13.2.2三角形的中線、角平分線、高教師備課素材示例●類比導(dǎo)入如圖，在△ABC中，有一條線段，一端點(diǎn)在頂點(diǎn)A處，另一端點(diǎn)從點(diǎn)B沿著BC邊移動(dòng)到點(diǎn)C，觀察移動(dòng)過程中形成的無數(shù)條線段(AD，AE，…)中，有沒有特殊位置的線段？(1)在這些線段中，線段AD經(jīng)過邊BC的中點(diǎn)；(2)線段AE平分∠BAC；(3)線段AF垂直于邊BC.同學(xué)們通過觀察、思考，找到了具有特殊位置的線段：三角形的中線、角平分線和高．這三條線段是三角形的重要線段．【教學(xué)與建議】教學(xué)：從學(xué)生已有的知識(shí)出發(fā)，通過多媒體動(dòng)畫操作，培養(yǎng)學(xué)生從一般到特殊的轉(zhuǎn)化思想．建議：教學(xué)中要鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，探究新知．●復(fù)習(xí)導(dǎo)入1.過直線外一點(diǎn)，畫已知直線的垂線，能畫幾條？怎樣畫？2．已知在△ABC中，BC＝5cm，高AD＝4cm，求△ABC的面積．3．請(qǐng)自學(xué)三角形的中線、角平分線、高的概念，你能將它們畫出來嗎？學(xué)生自主學(xué)習(xí)課本的內(nèi)容，畫一畫，弄清下面的問題：(1)什么叫三角形的中線？連接兩點(diǎn)的線段與過兩點(diǎn)的直線有何區(qū)別與聯(lián)系？三條中線的位置有什么關(guān)系？(2)什么叫三角形的角平分線？三角形的角平分線與角的平分線有何區(qū)別與聯(lián)系？三條角平分線的位置有什么關(guān)系？(3)什么叫三角形的高？三角形的高與垂線有何區(qū)別與聯(lián)系？三角形的三條高所在直線的位置有什么關(guān)系？(4)三角形的中線、角平分線和高分別是線段、射線、直線中的哪一種？【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過學(xué)生的動(dòng)手操作、交流、討論，掌握三角形的中線、角平分線、高的畫法．建議：教學(xué)中讓學(xué)生自學(xué)完成概念、表示方法、數(shù)學(xué)語言的學(xué)習(xí)．·命題角度1利用三角形的中線解決倍數(shù)問題利用三角形的中線不僅可以解決線段的倍數(shù)關(guān)系問題，也可以解決面積的相等或倍數(shù)關(guān)系問題．【例1】如果等腰三角形一腰上的中線把它的周長(zhǎng)分為12cm和21cm兩部分，那么它的底邊長(zhǎng)為__5__cm.【例2】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是BC，AD的中點(diǎn)，且△ABC的面積為8，則陰影部分的面積是__2__．·命題角度2利用三角形的高解決三角形面積問題當(dāng)已知三角形的兩條高及其中一條高對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)，求另一條高對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)或已知兩邊及其中一邊對(duì)應(yīng)的高，求另一邊對(duì)應(yīng)的高時(shí)，常用面積作為中間量．【例3】如圖，在△ABC中，BC邊上的高是__AB__；在△AEC中，AE邊上的高是__CD__；在△AEC中，EC邊上的高是__AB__；若AB＝CD＝4，AE＝5，則△AEC的面積S＝__10__，CE＝__5__．·命題角度3三角形的中線、角平分線、高的綜合應(yīng)用(1)關(guān)于角度的計(jì)算，如果有三角形的高這一條件時(shí)，要利用90°的角；見到角平分線這一條件時(shí)，要利用角相等；(2)關(guān)于線段、周長(zhǎng)或面積比值的問題，要利用線段的中線或高線；(3)要利用方程思想、分類思想．【例4】如圖，AD是△ABC的中線，DE是△ADC的高，AB＝3，AC＝5，DE＝2，點(diǎn)D到AB的距離是__eq\f(10,3)__．【例5】如圖，已知AD，AE分別是△ABC的高和中線，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，∠BAC＝90°.(1)求AD的長(zhǎng)；(2)求△ABE的面積；(3)求△ACE和△ABE的周長(zhǎng)的差．解：(1)∵∠BAC＝90°，AD是BC邊上的高，∴eq\f(1,2)AB·AC＝eq\f(1,2)BC·AD，∴AD＝eq\f(AB·AC,BC)＝eq\f(3×4,5)＝2.4(cm)；(2)∵AE是△ABC的中線，∴S△ABE＝eq\f(1,2)S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×3×4＝3(cm2)；(3)∵AE為斜邊BC的中線，∴BE＝CE，∴△ACE的周長(zhǎng)－△ABE的周長(zhǎng)＝(AC＋CE＋AE)－(AB＋BE＋AE)＝AC－AB＝4－3＝1(cm).