。性質(zhì)：對應邊相等、對應角相等（對應邊上的高、中線、角平分線也相等）。判定定理：SSS（邊邊邊）：三邊對應相等；SAS（邊角邊）：兩邊及其夾角對應相等；ASA（角邊角）：兩角及其夾邊對應相等；AAS（角角邊）：兩角及其中一角的對邊對應相等；HL（斜邊直角邊）：直角三角形的斜邊和一條直角邊對應相等（僅適用于直角三角形）。2.重點練習及解析例1（選擇題）：下列條件中，不能判定△ABC≌△DEF的是（）A.AB=DE，BC=EF，AC=DF（SSS）B.∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E（ASA）C.AB=DE，BC=EF，∠A=∠D（SSA）D.∠C=∠F=90°，AC=DF，BC=EF（HL）解析：SSA（兩邊及其中一邊的對角）不能判定全等（可能存在兩種不同三角形，如銳角三角形和鈍角三角形）。答案：C例2（填空題）：如圖，AB=CD，∠ABC=∠DCB，求證△ABC≌△DCB（補充條件并證明）。解析：已知AB=CD、∠ABC=∠DCB，公共邊BC=CB，符合SAS判定。證明：在△ABC和△DCB中，AB=CD（已知），∠ABC=∠DCB（已知），BC=CB（公共邊），∴△ABC≌△DCB（SAS）。例3（解答題）：如圖，AB=AC，AD是BC邊上的中線，求證AD⊥BC。解析：通過證明△ABD≌△ACD，利用全等三角形對應角相等（∠ADB=∠ADC），結(jié)合平角定義（∠ADB+∠ADC=180°）得垂直。證明：∵AD是中線，∴BD=CD（中線定義）。在△ABD和△ACD中，AB=AC（已知），BD=CD（已證），AD=AD（公共邊），∴△ABD≌△ACD（SSS）?！唷螦DB=∠ADC（全等三角形對應角相等）。又∵∠ADB+∠ADC=180°（平角定義），∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC（垂直定義）。三、軸對稱1.核心知識點梳理定義：沿某條直線折疊后，兩個圖形完全重合（直線稱為對稱軸）。性質(zhì)：對稱軸垂直平分對應點的連線；對應邊相等、對應角相等。等腰三角形：性質(zhì)：等邊對等角（兩底角相等）；三線合一（頂角平分線、底邊中線、底邊高重合）；判定：等角對等邊（有兩個角相等的三角形是等腰三角形）。等邊三角形：三邊相等，三角均為60°（每條邊的三線合一）。最短路徑（將軍飲馬）：在直線l上找一點P，使PA+PB最小，方法是作點A關(guān)于l的對稱點A'，連接A'B交l于P（此時PA+PB=A'B，兩點之間線段最短）。2.重點練習及解析例1（選擇題）：等腰三角形的頂角為80°，則底角為（）A.20°B.50°C.60°D.80°解析：底角=(180°-頂角)÷2=(180°-80°)÷2=50°。答案：B例2（填空題）：等邊△ABC中，AD是BC邊上的高，AB=4，則BD=______，AD=______。解析：等邊三角形三線合一，BD=BC÷2=AB÷2=2；AD=√(AB2-BD2)=√(42-22)=2√3。答案：2；2√3例3（解答題）：村莊A、B位于河兩岸，現(xiàn)要建一座垂直于河岸的橋CD，使A到B的路徑AC+CD+DB最短，確定橋的位置。解析：橋CD長度固定（河寬），需使AC+DB最短。將點A沿垂直于河岸方向平移河寬至A'，連接A'B交河岸于D，過D作垂線得C（此時AC=A'D，AC+DB=A'B，最短）。步驟：1.作A關(guān)于河岸的平移點A'（AA'=河寬，方向垂直河岸）；2.連接A'B交河岸于D；3.過D作河岸垂線交另一河岸于C；4.連接AC、DB，路徑AC+CD+DB最短。四、二次根式1.核心知識點梳理定義：形如\(\sqrt{a}\)（a≥0）的式子（根號下的數(shù)必須非負）。性質(zhì)：\(\sqrt{a^2}=|a|\)（正數(shù)的平方根為正，負數(shù)為相反數(shù)，0為0）；\(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt\)（a≥0，b≥0）；\(\sqrt{\frac{a}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt}\)（a≥0，b＞0）。最簡二次根式：被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)（如\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)、\(\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)）。運算：加減：合并同類二次根式（如\(\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)）；乘除：按性質(zhì)計算（如\(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\)、\(\sqrt{18}\div\sqrt{2}=3\)）。2.重點練習及解析例1（選擇題）：\(\sqrt{x-3}\)有意義的條件是（）A.x>3B.x≥3C.x<3D.x≤3解析：根號下的數(shù)非負，即x-3≥0→x≥3。答案：B例2（填空題）：化簡：\(\sqrt{18}=\)______；\(\sqrt{\frac{1}{2}}=\)______；\(\sqrt{a^3}=\)______（a≥0）。解析：\(\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}\)；\(\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{2}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)；\(\sqrt{a^3}=\sqrt{a^2×a}=a\sqrt{a}\)（a≥0）。答案：3√2；√2/2；a√a例3（解答題）：計算：（1）\(\sqrt{27}+\sqrt{3}-\sqrt{12}\)；（2）\((\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})\)。