上海實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三數(shù)學(xué)2024.03一?填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿(mǎn)分54分）1.向量在向量方向上的投影向量是______________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)投影向量的運(yùn)算公式直接計(jì)算.【詳解】由題意得，，所以在方向上的投影向量是.故答案為：2.已知首項(xiàng)為2的等比數(shù)列的公比為，則_____．【答案】【解析】【分析】利用無(wú)窮等比數(shù)列的求和公式即可得解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是以首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，所以.故答案為：.3.已知非零向量，滿(mǎn)足，且，則向量與的夾角為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件，利用向量垂直關(guān)系可得，然后利用向量的數(shù)量積即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以．又因?yàn)?，所以，設(shè)與夾角為，則，則，所以．故答案為：4.已知，若函數(shù)的最大值為2，則__________.【答案】【解析】【分析】由輔助角公式得函數(shù)最大值，進(jìn)而列方程即可求解.【詳解】由題意，其中，所以，又因?yàn)?，所?故答案為：.5.從2，3，4，5，6，7，8中任取兩個(gè)不同的數(shù)，事件為“取到的兩個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)”，事件為“取到的兩個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則______．【答案】【解析】【分析】利用條件概率計(jì)算公式可求【詳解】表示“取到的兩個(gè)數(shù)為偶數(shù)且和為偶數(shù)”，，而，故，故答案為：.6.某一批花生種子，如果每1粒種子發(fā)芽的概率為,那么播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是【答案】【解析】【分析】直接利用獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)概率公式求解即可.【詳解】因?yàn)槊?粒發(fā)芽的概率為,所以根據(jù)獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)概率公式可得，播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是,

故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率,屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率公式為.7.已知函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)計(jì)算即可得.【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，，由題意可得，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.8.已知函數(shù)，則的解集是______．【答案】【解析】【分析】代入，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域與單調(diào)性計(jì)算即可.【詳解】則，由可得，解得.又，即，故，化簡(jiǎn)可得，解得.綜上可得.故答案為：9.已知函數(shù)若對(duì)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)________.【答案】【解析】【分析】分和兩種情況，參變分離，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故，令，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，故，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，故，其中，所以，綜上，.故答案為：10.已知是拋物線上的一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，則________.【答案】【解析】【分析】過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，過(guò)作的垂線，垂足分別為，結(jié)合條件及拋物線的定義可求得，在中，利用余弦定理即可求出結(jié)果.【詳解】由拋物線的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)在第一象限，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，過(guò)作的垂線，垂足分別為．如圖所示，由題意知，，因?yàn)椋字?，又點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為：，解得，在中，，，由余弦定理得，所以，故答案為：.11.半徑為的球被平面截下的部分叫做球缺，垂直于截面的直徑被截后的線段叫做球缺的高，球缺的體積公式為.已知圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，在圓錐內(nèi)部放置一個(gè)小球，使其與圓錐側(cè)面和底面都相切，過(guò)小球與圓錐側(cè)面的切點(diǎn)所在的平面將小球分成兩部分，則較小部分的球缺的體積與球的體積之比為_(kāi)______.【答案】【解析】【分析】依題意作圓錐軸截面圖，按球缺的定義結(jié)合幾何條件即可求解.【詳解】如圖所示為圓錐軸截面，,為小球與圓錐側(cè)面的切線上兩點(diǎn)，圓錐母線，設(shè)內(nèi)切球的半徑為.由題意是等邊三角形，則，，所以小球的半徑.又，所以，則，解得，則是中點(diǎn)，同理可得是中點(diǎn)，所以，故到的距離為，則上部分球缺的高，上部分即較小部分球缺的體積為，則較小部分球缺的體積與球的體積之比為.故答案為：.12.