2-1建立數(shù)學(xué)模型的一般方法2-2傳遞函數(shù)2-3動態(tài)結(jié)構(gòu)圖及等效變換2-4信號流圖及梅遜公式2-5控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型引言定義：控制系統(tǒng)的輸入和輸出之間動態(tài)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式即為數(shù)學(xué)模型。用途：

1）分析實際系統(tǒng)2）預(yù)測物理量3）設(shè)計控制系統(tǒng)表達形式時域：微分方程、差分方程、狀態(tài)方程復(fù)域：傳遞函數(shù)、動態(tài)結(jié)構(gòu)圖頻域：頻率特性線性系統(tǒng)傳遞函數(shù)微分方程頻率特性拉氏變換傅氏變換

系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立一般采用解析法和實驗辨識法，本章主要討論如何用解析法來建立線性定常系統(tǒng)的微分方程、傳遞函數(shù)以及動態(tài)結(jié)構(gòu)圖等數(shù)學(xué)模型。2-1建立數(shù)學(xué)模型的一般方法例1：RC電路。根據(jù)電路理論中的基爾霍夫電壓（KVL）定律，有

圖2-1RC電路由上面兩式消去中間變量，得到若令，則可得如下形式式中，為電路的時間常數(shù)。因此，電路的動態(tài)數(shù)學(xué)模型是一階常系數(shù)線性微分方程。例2：如圖所示的RLC電路，試建立以電容上電壓uc(t)為輸出變量，輸入電壓ur(t)為輸入變量的運動方程。RLCur(t)uc(t)i(t)電阻u(t)=i

(t)·Ri(t)=u(t)=i(t)dtu(t)=Ldi

(t)dti(t)=i(t)=電容電感依據(jù)：基爾霍夫定律

由（2）代入（1）得：消去中間變量i(t)

（兩邊求導(dǎo)）例3：兩級RC電路。根據(jù)基爾霍夫定律電壓（KVL），有消去中間變量和后得到：令，，，則得到該網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)數(shù)學(xué)模型是一個二階常系數(shù)線性微分方程。例4：積分器。根據(jù)運算放大器的性質(zhì)，有因此，改寫成積分形式為：改寫成微分方程形式為：例5:機械位移系統(tǒng),物體在外力F(t)作用下產(chǎn)生位移y(t)，寫出運動方程。輸入F(t)，輸出y(t)理論依據(jù):牛頓第二定律,物體所受的合外力等于物體質(zhì)量與加速度的乘積.mF1(彈簧的拉力)F(t)外力F2阻尼器的阻力例6：旋轉(zhuǎn)運動：擺錘。假設(shè)所有質(zhì)量都集中到終端，折合到樞軸點得轉(zhuǎn)動慣量。相對于樞軸點的所有力矩之和包括由重力產(chǎn)生的力矩以及施加的力矩。應(yīng)用牛頓定律有通常改寫成如下形式：由于在方程中存在項，所以該方程是非線性的。進行線性化，假定擺錘的運動范圍足夠小，則，那么上述運動方程可以變成線性方程：根據(jù)上述的例子，可以得到列寫系統(tǒng)微分方程的一般步驟：1）確定系統(tǒng)的輸入、輸出變量；2）根據(jù)已知的物理或化學(xué)定律，寫出運動過程的微分方程；3）消去中間變量，寫出輸入、輸出變量的微分方程；4）整理，與輸入有關(guān)的放在等號右面，與輸出有關(guān)的放在等號左面，并按照降階次進行排列。

許多表面上看來似乎毫無共同之處的控制系統(tǒng)，其運動規(guī)律可能完全一樣可以用一個運動方程來表示，稱它們?yōu)榻Y(jié)構(gòu)相似系統(tǒng)例1的RLC電路和例4的機械位移系統(tǒng)就可以用同一個數(shù)學(xué)表達式分析，具有相同的數(shù)學(xué)模型。例7電樞控制直流電動機負載：轉(zhuǎn)動慣量 粘性摩擦

負載轉(zhuǎn)矩其中R、L分別為電樞回路的內(nèi)阻、電感ua(t)為電樞回路的控制電壓,ia(t)電樞回路電流分析：輸入ua,輸出wm信號流動：

ua→ia

→Mm→ωm

u→i：根據(jù)基爾霍夫電壓定律，電樞回路有下列關(guān)系：(電勢平衡方程式)反電勢Ea大小與轉(zhuǎn)速成正比：

i→M：在磁場強度不變的情況下，電動機產(chǎn)生的力矩M與電樞回路的電流成正比（經(jīng)線性化處理），即：對電機轉(zhuǎn)軸，根據(jù)牛頓定律，有：