高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．掌握三角形的中線、角平分線、高的性質(zhì)，并會(huì)運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題．2．準(zhǔn)確畫出三角形的中線、角平分線、高．▲重點(diǎn)三角形的中線、角平分線、高的性質(zhì)．▲難點(diǎn)三角形的中線、角平分線、高的應(yīng)用．◆活動(dòng)1新課導(dǎo)入問題1：圖中共有多少個(gè)三角形？請(qǐng)將它們?nèi)坑梅?hào)表示出來.答：圖中共有5個(gè)三角形．分別是△ABC，△ABD，△ACD，△ADE，△CDE.問題2：利用長(zhǎng)為2cm，3cm，4cm，5cm的四條線段可以組成幾個(gè)三角形？為什么？答：可以組成3個(gè)三角形．從四條線段中任選三條，共有四種選法：①2cm，3cm，4cm；②3cm，4cm，5cm；③2cm，3cm，5cm；④2cm，4cm，5cm.其中滿足“三角形兩邊之和大于第三邊”的只有第①，②，④這三組．◆活動(dòng)2探究新知1．給出一個(gè)△ABC，請(qǐng)你作出該三角形的中線．提出問題：(1)如何作一個(gè)三角形的中線？(2)一個(gè)三角形有幾條中線？(3)分別作出不同三角形的中線，你有什么發(fā)現(xiàn)？學(xué)生完成并交流展示．2．給出一個(gè)△ABC，請(qǐng)你作出該三角形的角平分線．提出問題：(1)如何作一個(gè)三角形的角平分線？(2)一個(gè)三角形有幾條角平分線？(3)三角形的角平分線與一個(gè)角的平分線有何區(qū)別？(4)不同的三角形，它們的角平分線有何特點(diǎn)？學(xué)生完成并交流展示．3．給出一個(gè)△ABC，請(qǐng)你作出該三角形的高．提出問題：(1)如何作三角形的高？(2)一個(gè)三角形有幾條高？(3)能用折紙的方法折出你準(zhǔn)備好的三角形的高嗎？(4)通過畫不同的三角形的高，你能發(fā)現(xiàn)什么特點(diǎn)？三角形的高一定在三角形的內(nèi)部嗎？學(xué)生完成并交流展示．◆活動(dòng)3知識(shí)歸納1．在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它所對(duì)的邊的__中點(diǎn)__，所得線段叫作三角形的中線．三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫作三角形的__重心__．2．在三角形中，一個(gè)內(nèi)角的__平分線__和它所對(duì)的邊相交于一點(diǎn)，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫作三角形的角平分線．3．從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它所對(duì)的邊所在直線作__垂線__，頂點(diǎn)與垂足之間的線段叫作三角形的高．◆活動(dòng)4例題與練習(xí)例1下列說法正確的是(B)①平分三角形內(nèi)角的射線叫作三角形的角平分線；②三角形的中線、角平分線都是線段，而高是直線；③每個(gè)三角形都有三條中線、三條高和三條角平分線；④三角形的中線是經(jīng)過頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)的直線．A．③④B．③C．②③D．①④例2如圖，已知△ABC，根據(jù)要求畫圖．(1)畫BC邊上的高；(2)畫∠ACB的平分線；(3)將△ABC分成面積相等的兩部分．解：如圖．(1)線段AD即為所求；(2)CE即為∠ACB的平分線；(3)中線BF將△ABC分成面積相等的兩部分(答案不唯一).練習(xí)1．教材P8～9練習(xí)第1，2題．2．如圖，在△ABC中，AE是中線，AD是角平分線，AF是高，BE＝2，AF＝3，填空：(1)BE＝__CE__＝eq\f(1,2)__BC__；(2)∠BAD＝__∠DAC__＝eq\f(1,2)__∠BAC__；(3)∠AFB＝__∠AFC__＝90°；(4)S△AEC＝__3__．3．如圖，已知△ABC.(1)畫出△ABC的∠ABC的平分線，交AC邊于點(diǎn)D，并指出相等的角；(2)畫出△ABC的AC邊上的中線BE，并指出相等的線段；(3)畫出△ABC的BC邊上的高AF，并指出圖中所有的直角三角形．解：(1)如圖，BD是△ABC的∠ABC的平分線，∠ABD＝∠CBD；(2