專題--著名的不等式應(yīng)用問題重點(diǎn)練

2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考

一、單選題

1.若A=尤:+x；+…+/，B=XjX2+x2%3+...+xn_yxn+x,,%1,其中王，々,…，%都是正數(shù)，則A與8的

大小關(guān)系為()

A.A>BB.A<BC.A>BD.A<B

2.設(shè)％,%，生，&是1，2,3,4的一個(gè)排列,則％+2a2+3%+44的取值范圍是()

A.(0,30]B.(20,30]

C.[20,30]D.[20,30)

222

3.已知=1,且”,4,c>。,則一十六十上的最小值為（）

a+bb+ca+c

A.1B.3C.6D.9

4.若實(shí)數(shù)x+2y+3z=l,貝ijd+j+z?的最小值為（）

B-A

A.14C.29D.—

29

5.在AA6C中，sinA+sin_B+sinC的最大值是（）

A.3「V3D,史

B.3

222

口sin4xcos4x1

6.若。<%〈耳，且l-f則tanx的值是

9413

B.2D.1

A?！狢.1

A232

7.柯西不等式的三元形式如下：對(duì)實(shí)數(shù)和伉，4，4,有

+g+4；）僅：+/?2+^3）-（3+。2。2+。3。3）',當(dāng)且僅當(dāng)詈=片=U等號(hào)成立，已知/+/+Z?=14,

“1”3

請(qǐng)你用柯西不等式，求出x+2y+3z的最大值是（）

A.14B.12C.10D.8

8.權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個(gè)變化，在求二元變量最值時(shí)有很廣泛的應(yīng)用，其表述如下：

設(shè)a,b,x,y>Q,則色地當(dāng)且僅當(dāng)@=2時(shí)等號(hào)成立.根據(jù)權(quán)方和不等式，函數(shù)

xyx+yxy

291

xl-2x2

A.16B.25C.36D.49

9.柯西不等式是法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西與德國(guó)數(shù)學(xué)家施瓦茨分別獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的，它在數(shù)學(xué)分析中有廣泛的應(yīng)

用.二維柯西不等式為(/+62)卜2+笛)“m+切)2,當(dāng)且僅當(dāng)4=bc時(shí)等號(hào)成立.已知

直線y=2x-3"與曲線y=ln(2x+6)相切，則夜+早的最大值為()

A/3RA/62-A/6

AA.D.rC.-----NU.

3332

二、填空題

10.VABC中角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,已知a=3,。為BC的點(diǎn)，且8D=2CD,AD=1,

則6+c的最大值為

222

11.已知正數(shù)x,>,Z滿足無+y+z=l,則—L^+上^+上的最小值為

12.已知平面向量不，b,3滿足同=1,網(wǎng)=2,(￡-1”=。且方.石=0.記平面向量征在不，方方向

上的數(shù)量投影分別為X,兒向量2-2在1方向上的數(shù)量投影為Z,則對(duì)任意滿足條件的向量葭代

數(shù)式犬+y2+z2的最小值是.

13.在銳角VABC中，++的最小值為____.

tanAtanBtanC

14.設(shè)a,p,y分別為長(zhǎng)方體的對(duì)角線與共頂點(diǎn)的三個(gè)側(cè)面所成的角，則sin竺獰的取值范圍為」

4

15.已知VABC面積為1,邊AC,A5上的中線為BD,CE,且BD、CE,則邊AC的最小值為

三、解答題

?3n?3口?3

16.若名分,/均為銳角，且滿足sin26r+sin2/?+sin2/=1.求證:‘1:+——+型Z>1.

sinpsin/sma

17.已知函數(shù)f(%)=|%+7|,g(%)=|2%+2],/i(x)="x)+g(x)的最小值為相，且正實(shí)數(shù)。涉滿足

a+b+c=m,證明：J4a+1+J4A+1+J4c+1W9.

18.已知/(x)=|2x-3|+|2x+l|.

⑴解不等式/(%)工1。；

⑵若M為/Q)的最小值，設(shè)4(a+6+c)=M,求-二+二工+—1的最小值.

a+1b+2c+3

19.已知％,y^R,3x2+2/<6,求2x+y的最值?

參考答案

題號(hào)123456789

答案CCDBDDABB

1.C

【分析】利用排序不等式來比較大小即可.

【詳解】依序列｛%｝的各項(xiàng)都是正數(shù)，不妨設(shè)。〈玉<尤2<…〈斗，

則馬，X3，...,Xn，玉為序列｛初｝的一個(gè)排列.

