第一節(jié)等式與不等式的性質思維導圖知識點解讀知識點1:等式的基本性質名稱性質內容性質1對稱性性質2傳遞性性質3同加（減）性性質4同乘性性質5同除性知識點2:不等式的性質性質名稱性質內容注意1對稱性可逆2傳遞性同向3可加性可逆4移項法則可逆5同向可加性同向6可倒數性同向同正7可乘性的正負8同向同正可乘性同向同正9可乘方性同正10可開方性同正知識點3:比較兩數（式）大小的方法注意:（1）比較代數式的大小通常采用作差法,如果含有根式,也可以先平方再作差,但此時一定要保證代數式大于零;（2）作差時應該對差式進行恒等變形（如配方、因式分解、有理化、通分等）,直到能明顯看出其正負號為止.（3）作商法適合于冪式、積式、分式間的大小比較,作商后應變形為能與“1”比較大小的式子,要注意營養(yǎng)函數的有關性質.題型分練題型一、利用不等式表示不等關系1.在開山工程爆破時，已知導火線燃燒的速度是0.5cm/s，人跑開的速度為4m/s，為了使點燃導火線的人能夠在爆破時跑到100m以外的安全區(qū)，導火線的長度x（cm）應滿足的不等式為（）A．4×x0.5≥100 B．4×xC．4×x0.5＞100 D．4×x【答案】C【分析】人跑開的路程應大于100米，可得結論.【詳解】導火線燃燒的時間為x0.5s，人在這段時間跑的路程為4×x由題意可得4×x0.5故選：C.2.一個工廠原來每天可以加工x件商品，經過工藝改革后該工廠每天可以加工的商品比原來多560件，且30天加工的商品將超過75000件，這一關系可用不等式表示為（

）A．30x+560>75000 B．30C．30x+560≥75000 D．30【答案】B【分析】根據題設可得每天加工的商品數為x+560件，即可求出結果.【詳解】由題意得現在工廠每天加工的商品數為x+560件，則該工廠30天加工的商品數為30x+560所以題中關系表示為30x+560故選：B.3.下列不等式中可以用來表示“a的2倍比a的平方的相反數小”的是（

）A．2a<a2 C．a<?2a2 【答案】D【分析】依題意，先用a表示代數式，再建立不等關系即得.【詳解】因a的2倍為2a,a的平方的相反數為?a則不等式為：2a<?a故選：D.4.公司運輸一批木材，總重600噸，車隊有兩種貨車，A型貨車載重量30噸，B型貨車載重量24噸，設派出A型貨車x輛，B型貨車y輛，則運輸方案應滿足的關系式是（

）A．5x+4y<100 B．5x+4y≥100C．5x+4y>100 D．5x+4y≤100【答案】B【分析】根據已知列出不等式，化簡即可得出答案.【詳解】由已知可得，30x+24y≥600，所以有5x+4y≥100.故選：B.5.用一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m，要求菜園的面積不小于110m2，設靠墻的一邊長為【答案】0<x≤18【分析】根據題意可得0<x≤18，以及菜園面積S=x15?【詳解】由于矩形菜園靠墻的一邊長為xm則0<x≤18，菜園的另一條邊長為30?x2可得菜園面積S=x15?依題意有S≥110，即x15?故該題中的不等關系可用不等式組表示為0<x≤18x題型二、1.已知0<a<1，則（

）A．a2>1aC．1a>a>a【答案】C【詳解】因為0<a<1，所以0<a2<1,1a>1,?1<?a<0．由于0<a<1，故在不等式上同時乘以a得【答案】C【分析】由不等式的性質逐一判斷即可求解.故選：C.3.下列說法中，錯誤的是（