(轉(zhuǎn)矩平衡方程式)

微分方程描述寫成：例8

汽車懸掛系統(tǒng)圖a為簡化了的懸掛系統(tǒng)。假設(shè)P點上的運動為系統(tǒng)的輸入量，車體的垂直運動為系統(tǒng)的輸出量，位移從無輸入量作用時的平衡位置開始測量。b中表示汽車的質(zhì)量，表示彈簧系數(shù)，為阻尼器的阻尼系數(shù)。則有整理即得到該系統(tǒng)的運動方程：例9

生態(tài)控制系統(tǒng)討論兩種細菌生存的競爭問題，設(shè)兩種細菌在時刻的數(shù)量分別為和，由于繁殖條件相同，它們的生存是有競爭的。若人為加入一定的藥物作為控制量，那么和將按下列方程變化式中，和分別表示和自身的繁殖系數(shù)；和為相互競爭系數(shù)；和為藥品殺傷系數(shù)。這兩個聯(lián)立的一階非線性微分方程就是該生態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

解析法（機理建模法）對所研究的實際系統(tǒng)來說，必須已知其基本規(guī)律并進行一定的簡化和假設(shè)，只能用于簡單系統(tǒng)的建模，對于比較復(fù)雜的實際生產(chǎn)過程來說，這種建模方法有很大的局限性。

實驗建模法通過實驗的方法給模型未知系統(tǒng)施加某種特定的測試輸入信號，記錄其輸出響應(yīng)，并選用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼近，以此來獲得一個與所測系統(tǒng)等價的數(shù)學(xué)模型。辨識步驟：（1）設(shè)計實驗，獲取待辨識系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)；（2）選擇模型結(jié)構(gòu)，根據(jù)數(shù)學(xué)模型的用途和對實際對象的了解，確定使用哪類模型；（3）參數(shù)估計，包括判別辨識結(jié)果好壞的準(zhǔn)則（最小二乘準(zhǔn)則，極大似然準(zhǔn)則等），選擇參數(shù)估計方法，得到參數(shù)的估計值；（4）辨識模型檢驗，檢驗獲得的數(shù)學(xué)模型是否合乎要求。2-2非線性微分方程的線性化

在工程實際中，絕大多數(shù)系統(tǒng)是非線性的。許多非線性系統(tǒng)在一定條件下可近似視為線性系統(tǒng)。對于某些非線性系統(tǒng)，若研究的是系統(tǒng)在某一工作點（平衡點）附近的性能，或是系統(tǒng)變量在動態(tài)過程中偏離平衡位置不大時的性能，則可采用“小偏量法”進行線性化。小偏量法：

不失一般性，考慮一個非線性系統(tǒng)，輸入量為，輸出量為。若在給定處各階導(dǎo)數(shù)存在，則在處可展成為泰勒級數(shù)忽略二次及高次項有

或例.設(shè)鐵芯線圈電路如圖a)所示，其磁通與電流之間的關(guān)系如圖b)所示。試列寫以為數(shù)入量，為輸出量的電路微分方程。

解：（1）由KVL，可得,該方程為非線性方程。（2）找出中間變量與其他變量的關(guān)系并線性化。設(shè)線圈原來工作在平衡狀態(tài)，而且在附近連續(xù)可導(dǎo)，它可展成為泰勒級數(shù)，即式中，為余項，和為平衡點處的磁鏈和激磁電流。略去上中的各高階項及余項，得到近似式式中，為平衡點處的導(dǎo)數(shù)值，可令稱為動態(tài)電感，則將上式化為該式表明，經(jīng)線性化后，線圈中電流增量與磁鏈增量之間已成為線性關(guān)系，即則有展開后有（因為）所以平衡點的增量（小變化量）是所取平衡點處的電感值，亦用平衡點處的切線代替曲線而得到的變量。將平衡點的增量方程，稱之為線性化增量方程，這種線性化的方法稱為小偏差法。求線性化微分方程的過程：（1）按物理或化學(xué)定律列出原始方程式，并確定平衡點附近各變量的數(shù)值；（2）找出方程中的非線性關(guān)系，若平衡點附近各階導(dǎo)數(shù)存在，則可進行線性化：1）將此函數(shù)展成泰勒級數(shù)；2）忽略高次項，留下一次項，得一次近似式并求出數(shù)值；（3）將原方程中的變量以平衡點的值加增量來表示，經(jīng)整理可得以增量表示的線性方程。2-3用拉氏變換求解線性微分方程