解析：（1）先化為最簡二次根式：\(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\)、\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)，原式=3√3+√3-2√3=2√3；（2）利用平方差公式：\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)，原式=5-2=3。答案：（1）2√3；（2）3五、勾股定理1.核心知識點梳理勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（\(a^2+b^2=c^2\)，c為斜邊）。逆定理：若三角形三邊滿足\(a^2+b^2=c^2\)，則為直角三角形（c為斜邊）。勾股數(shù)：能構(gòu)成直角三角形的正整數(shù)（如3,4,5；5,12,13；7,24,25）。2.重點練習及解析例1（選擇題）：直角三角形兩邊長為3和4，第三邊長為（）A.5B.√7C.5或√7D.無法確定解析：分類討論：3和4為直角邊：斜邊=√(32+42)=5；4為斜邊、3為直角邊：另一直角邊=√(42-32)=√7。答案：C例2（填空題）：三角形三邊為6,8,10，該三角形是______三角形（按角分類）。解析：62+82=36+64=100=102，符合勾股定理逆定理，為直角三角形。答案：直角例3（解答題）：梯子長13米，斜靠在墻上，底端離墻5米，求頂端離地面高度。若頂端下滑2米，底端向外滑動多少米？解析：（1）設(shè)頂端高度為h，由勾股定理：\(h^2+5^2=13^2\)→h=12米；（2）下滑后高度為10米，設(shè)底端離墻x米：\(10^2+x^2=13^2\)→x=√(____)=√69米，滑動距離=√69-5米。答案：頂端離地面12米；底端滑動(√69-5)米六、平行四邊形1.核心知識點梳理定義：兩組對邊分別平行的四邊形（記作“?ABCD”）。性質(zhì)：對邊相等（AB=CD，AD=BC）；對角相等（∠A=∠C，∠B=∠D）；對角線互相平分（OA=OC，OB=OD）；中心對稱（對稱中心為對角線交點）。判定定理：兩組對邊分別相等；一組對邊平行且相等；對角線互相平分；兩組對角分別相等。2.重點練習及解析例1（選擇題）：?ABCD中，∠A=60°，則∠C=（）A.60°B.120°C.30°D.90°解析：平行四邊形對角相等，∠C=∠A=60°。答案：A例2（填空題）：?ABCD中，對角線AC、BD交于O，OA=3，則AC=______；OB=5，則BD=______。解析：對角線互相平分，AC=2OA=6，BD=2OB=10。答案：6；10例3（解答題）：?ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點，求證四邊形AECF是平行四邊形。解析：用“一組對邊平行且相等”判定：證明：∵?ABCD，∴AB∥CD且AB=CD（平行四邊形對邊平行且相等）?！逧、F是中點，∴AE=AB/2，CF=CD/2→AE=CF。又∵AE∥CF（AB∥CD的一部分），∴四邊形AECF是平行四邊形（一組對邊平行且相等）。七、一次函數(shù)1.核心知識點梳理定義：形如\(y=kx+b\)（k≠0，k、b為常數(shù)）的函數(shù)（b=0時為正比例函數(shù)，是特殊情況）。圖像：一條直線（與x軸交于(-b/k,0)，與y軸交于(0,b)，b為截距）。性質(zhì)：k>0：y隨x增大而增大（圖像上升）；k<0：y隨x增大而減小（圖像下降）；b>0：圖像交y軸正半軸；b<0：交負半軸；b=0：過原點。解析式求法：待定系數(shù)法（設(shè)\(y=kx+b\)，代入兩點坐標解方程組）。與方程/不等式的關(guān)系：\(kx+b=0\)的解：圖像與x軸交點的橫坐標；\(kx+b>0\)的解：圖像在x軸上方的x取值范圍；\(kx+b<0\)的解：圖像在x軸下方的x取值范圍。2.重點練習及解析例1（選擇題）：下列函數(shù)中，是一次函數(shù)的是（）A.\(y=3x^2+2\)B.\(y=1/x\)C.\(y=2x+1\)D.\(y=\sqrt{x}\)解析：一次函數(shù)形式為\(y=kx+b\)（k≠0），A是二次函數(shù)，B是反比例函數(shù)，C是一次函數(shù)，D是根式函數(shù)。答案：C例2（填空題）：一次函數(shù)\(y=2x+3\)與x軸交于點______，與y軸交于點______，y隨x增大而______。解析：與x軸交于點：令y=0→2x+3=0→x=-3/2，即(-3/2,0)；與y軸交于點：令x=0→y=3，即(0,3)；k=2>0，y隨x增大而增大。答案：(-3/2,0)；(0,3)；增大例3（解答題）：一次函數(shù)過點(0,2)和(1,3)，求解析式。解析：用待定系數(shù)法，設(shè)\(y=kx+b\)：代入(0,2)：2=0×k+b→b=2；代入(1,3)：3=1×k+2→k=1；因此，解析式為\(y=x+2\)。答案：\(y=x+2\)八、數(shù)據(jù)的分析1.核心知識點梳理平均數(shù)：算術(shù)平均數(shù)：\(\mu=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\)；加權(quán)平均數(shù)：\(\mu=\frac{x_1f_1+x_2f_2+\cdots+x_kf_k}{n}\)（\(f_1+f_2+\cdots+f_k=n\)，\(f_i\)為權(quán)）。中位數(shù)：將數(shù)據(jù)排序后，中間的數(shù)（奇數(shù)個為中間數(shù)，偶數(shù)個為中間兩數(shù)的平均數(shù)）。眾數(shù)：出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)（可能有多個）。方差：衡量數(shù)據(jù)波動大?。ǚ讲钤酱螅▌釉酱螅?，公式：\(s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\mu)^2+(x_2-\mu)^2+\cdots+(x_n-\mu)^2]\)。2.重點練習及解析例1（選擇題）：5名同學數(shù)學成績：80,85,90,95,100，中位數(shù)是（）A.85B.90C.95D.100解析：排序后為80,85,90,95,100，中間數(shù)為第3個，即90。答案：B例2（填空