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若函?shù)滿(mǎn)足條件：存在，使在上的值域是，則稱(chēng)為“倍縮函數(shù)”，若函數(shù)為“倍縮函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】由題意得，函數(shù)是增函數(shù)，構(gòu)造出方程組，利用方程組的解都大于0，求出t的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為“倍縮函數(shù)”，即滿(mǎn)足存在，使在上的值域是由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知函數(shù)在上是增函數(shù)所以，則，即所以方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，且兩根都大于0則，解得所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)的新定義求參數(shù)取值范圍問(wèn)題，屬于難題.二?選擇題（本大題共4題，滿(mǎn)分20分）13.“”是“復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】求出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限的等價(jià)條件，利用集合的包含關(guān)系及充分條件、必要條件求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，而成立推不出成立，，所以是復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限的必要不充分條件，故選：B14.為調(diào)查吸煙是否對(duì)患肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了50人，得到如下結(jié)果（單位：人）

不患肺癌患肺癌合計(jì)不吸煙24630吸煙61420合計(jì)302050根據(jù)表中數(shù)據(jù)，以下敘述正確的是：（）A.可以通過(guò)計(jì)算，結(jié)合統(tǒng)計(jì)決斷，判斷：有的把握認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)B.可以通過(guò)計(jì)算，結(jié)合統(tǒng)計(jì)決斷，判斷：不能否定吸煙與肺癌無(wú)關(guān)C.可以通過(guò)計(jì)算，結(jié)合統(tǒng)計(jì)決斷，判斷：有的把握認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)D.可以通過(guò)計(jì)算，結(jié)合統(tǒng)計(jì)決斷，判斷：不能否定吸煙與肺癌無(wú)關(guān)【答案】C【解析】【分析】利用卡方計(jì)算公式求得，再利用獨(dú)立性檢驗(yàn)中的意義即可得解.【詳解】由題意，得，則，所以有的把握認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)有關(guān)”.故選：C.15.對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得如下散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖的分布判斷相關(guān)系數(shù)的符號(hào)和絕對(duì)值大小，即可得結(jié)果.【詳解】由圖中散點(diǎn)的分布趨勢(shì)知：，，由圖散點(diǎn)的分布狀態(tài)知：，，所以.故選：B16.若非空實(shí)數(shù)集X中存在最大元素M和最小元素m，記．下列命題中正確的是（）A已知，，且，則B.已知，，則存在實(shí)數(shù)a，使得C.已知，若，則對(duì)任意，都有D.已知，，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，總存在實(shí)數(shù)b，使得【答案】D【解析】【分析】A直接計(jì)算即可判斷；B分類(lèi)討論判斷；C舉反例判斷；D對(duì)任意的實(shí)數(shù)，求出滿(mǎn)足條件即可．【詳解】對(duì)于A，∵，，∴，于是或，∴A錯(cuò)；對(duì)于B，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，若，，矛盾，若，，矛盾，若，，矛盾，若，，矛盾，若，，矛盾，∴B錯(cuò)；對(duì)于C，取，，則，但對(duì)任意，，不成立，∴C錯(cuò)；對(duì)于D，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，只須滿(mǎn)足，，，就有，從而，∴D對(duì)．故選：D．三?解答題（本大題共有5題，滿(mǎn)分76分）17.如圖,在直三棱柱中,,異面直線與所成的角為60°.（1）求該三棱柱的體積;（2）設(shè)D是的中點(diǎn),求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)以A點(diǎn)為原點(diǎn),為軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用異面直線與所成的角為60°求得h，即得該三棱柱的體積；(2)利用向量法求與平面所成角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】如圖,以A點(diǎn)為原點(diǎn),為軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè),則B(1,0,0),C(0,1,0),,則,.因?yàn)橹本€與所成的角為60°,所以|cos<,解得h=1.于是該三棱柱的體積為.小問(wèn)2詳解】由(1)知,,.設(shè)平面的法向量,則可取.又因?yàn)?，設(shè)與平面所成角為，于是,所以與平面所成角的正弦值為.18.如圖所示，扇形中，圓心角，半徑為，在半徑上有一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平行于的直線交弧與點(diǎn).（1）若是半徑的中點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)；（2）若，求面積的最大值及此時(shí)的值.【答案】（1）（2）；【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理與余弦定理即可求得PC的長(zhǎng)度．（2）根據(jù)正弦定理用表示出OC的長(zhǎng)度，根據(jù)三角面積公式，結(jié)合三角函數(shù)關(guān)系恒等變形，化成正弦函數(shù)的表達(dá)形式，進(jìn)而求得最值．