重難點(diǎn)突破02利用傳統(tǒng)方法求線線角、線面角、二面角與距離

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................4

題型一：平移法求異面直線所成角.................................................4

題型二：定義法求線面角.........................................................5

題型三：等體積法法求線面角.....................................................7

題型四：定義法求二面角.........................................................8

題型五：三垂線法求二面角......................................................10

題型六：射影面積法求二面角....................................................12

題型七：垂面法求二面角........................................................14

題型八：補(bǔ)棱法求二面角........................................................16

題型九：距離問題..............................................................17

03過關(guān)測試....................................................................19

亡法牯自與.柒年

//\\

技巧一：二面角的求法

法一：定義法

在棱上取點(diǎn)，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角，

如圖在二面角。-/-分的棱上任取一點(diǎn)O,以。為垂足，分別在半平面C和/?內(nèi)作垂直于棱的射線Q4和

OB,則射線。4和QB所成的角稱為二面角的平面角（當(dāng)然兩條垂線的垂足點(diǎn)可以不相同，那求二面角就

相當(dāng)于求兩條異面直線的夾角即可）.

法二：三垂線法

在面a或面力內(nèi)找一合適的點(diǎn)A,作力于O,過A作48_]_C于5,則30為斜線鉆在面〃內(nèi)

的射影，NABO為二面角a-c-￡的平面角.如圖1,具體步驟：

①找點(diǎn)做面的垂線；即過點(diǎn)A,作A0_L4于＜9；

②過點(diǎn)（與①中是同一個點(diǎn)）做交線的垂線；即過A作ABLc于3,連接30；

③計算：4BO為二面角a-c-4的平面角，在心中解三角形.

A

法三：射影面積法

凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面

積公式（COS0=8=23,如圖2）求出二面角的大??；

S斜S?ABC

法四：補(bǔ)棱法

當(dāng)構(gòu)成二面角的兩個半平面沒有明確交線時，要將兩平面的圖形補(bǔ)充完整，使之有明確的交線（稱為

補(bǔ)棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題.當(dāng)二平面沒有明確的交線時，也可直接用法三的攝影面

積法解題.

法五：垂面法

由二面角的平面角的定義可知兩個面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個面的交線所成的角，就是

二面角的平面角.

技巧二：線與線的夾角

共面直線，

（1）位置關(guān)系的分類：[相交直線

異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)

（2）異面直線所成的角

①定義：設(shè)6是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)。作直線”〃b,把“與〃所成的銳角（或

直角）叫做異面直線。與6所成的角（或夾角）.

②范圍：（0,-]

2

③求法：平移法：將異面直線a,6平移到同一平面內(nèi)，放在同一三角形內(nèi)解三角形.

技巧三：線與面的夾角

①定義：平面上的一條斜線與它在平面的射影所成的銳角即為斜線與平面的線面角.

②范圍：[0,-]

2

③求法：

常規(guī)法：過平面外一點(diǎn)3做班'，平面a,交平面a于點(diǎn)3';連接AB',則44sz即為直線與平

面0的夾角.接下來在及中解三角形.即5也/區(qū)鉆'=些=其立（其中為即點(diǎn)3到面a的距離,

AB斜線長

可以采用等體積法求〃，斜線長即為線段4?的長度）;

題型歸贏總結(jié)

題型一：平移法求異面直線所成角

【典例1-1】在正三棱柱ABC-A與G中，AB=AAlfD,E分別是人耳，CG中點(diǎn)，則異面直線與

所成角的余弦值為（）

226

A.B.CD.

5?-T

【典例1?2】如圖，已知正三棱柱ABC-451G,領(lǐng)=后河為AG的中點(diǎn)，則AM與3G所成角的余弦

B.乎C.fD*

【變式1-1］在正四棱臺ABCD-A耳G2中，48=24瓦=29，點(diǎn)。為底面ABCZ）的中心，則異面直線

。片與CG所成的角為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【變式1-2］如圖，在正四面體A8CD中.點(diǎn)E是線段AD上靠近點(diǎn)。的四等分點(diǎn)，則異面直線EC與

所成角的余弦值為（）

A

C

A3屈A/13「后n3A/13

A.-------RD.-----

26132613

【變式1?3】已知空間四邊形A5CD中,E、尸分別是AC、3D的中點(diǎn)，若48=2Q，CD=4,EF±AB,

則石尸與CO所成的角為()

A.30°B.45°C.60°D.90°

題型二：定義法求線面角

【典例2-1](2024?高三?貴州黔東南?開學(xué)考試)如圖，在四面體ABC。中，2.若從直

則它們互相垂直的概率為1.

