重難點(diǎn)突破07函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的綜合應(yīng)用

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納總結(jié).................................................................2

題型一：判斷或討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)................................................2

題型二：根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍..................................................3

題型三：證明函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)......................................................4

題型四：證明函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)......................................................5

題型五：最值函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題......................................................7

題型六：同構(gòu)法妙解零點(diǎn)問(wèn)題......................................................8

題型七：零點(diǎn)差問(wèn)題..............................................................9

題型八：分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為兩圖像交點(diǎn)解決零點(diǎn)問(wèn)題...................................11

題型九：零點(diǎn)問(wèn)題之取點(diǎn)技巧.....................................................13

題型十：零點(diǎn)與切線問(wèn)題的綜合應(yīng)用...............................................14

03過(guò)關(guān)測(cè)試....................................................................15

亡法牯自與.柒年

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1、函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的常見(jiàn)題型：判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)或者求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；根據(jù)含參函數(shù)零點(diǎn)情況，

求參數(shù)的值或取值范圍.

求解步驟：

第一步：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與X軸(或直線'=左)在某區(qū)間上的

交點(diǎn)問(wèn)題；

第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性、極值、端點(diǎn)值等性質(zhì)，進(jìn)而畫(huà)出其圖像；

第三步：結(jié)合圖像判斷零點(diǎn)或根據(jù)零點(diǎn)分析參數(shù).

2、函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：

(1)直接求零點(diǎn)：令/(x)=0,如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).

(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間m,切上是連續(xù)不斷的曲線，且五。)正切＜0,還必須

結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).

(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫(huà)兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)

不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).

3、求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，常用的方法有：一、直接根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷；二、將/'(尤)整理變形成

〃x)=g(x)i(x)的形式，通過(guò)g(x)/(x)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；三、結(jié)合導(dǎo)數(shù)，求函

數(shù)的單調(diào)性，從而判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).

4、利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問(wèn)題：

(1)確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知

識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖像；

(2)方程的有解問(wèn)題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問(wèn)題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題處理.可

以通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題；

(3)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合

思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)研究.

題型一：判斷或討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

【典例1-1】(2024?河南?三模)函數(shù)/(x)=e/x-4sinx+2-2的圖象在x=0處的切線為y=ax-a-3,aeR.

(1)求2的值；

⑵求了(X)在(0,+8)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【典例1-2】(2024.河南.模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=?(a*0,aeR).

⑴求的極大值；

(2)若a=l,求g(x)=/(x)-co&x在區(qū)間-5,2024兀上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【變式1-1](2024?湖南長(zhǎng)沙.三模)已知函數(shù)/(x)=xe*T,g(x)=lnL/ra;,meR.

(1)求〃力的最小值;

⑵設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),討論/z(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【變式1-2】已知。，人是實(shí)數(shù)，1和-1是函數(shù)/(力=尤3+依2+次的兩個(gè)極值點(diǎn)

⑴求。，6的值.

⑵設(shè)函數(shù)g⑺的導(dǎo)函數(shù)g\x)=/(x)+2,求g(x)的極值點(diǎn).

⑶設(shè)Kx)=/(/(功-c，其中ce[-2,2]，求函數(shù)y=〃(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

題型二：根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍

【典例2-1](2024?廣東茂名?一模)設(shè)函數(shù)/(x)=e*+asinx,xe[0,+oo).

⑴當(dāng)。=-1時(shí)，在[0,+功上恒成立，求實(shí)數(shù)匕的取值范圍；

⑵若a>0,〃力在[0,+力)上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【典例2-2】(2024?湖北.模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=e，—Inx—。，g(x)=e*—ln(x+a),其中a為整數(shù)且

aNl.記%為/(x)的極值點(diǎn)，若/(x)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)x2(xl<x2),

(1)求a的最小值；

(2)求證：g(ln^)=g(lnx2)=0；

【變式2-1](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=ln(6+x)+a(x-l)e。,曲線了⑴在點(diǎn)(14(1))處的切線

平行于直線2尤-y=0.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求b的值；

(2)當(dāng)人=0時(shí)，若Ax)在區(qū)間(0,1),(1,y)各內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

【變式2-2](2024.江西吉安.模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=ei-辦-a(aeR).

⑴當(dāng)a=2時(shí)，求曲線>=了(力在x=l處的切線方程；

(2)若函數(shù)/(無(wú))有2個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

題型三：證明函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

【典例3-1】(2024.全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=(x-l)2eJ吟且曲線y=/(x)在點(diǎn)(0"(防)處的切線

方程為y=—2x+b.

