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2023年人教版中學(xué)七7年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)期末解答題考試試卷(附答案)一、解答題1.如圖,在網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,正方形的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格的格點(diǎn)上.(1)求正方形的面積和邊長(zhǎng);(2)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,寫出正方形四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).2.教材中的探究:如圖,把兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形沿對(duì)角線剪開(kāi),用所得到的4個(gè)直角三角形拼成一個(gè)面積為2的大正方形.由此,得到了一種能在數(shù)軸上畫(huà)出無(wú)理數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的方法(數(shù)軸的單位長(zhǎng)度為1).(1)閱讀理解:圖1中大正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_______,圖2中點(diǎn)A表示的數(shù)為_(kāi)_______;(2)遷移應(yīng)用:請(qǐng)你參照上面的方法,把5個(gè)小正方形按圖3位置擺放,并將其進(jìn)行裁剪,拼成一個(gè)大正方形.①請(qǐng)?jiān)趫D3中畫(huà)出裁剪線,并在圖3中畫(huà)出所拼得的大正方形的示意圖.②利用①中的成果,在圖4的數(shù)軸上分別標(biāo)出表示數(shù)-0.5以及的點(diǎn),并比較它們的大小.3.動(dòng)手試一試,如圖1,紙上有10個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的圖形紙.我們可以按圖2的虛線將它剪開(kāi)后,重新拼成一個(gè)大正方形.(1)基礎(chǔ)鞏固:拼成的大正方形的面積為_(kāi)_____,邊長(zhǎng)為_(kāi)_____;(2)知識(shí)運(yùn)用:如圖3所示,將圖2水平放置在數(shù)軸上,使得頂點(diǎn)B與數(shù)軸上的重合.以點(diǎn)B為圓心,邊為半徑畫(huà)圓弧,交數(shù)軸于點(diǎn)E,則點(diǎn)E表示的數(shù)是______;(3)變式拓展:①如圖4,給定的方格紙(每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1),你能從中剪出一個(gè)面積為13的正方形嗎?若能,請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出示意圖;②請(qǐng)你利用①中圖形在數(shù)軸上用直尺和圓規(guī)表示面積為13的正方形邊長(zhǎng)所表示的數(shù).4.已知在的正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1.(1)計(jì)算圖①中正方形的面積與邊長(zhǎng).(2)利用圖②中的正方形網(wǎng)格,作出面積為8的正方形,并在此基礎(chǔ)上建立適當(dāng)?shù)臄?shù)軸,在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)和.5.喜歡探究的亮亮同學(xué)拿出形狀分別是長(zhǎng)方形和正方形的兩塊紙片,其中長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為,寬為,且兩塊紙片面積相等.(1)亮亮想知道正方形紙片的邊長(zhǎng),請(qǐng)你幫他求出正方形紙片的邊長(zhǎng);(結(jié)果保留根號(hào))(2)在長(zhǎng)方形紙片上截出兩個(gè)完整的正方形紙片,面積分別為和,亮亮認(rèn)為兩個(gè)正方形紙片的面積之和小于長(zhǎng)方形紙片的總面積,所以一定能截出符合要求的正方形紙片來(lái),你同意亮亮的見(jiàn)解嗎?為什么?(參考數(shù)據(jù):,)二、解答題6.已知點(diǎn)C在射線OA上.(1)如圖①,CDOE,若∠AOB=90°,∠OCD=120°,求∠BOE的度數(shù);(2)在①中,將射線OE沿射線OB平移得O′E'(如圖②),若∠AOB=α,探究∠OCD與∠BO′E′的關(guān)系(用含α的代數(shù)式表示)(3)在②中,過(guò)點(diǎn)O′作OB的垂線,與∠OCD的平分線交于點(diǎn)P(如圖③),若∠CPO′=90°,探究∠AOB與∠BO′E′的關(guān)系.7.已知,定點(diǎn),分別在直線,上,在平行線,之間有一動(dòng)點(diǎn).(1)如圖1所示時(shí),試問(wèn),,滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說(shuō)明理由.(2)除了(1)的結(jié)論外,試問(wèn),,還可能滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)畫(huà)圖并證明(3)當(dāng)滿足,且,分別平分和,①若,則__________°.②猜想與的數(shù)量關(guān)系.(直接寫出結(jié)論)8.已知:如圖(1)直線AB、CD被直線MN所截,∠1=∠2.(1)求證:AB//CD;(2)如圖(2),點(diǎn)E在AB,CD之間的直線MN上,P、Q分別在直線AB、CD上,連接PE、EQ,PF平分∠BPE,QF平分∠EQD,則∠PEQ和∠PFQ之間有什么數(shù)量關(guān)系,請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論;(3)如圖(3),在(2)的條件下,過(guò)P點(diǎn)作PH//EQ交CD于點(diǎn)H,連接PQ,若PQ平分∠EPH,∠QPF:∠EQF=1:5,求∠PHQ的度數(shù).9.如圖,∠EBF=50°,點(diǎn)C是∠EBF的邊BF上一點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)A從點(diǎn)B出發(fā)在∠EBF的邊BE上,沿BE方向運(yùn)動(dòng),在動(dòng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,始終有過(guò)點(diǎn)A的射線AD∥BC.(1)在動(dòng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,(填“是”或“否”)存在某一時(shí)刻,使得AD平分∠EAC?(2)假設(shè)存在AD平分∠EAC,在此情形下,你能猜想∠B和∠ACB之間有何數(shù)量關(guān)系?