上海實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三開學(xué)考數(shù)學(xué)試卷2024.02一?填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）1.已知集合，，則__________．2.拋物線過點(diǎn)，則點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為__________．3.復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則__________．4.若正數(shù)，滿足，則的最大值為_______.5.若圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為__________．6.已知，且，則__________.7.某學(xué)校擬開展研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，現(xiàn)有四名優(yōu)秀教師將對(duì)三個(gè)研究性學(xué)習(xí)小組予以指導(dǎo)，若每個(gè)小組至少需要一名指導(dǎo)教師，且每位指導(dǎo)教師都恰好指導(dǎo)一個(gè)小組，則不同的指導(dǎo)方案數(shù)為___________．8.高三年級(jí)某8位同學(xué)的體重分別為90，100，110，120，140，150，150，160（單位：），現(xiàn)在從中任選3位同學(xué)去參加拔河，則選中的同學(xué)中最大的體重恰好為這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)的概率是__________．9.已知，均為單位向量，且，則與的夾角為__________．10.已知曲線，點(diǎn)，是曲線上任意兩個(gè)不同點(diǎn)，若，則稱，兩點(diǎn)心有靈犀，若，始終心有靈犀，則的最小值的正切值__________．11.已知數(shù)列，其中第一項(xiàng)是，接下來的兩項(xiàng)是，再接下來的三項(xiàng)是，以此類推，則下列說法正確的是__________．①第10個(gè)1出現(xiàn)在第46項(xiàng)；②該數(shù)列的前55項(xiàng)的和是1012；③存在連續(xù)六項(xiàng)之和是3的倍數(shù)；④滿足前項(xiàng)之和為2的整數(shù)冪，且的最小整數(shù)的值為44012.已知函數(shù)的最小值為0，則a的值為________.二?選擇題（本大題共4題，滿分20分）13.上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校藝術(shù)節(jié)舉行彈鋼琴比賽，現(xiàn)有21位選手報(bào)名參賽，初賽成績各不相同，取前10名參加決賽，小明同學(xué)已經(jīng)知道了自己的成績，為了判斷自己是否能進(jìn)入決賽，他還需要知道21名同學(xué)成績的（）A.平均數(shù) B.中位數(shù) C.眾數(shù) D.方差14.將函數(shù)的圖像上的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再沿著軸向右平移個(gè)單位，得到的函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心可以是（）A B.C. D.15.如圖，三棱柱滿足棱長都相等，且平面，是棱中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，隨著增大，平面與底面所成鈍二面角的平面角是（）A.減小 B.先減小再增大 C.先增大再減小 D.增大16.已知，函數(shù)在點(diǎn)處切線均經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A. B. C. D.三?解答題（本大題共有5題，滿分76分）17.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小值和單調(diào)增區(qū)間；（2）設(shè)角、為三個(gè)內(nèi)角，若，，求．18.如圖，在正三棱柱中，分別中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面．19.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，設(shè)的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，當(dāng)時(shí)，記頂點(diǎn)M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程；（2）已知點(diǎn)E，F(xiàn)，P，Q在C上，且直線EF與PQ相交于點(diǎn)A，記EF，PQ的斜率分別為，.（i）設(shè)EF的中點(diǎn)為G，PQ的中點(diǎn)為H，證明：存在唯一常數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，；（ii）若，當(dāng)最大時(shí)，求四邊形EPFQ的面積.21.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，分別為的極大值點(diǎn)和