⑴求實(shí)數(shù)。，匕的值；

(2)證明：函數(shù)/(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

【典例3-2】(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/■(元)=cos尤+ln(l+無(wú)).

⑴求證：/(尤)在卜上有唯一的極大值點(diǎn);

⑵若丁(尤)4辦+1恒成立，求。的值；

(3)求證：函數(shù)g(x)=/(x)-x有兩個(gè)零點(diǎn).

【變式3?1】(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=%2一奴+21nx.

⑴求函數(shù)“為的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)了⑴的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為八電，證明："6/㈤>?-=；

玉一元2a2

(3)設(shè)〃(x)=sinx+lnx,求證：當(dāng)ae[l,2]時(shí)，/。)一21nx=x/z(x)有且僅有2個(gè)不同的零點(diǎn).

yrTT37r37r

(參考數(shù)據(jù)：——In—?1.119,7i-In7i?1.997,-----In—q3.162,2萬(wàn)一In2兀?4.445)

2222

【變式3-2](2024?上海閔行?二模)已知定義在(0,+口)上的函數(shù)>=/(x)的表達(dá)式為〃x)=sinx-xcosx,

其所有的零點(diǎn)按從小到大的順序組成數(shù)列{%}(“21,〃eN).

⑴求函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(0,兀)上的值域；

(2)求證：函數(shù)y=/(x)在區(qū)間。譏,(〃+1)兀)(M>l,weN)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

題型四：證明函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)

']n'V

【典例4-1】(2024?全國(guó)?一模)已知〃耳=/一三三一”

⑴若〃力20,求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

/、12

⑵設(shè)%,%2是/(X)的兩個(gè)零點(diǎn)(%>々)，求證：①1<-----；②----<X1+X2.

【典例4-2】(2024?全國(guó).模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=x￡_a(x>0)，且廣⑺有兩個(gè)相異零點(diǎn)和Z.

(1)求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

(2)證明：玉+九2>--.

e

【變式4-1](2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=ln(MU)T(7w>0).

(1)若/'(x)W0恒成立，求加的取值范圍；

⑵若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)占,三，證明玉+々>2.

【變式4-2](2024?山東臨沂?二模)已知函數(shù)〃x)=ln(依)+(a-l)x—e\

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求證：f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)為,且/小)<一2；

(2)若存在兩個(gè)零點(diǎn)，記較小的零點(diǎn)為看」是關(guān)于x的方程ln(l+x)+3=2叫+cosx的根，證明:

e'+l>2e甬.

【變式4-3](2024.高三.河南鶴壁?期中)已知函數(shù)/(x)=e*-依2(。?]^),其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)若函數(shù)/(x)在(0,+e)上有2個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍；

⑵設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)+eiT-e"+ax2+cosx,尤€(0,2兀))，證明：g(尤)的所有零點(diǎn)之和大于2兀.

【變式4-4](2024.四川眉山.三模)已知函數(shù)/(x)=xlnx-ax,-2x.

⑴若過(guò)點(diǎn)(1,0)可作曲線y=/(X)兩條切線，求a的取值范圍；

⑵若Ax)有兩個(gè)不同極值點(diǎn).

①求。的取值范圍；

②當(dāng)芯＞4%時(shí)，證明：＞16e3.

題型五：最值函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

【典例5-1】(2024?湖北黃岡.三模)已知函數(shù)/(x)=xsinx+cosx+ai?,g(x)=xln

71

⑴當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)〃x)在［-兀,可上的極值；

⑵用max*%"}表示私〃中的最大值，記函數(shù)/z(x)=max{〃x),g(x)}(x＞0)，討論函數(shù)〃(%)在(0,+(?)上

的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

1Y

【典例5-2】(2024?四川南充?三模)己知函數(shù)/(X)=;vsinx+cosx+—“Y,g(x)=xln二.

2兀

(1)當(dāng)4=0時(shí)，求函數(shù)人幻在［-兀，網(wǎng)上的極值；

⑵用max?！?“}表示根，〃中的最大值，記函數(shù)/z(x)=max{/(x),g(x)}(x＞0),討論函數(shù)〃(x)在(0,+co)上

的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【變式5-1］(2024?四川南充三模)已知函數(shù)〃+g(x)=h?其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù)八》)的極值；

⑵用max{〃?,〃}表示冽，〃中的最大值，記函數(shù)〃(無(wú))=max{〃尤)心(無(wú))}(尤＞0),當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)

/z(x)在(0,+⑹上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【變式5-2］(2024?江西九江?二模)已知函數(shù)/(x)=e，-o?(awR),g(x)=x—i.

