2024年上海師大附中高考數(shù)學(xué)模擬試卷（3月份）一、單選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式可得或；再由交集、并集、補集的運算即可得D正確.【詳解】解不等式可得，即或，所以或；又可知錯誤，即A錯誤；可得，可知B錯誤；易知，所以錯誤，即C錯誤；，可得D正確.故選：D2.現(xiàn)有一球形氣球，在吹氣球時，氣球的體積V（單位：L）與直徑d（單位：）的關(guān)系式為，當(dāng)時，氣球體積的瞬時變化率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，求出導(dǎo)數(shù)，即可求出，從而得解；【詳解】解：設(shè)，所以，所以．故選：A3.在中，角，，所對的邊分別為，，，若，且，則該三角形外接圓的半徑為（）A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】先應(yīng)用正弦定理及兩角和的正弦公式化簡求出角A,再根據(jù)正弦定理求出外接圓半徑即可.【詳解】.,設(shè)該三角形外接圓的半徑為由正弦定理得故選：A.4.在中，.為所在平面內(nèi)的動點，且，若，則給出下面四個結(jié)論：①的最小值為；②的最小值為；③的最大值為；④的最大值為8.其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】如圖，以為原點，所在的直線分別為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，然后表示出的坐標(biāo)，由題意可得，再逐個分析判斷即可.【詳解】如圖，以為原點，所在的直線分別為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，因為，所以設(shè)，則，，所以，所以，即（為任意角），所以（其中），所以的最大值為，最小值為，所以①③錯誤，因為，所以（其中）因為，所以，所以，所以的最小值為，最大值為14，所以②正確，④錯誤，故選：A二、填空題：本題共12小題，共54分.5.復(fù)數(shù)的虛部是______【答案】##0.96【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法法則化簡即得結(jié)果.【詳解】因為，所以虛部為.故答案為：6.雙曲線的焦距為_______________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)，，之間的關(guān)系即可求出．【詳解】由已知=1，=4，所以=5，所以焦距為，故答案為．【點睛】本題考查運用雙曲線的基本量關(guān)系求焦距，是基礎(chǔ)題．7.若拋物線的焦點到它的準(zhǔn)線距離為1，則實數(shù)m=______【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線性質(zhì)得到方程，求出.【詳解】由題意得，解得.故答案：8.若二項式的展開式中各項系數(shù)和為256，則展開式中的常數(shù)項為_____．【答案】54【解析】【分析】先利用賦值法求出n的值，然后利用展開式通項求常數(shù)項．【詳解】解：令x＝1，有4n＝256，解得n＝4，所以展開式通項為：，令4﹣2k＝0得，k＝2．故常數(shù)項為：．故答案為：54．【點睛】本題考查了賦值法求二項式展開式的系數(shù)和、二項式展開式的通項公式，屬于基礎(chǔ)題.9.已知兩個單位向量滿足則的夾角為______【答案】【解析】【分析】兩邊平方，結(jié)合數(shù)量積運算公式得到方程，求出夾角.【詳解】兩邊平方得，設(shè)的夾角為，即，因為為單位向量，所以，解得，因為，所以.故答案為：10.設(shè)函數(shù)的定義域為，滿足，當(dāng)時，，則______【答案】##【解析】【分析】將寫成的形式，再由解析式代入計算即可得.【詳解】由可得，又，所以，可得.故答案為：11.設(shè)圓錐的底面中心為，，是它的兩條母線，且，若棱錐是正三棱錐，則該圓錐的體積為______【答案】【解析】【分析】利用圓錐與正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征求出圓錐的底面圓的半徑，從而得到圓錐的體積.【詳解】由棱錐為正三棱錐，得，，而⊥，⊥，由勾股定理得，即圓錐的底面圓半徑為，高為，則該圓錐的體積為.故答案為：.12.已知函數(shù)，則______．【答案】【解析】【分析】對求導(dǎo)，再代入，從而求得，進而得到，由此計算可得.【詳解】因為，所以，則，解得：，所以，則.故答案為：.13.已知數(shù)列是公差相等的等差數(shù)列，且，若為正整數(shù)，設(shè)，則數(shù)列的通項公式為___________．【答案】##【解析】【分析】設(shè)數(shù)列的公差為，由可得，代入可得答案.【詳解】設(shè)數(shù)列公差為，由，可得，解得，，，所以.故答案為：.14.