線D4,DB,DC,BC中任選兩條，

A

;

BC

(1)證明：平面3C。；

(2)若四面體ABCD的體積為辿

,且BCHBD,求直線A3與平面ADC所成角的正弦值.

【典例2-2】如圖，四邊形ABCZ)是矩形，AD=2,DC=1,平面BCE,BE1EC,EC=1點(diǎn)F為

線段BE的中點(diǎn).

E

⑴求證：DE/mACF-,

(2)求AC和平面ABE所成角的正弦值.

【變式2-1］如圖，已知朋J?平面ABC,g〃A4,,AB=AC=3,3C=26,認(rèn)=幣,BB、=2幣，點(diǎn)E

為3C的中點(diǎn).

(1)求證：AE//平面AlCBl■

(2)求直線A片與平面BCB｝所成角的大小.

【變式2-2】如圖，在四棱錐尸—ABCD,P4_L底面ABC。，ABA.BC,AD//BC,PA=AD=^,BC=\,

AB=6

(1)證明：平面尸CD_L平面PAC；

(2)求AO與平面PCD所成角的正弦值.

題型三：等體積法法求線面角

【典例3-1】如圖，已知四棱錐PXBCO的底面ABC。是平行四邊形，M,N分別是棱尸8,PC的中點(diǎn)，Q

是棱以上一點(diǎn)，且AQ=3QP.

(1)求證:N0//平面MCD；

(2)AB=14,BC=PB=PD=8,PA=PC=476,求直線PA與平面PBC所成角的正弦值.

【典例3-2】如圖1,在四邊形ABC。中，AB//CD,AB=1,ZA=60°,BD=CD,ZABD=90°,將△ABD沿

邊8。翻折至使得平面尸應(yīng)＞_L平面BCD,如圖2所示.E是線段尸。上的一點(diǎn)，且3E_LPD.

圖1圖2

(1)求證：平面3EC_L平面尸CD；

(2)求直線BE與平面PBC所成角的正弦值.

【變式3-1］正方體ABC。-的棱長為2,P是線段A#上的動點(diǎn).

⑴求證：平面2D，耳，平面ABG；

⑵盟與平面Ag所成的角的余弦值為正，求PB的長.

3

【變式3-2】在直三棱柱ABC-A4G中，。、￡分別是棱AC,AG的中點(diǎn)，尸為線段與E上的點(diǎn).

(1)證明：CF〃平面AB。；

、后

(2)若AB=BC=OL=8耳=2,當(dāng)。產(chǎn)與平面所成角的正弦值為生時，求E百F的值.

10g

題型四：定義法求二面角

【典例4-1］如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，，48。=60。,石,尸分別是筋,5。的中點(diǎn)，將匕石尸沿

折起，使點(diǎn)B到P的位置，且尸。=4忘.

(1)若平面PACA平面際=/,判斷AC與/的位置關(guān)系并說明理由;

(2)求直線尸￡與平面ABC。所成角的正弦值；

(3)求二面角O-PE-/大小的余弦值.

【典例4-2】如圖PO為三棱錐P-ABC的高，點(diǎn)。在三角形ABC內(nèi)，。為3P中點(diǎn)(圖中未畫),

BD=BO=2,8//平面尸AC.

(1)求直線3尸與平面ABC所成角;

(2)若Q4=OC,S.ZAPB=ZCPB,求二面角P—AC-3的大小.

【變式4-1］如圖，正方體ABCD-AqQR的棱長為1,線段3a上有兩個不同的動點(diǎn)及工

(1)求證：EF〃平面A3C￡＞；

(2)二面角A-￡F-B的大小是否為定值，若是，求出其余弦值，說明理由.

【變式4-2】五面體ABCD跖中，ZABC=ZBAD=90°,BC=2AD=2EF=4,^ABE,VADE均為正三

角形.

(1)證明：BELCD；

(2)求平面ABF與平面由汨所成夾角的余弦值.

【變式4-3］如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面A3CD為菱形，ZBAD=60\PA±PD,E為尸C的中

點(diǎn).

⑴證明：R4〃平面瓦定；

(2)若PA=PB=26，PD=2.