⑴若直線y=g(x)與曲線＞=/(尤)相切，求°的值；

⑵用min｛m,〃｝表示相，w中的最小值，討論函數(shù)/z(x)=min"(x),g(x)｝的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

題型六：同構(gòu)法妙解零點(diǎn)問(wèn)題

【典例6-1】已知函數(shù)/(x)=W+x-加(依)-2(。＞0),若函數(shù)/(尤)在區(qū)間(0,內(nèi)))內(nèi)存在零點(diǎn)，求實(shí)

ex

數(shù)。的取值范圍

【典例6?2】已知/(%)=++1.

(1)若函數(shù)g(x)=/(x)+xcosx-sin九一x/nx-l在(0,a］上有1個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

(2)若關(guān)于1的方程泥…=/(x)-￡/+必_1有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求〃的取值范圍.

【變式6-1］已知函數(shù)f(x)=aex-ln(x+1)+Ina-1.

(1)若a=l,求函數(shù)/(%)的極值；

(2)若函數(shù)/(X)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

XInY

【變式6-2](2024?上海嘉定?一模)已知/(尤)==,g(x)=——.

e尤

⑴求函數(shù)y=/(X)、y=g(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)請(qǐng)嚴(yán)格證明曲線y=/(x)、y=g(x)有唯一交點(diǎn)；

⑶對(duì)于常數(shù)若直線y和曲線y=/(x)、了二8⑴共有三個(gè)不同交點(diǎn)仁/卜仁間卜仁,。)，其

中玉<尤2<%，求證：玉、Z、W成等比數(shù)列.

【變式6-3](2024.四川?三模)已知函數(shù)/(無(wú))=?和函數(shù)g(x)=(,且〃x)有最大值為《.

⑴求實(shí)數(shù)a的值；

⑵直線尸相與兩曲線產(chǎn)/⑺和y=g(x)恰好有三個(gè)不同的交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為3，X],%,且

x1<x2<x3,證明：考.

【變式6-4](2024?河北邯鄲?二模)已知函數(shù)/(x)=e，一〃2T,g(x)=x-mlnx.

⑴是否存在實(shí)數(shù)加，使得和g(x)在(0,+e)上的單調(diào)區(qū)間相同？若存在，求出機(jī)的取值范圍；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑵已知看,范是/(x)的零點(diǎn)，尤2,￡是g(x)的零點(diǎn).

①證明：m>e,

②證明：1<玉尤2尤3<61

題型七：零點(diǎn)差問(wèn)題

【典例7-1】(2024.重慶.模擬預(yù)測(cè))牛頓在《流數(shù)法》一書(shū)中，給出了代數(shù)方程的一種數(shù)值解法一牛頓

法.具體做法如下：如圖，設(shè)廠是/(x)=。的根，首先選?。プ鳛?■的初始近似值，若Ax)在點(diǎn)(%,/(%))

處的切線與x軸相交于點(diǎn)(40),稱占是廠的一次近似值；用占替代與重復(fù)上面的過(guò)程，得到巧，稱巧是

廠的二次近似值；一直重復(fù)，可得到一列數(shù)：%,西,%，?，瑞，.在一定精確度下，用四舍五入法取值，當(dāng)

XAT，X”(neN*)近似值相等時(shí)，該值即作為函數(shù)/⑺的一個(gè)零點(diǎn)r.

⑴若/。)=了3+3/+彳-3,當(dāng)天=0時(shí)，求方程〃x)=0的二次近似值(保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位)；

(2)牛頓法中蘊(yùn)含了“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想，直線常常取為曲線的切線或割線，求函數(shù)g(x)=e'-3在點(diǎn)

(2,g(2))處的切線，并證明：in3<l+2；

e

(3)若力(幻=尤(1-111元)，若關(guān)于x的方程/z(x)=a的兩個(gè)根分別為X”尤2(再<苫2),證明：x2>e-ea.

【典例7-2】(2024?河南?模擬預(yù)測(cè))已知6>。，函數(shù)〃x)=(x+a)ln(x+b)的圖象在點(diǎn)(1,7(1))處的切線

方程為了ln2-y-ln2=0.

(1)求。,(的值;

1

⑵若方程〃力=’(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))有兩個(gè)實(shí)數(shù)根和馬,且為<2，證明：x2-x1<l+l+--

eeeln2

【變式7-1](2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=e'-l-ox(aeR).

【變式7-2](2024?重慶.模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)/(x)=a(ln元+l)+3(a>0).