如圖為正六棱柱，若從該正六棱柱的個側(cè)面的條面對角線中，隨機選取兩條，則它們共面的概率是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，相交時分為：在側(cè)面內(nèi)相交，兩個相鄰面相交于一個點，相隔一個面中相交于對角線延長線上，分別分析幾種情況下對角線共面的個數(shù)，再利用古典概型的概率計算公式，計算結(jié)果即可．【詳解】由題意知，若兩個對角線在同一個側(cè)面，因為有個側(cè)面，所以共有組，若相交且交點在正六棱柱的頂點上，因為有個頂點，所以共有組，若相交且交點在對角線延長線上時，如圖所示，連接，，，，，先考慮下底面，根據(jù)正六邊形性質(zhì)可知，所以，且，故共面，且共面，故，相交，且，相交，故共面有組，則正六邊形對角線所對應(yīng)的有組共面的面對角線，同理可知正六邊形對角線，所對的分別有兩組，共組，故對于上底面對角線，，同樣各對兩組，共組，若對面平行，一組對面中有組對角線平行，三組對面共有組，所以共面的概率是．故答案為：．15.已知，分別為橢圓左、右焦點，過的直線與C交于P，Q兩點，若，則C的離心率是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)橢圓定義，都用表示，由，構(gòu)造齊次式即可求解.【詳解】依題得，，又，則，，則，則，即，則，則，即故答案為：16.已知，集合，若集合A恰有8個子集，則n的可能值的集合為__________【答案】【解析】【分析】根據(jù)子集個數(shù)可得集合元素個數(shù)，再由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式即可確定n的取值.【詳解】由題意易知，，均是集合中的元素，又集合恰有8個子集，故集合有且只有三個元素，則，又，當(dāng)時，，此時集合只有兩個元素，不滿足題意；當(dāng)時，，此時集合有且只有三個元素，滿足題意；當(dāng)時，，此時集合有且只有三個元素，滿足題意；當(dāng)時，易知集合中不只三個元素，不滿足題意；綜上，可取的值是4或5，即n的可能值的集合為.故答案為：.【點睛】易錯點睛：本題容易出錯的點是，沒注意到的情況，誤以為的取值可以為.三、解答題：本題共5小題，共76分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.（1）已知，求的值．（2）已知中，，且，判斷的形狀，并說明理由．【答案】（1）；（2）正三角形．【解析】【分析】（1）由正切的和角公式得，進而根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式結(jié)合齊次式求解即可；（2）由題知即，進而，再結(jié)合已知得，進而或，再分類討論即可求解.【詳解】解：（1）,解得，原式，（2）因為，所以，即，因為，所以.因為，且，所以或，即或，當(dāng)，則，此時無意義，矛盾．當(dāng)，則，滿足題意，此時是正三角形．所以是正三角形18.如圖，圓柱的軸截面ABCD是正方形，點E在底面的圓周上，AF⊥DE，F(xiàn)是垂足．（1）求證：AF⊥DB；（2）如果圓柱與三棱錐D﹣ABE的體積的比等于3π，求直線DE與平面ABCD所成的角．【答案】（1）見解析；（2）arctan【解析】【詳解】試題分析：（1）欲證AF⊥DB，先證AF⊥平面DEB，根據(jù)線面垂直的判定定理可知只需證EB⊥AF，AF⊥DE，且EB∩DE=E，即可證得線面垂直；（2）點E作EH⊥AB，H是垂足，連接DH，易證∠EDH是DE與平面ABCD所成的角，在三角形EDH中求出此角即可．（1）證明：根據(jù)圓柱性質(zhì)，DA⊥平面ABE．∵EB?平面ABE，∴DA⊥EB．∵AB是圓柱底面的直徑，點E在圓周上，∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，故得EB⊥平面DAE．∵AF?平面DAE，∴EB⊥AF．又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得AF⊥平面DEB．∵DB?平面DEB，∴AF⊥DB．（2）解：過點E作EH⊥AB，H是垂足，連接DH．根據(jù)圓柱性質(zhì)，平面ABCD⊥平面ABE，AB是交線．且EH?平面ABE，所以EH⊥平面ABCD．又DH?平面ABCD，所以DH是ED在平面ABCD上的射影，從而∠EDH是DE與平面ABCD所成的角．設(shè)圓柱的底面半徑為R，則DA=AB=2R，于是V圓柱=2πR3，．由V圓柱：VD﹣ABE=3π，得EH=R，可知H是圓柱底面的圓心，AH=R，DH=∴∠EDH=arcctg=arctan，點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、圓柱性質(zhì)、空間想象能力和邏輯推理能力．19.某校舉行“強基計劃”數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測評，要求以班級為單位參賽，最終高三一班（45人）和高三二班（30人）進入決賽.