）【答案】A【分析】舉出反例即可判斷A；根據不等式的性質即可判斷BD；利用作差法即可判斷C.故選：A．4.對于實數a,b,c，判斷下列結論是否正確．(1)若a<b<0，則a2>ab>b(2)若c>a>b>0，則ac?a＞b(3)若a>b，1a>1(4)若a<b<0，則ba＞a【答案】(1)正確(2)正確(3)正確(4)錯誤【分析】由不等式的性質判斷．【詳解】（1）a<ba<0?故當a<b<0時，a2（2）若c>a>b>0，則0<c?a<c?b，∴1c?a>1c?b（3）若a>b，1a>1b，則b?aab>0，因為（4）若a<b<0，則ab5.判斷下列各命題的真假，并說明理由.（1）若a<b，c<0，則ca（2）若ac3<bc3，則a>b；（3）若a>b，且k∈N*，則ak>bk；（4）若a>b，b>c則a－b>b－c.【答案】（1）假命題，理由見解析；（2）假命題，理由見解析；（3）假命題，理由見解析；（4）假命題，理由見解析.【分析】(1)由a<b，不一定有ab>0，故1a(2)當c>0時，c3>0，根據不等式的性質可判斷.(3)舉反例可判斷.(4)舉反例可判斷.【詳解】(1)∵a<b，不一定有ab>0，∴1a>1(2)當c>0時，c3>0，又ac3<bc3，∴a<b，∴(2)是假命題.(3)當a＝1，b＝－2，k＝2時，顯然命題不成立，∴(3)是假命題.(4)當a＝2，b＝0，c＝－3時，滿足a>b，b>c這兩個條件，但是a－b＝2<b－c＝3，∴(4)是假命題.題型三、1.設a>b>0，求證b+2aa+2b【答案】證明見解析【分析】根據題意，得到b+2aa+2b?ab=【詳解】由b+2aa+2b因為a>b>0，可得a+2b>0,b+a>0,b?a<0，所以(b+a)(b?a)a+2b?b<0，即b+2a2.若a>b>0，c<d<0，證明：ab?d【答案】證明見解析【分析】根據不等式的性質利用綜合法即可證明．【詳解】∵c<d<0，∴?c>?d>0，又∵a>b>0，∴a?c>b?d>0，∴a?c2>b?d又∵a>b>0，∴ab?d3.已知a≥?1，求證：a3【答案】證明見解析【分析】結合立方和公式及a≥?1，利用作差法即可證明.【詳解】a3+1?因為a≥?1，所以a+1≥0，又a?12≥0，所以所以a34.（1）已知a>b>0，c<d<0，e<0，求證：ea?c（2）證明：a?【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【詳解】（1）因為c<d<0，所以?c>?d>0．又a>b>0，所以a?c>b?d>0，則1a?cb?d>0，所以a?c×1a?cb?d（2）要證a?a?2<a?1?a?3a≥3，只需證a+a?3<a?15.已知a>b>1，d<c<?2．(1)求證：a?1b?1(2)求證：ac+bd>bc+ad．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）利用不等式的性質證明即可；（2）應用作差法比較大小，即可證.【詳解】（1）由a>b>1，則a?1>0,b?1>0，故(a?1)(b?1)>0，由d<c<?2，則c+2<0,d+2<0，故(c+2)(d+2)>0，所以a?1b?1（2）由ac+bd?bc?ad=c(a?b)+d(b?a)=(c?d)(a?b)，而a?b>0,c?d>0，所以ac+bd?bc?ad=(c?d)(a?b)>0，即ac+bd>bc+ad，得證.題型四、利用作差與作商比較大小1.若x<1，試比較M=x2+x【答案】M>N【分析】利用作差法比較即可.【詳解】由M?N=x又因為x<1，所以x?1<0，x?2<0，所以M?N=x?1x?2>02.設a為實數，試比較以下兩個式子的大小(1)a2+1(2)2a2?a【答案】(1)a2(2)2a【分析】（1）用作差法比較大?。?）用作差法比較大?。驹斀狻浚?）a2+1?2a=(a?1)所以a2（2）2a所以2a3.（1）對于實數x，比較2x2+1（2）對于實數x，比較|2x?1|+|5?2x|與4的大小.【答案】（1）2x2【分析】（1）根據題意，由作差法代入計算，即可得到結果；（2）根據題意，分類討論去掉絕對值符號，即可得到大小關系.【詳解】（1）2x即2x（2）|2x?1|+|5?2x|=2x?1令fx當x≤12時，當x=12時，當12<x<5當x≥52時，當x=52時，綜上所述，|2x?1|+|5?2x|≥44.試比較下列各數的大小，并說明理由：(1)3+3與2+(2)3+5與【答案】(1)3+3>(2)3+5>【分析】（1）作差法比較大小；（2）兩式平方比較大小；【詳解】（1）3+3>理由：3+3?3估算是1.7，5估算是2.2，所以1+3因此3+3>（2）3+5理由：將兩式平方(3(2+所以3+5>5.已知a>b>0，則aabb與a【答案】aab【分析】運用做商比較法，由題意可得aa【詳解】∵aabbabba=a即aabbabba故答案為：aabb6.已知a<b<0，試比較a2+b【答案】a【分析】利用兩個數都大于0,直接利用作商比較其大小即可.【詳解】∵a<b<0，∴a?b<0,∴a兩數作商a=a∴a7.已知a≥1，試比較M=a+1?a【答案】M<N【分析】方法1：采用作商比較法，結合分母有理化即可求解；方法2：先計算1M=a+1【詳解】（方法1）因為a≥1，所以M=a+1所以MN因為a+1+a>a+（方法2）所以M=a+1又1M所以1M>18.（1）比較3x3與（2）已知a≥1，試比較M=a+1?a【答案】（1）答案見解析；（2）M<N.【分析】（1）利用作差法得出3x3?3x2?x+1=3（2）將M、N進行分子有理化，結合作商法可得出M、N的大小關系.【詳解】（1）∵3x當x<1時，則3x2+1當x=1時，則3x2+1當x>1時，則3x2+1（2）∵a≥1，則M=a+1?aM=a+1N=a∵a+1+a因此，M<N.【點睛】本題考查利用作差法和作商法比較大小，屬于基礎題.9.試比較下列組式子的大?。?1)x+1?x與x?(2)M=a1+a+b1+b與N=(3)a2?b2a【答案】(1)x+1?(2)M≤N;(3)a2【分析】(1)通過比較1x+1+x與1x+(2)通過作差法來比較M,N的大?。?3)通過作差法或作商法比較a2?b【詳解】（1）解：x+1?x=因為x+1+所以1x+1即x+1?（2）解：M?N==a?b因為a>0，b>0，所以1+a1+b>0，所以M?N≤0，即M≤N；（3）方法一（作差法）a=a?b因為a>b>0，所以a+b>0，a?b>0，2ab>0，a2所以2aba?b所以a2方法二（作商法）因為a>b>0，所以a2?b2a所以a2所以a2題型五、利用不等式求代數式的范圍1.如果30<x<42,16<y<24.分別求x+y,x?2y及xy【答案】46<x+y<66;?18<x?2y<10;【分析】先利用不等式的性質分別求?2y，1y【詳解】因30<x<42,16<y<24，故46<x+y<66；因?48<?2y<?32，故?18<x?2y<10；又因124<1y<2.已知實數a,b滿足?1≤a+b≤1，1≤a?b≤3，求3a?b的取值范圍．【答案】1,7.【解析】先將3a?b用a+b與a?b線性表示得3a+b=(a+b)+2(a?b)，再根據不等式的性質求解即可.【詳解】解：設：3a?b=x(a+b)+y(a?b)=(x+y)a+(x?y)b∴