X

⑴求證：l+xlnx>0；

,求證：民一七]<1—J~>

⑵若石,馬是/⑺的兩個(gè)相異零點(diǎn)

【變式7?3】(2024.河南信陽(yáng)?三模)已知函數(shù)/(x)=G；-ln(l-x)(a￡R).

⑴若〃x)20恒成立，求〃的值；

(2)若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)玉,/，且昆-石|>。-1，求。的取值范圍.

【變式7-4](2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=f-(2+〃)％+Qlnx,6ZGR.

⑴討論f(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)g(x)=-----f(x)+x2—(6?+l)x—2^z+(tz—1)Inx,右g(x)存在兩個(gè)不RI的零點(diǎn)七，巧，且石<%2.

X

(i)證明：2a>e+l；

(ii)證明：vf<4"一2"l

2〃一1

題型八：分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為兩圖像交點(diǎn)解決零點(diǎn)問(wèn)題

【典例8-1】(2024?天津?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=ln(x+2)

⑴求曲線y=/(x)在產(chǎn)-1處的切線方程；

⑵求證：ex>^+1;

(3)函數(shù)〃(x)=〃x)-a(x+2)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

【典例8-2】(2024.廣東廣州.二模)已知函數(shù)/(%)=。(%+1)b+/.

討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

【變式8-1］（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃x）=a（e，+sinx）-x-1.

⑴當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)。=1時(shí),判斷〃x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【變式8-2］已知函數(shù)y（x）=（無(wú)一2）/-2依2+4辦（。＞。）.

⑴若4=1,求曲線y=/（x）在點(diǎn)（。"（。））處的切線方程；

（2）若恰有三個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

【變式8-3］（2024.湖北.模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)/（x）=aeX—xT（aeR）.

⑴當(dāng)a=l時(shí),證明：/（%）＞0；

⑵討論函數(shù)/（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【變式8-4］（2024?廣西河池?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃x）=alnx+Y-依，定義域?yàn)椋ā?+8）.

⑴討論“X）的單調(diào)性；

（2）求當(dāng)函數(shù)/（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，〃的取值范圍.

題型九：零點(diǎn)問(wèn)題之取點(diǎn)技巧

【典例9-1】(2024?陜西商洛?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=(a-l)x+lnx,g(x)=g+(aeR).

⑴討論的單調(diào)性；

⑵當(dāng)a>2時(shí)，證明：函數(shù)0(x)=g(x)-/(龍)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

【典例9-2】(2024?浙江杭州?二模)已知函數(shù)/(x)=aln(x+2)-1■尤2(qeR).

⑴討論函數(shù)〃x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，

(i)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(ii)證明：函數(shù)/(X)有且只有一個(gè)零點(diǎn).

【變式9-1](2024?陜西銅川?三模)已知函數(shù)〃%)=則+,+依-3.

xxe

⑴當(dāng)a=l時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)。，/⑴)處的切線方程；

(2)若函數(shù)/(x)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【變式9-2](2024.廣東廣州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(力=無(wú)出一履),左€區(qū)

⑴當(dāng)左=0時(shí)，求函數(shù)“X)的極值；

(2)若函數(shù)在(0,+8)上僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)%的取值范圍.

題型十：零點(diǎn)與切線問(wèn)題的綜合應(yīng)用

【典例10-1](2024.陜西西安.模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=/+3x+3,g(x)=2eZ-尤-2.

⑴判斷g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(2)求曲線y=/(元)與曲線y=g(x)公切線的條數(shù).

【典例10-2】(2024.江西.模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃元)=21ru+ga尤2-(a+2)尤(aeR),

⑴討論函數(shù)〃x)的單調(diào)性；

(2)若0<%<苫2，證明：對(duì)任意ae(Yo,0),存在唯一實(shí)數(shù)e(番,%)，使得尸(%)='山)成立:

【變式10-1】(2024?四川遂寧.模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(尤)="，g(尤)=ln(尤+〃)，直線/：>=無(wú)+機(jī)為曲線

y=/(尤)與y=gCO的一條公切線.

⑴求加,〃；

⑵若直線/'：y=s(0<s<1)與曲線y=/(幻，直線/，曲線y=g(尤)分別交于A&,%2(%,%),C(w,%)三

點(diǎn)，其中％<無(wú)2<W，且不，尤2,無(wú)3成等差數(shù)列，證明：滿足條件的S有且只有一個(gè).

【變式10-2](2024?四川瀘州三模)設(shè)函數(shù)"x)=e"T,g(x)=lnx+6.

(1)求函數(shù)尸(x)=(x-l)〃x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若總存在兩條直線和曲線V=/(力與y=g(x)都相切，求b的取值范圍.