并請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)當(dāng)AC⊥BC時(shí),直接寫出∠BAC的度數(shù)和此時(shí)AD與AC之間的位置關(guān)系.10.已知,如圖:射線分別與直線、相交于、兩點(diǎn),的角平分線與直線相交于點(diǎn),射線交于點(diǎn),設(shè),且.(1)________,________;直線與的位置關(guān)系是______;(2)如圖,若點(diǎn)是射線上任意一點(diǎn),且,試找出與之間存在一個(gè)什么確定的數(shù)量關(guān)系?并證明你的結(jié)論.(3)若將圖中的射線繞著端點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(如圖)分別與、相交于點(diǎn)和點(diǎn)時(shí),作的角平分線與射線相交于點(diǎn),問(wèn)在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中的值變不變?若不變,請(qǐng)求出其值;若變化,請(qǐng)說(shuō)明理由.三、解答題11.已知,點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn),于.(1)如圖1,點(diǎn)在兩條平行線外,則與之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____;(2)點(diǎn)在兩條平行線之間,過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn).①如圖2,說(shuō)明成立的理由;②如圖3,平分交于點(diǎn)平分交于點(diǎn).若,求的度數(shù).12.如圖1,由線段組成的圖形像英文字母,稱為“形”.(1)如圖1,形中,若,則______;(2)如圖2,連接形中兩點(diǎn),若,試探求與的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;(3)如圖3,在(2)的條件下,且的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線有交點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上從左向右移動(dòng)的過(guò)程中,直接寫出與所有可能的數(shù)量關(guān)系.13.如圖1,,E是、之間的一點(diǎn).(1)判定,與之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;(2)如圖2,若、的兩條平分線交于點(diǎn)F.直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系;(3)將圖2中的射線沿翻折交于點(diǎn)G得圖3,若的余角等于的補(bǔ)角,求的大?。?4.已知點(diǎn)A,B,O在一條直線上,以點(diǎn)O為端點(diǎn)在直線AB的同一側(cè)作射線,,使.(1)如圖①,若平分,求的度數(shù);(2)如圖②,將繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)到某個(gè)位置時(shí),使得所在射線把分成兩個(gè)角.①若,求的度數(shù);②若(n為正整數(shù)),直接用含n的代數(shù)式表示.15.如圖,直線,一副三角板(,,)按如圖①放置,其中點(diǎn)在直線上,點(diǎn)均在直線上,且平分.(1)求的度數(shù).(2)如圖②,若將三角形繞點(diǎn)以每秒的速度按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為).設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒.①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,若邊,求的值;②若在三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的同時(shí),三角形繞點(diǎn)以每秒的速度按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為).請(qǐng)直接寫出當(dāng)邊時(shí)的值.四、解答題16.如圖,直線,、是、上的兩點(diǎn),直線與、分別交于點(diǎn)、,點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)、重合),連接、.(1)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)、在一直線上時(shí),,,則_____.(2)若點(diǎn)與點(diǎn)、不在一直線上,試探索、、之間的關(guān)系,并證明你的結(jié)論.17.在中,射線平分交于點(diǎn),點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)重合),過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn).(1)如圖1,點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí),平分.①若,,則_____;若,則_____;②試探究與之間的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由;(2)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí),的角平分線所在直線與射線交于點(diǎn).試探究與之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.18.如圖,△ABC和△ADE有公共頂點(diǎn)A,∠ACB=∠AED=90°,∠BAC=45°,∠DAE=30°.(1)若DE//AB,則∠EAC=;(2)如圖1,過(guò)AC上一點(diǎn)O作OG⊥AC,分別交AB、AD、AE于點(diǎn)G、H、F.①若AO=2,S△AGH=4,S△AHF=1,求線段OF的長(zhǎng);②如圖2,∠AFO的平分線和∠AOF的平分線交于點(diǎn)M,∠FHD的平分線和∠OGB的平分線交于點(diǎn)N,∠N+∠M的度數(shù)是否發(fā)生變化?若不變,求出其度數(shù);若改變,請(qǐng)說(shuō)明理由.19.互動(dòng)學(xué)習(xí)課堂上某小組同學(xué)對(duì)一個(gè)課題展開(kāi)了探究.小亮:已知,如圖三角形,點(diǎn)是三角形內(nèi)一點(diǎn),連接,,試探究與,,之間的關(guān)系.小明:可以用三角形內(nèi)角和定理去解決.小麗:用外角的相關(guān)結(jié)論也能解決.(1)請(qǐng)你在橫線上補(bǔ)全小明的探究過(guò)程:∵,(______)∴,(等式性質(zhì))∵,∴,∴.