全等三角形模型一一截長補短與倍長中線

截長補短

截長：即在一條較長的線段上截取一段較短的線段

截長補短法是幾何證明題中十分重要的

方法，通常來證明幾條線段的數(shù)量關(guān)系，

常見做輔助線方法有：

截長法：

⑴過某一點作長邊的垂線；

⑵在長邊上截取一條與某一短邊相同的

在線段至上截取=AC

線段，再證剩下的線段與另一短邊相等。

補短：即在較短的線段上補■段線段使其和較長的線段相等

補短法：

⑴延長短邊。

⑵通過旋轉(zhuǎn)等方式使兩短邊拼合到一起，

證與長邊相等。

延長AC,使得AD=AB

1.AABC中，AD是NB4c的平分線，且AB=AC+CD.若NSC4=60。，則NABC的大小為（）

【分析】可在AB上取AC=AC,則由題中條件可得5。=。。，即NC=NAC7）=2NB,再由三角形的外

角性質(zhì)即可求得々的大小.

【解答】解：如圖，在AS上取AC=AC,

是角平分線，

:.ZDAC=ZDAC,

:.AACD=/\AC'D(SAS),

:.CD=CD,

^■.■AB=AC+CD,AB=AC'+C'B,

BC=CD,

ZC=ZAC'D=2NB=60°,

.-.ZB=30°.

故選：A.

2.閱讀：探究線段的和.差?倍.分關(guān)系是幾何中常見的問題，解決此類問題通常會用截長法或補短法，

具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，

再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明.

（1）請完成下題的證明過程：如圖1,在AABC中，ZB=2NC,4）平分求證：AB+BD=AC.證

明：在AC上截取連接DE

（2）如圖2,AD//BC,EA,分別平分ZCBA,CD過點E,求證：AB=AD+BC.

圖1圖2

【分析】（1）在AC上截取連接DE,證明AABD三AAED,得到再證明￡D=EC

即可；

（2）由等腰三角形的性質(zhì)知鉆=正，再證明AADE三AFCE即可解決本題.

【解答】證明：在AC上截取連接DE,如圖1:

圖1

平分44C,

.\ZBAD=ZDAC,

在AABD和AAED中，

AE=AB

</BAD=ADAC,

AD=AD

:.^ABD=^AED(SAS)f

:.ZB=ZAED,BD=DE,又ZB=2NC,

..ZAED=2NC,

ffi]ZA￡D=ZC+ZEDC=2ZC,

ZC=ZEDC.

:.DE=CE,

AB+BD=AE+CE=AC；

(2)延長AE、3C交于F,

???AB=BF,BE平分ZABF,

.\AE=EF,

在AADE和AFCE中，

/DAE=ZF

<AE=EF,

ZAED=ZCEF

,\AADE=AFCE(ASA),

:.AD=CF,

，AB=BF=BC+CF=BC+AD.

3.如圖，在AABC中，AO平分NR4C交5。于。，在AB上截取AE=AC.

(1)求證：AADE=AADC；

(2)若AB=6,BC=5,AC=4,求ABDE的周長.

【分析】（1）根據(jù)SAS證明AADE=AAZX7即可；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和線段之間的關(guān)系進行解答即可.

【解答】證明：（1）?.?AD平分ZB4C,

:.ZEAD=ZCDA,

在AADE與AA￡?C中，

AE=AC

<NEAD=ZCDA,

AD=AD

:.AADE=AADC(SAS),

(2)-.-AADE=^ADC,

:.ED=DC,

.〔ABDE的周長

=BE+BD+DE=AB-AE+BC-DC+DC=AB-AC+BC-DC+DC=AB-AC+BC=6-4+5=l

4.(2020秋?武昌區(qū)期中)如圖，AA5c中，ZABC=60°,AD.CE分別平分44C、ZACB,AD,

CE相交于點P

(1)求NCRD的度數(shù)；

(2)若AE=3,CD=7,求線段AC的長.

【分析】（1）利用NABC=60。，AD、CE分別平分44C,ZACB,即可得出答案；

（2）由題中條件可得AAPE三AAPF,進而得出NAPE=NAPF,通過角之間的轉(zhuǎn)化可得出ACPF三ACPD,

進而可得出線段之間的關(guān)系，即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）-：ZABC=Gd°,AD,CE分別平分44C,ZACB,

/.ZBAC+ZBCA=120°,/PAC+ZPCA=1(ABAC+ZBCA)=60°,

ZAPC=120°,

:.ZCPD=6O°.