XX

由排序不等式，得玉西+馬龍2+…+?n2再%+馬%+…+Vl，

即J+考+…+龍；2玉尤?+無2尤3+…+無”占，當(dāng)且僅當(dāng)玉=%=3=x“時(shí)，取等號(hào),

故選：C.

2.C

【分析】由排序不等式可得答案

【詳解】因?yàn)椋?外,%，。4是1,2,3,4的一個(gè)排列，

2222

由排序不等式得%+2a2+34+4a4<I+2+3+4=30,

%+2a2+3〃3+4。421x4+2x3+3x2+4x1=20,

%+2a2+3%+4%的取值范圍是[20,30]

故選：C.

3.D

【分析】利用柯西不等式即可得解.

【詳解】?.?a+〃+c=l,。，仇。>0,

222c/7、(1111

------+------+-------=2(〃+/?+c>-------+-------+------

a+bb+cc+a\a+bb+cc+a)

=[g+b)+9+c)+(c+q)｝(士+占+士卜(1+1+1)2=9,

當(dāng)且僅當(dāng)。=b=c=g時(shí)等號(hào)成立，

則=27+42+上2的最小值為9.

a+bb+ca+c

故選：D.

4.B

【分析】直接利用柯西不等式得到答案.

【詳解】根據(jù)柯西不等式：(x2+y2+z2)(l+4+9)W2+2y+3z=l,即d+V+zZ*：,

113

當(dāng)且僅當(dāng)兀=±,y=4，z=S時(shí)等號(hào)成立.

14714

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了柯西不等式，意在考查學(xué)生對(duì)于柯西不等式的應(yīng)用能力.

5.D

【分析】運(yùn)用琴生不等式計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)閥=sinx在區(qū)間(0,兀)上是凸函數(shù)，根據(jù)琴生不等式可得,

sinA+sinB+sinC.A+B+C

---------------------------------<sin-------------------~T

得sinA+sinB+sinC<，

2

JT

當(dāng)且僅當(dāng)A=B=C=-時(shí)等號(hào)成立，

即sinA+sinB+sinC的最大值是上叵.

2

故選：D

6.D

【詳解】由柯西不等式(9+4)］半+胃)(sin2x+cos2%)2,

,44c

瓜左rSIDXCOSX3

由取等條件知----二-----ntanx=—?

81162

7.A

【分析】根據(jù)柯西不等式的三元形式，構(gòu)造(犬+3/+22)(12+22+32""+23；+32)2求解即可.

【詳解】因?yàn)閅+y2+z2=14,

根據(jù)題目中柯西不等式的三元形式可知優(yōu)+y2+z2)(F+22+32”(x+2y+3z)2,

所以(無+2y+3z)2414x14,x+2y+3z<14

X=1

當(dāng)且僅當(dāng)：=g=即y=2時(shí)等號(hào)成立,

123?

z=3

所以尤+2y+3z的最大值是14,

故選：A

8.B

【分析】將給定函數(shù)式表示成已知不等式的左邊形式，再利用該不等式求解作答.

【詳解】因a,b,x,y>0,則d+左？色地當(dāng)且僅當(dāng)q=2時(shí)等號(hào)成立,

xyx+yxy

又0<x<L,即1一2%>0,

2

2232（2+3）223

于是得/（工）=上+~^>3"—二25,當(dāng)且僅當(dāng)二=—即X=［時(shí)取

lx1-2%2x+（l-2x）2xl-2x

291

所以函數(shù)/（%）=—+「］（。<力<7）的最小值為25.

xl-2x2

故選：B

9.B

【分析】首先根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，再結(jié)合切點(diǎn)在函數(shù)圖象和直線上得到。與人的關(guān)系,

然后對(duì)所求式子進(jìn)行變形，利用柯西不等式來求解最值即可.

【詳解】設(shè)直線>=2x-3a與曲線y=ln（2x+b）相切的切點(diǎn)為（飛,％）,

/、22

由y=ln2%+9得=~則丁17=2,即2尤。+b=1,

2x+b

fy0=2x0-3a.、

則［%=ln（2x0+b），得2%-3a=In（2%+b）=In1=0,

所以x°=手，代入2%+b=l得3a+b=l,

因?yàn)閍>0,b>0,所以

因?yàn)椋▓D『+（揚(yáng)『（-\+:=（3a+6）x|=|,

襄鼻血+岑，當(dāng)且僅當(dāng)圖>4=向《，即。小j等號(hào)成立.