求二面角尸-AD-3的余弦值;

題型五：三垂線法求二面角

【典例5-1】如圖，在三棱錐人-3?！辏局?，△ABD是等邊三角形,

BD±DC,AB=2,AC=4,ZDBC=60°，及尸分別為AD,DC的中點(diǎn).

(1)求證：平面平面AOC；

(2)求二面角E-5/-。的余弦值.

【典例5-2］如圖1,平面圖形PABCD由直角梯形ABC。和RtAMD拼接而成，其中AB=3C=1,

BC//AD,AB±AD,PA=PD=PALPD,PC與AD相交于點(diǎn)0,現(xiàn)沿著AD將其折成四棱錐

P-ABCD(如圖2).

圖1圖2

(1)當(dāng)側(cè)面R4D_L底面ABCD時，求點(diǎn)3到平面尸CD的距離；

(2)在(1)的條件下，線段尸。上是否存在一點(diǎn)。.使得平面QAC與平面ACD夾角的余弦值為逅？若存

3

在，求出荔的值；若不存在，請說明理由.

【變式5-1］如圖，在四棱錐P-ABCD中，M為AP邊上的中點(diǎn)，N為CP邊上的中點(diǎn)，平面P3CJ_平面

ABCD,NPBC=90°,ADIIBC,ZABC=90°,2AB=2AD=&CD=BC=2.

(1)求證：MN//平面ABCD；

(2)求證：CD_L平面PBD；

(3)若直線尸。與底面ABCD所成角的余弦值為走，求二面角5-PC-￡＞的正切值.

3

【變式5-2］如圖，已知四棱錐S-ABCD中，AB=BC=1,/ABC=120。,AB_LAO,CD_L平面且

(1)證明：BG〃平面S4D；

4

(2)已知銳二面角S-AC-O的正弦值為二，求二面角C-SA-D的余弦值.

題型六：射影面積法求二面角

【典例6-1］如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為正方形，Q4,平面

ABCD,PA^AB^a,求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小.

【典例6-2】在四棱錐尸中，底面ABC。是正方形，側(cè)面也。是正三角形，平面底面

ABCD.

(1)證明：AB_L平面出Z)；

(2)求面E4D與面PD8所成的二面角的正切值.

【變式6-1］如圖，在四棱錐尸-ABCD中，四邊形ABCD為正方形，上4,平面

ABCD,PA^AB^a,求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小.

C

【變式6-2]類比于平面三角形中的余弦定理，我們得到三維空間中的三面角余弦定理：如圖1,由射線

PA.PB、尸C構(gòu)成的三面角P—ABC,ZAPC=a,』BPC=0,AAPB=y,二面角A—PC—3的大小為

0,貝(jcos/=cosacos6+sinasin/?cos6.

/A

(1)如圖2,四棱柱中，平面441C]CJ_平面ABC。，Z^AC=600,ABAC=45°,求

/AAB的余弦值；

(2)當(dāng)外夕時，證明以上三面角余弦定理；

(3)如圖3,斜三棱柱42。-4瓦6中側(cè)面4844，BCQB,,ACQA的面積分別為M，邑，S3,記二面角

A-CC.-B,二面角B-A4「C,二面角C-84-A的大小分別為仇，％,仇,試猜想正弦定理在三維空

間中推廣的結(jié)論，并證明.

題型七：垂面法求二面角

【典例7-1】(2024?高三?山東濟(jì)南?開學(xué)考試)如圖，在四棱柱ABCO-AgGA中，底面ABCD和側(cè)面

ABB^均是邊長為2的正方形.

4A

B"C

⑴證明：BDX±BtC.

(2)若ZB}BC=120°,求二面角A-BC-D}的余弦值.

【典例7-2】已知二面角若直線直線且直線名匕所成角的大小為60。，則二面角

a-/一尸的大小為.

【變式7-1］如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A3CD為矩形，平面孔底面ABC。，AR4￡)為正三角

形，E是的中點(diǎn)，AD=2,AB=4.

⑴求點(diǎn)C到平面PDE的距離.

(2)求二面角O-PE-C的余弦值.

【變式7-2】在三棱臺ABC-A8c中，AB±AC,AB=2^=2,AC=25/2,CC,=2,NAAC="CA,且

平面ACAlCl±平面ABC.

(1)求證：平面ABC_L平面ABC1；

(2)求二面角A-AC-B的正弦值.

