學(xué)習(xí)目標(biāo)

(1)了解典型輸入信號的形式。

(2)會利用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

(3)理解穩(wěn)態(tài)誤差的概念,掌握穩(wěn)態(tài)誤差的計算方法。

(4)能用MATLAB進行控制系統(tǒng)時域分析。

3.1瞬態(tài)響應(yīng)

3.1.1典型輸入信號典型輸入信號是對復(fù)雜的實際信號的一種近似和抽象?？刂葡到y(tǒng)常用的典型輸入信號有單位階躍信號、單位斜坡信號、單位拋物線信號、正弦信號等。

1.單位階躍信號

圖3－1所示為單位階躍信號,單位階躍信號的定義為

其拉式變換為

在時域分析中,階躍信號用的較為廣泛。如指令突然轉(zhuǎn)換、合閘、負(fù)荷突變都可近似看成是階躍信號。圖3－1單位階躍信號

2.單位斜坡信號

圖3－2所示為單位斜坡信號,單位斜坡信號的定義為

其拉式變換為

在時域分析中,隨動系統(tǒng)中恒速變化的位置指令信號、數(shù)控機床斜面的進給指令和機械手的等速移動指令等都可近似看成是斜坡信號。

3.單位拋物線信號

圖3－3所示為單位拋物線信號,單位拋物線信號的定義為

其拉式變換為圖33單位拋物線信號

4.正弦信號

正弦信號的定義為

其拉式變換為

3.1.2瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)

為了便于分析和比較,在系統(tǒng)能穩(wěn)定工作的前提下,其瞬態(tài)性能通常以初始條件為零時系統(tǒng)對單位階躍輸入信號的響應(yīng)特性來衡量,如圖3－4所示。

圖3－4單位階躍響應(yīng)

時域瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)一般有:

1.上升時間tr

上升時間tr是指系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線從0開始到第一次到穩(wěn)態(tài)值所需要的時間。tr越小,表明系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)越快。

2.峰值時間tp

峰值時間tp是指系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線由0開始越過穩(wěn)態(tài)值第一次到達峰值所需要的時間。

3.超調(diào)量σ%

超調(diào)量σ%是指系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線超出穩(wěn)態(tài)值的最大偏離量占穩(wěn)態(tài)值的百分比,即

4.調(diào)節(jié)時間ts

調(diào)節(jié)時間ts是指系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線達到并保持在穩(wěn)態(tài)值的±5%(或±2%)誤差范圍內(nèi),即輸出響應(yīng)進入并保持在±5%(或±2%)誤差帶之內(nèi)所需要的時間。ts越小,表

示系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)過程越短,系統(tǒng)快速性越好。

3.1.3一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)

能夠用一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng),它的典型形式是一階慣性環(huán)節(jié),即

1.一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

當(dāng)r(t)=1(t)時,有

對其進行拉式變換,得到

一階慣性環(huán)節(jié)在單位階躍輸入下的響應(yīng)曲線如圖3－5所示。圖3－5一階慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)曲線

2.一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)

當(dāng)r(t)=t時,有

對其進行拉式變換,得到

輸入與輸出間的誤差為

單位斜坡響應(yīng)曲線如圖3－6所示。圖3－6一階慣性環(huán)節(jié)的單位斜坡響應(yīng)曲線

3.1.4二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)

可用二階微分方程描述其動態(tài)過程的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。

1.二階系統(tǒng)的典型傳遞函數(shù)

式中,ζ為阻尼比;ωn為無阻尼自然振蕩頻率。

若令

則兩個特征根為

二階系統(tǒng)的典型傳遞函數(shù)也可寫成如下形式

其中

2.二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

1)欠阻尼

當(dāng)0<ζ<1時,稱為欠阻尼。此時,其傳遞函數(shù)可表示為

當(dāng)r(t)=1(t)時,則

對其進行拉式反變換,得

2)臨界阻尼

當(dāng)ζ=1時,稱為臨界阻尼。此時,其傳遞函數(shù)可表示為

當(dāng)r(t)=1(t)時,則

對其進行拉式反變換,得

3)過阻尼

當(dāng)ζ>1時,稱為過阻尼。此時,其傳遞函數(shù)可表示為

4)零阻尼

當(dāng)ζ=0時,稱為零阻尼。此時,其傳遞函數(shù)可表示為

當(dāng)r(t)=1(t)時,則

對其進行拉式反變換,得

3.二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)

下面對欠阻尼二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)進行討論和計算。

1)上升時間tr

其中

2)峰值時間tp

3)超調(diào)量σ%

超調(diào)量σ%是指系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線超出穩(wěn)態(tài)值的最大偏離量占穩(wěn)態(tài)值的百分比,即

4)調(diào)節(jié)時間ts

例3-1如圖3-7所示的某二階系統(tǒng),其中ζ=0.5,ωn=4rad/s。當(dāng)輸入信號為階躍函數(shù)時,試求系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)指標(biāo)。圖3-7某二階系統(tǒng)方框圖