(______)(2)請(qǐng)你按照小麗的思路完成探究過(guò)程;(3)利用探究的結(jié)果,解決下列問(wèn)題:①如圖①,在凹四邊形中,,,求______;②如圖②,在凹四邊形中,與的角平分線交于點(diǎn),,,則______;③如圖③,,的十等分線相交于點(diǎn)、、、…、,若,,則的度數(shù)為_(kāi)_____;④如圖④,,的角平分線交于點(diǎn),則,與之間的數(shù)量關(guān)系是______;⑤如圖⑤,,的角平分線交于點(diǎn),,,求的度數(shù).20.(1)如圖1所示,△ABC中,∠ACB的角平分線CF與∠EAC的角平分線AD的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F;①若∠B=90°則∠F=;②若∠B=a,求∠F的度數(shù)(用a表示);(2)如圖2所示,若點(diǎn)G是CB延長(zhǎng)線上任意一動(dòng)點(diǎn),連接AG,∠AGB與∠GAB的角平分線交于點(diǎn)H,隨著點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng),∠F+∠H的值是否變化?若變化,請(qǐng)說(shuō)明理由;若不變,請(qǐng)求出其值.【參考答案】一、解答題1.(1)面積為29,邊長(zhǎng)為;(2),,,,圖見(jiàn)解析.【分析】(1)面積等于一個(gè)大正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積,再利用算術(shù)平方根定義求得邊長(zhǎng)即可;(2)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系后寫出四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)解析:(1)面積為29,邊長(zhǎng)為;(2),,,,圖見(jiàn)解析.【分析】(1)面積等于一個(gè)大正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積,再利用算術(shù)平方根定義求得邊長(zhǎng)即可;(2)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系后寫出四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)即可.【詳解】解:(1)正方形的面積,正方形邊長(zhǎng)為;(2)建立如圖平面直角坐標(biāo)系,則,,,.【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)及割補(bǔ)法求面積,從圖形中整理出直角三角形是進(jìn)一步解題的關(guān)鍵.2.(1);(2)①見(jiàn)解析;②見(jiàn)解析,【分析】(1)設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a,根據(jù)正方形面積公式,結(jié)合平方根的運(yùn)算求出a值,則知結(jié)果;(2)①根據(jù)面積相等,利用割補(bǔ)法裁剪后拼得如圖所示的正方形;②解析:(1);(2)①見(jiàn)解析;②見(jiàn)解析,【分析】(1)設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a,根據(jù)正方形面積公式,結(jié)合平方根的運(yùn)算求出a值,則知結(jié)果;(2)①根據(jù)面積相等,利用割補(bǔ)法裁剪后拼得如圖所示的正方形;②由題(1)的原理得出大正方形的邊長(zhǎng)為,然后在數(shù)軸上以-3為圓心,以大正方形的邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交數(shù)軸的右方與一點(diǎn)M,再把N點(diǎn)表示出來(lái),即可比較它們的大?。驹斀狻拷猓涸O(shè)正方形邊長(zhǎng)為a,∵a2=2,∴a=,故答案為:,;(2)解:①裁剪后拼得的大正方形如圖所示:②設(shè)拼成的大正方形的邊長(zhǎng)為b,∴b2=5,∴b=±,在數(shù)軸上以-3為圓心,以大正方形的邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交數(shù)軸的右方與一點(diǎn)M,則M表示的數(shù)為-3+,看圖可知,表示-0.5的N點(diǎn)在M點(diǎn)的右方,∴比較大小:.【點(diǎn)睛】本題主要考查平方根與算術(shù)平方根的應(yīng)用及實(shí)數(shù)的大小比較,熟練掌握平方根與算術(shù)平方根的意義及實(shí)數(shù)的大小比較是解題的關(guān)鍵.3.(1)10,;(2);(3)見(jiàn)解析;(4)見(jiàn)解析【分析】(1)易得10個(gè)小正方形的面積的和,那么就得到了大正方形的面積,求得面積的算術(shù)平方根即可為大正方形的邊長(zhǎng);(2)根據(jù)大正方形的邊長(zhǎng)結(jié)合實(shí)解析:(1)10,;(2);(3)見(jiàn)解析;(4)見(jiàn)解析【分析】(1)易得10個(gè)小正方形的面積的和,那么就得到了大正方形的面積,求得面積的算術(shù)平方根即可為大正方形的邊長(zhǎng);(2)根據(jù)大正方形的邊長(zhǎng)結(jié)合實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系可得結(jié)果;(3)以2×3的長(zhǎng)方形的對(duì)角線為邊長(zhǎng)即可畫(huà)出圖形;(4)得到①中正方形的邊長(zhǎng),再利用實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系可畫(huà)出圖形.【詳解】解:(1)∵圖1中有10個(gè)小正方形,∴面積為10,邊長(zhǎng)AD為;(2)∵BC=,點(diǎn)B表示的數(shù)為-1,∴BE=,∴點(diǎn)E表示的數(shù)為;(3)①如圖所示:②∵正方形面積為13,∴邊長(zhǎng)為,如圖,點(diǎn)E表示面積為13的正方形邊長(zhǎng).【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的剪拼,正方形的面積,算術(shù)平方根,實(shí)數(shù)與數(shù)軸,巧妙地根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)畫(huà)出正方形是解此題的關(guān)鍵.4.(1)正方形的面積為10,正方形的邊長(zhǎng)為;(2)見(jiàn)解析【分析】(1)利用正方形的面積減去4個(gè)直角三角形的面積即可求出正方形的面積,然后根據(jù)算術(shù)平方根的意義即可求出邊長(zhǎng);(2)根據(jù)(1)的方法畫(huà)解析:(1)正方形的面積為10,正方形的邊長(zhǎng)為;(2)見(jiàn)解析【分析】(1)利用正方形的面積減去4個(gè)直角三角形的面積即可求出正方形的面積,然后根據(jù)算術(shù)平方根的意義即可求出邊長(zhǎng);(2)根據(jù)(1)的方法畫(huà)出圖形,然后建立數(shù)軸,根據(jù)算術(shù)平方根的意義即可表示出結(jié)論.