(2)如圖，在AC上截取AF=AE,連接PF.

???AD平分NBAC,

:.ZBAD=ZCAD,

在AAPE和AAP尸中

AE=AF

<ZEAP=/FAP,

AP=AP

:.AAPE=AAPF(SAS),

,\ZAPE=ZAPF,

-,-ZAPC=120°,

:.ZAPE=6O°,

ZAPF=ZCPD=6O°=ZCPF,

在AC尸產(chǎn)和ACP。中，

ZFPC=ZDPC

CP=CP,

ZFCP=ZDCP

/.\CPF=ACPD(ASA)

CF=CD,

:.AC=AF+CF=AE+CD=3-b7=10.

5.如圖，在AABC中，44C=60。，AO是NB4c的平分線，^AC=AB+BD,求NABC的度數(shù).

B

D

【分析】在AC上截取根據(jù)角平分線的定義可得"4D=NC4O,然后利用“邊角邊”證明AABD

和AA￡D全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BD=DE,全等三角形對應(yīng)角相等可得NB=NAED,再求

出a=BD,從而得到8=。石，根據(jù)等邊對等角可得NC=NCDE,根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相

鄰的兩個內(nèi)角的和可得NAED=2N。，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列方程求出NC,即可得解.

【解答】解：如圖，在AC上截取

?.?AD平分44C,

,\ZBAD=ZCAD,

AE=AB

在AABD和AAED中，］ABAD=ACAD,

AD=AD

:.AABD=AAED(SAS)f

:.BD=DE,ZB=ZAED,

?.?AC=AE+CE,AC^AB+BD,

CE=BD，

CE=DE,

/.NC=NCDE,

即NB=2NC,

在AABC中，Z^4C+ZB+ZC=180°,

/.60o+2ZC+ZC=180°,

解得NC=40。，

ZABC=2x40°=80°.

6.如圖，五邊形ABCDE中，AB^AE,BC+DE=CD,NBAE=NBCD=120°,ZABC+ZAED=180°,

連接AD.求證：AD平分NCDE.

【分析】連接AC,將AABC繞A點旋轉(zhuǎn)120。到AAEF,由AB=AE,ZBAE=120°,得到與AE重合，

并且AC=AF,又由NABC+NA￡D=180。，得至UNAEF+NAED=180。，即。，E,尸在一條直線上,

而BC+DE=CD,得CD=DF,則易證AACD三AAED,于是N/LDC=NADF.

【解答】證明：如圖，連接AC,將AABC繞A點旋轉(zhuǎn)120。到AAEF,

■：AB=AE,ZBAE=120°,

與AE重合，并且AC=AF,

又,:ZABC+ZAED=180°,

而NABC=NAEF,

ZAEF+ZAED=180°,

:.D,E,尸在一條直線上，

而3C=EF,BC+DE=CD,

:.CD=DF,

又?jAC=A^,

:.AACD=AAFD,

:.ZADC=ZADF,

即4）平分NCDE.

7.已知：如圖，在AABC中，。是54延長線上一點，/1￡是ND4c的平分線，尸是AE上的一點（點P不

與點A重合），連接PS,PC.通過觀察，測量，猜想PB+PC與AB+AC之間的大小關(guān)系，并加以

證明.

D.

E

【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得FP=CP,根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，可得答案.

【解答】解：PB+POAB+AC,理由如下：

在54的延長線上截取=AC,連接尸尸，

在AE4P和AC4P中，

AF=AC

<ZFAP=ZCAP,

AP=AP

:.AFAP=ACAP(SAS),

:.FP=CP.

在AFPB中,FP+BP>FA+AB,

即E3+PC>AB+AC.

8.已知AABC中，AB^AC,BE1平分NABC交邊AC于E.

(1)如圖(1),當NBAC=108。時，證明：BC=AB+CE；

(2)如圖(2),當NBAC=100。時，(1)中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，是否有其他兩條線段之和等于8C,

若有請寫出結(jié)論并完成證明.

C

圖1圖2

【分析】(1)如圖1中，在5。上截取RD=B4.只要證明七D,CE=CD即可解決問題；

(2)結(jié)論：BC=BE+AE.如圖2中，在班、5C上分別截取5尸=無，BH=BE.則AEBH=AEBF,

再證明E4=硝=EF=CF即可解決問題；

【解答】解：(1)如圖1中，在上截取BD=B4.