題型八：補(bǔ)棱法求二面角

【典例8-1](2024?廣東廣州?模擬預(yù)測)如圖，在三棱臺4c中，△ABQ為正三角形,

AB=BC=2,AB±BC,點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，平面ABC，平面領(lǐng)C.

(1)若證明：平面平面BCGA；

(2)若AA=CG=4,記平面AB旦A與平面BCQ的交線為/,求二面角4-/-。的余弦值.

【典例8-2]如圖，已知正方體ABCD-AAGA的棱長為2,M,N分別為棱8與、BC的中點(diǎn).

(1)證明：直線DN〃平面AMQ；

(2)設(shè)平面AMR與平面ABCD的交線為/,求點(diǎn)M到直線I的距離及二面角2-/-C的余弦值.

【變式8-1】《九章算術(shù)》是中國古代的一部數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，成于公元一世紀(jì)

左右.它是一本綜合性的歷史著作，是當(dāng)時世界上最簡練有效的應(yīng)用數(shù)學(xué)，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)形

成了完整的體系.《九章算術(shù)》中將由四個直角三角形組成的四面體稱為“鱉席”，已知在三棱錐尸-ABC中,

PA_L平面ABC.

(1)從三棱錐尸-ABC中選擇合適的兩條棱填空：1,則三棱錐尸-ABC為“鱉ST'；

(2)如圖，已知AD_LPS,垂足為￡>,AE±PC,垂足為E,ZABC=9Q°.

(i)證明：平面ADE_L平面PAC；

(ii)設(shè)平面ADE與平面ABC交線為/,若PA=26,AC=2,求二面角E-/-C的大小.

題型九：距離問題

【典例9-1】(2024?四川資陽?二模)如圖，在四面體ABCZ)中，AB=AC=AD=BC=BD=2,

BCVBD,E,F分別為AB,AC的中點(diǎn).

(1)證明：平面ACDJ_平面BQ)；

(2)求點(diǎn)A到平面BDF的距離.

【典例9-2］如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD,CDIBC,PB=CD=2AB=2,PA=BC=拒.

(1)若點(diǎn)。為CO中點(diǎn)，求證：AB，平面PAO；

⑵若二面角尸-AB-C的平面角為60。，求點(diǎn)D到平面PAC的距離.

【變式9-1J多面體A8C-A瓦G中，A4j//BBt//CCt,平面〃平面ABC,平面人^。［(7_1_底面ABC,

BC=2,AC=20ZABC=90。，M1AXC,^AAl=AiC.

B

(1)求AA與平面ABC所成角；

(2)求平面AABBj與平面ABC所成二面角的大小;

(3)求側(cè)棱BB、到側(cè)面A41GC的距離.

【變式9-2】如圖①，已知VAB'C是邊長為2的等邊三角形，。是AB的中點(diǎn)，DHYB'C,如圖②，將

AB'DH沿邊。//翻折至4BDH.

圖①圖②

..一BF一

⑴在線段8c上是否存在點(diǎn)凡使得■〃平面若存在，求工的值；若不存在，請說明理由;

(2)若平面BHC與平面BDA所成的二面角的正切值為272，求點(diǎn)B到直線CH的距離.

1.平面a過正方體ABCD-A耳G2的頂點(diǎn)A，a〃平面CB12，an平面/1BCD=7W,a^^ABB^=n,

則照n所成角的正弦值為.

2.在三棱錐A-BCD中，ABL平面BCD,BDYCD,AB=6且最長的棱長為與，E為棱AD的中點(diǎn),

則當(dāng)三棱錐A-BCD的體積最大時，直線AC與BE所成角的余弦值為.

3.菱形ABC。的對角線AC=6，沿把平面48。折起與平面2。成120。的二面角后，點(diǎn)A到平面

BCD的距離為.

4.在正三棱柱ABC-A4G中，E為棱3c的中點(diǎn)，如圖所示.

⑴求證：AB//平面AEG；

(2)若二面角C-AE-G的大小為60。，求直線AC和平面AEQ所成角的正弦值.

5.如圖，在三棱臺A8C—4片￡中，A耳與ACBe都垂直，已知AB=3,AA=AC=5.

(1)求證：平面ABC_L平面ABC.