解根據(jù)方框圖可列寫出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

3.2穩(wěn)定性

3.2.1系統(tǒng)穩(wěn)定性概念系統(tǒng)的穩(wěn)定性是指自動控制系統(tǒng)在受到擾動作用使平衡狀態(tài)破壞后,經(jīng)過調(diào)節(jié),能重新達到平衡狀態(tài)的性能。如果系統(tǒng)在擾動作用下偏離了原來的平衡狀態(tài),而且這種偏離不斷擴大,即使擾動消失,系統(tǒng)也不能回到平衡狀態(tài),該系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的,如圖3－8(a)所示;若通過系統(tǒng)自身的調(diào)節(jié)作用,使偏差最后逐漸減小,系統(tǒng)又恢復(fù)到平衡狀態(tài),該系統(tǒng)就是穩(wěn)定的,如圖3－8(b)所示。圖3－8不穩(wěn)定系統(tǒng)和穩(wěn)定系統(tǒng)

系統(tǒng)的穩(wěn)定性概念可分為絕對穩(wěn)定性和相對穩(wěn)定性兩種。系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性是指系統(tǒng)穩(wěn)定(或不穩(wěn)定)的條件,即形成如圖3－8(b)所示狀況的充要條件。系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性是指

穩(wěn)定系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。圖3－9(a)所示系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性就明顯好于如圖3－9(b)所示的系統(tǒng)。圖3－9自動控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性

線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件:如圖3－8所示,穩(wěn)定的系統(tǒng),其過渡過程是收斂的,即其輸出量的動態(tài)分量必須趨近于零。用數(shù)學(xué)的方法來研究控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性,可以得知

系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是:其閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根必須具有負(fù)實部。也就是說,系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是閉環(huán)特征方程的所有根必須分布在s平面的左半平面上。s平面的虛軸是穩(wěn)

定的邊界。系統(tǒng)穩(wěn)定與否取決于特征方程的根,即取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù),而與輸入信號的形式無關(guān)。

3.2.2勞斯判據(jù)

設(shè)系統(tǒng)的特征方程為

根據(jù)特征方程的各項系數(shù)排列成勞斯表

其中,表中前面兩行由間隔取特征方程中系數(shù)形成;從第三行開始,各元素的計算按下述規(guī)律推算:

以此類推,可求出n+1行的各系數(shù)。

1.勞斯判據(jù)的一般情況

若特征方程式的各項系數(shù)都大于零(必要條件),且勞斯表中第一列元素均為正值,則所有的特征根位于s左半平面,相應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則,系統(tǒng)不穩(wěn)定,且第一列元素符號改變的次數(shù)等于該特征方程的正實部根的個數(shù)。

例3－2已知系統(tǒng)特征方程式為

試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解從系統(tǒng)特征方程看出,其所有系數(shù)均為正實數(shù),滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。列寫勞斯判據(jù)列表如下:

第一列系數(shù)均為正數(shù),故系統(tǒng)穩(wěn)定

例3－3已知系統(tǒng)特征方程式為

試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解從系統(tǒng)特征方程看出,其所有系數(shù)均為正實數(shù),滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。列寫勞斯判據(jù)列表如下

例3－4某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時K值的范圍。

解該單位負(fù)反饋系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為:

整理得

系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件ai>0,則要求K>0。

列寫勞斯判據(jù)列表如下

令

可得

2.勞斯判據(jù)的兩種特殊情況

(1)勞斯表中某行的第一列項為零,而其余各項不為零或不全為零。

例3－5設(shè)系統(tǒng)特征方程為

試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解從系統(tǒng)特征方程看出,其所有系數(shù)均為正實數(shù),滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。列寫勞斯判據(jù)列表如下:

令ε→0,s1行第一列系數(shù)符號為負(fù),則第一列系數(shù)符號改變次數(shù)為2,因此特征方程有兩個具有正實部的根,系統(tǒng)不穩(wěn)定。

(2)勞斯表中出現(xiàn)第k全零行。

在該種情況下可做如下處理:

①利用第k-1行的系數(shù)構(gòu)成輔助多項式,它的次數(shù)總是偶數(shù);

②求輔助多項式對s的導(dǎo)數(shù),將其系數(shù)構(gòu)成新行,以代替全部為零的一行;

③計算勞斯陣列表;

④對原點對稱的根可由輔助多項式等于零(即輔助方程式)求得。

用系數(shù)24取代全零行,并將勞斯表重新整理,可得

由此可知,該系統(tǒng)特征方程在s右半平面上沒有特征根,但s1行為全零行,表明特征方程中存在大小相等、符號相反的特征根。由輔助方程F(s)=0可得根為±j2,顯然系統(tǒng)

處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

3.3穩(wěn)態(tài)誤差分析

3.3.1穩(wěn)態(tài)誤差的概念一個好的控制系統(tǒng)要求穩(wěn)定、快速、準(zhǔn)確,而穩(wěn)態(tài)誤差就是控制系統(tǒng)精度的度量。設(shè)控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)如圖3－10所示。圖3－10控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)