【詳解】解:(1)正方形的面積為4×4-4××3×1=10則正方形的邊長(zhǎng)為;(2)如下圖所示,正方形的面積為4×4-4××2×2=8,所以該正方形即為所求,如圖建立數(shù)軸,以數(shù)軸的原點(diǎn)為圓心,正方形的邊長(zhǎng)為半徑作弧,分別交數(shù)軸于兩點(diǎn)∴正方形的邊長(zhǎng)為∴弧與數(shù)軸的左邊交點(diǎn)為,右邊交點(diǎn)為,實(shí)數(shù)和在數(shù)軸上如圖所示.【點(diǎn)睛】此題考查的是求網(wǎng)格中圖形的面積和實(shí)數(shù)與數(shù)軸,掌握算術(shù)平方根的意義和利用數(shù)軸表示無(wú)理數(shù)是解題關(guān)鍵.5.(1);(2)不同意,理由見(jiàn)解析【分析】(1)設(shè)正方形邊長(zhǎng)為,根據(jù)兩塊紙片面積相等列出方程,再根據(jù)算術(shù)平方根的意義即可求出x的值;(2)根據(jù)兩個(gè)正方形紙片的面積計(jì)算出兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng),計(jì)算兩個(gè)解析:(1);(2)不同意,理由見(jiàn)解析【分析】(1)設(shè)正方形邊長(zhǎng)為,根據(jù)兩塊紙片面積相等列出方程,再根據(jù)算術(shù)平方根的意義即可求出x的值;(2)根據(jù)兩個(gè)正方形紙片的面積計(jì)算出兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng),計(jì)算兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)的和,并與3比較即可解答.【詳解】解:(1)設(shè)正方形邊長(zhǎng)為,則,由算術(shù)平方根的意義可知,所以正方形的邊長(zhǎng)是.(2)不同意.因?yàn)椋簝蓚€(gè)小正方形的面積分別為和,則它們的邊長(zhǎng)分別為和.,即兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)的和約為,所以,即兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)的和大于長(zhǎng)方形的長(zhǎng),所以不能在長(zhǎng)方形紙片上截出兩個(gè)完整的面積分別為和的正方形紙片.【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是讀懂題意并熟知算術(shù)平方根的概念.二、解答題6.(1)150°;(2)∠OCD+∠BO′E′=360°-α;(3)∠AOB=∠BO′E′【分析】(1)先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AOE的度數(shù),再根據(jù)直角、周角的定義即可求得∠BOE的度數(shù);(2)解析:(1)150°;(2)∠OCD+∠BO′E′=360°-α;(3)∠AOB=∠BO′E′【分析】(1)先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AOE的度數(shù),再根據(jù)直角、周角的定義即可求得∠BOE的度數(shù);(2)如圖②,過(guò)O點(diǎn)作OF∥CD,根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)可得∠OCD、∠BO′E′的數(shù)量關(guān)系;(3)由已知推出CP∥OB,得到∠AOB+∠PCO=180°,結(jié)合角平分線的定義可推出∠OCD=2∠PCO=360°-2∠AOB,根據(jù)(2)∠OCD+∠BO′E′=360°-∠AOB,進(jìn)而推出∠AOB=∠BO′E′.【詳解】解:(1)∵CD∥OE,∴∠AOE=∠OCD=120°,∴∠BOE=360°-∠AOE-∠AOB=360°-90°-120°=150°;(2)∠OCD+∠BO′E′=360°-α.證明:如圖②,過(guò)O點(diǎn)作OF∥CD,∵CD∥O′E′,∴OF∥O′E′,∴∠AOF=180°-∠OCD,∠BOF=∠E′O′O=180°-∠BO′E′,∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°-∠OCD+180°-∠BO′E′=360°-(∠OCD+∠BO′E′)=α,∴∠OCD+∠BO′E′=360°-α;(3)∠AOB=∠BO′E′.證明:∵∠CPO′=90°,∴PO′⊥CP,∵PO′⊥OB,∴CP∥OB,∴∠PCO+∠AOB=180°,∴2∠PCO=360°-2∠AOB,∵CP是∠OCD的平分線,∴∠OCD=2∠PCO=360°-2∠AOB,∵由(2)知,∠OCD+∠BO′E′=360°-α=360°-∠AOB,∴360°-2∠AOB+∠BO′E′=360°-∠AOB,∴∠AOB=∠BO′E′.【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定和性質(zhì),平移的性質(zhì),直角的定義,角平分線的定義,正確作出輔助線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.7.(1)∠AEP+∠PFC=∠EPF;(2)∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°;(3)①150°或30;②∠EPF+2∠EQF=360°或∠EPF=2∠EQF【分析】(1)由于點(diǎn)是平行線,之間解析:(1)∠AEP+∠PFC=∠EPF;(2)∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°;(3)①150°或30;②∠EPF+2∠EQF=360°或∠EPF=2∠EQF【分析】(1)由于點(diǎn)是平行線,之間有一動(dòng)點(diǎn),因此需要對(duì)點(diǎn)的位置進(jìn)行分類討論:如圖1,當(dāng)點(diǎn)在的左側(cè)時(shí),,,滿足數(shù)量關(guān)系為:;(2)當(dāng)點(diǎn)在的右側(cè)時(shí),,,滿足數(shù)量關(guān)系為:;(3)①若當(dāng)點(diǎn)在的左側(cè)時(shí),;當(dāng)點(diǎn)在的右側(cè)時(shí),可求得;②結(jié)合①可得,由,得出;可得,由,得出.【詳解】解:(1)如圖1,過(guò)點(diǎn)作,,,,,,;(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)在的右側(cè)時(shí),,,滿足數(shù)量關(guān)系為:;過(guò)點(diǎn)作,,,,,,;(3)①如圖3,若當(dāng)點(diǎn)在的左側(cè)時(shí),,,,分別平分和,,,;如圖4,當(dāng)點(diǎn)在的右側(cè)時(shí),,,;故答案為:或30;②由①可知:,;,.