【變式10-3】(2024?貴州貴陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=xlnx.

⑴若函數(shù)g(x)=〃x)-a有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

⑵已知4(石,乂)，8優(yōu),%),C(&,%)(其中玉<馬<三且巧，演，演成等比數(shù)列)是曲線y=/(x)上

三個(gè)不同的點(diǎn)，判斷直線AC與曲線V=/(x)在點(diǎn)B處的切線能否平行？請(qǐng)說(shuō)明理由.

1.(2024?福建寧德三模)已知函數(shù)/(x)=acos尤-eAi(aeR)的圖象在x=0處的切線過(guò)點(diǎn)(-1,2).

⑴求了⑺在［0,可上的最小值；

⑵判斷/(X)在，g,oj內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.

13

2.(2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)/(x)=5xsiiu-z.

7

⑴證明：當(dāng)兀］時(shí)，QX—X——>f(x);

(2)求八％)在區(qū)間［0,可上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

zl2-

3.(2024?浙江杭州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=me%+—~--m,^(x)=ex+ex.

⑴當(dāng)機(jī)=0時(shí)，證明：f(x)<ex；

(2)當(dāng)無(wú)v0時(shí),g(x)>t,求片的最大值；

⑶若“可在區(qū)間(。，+8)存在零點(diǎn)，求加的取值范圍.

4.(2024?安徽?三模)已知函數(shù)武。>0,。/1).

⑴若a=e,求/(x)在x=0處的切線方程；

(2)若函數(shù)/(無(wú))有2個(gè)零點(diǎn)，試比較In。與g的大小關(guān)系.

5.(2024?陜西商洛?三模)已知函數(shù)〃元)=2a21nx

⑴求函數(shù)/(尤)的單調(diào)區(qū)間；

p2x

⑵當(dāng)a>0時(shí)，若函數(shù)g(x)=*-+ae工和/2(力=2/X的圖象在(0,1)上有交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

6.(2024?湖北黃石?三模)已知函數(shù)/(x)=x-lnx+根有兩個(gè)零點(diǎn)A,巧.

(1)求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

(2)如果占?2而，求此時(shí)機(jī)的取值范圍.

2

7.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃尤)=(+lnx-〃?.

⑴討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(2)若/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：兩個(gè)零點(diǎn)之和大于4.

8.(2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)=e",g(x)=xa.

⑴當(dāng)。=1時(shí),求/(x)-g(x)的最小值;

(2)討論函數(shù)y=/(x)和y=g(x)的圖象在(0,+℃)上的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

9.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))當(dāng)xe(-l,yo)時(shí)，總有不等式ar21n(x+l)成立.

(1)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)設(shè)方程6-ln(x+l)=sinx,試確定該方程實(shí)根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.

10.(2024.青海海南.一模)已知函數(shù)〃x)=e"i—x—a(a>0).

⑴若函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，求。的取值范圍；

(2)若函數(shù)/(X)的兩個(gè)零點(diǎn)分別是無(wú)1、工2且為<々，證明：x2-xl>^-+a.

11.(2024.全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/'⑶=ln(l+x)—小

(1)求曲線y=/(x)在(0,/(0))處的切線方程;

⑵若xe(-l,7t),討論曲線y="x)與曲線y=-2cosx的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

12.已知函數(shù)/(xb/lnx-MawR).

(D若/'(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍；

/、“2aae

(2)若/(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為王,%2(%<%2)，求證：T+—<-T.

13.（2024?江西贛州?一模）已知函數(shù)/■⑺=j-1眸

（1）求/⑺的單調(diào)區(qū)間，

⑵己如機(jī)＞0.若函數(shù)g（x）=〃x）-MxT）有唯一的零點(diǎn)看.證明，1＜無(wú)（）＜2.

14.（2024?廣西?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃x）=21n（尤+1）+；尤2-2x+加有三個(gè)零點(diǎn)，meR.

（1）求機(jī)的取值范圍；

⑵記三個(gè)零點(diǎn)為工,工2，三，且再＜%＜W，證明：x3-xr＜2.

15.（2024.四川南充.一模）設(shè)函數(shù)/a）=e'（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），函數(shù)/⑺與函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于直線

y=x對(duì)稱.

⑴設(shè)函數(shù)“尤）=心0,若X40㈤時(shí)，力（X）?亞恒成立，求〃2的取值范圍;

sinx

⑵證明：/（尤）與g（x）有且僅有兩條公切線，且圖象上兩切點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù).

16.（2024?廣東?二模）已知/（x