【詳解】（1）（舍負(fù)）；（2），則，得，此時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用，三角形面積的求法，屬于中檔題．19.乒乓球被稱(chēng)為我國(guó)的“國(guó)球”，是一種深受人們喜愛(ài)的球類(lèi)體育項(xiàng)目．在某高校運(yùn)動(dòng)會(huì)的女子乒乓球單打半決賽階段，規(guī)定：每場(chǎng)比賽采用七局四勝制，率先取得四局比賽勝利的選手獲勝，且該場(chǎng)比賽結(jié)束．已知甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了一場(chǎng)比賽，且均充分發(fā)揮出了水平，其中甲運(yùn)動(dòng)員每局比賽獲勝的概率為，每局比賽無(wú)平局，且每局比賽結(jié)果互不影響．（1）若前三局比賽中，甲至少贏得一局比賽的概率為，求乙每局比賽獲勝的概率；（2）若前三局比賽中甲只贏了一局，設(shè)這場(chǎng)比賽結(jié)束還需要比賽的局?jǐn)?shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望，并求當(dāng)為何值時(shí)，最大．【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析，，當(dāng)時(shí)，最大【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出甲每局比賽獲勝的概率，即可求得乙每局比賽獲勝的概率；（2）由題意知，的所有可能取值分別為，分別求出每種取值的概率得到分布列和期望，然后求導(dǎo)得單調(diào)性即可求最大值.【小問(wèn)1詳解】設(shè)事件A為“前三局比賽中，甲至少嬴得一局比賽”，則，化簡(jiǎn)得，即，所以或（舍去），所以乙每局比賽獲勝的概率為．【小問(wèn)2詳解】由題意知，的所有可能取值分別為，且，，．則的分布列為234所以，，令，得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，最大．20.已知橢圓：的離心率為，且過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，過(guò)點(diǎn)作直線l與E交于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），設(shè)直線與的斜率分別為，．（1）若直線l的斜率為，求的面積；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由條件列方程求可得橢圓方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合弦長(zhǎng)公式求出，再求點(diǎn)到邊的距離，由此可求面積；（2）方法一：先在條件直線的斜率不存在時(shí)，求出，再求，再利用設(shè)而不求法求出當(dāng)直線的斜率存在時(shí)的值即可；方法二：設(shè)的方程為，設(shè)直線的斜率為，聯(lián)立方程組，利用設(shè)而不求法確定的關(guān)系，由此可得結(jié)論；方法三：設(shè)直線：，即，設(shè)直線的斜率為，聯(lián)立方程組結(jié)合設(shè)而不求法法確定的關(guān)系，由此可得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以，，所以橢圓的方程為．直線：，即，代入得，設(shè)，，則，，所以，又點(diǎn)到直線：的距離，所以的面積．【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線斜率不存在，即：時(shí)，，不妨取，，因，，則，，所以．當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)：，代入：得：，由已知方程的判別式，設(shè)，，則，，則．綜上可知，．法二：設(shè)：，代入：得，由已知方程的判別式，設(shè)，，則，，設(shè)直線的斜率為，則，又，即，所以，則，所以．法三：設(shè)直線：，即，所以．橢圓：，即，所以，即，則，整理得，設(shè)直線的斜率為，則又，即，所以，則，所以．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．（2）涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．21.設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，曲線與有兩條公切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）（3）.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)兩個(gè)曲線上的切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，由公切線的性質(zhì)，列方程，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性和最值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，由不等式恒成立的條件求實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，的單調(diào)遞增區(qū)為，單調(diào)遞減區(qū)間為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)公切線切于點(diǎn)，切于，則有，即，得，代入得.解法一：構(gòu)造函數(shù)，.當(dāng)遞減，當(dāng)遞增，，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)題意有兩根，即，得；解法二（同構(gòu)）：令時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)題意有兩根，，得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【小問(wèn)3詳解】對(duì)恒成立，即在上恒成立，令，則，令，則在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即，在上為增函數(shù)，若，有，不合題意.當(dāng)時(shí)，由得（舍去），時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，的最小值為，