綜合以上可得與的數(shù)量關(guān)系為:或.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì),平行公理和及推論等知識(shí)點(diǎn),作輔助線后能求出各個(gè)角的度數(shù),是解此題的關(guān)鍵.8.(1)見(jiàn)解析;(2)∠PEQ+2∠PFQ=360°;(3)30°【分析】(1)首先證明∠1=∠3,易證得AB//CD;(2)如圖2中,∠PEQ+2∠PFQ=360°.作EH//AB.理由平行線解析:(1)見(jiàn)解析;(2)∠PEQ+2∠PFQ=360°;(3)30°【分析】(1)首先證明∠1=∠3,易證得AB//CD;(2)如圖2中,∠PEQ+2∠PFQ=360°.作EH//AB.理由平行線的性質(zhì)即可證明;(3)如圖3中,設(shè)∠QPF=y(tǒng),∠PHQ=x.∠EPQ=z,則∠EQF=∠FQH=5y,想辦法構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題;【詳解】(1)如圖1中,∵∠2=∠3,∠1=∠2,∴∠1=∠3,∴AB//CD.(2)結(jié)論:如圖2中,∠PEQ+2∠PFQ=360°.理由:作EH//AB.∵AB//CD,EH//AB,∴EH//CD,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠2+∠3=∠1+∠4,∴∠PEQ=∠1+∠4,同法可證:∠PFQ=∠BPF+∠FQD,∵∠BPE=2∠BPF,∠EQD=2∠FQD,∠1+∠BPE=180°,∠4+∠EQD=180°,∴∠1+∠4+∠EQD+∠BPE=2×180°,即∠PEQ+2(∠FQD+∠BPF)=360°,∴∠PEQ+2∠PFQ=360°.(3)如圖3中,設(shè)∠QPF=y(tǒng),∠PHQ=x.∠EPQ=z,則∠EQF=∠FQH=5y,∵EQ//PH,∴∠EQC=∠PHQ=x,∴x+10y=180°,∵AB//CD,∴∠BPH=∠PHQ=x,∵PF平分∠BPE,∴∠EPQ+∠FPQ=∠FPH+∠BPH,∴∠FPH=y(tǒng)+z﹣x,∵PQ平分∠EPH,∴Z=y(tǒng)+y+z﹣x,∴x=2y,∴12y=180°,∴y=15°,∴x=30°,∴∠PHQ=30°.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì),角平分線的定義等知識(shí).(2)中能正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵;(3)中能熟練掌握相關(guān)性質(zhì),找到角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.9.(1)是;(2)∠B=∠ACB,證明見(jiàn)解析;(3)∠BAC=40°,AC⊥AD.【分析】(1)要使AD平分∠EAC,則要求∠EAD=∠CAD,由平行線的性質(zhì)可得∠B=∠EAD,∠ACB=∠CAD解析:(1)是;(2)∠B=∠ACB,證明見(jiàn)解析;(3)∠BAC=40°,AC⊥AD.【分析】(1)要使AD平分∠EAC,則要求∠EAD=∠CAD,由平行線的性質(zhì)可得∠B=∠EAD,∠ACB=∠CAD,則當(dāng)∠ACB=∠B時(shí),有AD平分∠EAC;(2)根據(jù)角平分線可得∠EAD=∠CAD,由平行線的性質(zhì)可得∠B=∠EAD,∠ACB=∠CAD,則有∠ACB=∠B;(3)由AC⊥BC,有∠ACB=90°,則可求∠BAC=40°,由平行線的性質(zhì)可得AC⊥AD.【詳解】解:(1)是,理由如下:要使AD平分∠EAC,則要求∠EAD=∠CAD,由平行線的性質(zhì)可得∠B=∠EAD,∠ACB=∠CAD,則當(dāng)∠ACB=∠B時(shí),有AD平分∠EAC;故答案為:是;(2)∠B=∠ACB,理由如下:∵AD平分∠EAC,∴∠EAD=∠CAD,∵AD∥BC,∴∠B=∠EAD,∠ACB=∠CAD,∴∠B=∠ACB.(3)∵AC⊥BC,∴∠ACB=90°,∵∠EBF=50°,∴∠BAC=40°,∵AD∥BC,∴AD⊥AC.【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線和平行線的性質(zhì),熟練掌握角平分線和平行線的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.10.(1)35,35,平行;(2)∠FMN+∠GHF=180°,證明見(jiàn)解析;(3)不變,2【分析】(1)根據(jù)(α-35)2+|β-α|=0,即可計(jì)算α和β的值,再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等可證AB∥CD;(2解析:(1)35,35,平行;(2)∠FMN+∠GHF=180°,證明見(jiàn)解析;(3)不變,2【分析】(1)根據(jù)(α-35)2+|β-α|=0,即可計(jì)算α和β的值,再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等可證AB∥CD;(2)先根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等證GH∥PN,再根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)和等量代換得出∠FMN+∠GHF=180°;(3)作∠PEM1的平分線交M1Q的延長(zhǎng)線于R,先根據(jù)同位角相等證ER∥FQ,得∠FQM1=∠R,設(shè)∠PER=∠REB=x,∠PM1R=∠RM1B=y,得出∠EPM1=2∠R,即可得=2.【詳解】解:(1)∵(α-35)2+|β-α|=0,∴α=β=35,∴∠PFM=∠MFN=35°,∠EMF=35°,∴∠EMF=∠MFN,∴AB∥CD;(2)∠FMN+∠GHF=180°;理由:由(1)得AB∥CD,∴∠MNF=∠PME,∵∠MGH=∠MNF,∴∠PME=∠MGH,∴GH∥PN,∴∠GHM=∠FMN,∵∠GHF+∠GHM=180°,∴∠FMN+∠GHF=180°;(3)的值不變,為2,理由:如圖3中,作∠PEM1的平分線交M1Q的延長(zhǎng)線于R,∵AB∥CD,∴∠PEM1=∠PFN,∵∠PER=∠PEM1,∠PFQ=∠PFN,∴∠PER=∠PFQ,∴ER∥FQ,∴∠FQM1=∠R,設(shè)∠PER=∠REB=x,∠PM1R=∠RM1B=y,則有:,可得∠EPM1=2∠R,∴∠EPM1=2∠FQM1,∴==2.【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定與性質(zhì),熟練掌握內(nèi)錯(cuò)角相等證平行,平行線同旁內(nèi)角互補(bǔ)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵.三、解答題11.