系統(tǒng)誤差的一般定義為期望值與實際值的差值。一般情況下,系統(tǒng)的給定值即輸入量與輸出量為不同的物理量,因此系統(tǒng)的誤差不直接用它們的差值來表示,而是用給定值與反饋量的差值來定義,即

給定值代表了期望值,反饋量表示實際值。對于單位反饋系統(tǒng)來說,反饋量b(t)就等于輸出量c(t)。穩(wěn)態(tài)誤差是指系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)后的誤差值,即

3.3.2穩(wěn)態(tài)誤差的計算

1.給定信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計算

當(dāng)僅僅考慮給定信號作用下引起的系統(tǒng)誤差時,可暫時不考慮擾動量N(s),設(shè)定N(s)=0。根據(jù)圖3－10,可得到誤差函數(shù)為

根據(jù)終值定理可得

令控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

(2)斜坡輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差及速度誤差系數(shù)的計算。

定義靜態(tài)速度誤差系數(shù)為

則

(3)拋物線輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差及加速度誤差系數(shù)的計算。

綜上所述,將不同系統(tǒng)在各種不同控制輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差總結(jié)如表3－1所示。圖3－11例3－7圖

2.擾動信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計算

當(dāng)僅僅考慮擾動信號作用下引起的系統(tǒng)誤差時,設(shè)定R(

s)=0,根據(jù)圖3－10,可得到誤差函數(shù)為圖3－12例3－8圖

解系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

可見為Ⅰ型系統(tǒng)。

3.4應(yīng)用MATLAB進行控制系統(tǒng)時域分析

計算機仿真是進行系統(tǒng)分析常用的方法,特別當(dāng)分析高階系統(tǒng)及繪制時域響應(yīng)曲線時會更加有效。MATLAB中的控制系統(tǒng)工具箱提供了脈沖、階躍、任意函數(shù)等多時域響應(yīng)求解函數(shù)。

如線性定常系統(tǒng)G(s)的傳遞函數(shù)為多項式之比形式,num、den為降冪排列的分子、分母系數(shù)向量,t為仿真時間,

y為在時間t內(nèi)的輸出響應(yīng),x是時間t內(nèi)的狀態(tài)響應(yīng),sys是由函數(shù)tf得到的代表G(s)的傳遞函數(shù)變量,則時域響應(yīng)函數(shù)的調(diào)用格式為:

任意函數(shù)由u定義,它是與t相對應(yīng)的輸入向量。調(diào)用時如果沒有設(shè)定返回變量,則MATLAB會直接繪出輸出的響應(yīng)曲線。如果調(diào)用step和impulse默認(rèn)輸入?yún)?shù)t,則MATLAB會自動確定仿真時間和采樣周期。

階躍響應(yīng)的穩(wěn)定值為

或

例3－9已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

用MATLAB求其單位脈沖響應(yīng)和單位階躍響應(yīng),繪制出響應(yīng)曲線,并求單位階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)。

曲線繪制結(jié)果如圖3－13所示,其中(a)為單位脈沖響應(yīng)曲線,(b)為單位階躍響應(yīng)曲線。圖3－13例3－9的輸出響應(yīng)曲線

單元小結(jié)

(1)時域分析法中的典型輸入信號有單位階躍信號、單位斜坡信號、單位拋物線信號和正弦信號等。(2)動態(tài)過程又可稱為過渡過程或瞬態(tài)過程,是指系統(tǒng)從初始狀態(tài)到接近最終狀態(tài)的響應(yīng)過程。穩(wěn)態(tài)過程是指時間t趨于無窮時系統(tǒng)的輸出狀態(tài)。穩(wěn)態(tài)過程又稱穩(wěn)態(tài)響應(yīng),表征系統(tǒng)輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度,提供系統(tǒng)有關(guān)穩(wěn)態(tài)誤差的信號。穩(wěn)態(tài)過程用穩(wěn)態(tài)性能描述。

(3)時域瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)一般有:

①上升時間是指系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線從0開始到第一次到穩(wěn)態(tài)值所需要的時間,tr越小,表明系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)越快。

②峰值時間是指系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線由0開始越過穩(wěn)態(tài)值第一次到達峰值所需要的時間。

③超調(diào)量是指系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線超出穩(wěn)態(tài)值的最大偏離量占穩(wěn)態(tài)值的百分比,即

若c(tp)<c(￥),則響應(yīng)無超調(diào)。σ%反映的是系統(tǒng)響應(yīng)過程中平穩(wěn)性的狀況。

④調(diào)節(jié)時間是指系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線達到并保持在穩(wěn)態(tài)值的±5%(或±2%)誤差范圍內(nèi),即輸出響應(yīng)進入并保持在±5%(或±2%)誤差帶之內(nèi)所需要的時間。ts越小,

表示系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)過程越短,系統(tǒng)快速性越好。

(4)系統(tǒng)能正常工作的首要條件是系統(tǒng)穩(wěn)定?？刹捎脛谒古袚?jù)來判斷