所以

故選：B.

10.亞

2

【分析】根據(jù)在A9，△的C中根據(jù)NA￡>8,NA￡>C互補(bǔ)，余弦和為0,由余弦定理可得2廿+°2=9,

再結(jié)合柯西不等式或者利用三角換元方法求得.

【詳解】

A

,14_21+1-A2

由cosZADB+cosZADC=0得------r-+-------=0,即2〃+c2=9?

2x2x12x1x1

解法一：柯西不等式法

由柯西不等式可得(2/+°2)&+1+伍+c)2,得修+c『Vg,

當(dāng)且僅當(dāng)6=逅,c=痛時(shí)，等號(hào)成立.

2

故6+C的最大值為亞.

2

解法二：三角換元方法

0b=3cos6,c=3sing,

3±&sin(e+°),

b+c=r=cos6+3sin6=

V2

最大值為亞.

2

故答案為：也

2

11.1

3

【分析】根據(jù)權(quán)方和不等式可得解.

【詳解】因?yàn)檎龜?shù)x,y滿足x+y+z=l,

所以上+上+22―(x+y+z)2—=L

y+2zz+2xx+2yy+2z+z+2x+x+2y3

x_y_z即時(shí)取等號(hào).

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=g

y+2zz+2xx+2y

故答案為：—.

12.-/0.4

5

【分析】設(shè)方=。,0)石=(0,2)忑=的睢,由平面向量的知識(shí)可得2x+y土底=2,再結(jié)合柯西不等

式即可得解.

［詳解］令3=(l,O),B=(O,2),1=(m,")，因?yàn)榈玙石)下=0,故(1,-2〉(加,〃)=0,:.m-2n=0,

令忑=(2〃,〃),平面向量之在萬萬方向上的投影分別為羽y,

設(shè)2=（九,y）,貝！J：=（%T1=+同二百同,

從而：z=Hf=到簽*,故2x+y土底=2

同6H

由柯西不等式可得2尤+y-若z=24商+儼+卜司.G+J+z?

化簡(jiǎn)得x2+y2+z22±=],當(dāng)且僅當(dāng)2=工=二叵，

105xyz

即尤=2,〉=[*=-且時(shí)取等號(hào)，故r+V+z?的最小值為二.

5555

2

故答案為：—

13.百

【分析】構(gòu)造函數(shù)?。?6=黑，尤利用二階導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)?。┰冢╫,Q

為下凸函數(shù)，根據(jù)琴生不等式可求最小值.

【詳解】構(gòu)造函數(shù)〃尤）=—匚=吧

XG貝

tanxsmx

1,，、2cos%八

令加(x)=/'(x)=-樂,則"⑴二--------r>0

(sinx)

所以函數(shù)“X）在[。，方上為下凸函數(shù).

由琴生不等式得〃A）+/,）+〃C）?/廣:+[,

1113_/T

即嬴X+嬴力+嬴>="，當(dāng)且僅當(dāng)NA=N3=NC時(shí)等號(hào)成立.

ian——

3

111

因此在銳角VABC中,--------F--------1------的--最小值為

tanAtanBtanC

故答案為：厲.

qv|

14.H萬

【分析】在長(zhǎng)方體中有cos2a+cos2P+cos27=1,證明cos（分+7）>0,證明。<。+尸v],0<?+/<^,

根據(jù)琴聲不等式證明38s（2）+*）+（，+%，證明sin』人事’據(jù)此即可求解.

【詳解】設(shè)長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的長(zhǎng)、寬和高分別為"相應(yīng)對(duì)角線長(zhǎng)為/,

a

則I=yja2+b2+c2，cos2a+cos2/3+cos?=(-)2+(-)2+(-)2=1,

注意至!jsin2a=1-sin2(3-sin2y=cos2[3—sin2y

=g(l+cos2尸)-g(l—cos27)=；(cos2尸+cos27)

=g(cos[(』+/)+(6一7)]+cos[(』+7)一(尸一川)

=^-2cos(y0+y)cos(y0-/)=cos(；0+/)cos(y0-7)>0,

因?yàn)橄Γ?均為銳角，所以cos(4-7)>0,從而cos(分+7)>0,

IT-TTTT

BpO<y0+/<—,同理0<二+尸<5，0<cr+y<—,

又、=85尤在(0,5)上為凸函數(shù)，

由琴生不等式有3cos("+')+('；7)+(7+")>cos(a+尸)+cos(尸+y)+cos(y+a)