x+y=3x?y=?1???∴2≤2a?b≤6即：1≤3a?b≤7．故答案為：1,7說明：此題的一種典型錯誤做法，如下：∵?1≤a+b≤1,1≤a?b≤3,∴0≤2a≤4，即：0≤a≤2∵即：?2≤b≤0∴0≤3a≤6此解法的錯誤原因是因為a與b是兩個相互聯系，相互制約的量，而不是各自獨立的，當a+b取到最大值或最小值時，a?b不一定能取到最值，所以用以上方法可能擴大變量的范圍．避免出錯的方法是通過待定系數法“整體代入”，見解題過程．【點睛】本題考查不等式的性質，考查運算能力，是基礎題.3.已知12<a<60，15<b<36，(1)求a+13b(2)求ab【答案】(1)答案見解析(2)1【分析】（1）先求出13b,?b的范圍，再結合（2）對于ab，可先求出1b的范圍，然后再結合【詳解】（1）∵15<b<36，∴5<13b<12又12<a<60，所以12+5<a+13b<60+1212?36<a?b<60?15，即?24<a?b<45，綜上，17<a+13b<72（2）∵15<b<36，∴136又∵12<a<60，∴1236即134.已知?1<x+y<4,?(1)求x的取值范圍(2)求3x+2y的取值范圍【答案】(1)1(2)?【分析】（1）兩不等式相加可求x的取值范圍；（2）利用待定系數法可得3x+2y=52x+y【詳解】（1）∵?1<x+y<4,2<x?y<3，∴兩個不等式相加可得1<2x<7解得12（2）設3x+2y=mx+y則m+n=3m?n=2，∴即3x+2y=5又∵?1<x+y<4,2<x?y<3，∴?5∴?3即?∴3x+2y的取值范圍為?35.（1）已知?2<a≤3，1≤b<2，求2a?3b的取值范圍；（2）已知?1≤a+b≤1，1≤a?2b≤3，則a+3b的取值范圍【答案】（1）?10<2a?3b≤3；（2）?【分析】根據不等式的性質求得正確答案.【詳解】（1）依題意?4<2a≤6?6<?3b≤?3，所以?10<2a?3b≤3（2）設a+3b=xa+b即a+3b=x+y所以x+y=1x?2y=3，解得x=所以a+3b=5?53≤鞏固練習單選題1.若a>b>0，則下列不等式一定成立的是（