(2)直線AB與底面ABC所成的角。為多少時，二面角A-AC-8的余弦值為叵？

6.如圖，A3是半球。的直徑，尸是半球底面圓周上一點(diǎn)，。是半球面上一點(diǎn)，且

P

⑴求證：尸Q，BQ；

⑵若AB=4,AP=1,BQ=3，求直線PQ與平面ABQ所成角的正弦值.

7.如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面尸3D_L平面ABC。，四邊形是梯形，AB//CD,

BC±CD,BC=CD=2AB=20\E是棱R4上的一點(diǎn).

⑴若PE=2EA,求證：PC〃平面EBD；

(2)若PA_L平面￡B￡),且M=4,求直線BC與平面￡B￡)所成角的正弦值.

8.如圖，在長方形&LBC中，AB=2。BC=2,SD=XSC(^<Z<\),將△&1￡)沿AD折起至ASUD,使

平面SUB1平面ABC.

(1)證明：3cl平面SLAB；

?

(2)若二面角S'-AD-3的平面角的余弦值為§,求SD的長；

(3)設(shè)直線3c與平面S"＞所成的角為4,二面角S—AD—3的平面角為打，證明：c°s2，+焉之2夜-1.

(注：本題用空間向量法求解或證明不給分，若需要作輔助線，請在答題卡上作出相應(yīng)的輔助線.)

9.“陽馬”是我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中《商功》章節(jié)研究的一種幾何體，它是底面為矩形，一條側(cè)

棱垂于底面的四棱錐.如圖，四邊形ABC。是邊長為2的正方形，PA=4,平面PR,平面ABC。，平面

PAD_L平面ABCD

(1)求證：四棱錐P-ABCD是“陽馬”；

(2)點(diǎn)/在正方形A2CD內(nèi)(包括邊界).平面R4Ml平面尸且乙e

Ci)求M點(diǎn)軌跡長度；

(ii)是否存在M點(diǎn)，使得平面3PM，平面CPM,若存在，求二面角A-PD-/的余弦值；若不存在,

請說明理由.

10.如圖(1)梯形ABCZ)中，AD//BC,AB=2上,BC=2,CD=2無,且BE=2,將梯形沿

BE折疊得到圖②，使平面平面3C￡>E,CE與3。和交于。，點(diǎn)尸在AB上，且AP=2尸3,R是

CD的中點(diǎn)，過O、尸、R三點(diǎn)的平面交AC于Q.在圖(2)中：

圖⑴圖⑵

(1)證明：。是AC的中點(diǎn)；

⑵M是初上一點(diǎn)，已知二面角?的正切值為%求翳的值.

11.空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于2兀與

多面體在該點(diǎn)的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制.例如：正四面體

每個頂點(diǎn)均有3個面角，每個面角均為。故其各個頂點(diǎn)的曲率均為2兀-3、?=兀.如圖，在直三棱柱

?J

2兀

ABC-A瓦G中，點(diǎn)A的曲率為午，N,M分別為A5,CQ的中點(diǎn)，S.AB=AC.

⑴證明：CN,平面48瓦4；

⑵若M=0AB,求二面角B.-AM-Q的余弦值；

(3)表面經(jīng)過連續(xù)變形可以變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w稱為簡單多面體.關(guān)于簡單多面體有著名歐拉定理：設(shè)簡單多面

體的頂點(diǎn)數(shù)為。，棱數(shù)為L,面數(shù)為M,則有：。-乙+以=2.利用此定理試證明：簡單多面體的總曲率

(多面體有頂點(diǎn)的曲率之和)是常數(shù).

12.如圖，在正三棱柱ABC-A笈G中，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，AB=AAt=4.

⑴求證：48〃平面AOQ；

(2)求證：平面ADQ±平面BCG耳；

(3)求直線\B到平面4DG的距離.

13.如圖在直三棱柱ABC-ABC中，ZASC=90°,BC=2,CQ=4,E是B用上的一點(diǎn)，且E^=l,D、

F、G分別是CG、耳G、AG的中點(diǎn)，E尸與片。相交于a.

⑴求證：4。，平面ABD；

(2)求平面EGF與平面ABD的距離.

14.如圖,已知三棱臺ABC-A4G'底面?C是以B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形‘體積為竽,平

面平面ABC,S.AA}=AlB1=BB1=^AB.

(1)證明：3。，平面48與4；

(2)求點(diǎn)B到面ACC】A的距離；

(3)在線段CC|上是否存在點(diǎn)產(chǎn)，使得二面角尸-AB-C的大小為若存在，求出C尸的長，若不存在，請