>cos(a+/?)-cos(cr-/?)+cos(/7+/)-cos(/?-/)+cos(/+cr)cos(7-cr)

?2?2?2c1

=sin/+sina+smp=\,

2a+2#+27l口口.a+B+yJ3

則nilcos-------------即sin一匕上vYl,

3-33-3

另一方面，

sin2a=cos(力+/)?cos(尸-7)=(cos/?cos/-sinyffsin/)(cosyffcos/+sin夕sin

=cos20cos27-sin2/3sin2y>cos2(尸+7)=sin?_7),

TTTT

由a,6+7均為銳角，則1>萬一￡-7，從而a+"+7>5，

又af0,/7-0時(shí)/―彳，有-------——■,

230

心?1.cc/3+y5/3

綜上，-<sin-

233

5平

【分析】設(shè)2DnCE=G,CG=3x,ZCGD=0,由三角形面積公式得到Y(jié)再由余弦定

18sin8

理得到AC=2、13T2COSO,令z=13-12cos。,得到i3=12cos〃+zsin，，結(jié)合柯西不等式進(jìn)而可

V18sin。sin?

求解.

【詳解】設(shè)8￡>nCE=G,

易知G為VABC的重心，

44

又BD=gCE,由重心為中線三等分點(diǎn)可得：BG=-CG,

211

同時(shí)S^BGC=§S"CD=JS*BC=g'

設(shè)CG=3x,NCGD=9,

則BG=^x,GD=2x,

2

貝US^BGC=；(3%)(4%)sin(7i—=6xsin6=；,

222

由余弦定理可得：AC=2CD=2A/4X+9X-12Xcos<9=2,

18sin8

13-12cos6>

令2=———,求其最小值即可，

sm”

上式化簡(jiǎn)可得：13=12cos0+zsin0<^(122+z2)(cos26^+sin2=V122+z2,

也即z2>132-122=25當(dāng)且僅當(dāng)5sin9+12cose=13時(shí)取得等號(hào)，

13-12COS￡

所以AC=2,>2

18sin6

故答案為:

~T

16.證明見解析

【分析】利用長(zhǎng)方體A5CD-A3GA構(gòu)造。/，九記對(duì)角線AG與面AC,面A2,面A與所成角分

?3?3n?3

別為再求出當(dāng)+竺"T,結(jié)合不等式劭+兒+農(nóng)和柯西不等式化簡(jiǎn)即

sinpsin/sina

可.

【詳解】如圖，設(shè)“也。為長(zhǎng)方體A2CD-48GR的3條棱長(zhǎng)，

其對(duì)角線AG與面AC,面AQ,面A與所成角分別為a,6,九

222

則a=ZC.AC,P=NQAR,y=ZC,AB},且Ag=Va+b+c

則sincr=

AGda2+b2+c：AG-力2+/+。2

a

y/a2+b2+c2

因(〃一人)2+(〃_o)2+(._o)2NO,等號(hào)成立時(shí)a=b=c,

則a?+/+C2>ab+bc+ac，等號(hào)成立時(shí)a=b=c,

sin%sin3/?sin3/_c3/?3a3

故sin/?sin/sinab^a2+Z?2+c2)a(^a2+Z?2+c2)c(^a2+b2+c2^

］

1

a+/+。2

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c,即a=p=7時(shí)取等號(hào).

【分析】根據(jù)已知條件，先求出加，再結(jié)合柯西不等式，即可求解.

【詳解］當(dāng)x<—7時(shí)，由M%)=_(X+7)_(2X+2)=_3X_9,

當(dāng)—7Vxv—1時(shí)，由/z(x)—|x+7|+|2%+2|—x+7—(2%+2)——x+5,

當(dāng)1時(shí)，由/z(x)=x+7+2x+2=3x+9.

—3x—9,x<—7

則/z(x)=<5-x,-l<x<—1,

3x+9,x>-1

當(dāng)無<—7時(shí)，/z(x)=-3x-9>12；當(dāng)一7VJVV-1時(shí)，/z(x)=5-xG(6,12］；

當(dāng)—1時(shí)，/z(x)=3x+926.

所以當(dāng)％二—1時(shí)，m=/1（工）.=6，a+b+c=6.

因?yàn)閍+6+c=6,所