?.?BA=BD,ZEBA=ZEBD,BE=BE,

:./^BEA=NBED,

:.BA=BD,ZA=ZBDE=108°,

\-AB=AC,

ZC=ZABC=36°,ZEDC=72。，

:.ZCED=72°,

CE=CD,

BC=BD+CD=AB+CE.

(2)結(jié)論：BC=BE+AE.

理由：如圖2中，在B4、5C上分別截取5尸=HE,BH=BE.則△EBHvAEBF,

vZBAC=100°,AB=AC,

.\ZABC=ZC=40°,

ZEBA=ZEBC=20°,

:.ZBFE=ZH=ZEAH=80°,

:.AE=EH,

???ZBFE=/C+ZFEC,

ZCEF=ZC=40°,

EF=CF,

:.BC=BF+CF=BE+AE.

9.（2020秋?建華區(qū)期末）閱讀下面文字并填空：

數(shù)學(xué)習(xí)題課上李老師出了這樣一道題：”如圖1,在AABC中，AD平分NBAC,ZB=2ZC.求證：

AB+BD=AC.”

李老師給出了如下簡要分析：要證+=就是要證線段的和差問題，所以有兩個方法：

方法一：“截長法”.如圖2,在AC上截取=連接。E,只要證8D=_EC_即可，這就將證明

線段和差問題—為證明線段相等問題，只要證出a—=△—,得出NB=NAED及BD=—,再證

出/=,進而得出匹=EC,則結(jié)論成立.此種證法的基礎(chǔ)是''已知AD平分NBAC,將AABD沿

直線也對折，使點3落在AC邊上的點石處”成為可能.

方法二：“補短法”.如圖3,延長鉆至點尸，使班'=80.只要證Ab=AC即可，此時先證/=ZC,

再證出△—=△—,則結(jié)論成立.

“截長補短法”是我們今后證明線段或角的“和差倍分”問題常用的方法.

（圖1）（圖2）（圖3）

【分析】方法一、如圖2,在AC上截取由“SAS”可證AABD3AAED,可得NB=N4ED,BD=DE,

由角的數(shù)量關(guān)系可求DE=CE,即可求解；

方法二、如圖3,延長A5至點/，使=由“A4S”可證AAFD3AAeD,可得AC=AF,可得結(jié)

論.

【解答】解：方法一、在AC上截取連接DE,如圖2:

???AD平分NBAC,

:.ZBAD^ZDAC,

在AABD和中，

AE=AB

</BAD=ADAC,

AD=AD

:.AABD=AAED(SAS)f

...ZB=ZAED,BD=DE,

又?.?NB=2NC,

..ZAED=2NC,

而ZAED=NC+ZEDC=2NC,

..NC=NEDC,

DE=CE,

:.AB+BD=AE+CE=AC,

故答案為：EC,轉(zhuǎn)化，ABD,AED,DE,EDC,NC；

方法二、如圖3,延長AB至點尸，使防=班>,

:.ZF=ZBDF,

:.ZABD=ZF+ZBDF=2ZF,

\ZABD=2ZC,

:.NF=NC,

在AAH)和AACD中，

ZFAD=ZCAD

<ZF=ZC,

AD=AD

:.\AFD=\ACD{AAS),

,\AC=AF,

..AC=AB+BF=AB+BD,

故答案為尸，AFD,ACD.

倍長中線

倍長中線：即延長三角形的中線，使得延長后的線段是原中線的兩倍.

其目的是構(gòu)造一對對頂?shù)娜热切危?/p>

其本質(zhì)是轉(zhuǎn)移邊和角.

A

倍長中線常見題型：

已知角平分線+中線證等腰三角形,

已知角平分線+高證等腰三角形，

已知中線+高證等腰三角形.

E

其中BD=CD,延長AD使得=則ABDE絲△CDA.

10.三角形ABC中，AD是中線，且AB=4,AC=6,求的）的取值范圍是.

【分析】延長AD到E,使AD=DE,連接3E,證AADC三AEDB,推出AC=BE=8,在AABE中，根據(jù)

三角形三邊關(guān)系定理得出AB-BE<AE<AB+BE,代入求出即可.