）A．ba>b+1a+1 B．a+1a【答案】C【分析】舉出反例可得A、B、D錯誤；借助作差法計算可得C.【詳解】對A：若a=1，b=12，則有ba此時ba對B：若a=1，b=12，則有a+1此時a+1對C：a?b由a>b>0，故a?b>0，a+b>0，ab>0，故a?b即a?b對D：若a=1，b=12，則2a+ba+2b此時2a+ba+2b故選：C.【答案】C【分析】由不等式的性質逐一判斷即可求解.故選：C.3.設p=a2+a+1?1，A．p>q B．p<q C．p≥q D．p≤q【答案】D【分析】首先配方判斷p、q均大于零，然后作商即可比較大小.【詳解】p=aq=a則q=a故p≤q，當且僅當a=0時，取等號，故選：D【點睛】本題考查了作商法比較兩個式子的大小，屬于基礎題.4.已知M=x2?x+3,N=x+2，則M與NA．M>N B．M<NC．M≥N D．M≤N【答案】C【分析】利用作差比較法求解.【詳解】因為M?N=x所以M≥N.故選：C.多選題5.下列說法正確的有（）A．若ac2B．若a+b>2ab>1，則C．若a>b>0，則a?b>D．若a<1b<1，則【答案】AC【分析】由不等式的性質逐一判斷所給命題的真假．【詳解】A中，因為ac2>bc2B中，若a+b>2ab>1，a=1,b=2也可以，所以a>1C中，a>b>0,a?b?1因為a>b>0，ab>0，而1+ab＞0，所以a?b?1D中，若a<1b<1，當a=b=?2時，則ab>1，則ab<1故選：AC．6.十六世紀中葉，英國數學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用，后來英國數學家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號，并逐漸被數學界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠．若a,b,c∈R，則下列命題正確的是（

）A．若ab≠0且a<b，則1a>1b C．若a>b>0，則b+1a+1>ba D．若c<b<a【答案】BC【詳解】對于A，取a=?2,b=1，則1a>1b不成立，故A錯誤；對于B，若0<a<1，則a3?a=aa2?1<0，所以a3<a，故B正確；對于C，若a>b>0，則a(b+1)?b(a+1)=a?b>0，所以7.如圖所示，4個長為a，寬為b的長方形，拼成一個正方形ABCD，中間圍成一個小正方形A1B1A．(a+b)2≥4ab B．當a=b時，A1，B1，C．(a?b)2≤4ab 【答案】ABD【解析】根據圖形的構成，結合面積之間的關系即可求出答案.【詳解】由圖可知正方形ABCD的面積不小于4個長方形的面積之和，即有(a+b)2因為正方形A1B1C1D1的面積為(a?b)2，結合圖形可知(a+b)2>(a?b)2，且當但是正方形A1故選：ABD【點睛】本題考查了(a?b)2，(a+b)2，8.下列命題中，不正確的是（