(1)∠A+∠C=90°;(2)①見(jiàn)解析;②105°【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可;(2)①過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM,根據(jù)平行線找角的聯(lián)系即可求解;②先過(guò)點(diǎn)B作BG∥解析:(1)∠A+∠C=90°;(2)①見(jiàn)解析;②105°【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可;(2)①過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM,根據(jù)平行線找角的聯(lián)系即可求解;②先過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM,根據(jù)角平分線的定義,得出∠ABF=∠GBF,再設(shè)∠DBE=α,∠ABF=β,根據(jù)∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°,可得2α+β+3α+3α+β=180°,根據(jù)AB⊥BC,可得β+β+2α=90°,最后解方程組即可得到∠ABE=15°,進(jìn)而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°.【詳解】解:(1)如圖1,AM與BC的交點(diǎn)記作點(diǎn)O,∵AM∥CN,∴∠C=∠AOB,∵AB⊥BC,∴∠A+∠AOB=90°,∴∠A+∠C=90°;(2)①如圖2,過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM,∵BD⊥AM,∴DB⊥BG,∴∠DBG=90°,∴∠ABD+∠ABG=90°,∵AB⊥BC,∴∠CBG+∠ABG=90°,∴∠ABD=∠CBG,∵AM∥CN,BG∥DM,∴∠C=∠CBG,∠ABD=∠C;②如圖3,過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM,∵BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,∴∠DBF=∠CBF,∠DBE=∠ABE,由(2)知∠ABD=∠CBG,∴∠ABF=∠GBF,設(shè)∠DBE=α,∠ABF=β,則∠ABE=α,∠ABD=2α=∠CBG,∠GBF=∠AFB=β,∠BFC=3∠DBE=3α,∴∠AFC=3α+β,∵∠AFC+∠NCF=180°,∠FCB+∠NCF=180°,∴∠FCB=∠AFC=3α+β,△BCF中,由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得:2α+β+3α+3α+β=180°,∵AB⊥BC,∴β+β+2α=90°,∴α=15°,∴∠ABE=15°,∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)的運(yùn)用,解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角,運(yùn)用等角的余角(補(bǔ)角)相等進(jìn)行推導(dǎo).余角和補(bǔ)角計(jì)算的應(yīng)用,常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián).解題時(shí)注意方程思想的運(yùn)用.12.(1)50°;(2)∠A+∠C=30°+α,理由見(jiàn)解析;(3)∠A-∠DCM=30°+α或30°-α【分析】(1)過(guò)M作MN∥AB,由平行線的性質(zhì)即可求得∠M的值.(2)延長(zhǎng)BA,DC交于E,解析:(1)50°;(2)∠A+∠C=30°+α,理由見(jiàn)解析;(3)∠A-∠DCM=30°+α或30°-α【分析】(1)過(guò)M作MN∥AB,由平行線的性質(zhì)即可求得∠M的值.(2)延長(zhǎng)BA,DC交于E,應(yīng)用四邊形的內(nèi)角和定理與平角的定義即可解決問(wèn)題.(3)分兩種情形分別求解即可;【詳解】解:(1)過(guò)M作MN∥AB,∵AB∥CD,∴AB∥MN∥CD,∴∠1=∠A,∠2=∠C,∴∠AMC=∠1+∠2=∠A+∠C=50°;故答案為:50°;(2)∠A+∠C=30°+α,延長(zhǎng)BA,DC交于E,∵∠B+∠D=150°,∴∠E=30°,∵∠BAM+∠DCM=360°-(∠EAM+∠ECM)=360°-(360°-∠E-∠M)=30°+α;即∠A+∠C=30°+α;(3)①如下圖所示:延長(zhǎng)BA、DC使之相交于點(diǎn)E,延長(zhǎng)MC與BA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F,∵∠B+∠D=150°,∠AMC=α,∴∠E=30°由三角形的內(nèi)外角之間的關(guān)系得:∠1=30°+∠2∠2=∠3+α∴∠1=30°+∠3+α∴∠1-∠3=30°+α即:∠A-∠C=30°+α.②如圖所示,210-∠A=(180°-∠DCM)+α,即∠A-∠DCM=30°-α.綜上所述,∠A-∠DCM=30°+α或30°-α.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì).解答該題時(shí),通過(guò)作輔助線準(zhǔn)確作出輔助線l∥AB,利用平行線的性質(zhì)(兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等)將所求的角∠M與已知角∠A、∠C的數(shù)量關(guān)系聯(lián)系起來(lái),從而求得∠M的度數(shù).13.(1),見(jiàn)解析;(2);(3)60°【分析】(1)作EF//AB,如圖1,則EF//CD,利用平行線的性質(zhì)得∠1=∠BAE,∠2=∠CDE,從而得到∠BAE+∠CDE=∠AED;(2)如圖2,解析:(1),見(jiàn)解析;(2);(3)60°【分析】(1)作EF//AB,如圖1,則EF//CD,利用平行線的性質(zhì)得∠1=∠BAE,∠2=∠CDE,從而得到∠BAE+∠CDE=∠AED;(2)如圖2,由(1)的結(jié)論得∠AFD=∠BAF+∠CDF,根據(jù)角平分線的定義得到∠BAF=∠BAE,∠CDF=∠CDE,則∠AFD=(∠BAE+∠CDE),加上(1)的結(jié)論得到∠AFD=∠AED;(3)由(1)的結(jié)論得∠AGD=∠BAF+∠CDG,利用折疊性質(zhì)得∠CDG=4∠CDF,再利用等量代換得到∠AGD=2∠AED-∠BAE,加上90°-∠AGD=180°-2∠AED,從而可計(jì)算出∠BAE的度數(shù).【詳解】解:(1)理由如下:作,如圖1,,.,,;(2)如圖2,由(1)的結(jié)論得,、的兩條平分線交于點(diǎn)F,,,,,;(3)由(1)的結(jié)論得,而射線沿翻折交于點(diǎn)G,,,,,.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線性質(zhì):兩直線平行,同位角相等;兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ);兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等.14.