【解答】解：延長AD到E,使AD=DE,連接BE,

?.?AD是8C邊上的中線，

BD=CD,

在AADC和AEDB中,

AD=DE

???<ZADC=NEDB,

DC=BD

:.\ADC=\EDB{SAS),

:.AC=BE=4,

在AABE中，AB-BE<AE<AB+BE,

.?.6-4<2AZ)<6+4,

/.1<AD<5,

故答案為：1<AD<5.

11.（2021春?碑林區(qū)校級期中）問題背景：課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1,AABC中，

若帥=4,AC=3,求3c邊上的中線的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解

決方法：延長AD到點E,使。E=AD,則得到AADCMAEDB,小明證明ABEDMAC4Z)用到的判定

定理是：—(用字母表示)；

問題解決：小明發(fā)現(xiàn)：解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形,

把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中.請寫出小明解決問題的完整過程；

拓展應(yīng)用：以AABC的邊鉆，AC為邊向外作AABE和AACD,AB=AE,AC=AD,ZBAE=ZCAD=90°,

M是3C中點，連接AV,DE.當A"=3時，求DE的長.

【分析】問題背景：先判斷出BD=CD,由對頂角相等NBDE=NaM,進而得出AAOC=AED3(S4S)；

問題解決：先證明AAOC=AED3(S4S),得出鹿=AC=3,最后用三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；

拓展應(yīng)用：如圖2,延長A欣到N,使得MV=AAf,連接3N,同(1)的方法得出ABMN=△CMA(5AS),

則3N=AC,進而判斷出NABN=NE4￡>,進而判斷出=AE4Z),得出AN=￡E),即可求解.

【解答】解：問題背景：如圖1,延長AD到點E,使DE=A￡>,連接BE,

E

圖1

是AABC的中線,

/.BD=CD,

在AADC和AEDB中，

AD=ED

<ZCDA=ZBDE,

CD=BD

:.AADC=AEDB(SAS),

故答案為：SAS；

問題解決：如圖1,延長4）到點E,使=連接BE,

是AABC的中線，

/.BD=CD,

在AADC二AEDB中,

AD=ED

<ZCDA=ZBDE,

CD=BD

AADC=AEDB(SAS),

/.BE=AC,

在AAB石中，AB-BE<AE<AB+BE,

?.?AB=4,AC=3,

.*.4-3<AE<4+3,即lvAEv7,

\*DE=AD,

:.AD=-AE,

2

17

一<ADv—；

22

拓展應(yīng)用：如圖2,延長AM到N,使得=連接3N,

圖2

由問題背景知，ABMN=ACMA(SAS),

.\BN=AC,ZCAM=ZBNM,

\-AC=AD,AC!1BN,

:.BN=AD,

???AC//BN,

:.ZBAC^-ZABN=180°,

\-ZBAE=ZCAD=90°,

.-.Z^4C+ZE4Z)=180o,

.\ZABN=ZEAD,

在AABN和AMD中，

AB=EA

</ABN=ZEAD,

BN=AD

:.AABN=AEAD(SAS),

:.AN=DE,

?;MN=AM，

..DE=AN=2AM,

?/AM=3,

/.DE-6.

12.如圖，AABC中，。為5C的中點.

（1）求證：AB+AC>2AD；

（2）若AB=5,AC=3,求4）的取值范圍.

【分析】（1）再延長AD至石，使DE=AD,構(gòu)造AAOC二AEDB,再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得

AB+AC>2AD；

（2）直接利用三角形的三邊關(guān)系：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊可得

5-3<2AD<5+3,再計算即可.

【解答】（1）證明：由5D=CD,再延長AD至E,使DE=AD,

???。為的中點，

..DB=CD,

AD=DE

在AADC和AEDB中\(zhòng)ZADC=ZBDE,

DB=CD

:./\ADC=AEDB(SAS),

BE=AC,

在AABE中，AB-\-BE>AE

:.AB-{-AC>2AD；

(2)?.?AB=5,AC=3,

5—3V2AZ)v5+3,

:.1<AD<4.

E

13.如圖，平面直角坐標系中，A為y軸正半軸上一點，B、C分別為x軸負半軸，x軸正半軸上的點,

AB=AD,AC=AE,ZBAD=ZCAE=90°,連DE.如圖，/為3c的中點，求證：DE=2AF.