）A．若1a<1B．若a>b>0>c>d，則a?c<b?dC．若a>b>c>0，則bD．若?1<a<6,3<b<8，則?9<a?b<3【答案】AB【分析】利用不等式的性質，推理判斷ACD；舉例說明判斷B.【詳解】對于A，由1a<1對于B，取a=3,b=1,c=?1,d=?2，滿足a>b>0>c>d，而a?c=4>3=b?d，B錯誤；對于C，由a>b>c>0，得0<a?b<a?c，則1a?b>1對于D，由3<b<8，得?8<?b<?3，而?1<a<6，則?9<a?b<3，D正確.故選：AB填空題9.設a=7，b=3?3，則a【答案】>【分析】由a、b均大于0，可用作商法，再化簡后與1作大小比較，即可得出答案.【詳解】∵ab=7又∵b>0，∴a>b.故答案為：>.10.如果30<x<42，16<y<24，則2x?y的取值范圍是.【答案】(36,68)【分析】根據同向不等式的運算規(guī)則，計算不等式的范圍.【詳解】∵30<x<42,∴60<2x<84,又∵16<y<24,∴?24<?y<?16,兩式相加得36<2x?y<68,故答案為:(36,68).11.下列命題是真命題的為①若a>b>0>c>d，則ab>cd

②若ac2>bc2，則③若a>b>0且c<0，則ca2>c【答案】②③④【分析】由已知條件結合不等式的性質，判斷結論是否正確.【詳解】對于①，取a=2，b=1，c=?3，d=?4，則ab=2，cd=12，所以ab<cd，故①錯誤；對于②，若ac2>bc2對于③，若a>b>0，則a2>b又因為c<0，由不等式的性質可得ca對于④，若a>b且1a>1b，則故答案為：②③④．12.有外表一樣、重量不同的四個小球甲、乙、丙、丁，它們的重量分別是a，b，c，d，已知a+b=c+d，a+d>b+c，a+c<b，則這四個小球中最重的是，最輕的是．【答案】丁丙【分析】利用不等式的性質來化簡證明即可.【詳解】由a+d>b+c，a+b=c+d，可得a+d+a+b再由a+b=c+d?a=c+d?b，代入a>c，可得：c+d?b>c?d>b，再由a+c<b，因為c>0，所以b>a，即d>b>a>c，所以四個小球中最重的是丁，最輕的是丙，故答案為：丁，丙.13.若x<y<0，設M=x2+y2x?y,N=【答案】＞；【分析】利用作差法求解.【詳解】解：因為x<y<0，所以x?y<0,xy>0，所以M?N=x=x?y則M?N>0，即M>N，故答案為：＞解答題14.某車工計劃在15天里加工零件408個，最初三天中，每天加工24個，則以后平均每天至少需加工多少個零件，才能在規(guī)定的時間內超額完成任務？列出解決此問題需要構建的不等關系式.【答案】72+12x≥408【分析】設該車工3天后平均每天需加工x個零件，由前3天加工的零件個數與后12天加工的零件個數和不小于總個數即得．【詳解】設該車工3天后平均每天需加工x個零件，加工15?3天共加工12x個零件，15天里共加工3×24+12x個零件，則3×24+12x≥408．故不等關系表示為72+12x≥408．15.為衡量房屋的采光效果，行業(yè)一般采用窗地面積比（房間窗洞口面積與該房間地面面積的比值）作為標準，民用住宅的窗地面積比應不小于10%，且不超過50%，而且這個比值越大，采光效果越好.設某住宅的窗洞口面積與地面面積分別為am2，bm(1)若這所住宅的地面面積為100m2(2)若窗洞口面積和地面面積在原來的基礎上都增加了xm2【答案】(1)10,50(2)變好，理由見解析【分析】（1）依題意得出不等關系，解不等式即可得出結果；（2）利用作差法計算比較出大小，可得結論.【詳解】（1）因為b=100，所以10%解得10≤a≤50，所以這所住宅的窗洞口面積的范圍為10,50m（2）由題意得0<a<b，x>0，原來的窗地面積比為ab，現在的窗地面積比為則a+xb+x?a因為0<a<b，x>0，所以.bb+x>0所以a+xb+c?a所以窗洞口和地面同時增加了相等的面積，住宅的采光效果變好了.16.已知a>b>c，求證：1a?b【答案】證明見解析【分析】根據題意，利用不等式的基本性質，即可得證.【詳解】證明：因為a>b>c，所以a?b>0，b?c>0，a?c>0，所以4a?b所以a?ca?bb?c≥所以1a?b17.已知12<a<60,15<b<48，求a?2b,2a【答案】a?2b的取值范圍是?84,30,2a【分析】根據不等式的性質運算求解【詳解】因為15<b<48，所以?96<?2b<?30，又∵12<a<60，所以?84<a?2b<30，因為12<a<60，所以24<2a<120，又∵15<b<48，所以148所以244