(1);(2)①;②.【分析】(1)依據(jù)角平分線的定義可求得,再依據(jù)角的和差依次可求得和,根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可求得結(jié)論;(2)①根據(jù)角相等和角的和差可得∠EOC=∠BOD,再根據(jù)比例關(guān)系可得,最解析:(1);(2)①;②.【分析】(1)依據(jù)角平分線的定義可求得,再依據(jù)角的和差依次可求得和,根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可求得結(jié)論;(2)①根據(jù)角相等和角的和差可得∠EOC=∠BOD,再根據(jù)比例關(guān)系可得,最后依據(jù)角的和差和鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可求得結(jié)論;②根據(jù)角相等和角的和差可得∠EOC=∠BOD,再根據(jù)比例關(guān)系可得,最后依據(jù)角的和差和鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可求得結(jié)論.【詳解】解:(1)∵平分,,∴,∴,∴,∴;(2)①∵,∴∠EOC+∠COD=∠BOD+∠COD,∴∠EOC=∠BOD,∵,,∴,∴,∴,∴;②∵,∴∠EOC+∠COD=∠BOD+∠COD,∴∠EOC=∠BOD,∵,,∴,∴,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題考查鄰補(bǔ)角的計(jì)算,角的和差,角平分線的有關(guān)計(jì)算.能正確識(shí)圖,利用角的和差求得相應(yīng)角的度數(shù)是解題關(guān)鍵.15.(1)60°;(2)①6s;②s或s【分析】(1)利用平行線的性質(zhì)角平分線的定義即可解決問(wèn)題.(2)①首先證明∠GBC=∠DCN=30°,由此構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題.②分兩種情形:如圖③中,當(dāng)解析:(1)60°;(2)①6s;②s或s【分析】(1)利用平行線的性質(zhì)角平分線的定義即可解決問(wèn)題.(2)①首先證明∠GBC=∠DCN=30°,由此構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題.②分兩種情形:如圖③中,當(dāng)BG∥HK時(shí),延長(zhǎng)KH交MN于R.根據(jù)∠GBN=∠KRN構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題.如圖③-1中,當(dāng)BG∥HK時(shí),延長(zhǎng)HK交MN于R.根據(jù)∠GBN+∠KRM=180°構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題.【詳解】解:(1)如圖①中,∵∠ACB=30°,∴∠ACN=180°-∠ACB=150°,∵CE平分∠ACN,∴∠ECN=∠ACN=75°,∵PQ∥MN,∴∠QEC+∠ECN=180°,∴∠QEC=180°-75°=105°,∴∠DEQ=∠QEC-∠CED=105°-45°=60°.(2)①如圖②中,∵BG∥CD,∴∠GBC=∠DCN,∵∠DCN=∠ECN-∠ECD=75°-45°=30°,∴∠GBC=30°,∴5t=30,∴t=6s.∴在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,若邊BG∥CD,t的值為6s.②如圖③中,當(dāng)BG∥HK時(shí),延長(zhǎng)KH交MN于R.∵BG∥KR,∴∠GBN=∠KRN,∵∠QEK=60°+4t,∠K=∠QEK+∠KRN,∴∠KRN=90°-(60°+4t)=30°-4t,∴5t=30°-4t,∴t=s.如圖③-1中,當(dāng)BG∥HK時(shí),延長(zhǎng)HK交MN于R.∵BG∥KR,∴∠GBN+∠KRM=180°,∵∠QEK=60°+4t,∠EKR=∠PEK+∠KRM,∴∠KRM=90°-(180°-60°-4t)=4t-30°,∴5t+4t-30°=180°,∴t=s.綜上所述,滿足條件的t的值為s或s.【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換綜合題,考查了平行線的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)變換,角平分線的定義等知識(shí),解題的關(guān)鍵是理解題意,學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題,學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題,屬于中考?jí)狠S題.四、解答題16.(1)120°;(2)∠EPF=∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP,證明見(jiàn)詳解.【分析】(1)根據(jù)題意,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)、在一直線上時(shí),作出圖形,由AB∥CD,∠FHP=60°,可以推出解析:(1)120°;(2)∠EPF=∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP,證明見(jiàn)詳解.【分析】(1)根據(jù)題意,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)、在一直線上時(shí),作出圖形,由AB∥CD,∠FHP=60°,可以推出=60°,計(jì)算∠PFD即可;(2)根據(jù)點(diǎn)P是動(dòng)點(diǎn),分三種情況討論:①當(dāng)點(diǎn)P在AB與CD之間時(shí);②當(dāng)點(diǎn)P在AB上方時(shí);③當(dāng)點(diǎn)P在CD下方時(shí),分別求出∠AEP、∠EPF、∠CFP之間的關(guān)系即可.【詳解】(1)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)、在一直線上時(shí),作圖如下,∵AB∥CD,∠FHP=60°,,∴=∠FHP=60°,∴∠EFD=180°-∠GEP=180°-60°=120°,∴∠PFD=120°,故答案為:120°;(2)滿足關(guān)系式為∠EPF=∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP.證明:根據(jù)點(diǎn)P是動(dòng)點(diǎn),分三種情況討論:①當(dāng)點(diǎn)P在AB與CD之間時(shí),過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB,如下圖,∵AB∥CD,∴PQ∥AB∥CD,∴∠AEP=∠EPQ,∠CFP=∠FPQ,∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=∠AEP+∠CFP,即∠EPF=∠AEP+∠CFP;②當(dāng)點(diǎn)P在AB上方時(shí),如下圖所示,∵∠AEP=∠EPF+∠EQP,∵AB∥CD,∴∠CFP=∠EQP,∴∠AEP=∠EPF+∠CFP;③當(dāng)點(diǎn)P在CD下方時(shí),∵AB∥CD,∴∠AEP=∠EQF,∴∠EQF=∠EPF+∠CFP,∴∠AEP=∠EPF+∠CFP,綜上所述,∠AEP、∠EPF、∠CFP之間滿足的關(guān)系式為:∠EPF=∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP,故答案為:∠EPF=∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì),外角的性質(zhì),掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,注意分情況討論問(wèn)題.17.(1)①115°,110°;②,證明見(jiàn)解析;(2),證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】(1)①根據(jù)角平分線的定義求得∠CAG=∠BAC=50°;再由平行線的性質(zhì)可得∠EDG=∠C=30°,∠FMD=解析:(1)①115°,110°;②,證明見(jiàn)解析;(2),證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】(1)①根據(jù)角平分線的定義求得∠CAG=∠BAC=50°;再由平行線的性質(zhì)可得∠EDG=∠C=30°,∠FMD=∠GAC=50°;由三角形的內(nèi)角和定理求得∠AFD的度數(shù)即可;已知AG平分∠BAC,DF平分∠EDB,根據(jù)角平分線的定義可得∠CAG=∠BAC,∠FDM=∠EDG;由DE//AC,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EDG=∠C,∠FMD=∠GAC;即可得∠FDM+∠FMD=∠EDG+∠GAC=∠C+∠BAC=(∠BAC+∠C)=×140°=70°;再由三角形的內(nèi)角和定理可求得∠AFD=110°;②∠AFD=90°+∠B,已知AG平分∠BAC,DF平分∠EDB,根據(jù)角平分線的定義可得∠CAG=∠BAC,∠FDM=∠EDG;由DE//AC,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EDG=∠C,∠FMD=∠GAC;由此可得∠FDM+∠FMD=∠EDG+∠GAC=∠C+∠BAC=(∠BAC+∠C)=×(180°-∠B)=90°-∠B;再由三角形的內(nèi)角和定理可得∠AFD=90°+∠B;(2)∠AFD=90°-∠B,已知AG平分∠BAC,DF平分∠EDB,根據(jù)角平分線的定義可得∠CAG=∠BAC,∠NDE=∠EDB,即可得∠FDM=∠NDE=∠EDB;由DE//AC,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EDB=∠C,∠FMD=∠GAC;即可得到∠FDM=∠NDE=∠C,所以∠FDM+∠FMD=∠C+∠BAC=(∠BAC+∠C)=×(180°-∠B)=90°-∠B;再由三角形外角的性質(zhì)可得∠AFD=∠FDM+∠FMD=90°-∠B.【詳解】(1)①∵AG平分∠BAC,∠BAC=100°,∴∠CAG=∠BAC=50°;∵,∠C=30°,∴∠EDG=∠C=30°,∠FMD=∠GAC=50°;∵DF平分∠EDB,∴∠FDM=∠EDG=15°;∴∠AFD=180°-∠FMD-∠FDM=180°-50°-15°=115°;∵∠B=40°,∴∠BAC+∠C=180°-∠B=140°;∵AG平分∠BAC,DF平分∠EDB,∴∠CAG=∠BAC,∠FDM=∠EDG,∵DE//AC,∴∠EDG=∠C,∠FMD=∠GAC;∴∠FDM+∠FMD=∠EDG+∠GAC=∠C+∠BAC=(∠BAC+∠C)=×140°=70°;∴∠AFD=180°-(∠FDM+∠FMD)=180°-70°=110°;故答案為115°,110°;②∠AFD=90°+∠B,理由如下:∵AG平分∠BAC,DF平分∠EDB,∴∠CAG=∠BAC,∠FDM=∠EDG,∵DE//AC,∴∠EDG=∠C,∠FMD=∠GAC;∴∠FDM+∠FMD=∠EDG+∠GAC=∠C+∠BAC=(∠BAC+∠C)=×(180°-∠B)=90°-∠B;∴∠AFD=180°-(∠FDM+∠FMD)=180°-(90°-∠B)=90°+∠B;(2)∠AFD=90°-∠B,理由如下:如圖,射線ED交AG于點(diǎn)M,∵AG平分∠BAC,DF平分∠EDB,∴∠CAG=∠BAC,∠NDE=∠EDB,∴∠FDM=∠NDE=∠EDB,∵DE//AC,∴∠EDB=∠C,∠FMD=∠GAC;∴∠FDM=∠NDE=∠C,∴∠FDM+∠FMD=∠C+∠BAC=(∠BAC+∠C)=×(180°-∠B)=90°-∠B;∴∠AFD=∠FDM+∠FMD=90°-∠B.【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì),根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)確定各角之間的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.18.(1)45°;(2)①1;②是定值,∠M+∠N=142.5°【分析】(1)利用平行線的性質(zhì)求解即可.(2)①利用三角形的面積求出GH,HF,再證明AO=OG=2,可得結(jié)論.②利用角平分線的定解析:(1)45°;(2)①1;②是定值,∠M+∠N=142.5°【分析】(1)利用平行線的性質(zhì)求解即可.(2)①利用三角形的面積求出GH,HF,再證明AO=OG=2,可得結(jié)論.②利用角平分線的定義求出∠M,∠N(用∠FAO表示),可得結(jié)論.【詳解】解:(1)如圖,∵AB∥ED∴∠E=∠EAB=90°(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),∵∠BAC=45°,∴∠CAE=90°-45°=45°.故答案為:45°.(2)①如圖1中,∵OG⊥AC,∴∠AOG=90°,∵∠OAG=45°,∴∠OAG=∠OGA=45°,∴AO=OG=2,∵S△AHG=?GH?AO=4,S△AHF=?FH?AO=1,∴GH=4,F(xiàn)H=1,∴OF=GH-HF-OG=4-1-2=1.②結(jié)論:∠N+∠M=142.5°,度數(shù)不變.理由:如圖2中,∵M(jìn)F,MO分別平分∠AFO,∠AOF,∴∠M=180°-(∠AFO+∠AOF)=180°-(180°-∠FAO)=90°+∠FAO,∵NH,NG分別平分∠DHG,∠BGH,∴∠N=180°-(∠DHG+∠BGH)=180°-(∠HAG+∠AGH+∠HAG+∠AHG)=180°-(180°+∠HAG)=90°-∠HAG=90°-(30°+∠FAO+45°)=52.5°-∠FAO,∴∠M+∠N=14
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