【分析】延長AF至點N,使FN=AF,連接,證明SBFN=ACFA,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BN=AC,

ZFBN=ZFCA,證明AABN三AZME,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；

【解答】證明：延長AF至點N,使FN=AF,連接3N,

FB=FC

在AB/W和ACE4中，■ZBFN=ZCFA,

FN=AF

:.岫FN=ACFA(SAS),

:.BN=AC,/FBN=NFCA,

:.BN=AE,ZABN;ZDAE,

AB=AD

在AABN和AZME中，］ZABN=ZDAE,

BN=AE

:./\ABN=M)AE(SAS),

,\AN=DE,

:.DE=2AF.

14.如圖，AO是AABC的邊BC上的中線，CD=AB,AE是AABD的邊BD上的中線.求證：AC=2AE.

【分析】延長AE至點尸，使EF=AE,連接。e，由5As證得AABE二AFDE,得出。尸=AB=CD,

ZEDF=ZB,易證AB=_fiD,得出Z4Z>B=NB4。，證明NADC=NA。尸，由S4S證得AAD尸二AAZX7,

即可得出結(jié)論.

【解答】證明：延長AE至點尸，使EF=AE,連接DF,如圖所示：

???隹是AABD的邊皮）上的中線，

:.BE=DE,

AE=EF

在與AFDE中，<ZAEB=ZFED,

BE=DE

.?.AABEMAFDE(SAS),

：.DF=AB=CD,ZEDF=ZB,

?.?AD是AABC的邊上的中線，CD=AB,

AB=BD9

:.ZADB=ZBAD,

:.ZADC=ZB+ZBAD=ZBDA+AEDF=ZADF,

AD=AD

在MDF與AADC中，\ZADF=ZADC,

DF=DC

:.\ADF=\ADC{SAS),

,\AC=AF=2AE.

15.如圖，在AABC中，D,石是AB邊上的兩點，AD=EB，CF是AB邊上的中線，則求證

AC+BC>CD+CE.

【分析】如圖，延長CF至H,使FH=CF,連接AH,，延長CD交AH于點G,通過證明AAFH二ABFC,

/SBCE=AAHD,可得3C=AH,CE=DH,利用三角形的三邊關(guān)系可求解.

【解答】證明：如圖，延長CF至H,使FH=CF,連接AH,DH,延長8交AH于點G,

EB

?.?CF是AB邊上的中線，

,\AF=BF,^Z.CFB=ZAFH,CF=FH,

\AFH=ABFC(SAS)

:.BC=AH,NCBE=ZHAD,且？1D=BE,

:.ABCE=^AHD(SAS)

:.CE=DH,

在AAGC中，AC+AG>DC+DG,

在AGDH中，DG+GH>DH,

，AC+AG+DG+GH>DC+DG+DH,

:.AC+AH>DC+DH,

..ACBC>CD+CE.

16.如圖1,AABC中，CD為AASC的中線，點E在CD上，且Z4￡D=NBCE>.

(1)求證：AE=BC.

(2)如圖2,連接3E,AB=AC=2DE,ZCBE=14°,則NACD的度數(shù)為(直接寫出結(jié)果)，

【分析】（1）如圖1,延長CD到P,使"'=CD,連接AF,由“SAS”可證AADFvABDC,可得AF=BC,

NF=NBCD,由等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；

（2）由等腰三角形的性質(zhì)可得NDEB=ND6E,可得NDCB=NDEB—14。,ZACB=ZABC=ZD￡B+14°,

即可求解.

【解答】證明：（1）如圖1,延長CD到尸，使DF=CD,連接AF,

?.?CD為AABC的中線，

:.AD=BD,且ZADF=NBDC,且CD=DF,

:.AADF=ABDC(SAS),

:.AF=BC,NF=/BCD,

ZAED=ZBCD,

:.ZAED=ZF,

:.AE=AF,

AE=BC；

(2)--DE=-AB,CD為AABC的中線，

2

/.DE=AD=DB，

:.ZDEB=ZDBE,

.?.ZABC=ZDBE+Z.CBE=ZDEB+14°,

???ZDEB=ZDCB+NCBE,

.\ZDCB=ZDEB-14°,

???AC=AB,

/.ZACB=ZABC=ZDEB+14°

:.ACD=ZACB-ZDCB=28°f

故答案為：28°.

17.如圖，AABC中，點。是3c中點，連接AD并延長到點E,連接BE.

(1)若要使AACDMAEBZ),應(yīng)添上條件：；

(2