決賽規(guī)則如下：現(xiàn)有甲、乙兩個紙箱，甲箱中有4個選擇題和2個填空題，乙箱中有3個選擇題和3個填空題，決賽由兩個環(huán)節(jié)組成，環(huán)節(jié)一：要求兩班級每位同學(xué)在甲或乙兩個紙箱中隨機抽取兩題作答，作答后放回原箱，并分別統(tǒng)計兩班級學(xué)生測評成績的相關(guān)數(shù)據(jù)；環(huán)節(jié)二：由一班班長王剛和二班班長李明進行比賽，并分別統(tǒng)計兩人的測評成績的相關(guān)數(shù)據(jù)，兩個環(huán)節(jié)按照相關(guān)比賽規(guī)則分別累計得分，以累計得分的高低決定班級的名次.（1）環(huán)節(jié)一結(jié)束后，按照分層抽樣的方法從兩個班級抽取20名同學(xué)，并統(tǒng)計每位同學(xué)答對題目的數(shù)量，統(tǒng)計數(shù)據(jù)為：一班抽取同學(xué)答對題目的平均數(shù)為1，方差為1；二班抽取同學(xué)答對題目的平均數(shù)為1.5，方差為0.25，求這20人答對題目的均值與方差；（2）環(huán)節(jié)二，王剛先從甲箱中依次抽出兩道題目，答題結(jié)束后將所答題目放入乙箱，然后李明在乙箱中再依次抽取兩道題目，求李明抽取的兩題均為選擇題的概率.【答案】（1）1.2;0.76（2）【解析】【分析】（1）首先求分層抽取的兩個班的人數(shù)，再根據(jù)兩個班抽取人數(shù)的平均數(shù)和方差，結(jié)合總體平均數(shù)和方差公式，代入求值；（2）根據(jù)全概率公式計算求解即可.【小問1詳解】一班抽取人，二班抽取人，一班樣本平均數(shù)為，樣本方差為；二班樣本的平均數(shù)為，樣本方差為；總樣本的平均數(shù)為．記總樣本的樣本方差為，則．所以，這20人答對題目的樣本均值為1.2，樣本方差為0.76．【小問2詳解】若王剛先從甲箱中抽出兩道題目都是選擇題時，李明在乙箱中抽取的兩題均為選擇題：若王剛先從甲箱中抽出兩道題目都是填空題時，李明在乙箱中抽取的兩題均為選擇題：若王剛先從甲箱中抽出兩道題目是一道選擇題和一道填空題時，李明在乙箱中抽取的兩題均為選擇題：所以李明抽取兩題均為選擇題的概率為：20.已知點分別為雙曲線Γ：的左、右焦點，直線與Γ有兩個不同的交點A，B．（1）當(dāng)時，求到l的距離；（2）若O為原點，直線l與Γ的兩條漸近線在一、二象限的交點分別為C，D，證明；當(dāng)?shù)拿娣e最小時，直線CD平行于x軸；（3）設(shè)P為x軸上一點，是否存在實數(shù)，使得是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出k的值及點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）存在，，.【解析】【分析】（1）由題可得焦點坐標(biāo)，可得直線方程，然后利用點到直線的距離即得；（2）求得兩漸近線方程，聯(lián)立方程可得，進而即得；（3）假設(shè)存在實數(shù)，使得是以點P為直角頂點的等腰直角三角形，聯(lián)立直線與橢圓方程利用韋達定理，結(jié)合條件可得AB的中點，再由，則，求解即可．【小問1詳解】由雙曲線Γ：的左焦點，右焦點，當(dāng)時，，∴，∴直線，故到l的距離；【小問2詳解】由雙曲線Γ：得兩漸近線的方程為，∵直線l與Γ的兩條漸近線在一、二象限的交點分別為C，D，∴，由得交點C的橫坐標(biāo)為，由得交點D的橫坐標(biāo)為，∴，當(dāng)時取等號，所以當(dāng)?shù)拿娣e最小時，直線CD平行于x軸；【小問3詳解】假設(shè)存在實數(shù)，使得是以點P為直角頂點的等腰直角三角形，設(shè)，由，消去y得，∴且，解得且，，AB的中點，所以AB的垂直平分線方程為，令，則，又，則，∴，∴，∴，∴，∴，解得，又，故，點，即存在實數(shù)，使得是以點P為直角頂點的等腰直角三角形，此時．21.已知函數(shù)，，令（1）當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；（2）當(dāng)a為正數(shù)且時，，求a的最小值；（3）若對一切都成立，求a的取值范圍.【答案】（1）（2）1（3）【解析】【分析】（1）求出，求導(dǎo)，得到切線斜率，求出切線方程；（2）求導(dǎo)，分，和三種情況，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，得到函數(shù)最小值，結(jié)合，求出的取值范圍，得到最小值；（3）變形得到，令，則在上單調(diào)遞增，其中，求導(dǎo)，分和，數(shù)形結(jié)合得到的取值范圍【小問1詳解】當(dāng)時，，，故，則，故函數(shù)在處的切線方程為，即；【小問2詳解】因為，，則，因為，當(dāng)時，恒成立，故在上單調(diào)遞減，故，又，故，解得，其中，故不合要求，舍去；當(dāng)時，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故在取得極小值，也是最小值，故，令，整理得，令，，可得看出，又恒成立，故在上單調(diào)遞減，所以上不能成立，當(dāng)時，恒成立，故在上