一、傳遞函數(shù)的定義定義：設(shè)函數(shù)當(dāng)≥0時有定義，且當(dāng)時，若積分（為復(fù)參量）存在，則稱為函數(shù)的變換式，記為，是的象函數(shù)。另外有逆運算，為的反變換。其中，是一個實常數(shù)且大于的所有奇異點的實部。二、幾種典型函數(shù)的拉氏變換1．單位階躍函數(shù)2．單位斜坡函數(shù)

≥0<0≥0<03．等加速度函數(shù)

4．指數(shù)函數(shù)≥0<0≥0<05．正弦函數(shù)6．單位脈沖函數(shù)且定義

，則≥0<01．線性性質(zhì)設(shè)，，均為常數(shù)，則有2．微分性質(zhì)若

，則有3．積分性質(zhì)

，則三、拉氏變換的基本性質(zhì)4．終值定理與初值定理終值定理：若，且

存在，則，或初值定理：若

存在，則有5．位移定理若

，則有

6．延遲定理若，又時，則對于任意常數(shù)，有，或由復(fù)變數(shù)表達式推導(dǎo)成為時間表達式的數(shù)學(xué)運算稱為拉氏反變換，其符號為。的形式通常為的有理分式函數(shù)，即

其中≥，一般在對進行拉氏反變換時，首先將的分母進行因式分解得到以下形式

四、拉氏反變換（1）無重根，即

或

可按下式求得例1求

的拉氏反變換。解：因為

所以

（2）有重根設(shè)為階重根，為單根，則

可為……例2求

的拉氏反變換。解：設(shè)，在此有的二重零點，的單零點。所以

而拉氏反變換為

例3.求的拉氏反變換。解：的展開式如下由于，上式兩邊同乘并令得簡化得解之得用乘方程兩邊，并令得所以

故的拉氏反變換為（≥0）五、用拉氏變換求解微分方程例1如圖所示阻容網(wǎng)絡(luò)在閉合之前，電容上有初始電壓，求開關(guān)瞬時閉合后電容的端電壓。解：網(wǎng)絡(luò)的微分方程為兩邊進行拉氏變換得所以展成部分分式，有兩端反變換則有下圖為中各分量的相應(yīng)曲線。應(yīng)用拉氏變換法求解微分方程的步驟歸納如下：（1）對線性微分方程的每一項進行拉氏變換，將微分方程變成關(guān)于的代數(shù)方程；（2）整理代數(shù)方程，求得待求函數(shù)的拉氏變換表達式；（3）對拉氏變換式進行反變換得到待求函數(shù)的時域表達式，即微分方程的解。2-4傳遞函數(shù)（transferfunction）

用微分方程來描述系統(tǒng)比較直觀，但是一旦系統(tǒng)中某個參數(shù)發(fā)生變化或者結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，就需要重新排列微分方程，不便于系統(tǒng)的分析與設(shè)計。為此提出傳遞函數(shù)的概念。一、傳遞函數(shù)的定義和概念定義：零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量拉氏變換的比值稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，用G(s)表示。以上一節(jié)例（1）RLC電路的微分方程為例：設(shè)初始狀態(tài)為零，對上式進行拉氏變換，得到：G(s)R(s)C(s))一般形式：設(shè)線性定常系統(tǒng)（元件）的微分方程是：y(t)為系統(tǒng)的輸出，r(t)為系統(tǒng)輸入，則零初始條件下，對上式兩邊取拉氏變換，得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：分母中s的最高階次n即為系統(tǒng)的階次。

因為組成系統(tǒng)的元部件或多或少存在慣性，所以G(s)的分母階次大于等于分子階次，即,是有理真分式，若,我們就說這是物理不可實現(xiàn)的系統(tǒng)。二、傳遞函數(shù)的性質(zhì)

(1)傳遞函數(shù)是一種數(shù)學(xué)模型，是對微分方程在零初始條件下進行拉氏變換得到的；

(2)傳遞函數(shù)與微分方程一一對應(yīng)；

(3)傳遞函數(shù)描述了系統(tǒng)的外部特性。不反映系統(tǒng)的內(nèi)部物理結(jié)構(gòu)的有關(guān)信息；

(4)傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而與輸入和初始條件等外部因素?zé)o關(guān)；

(5)傳遞函數(shù)與系統(tǒng)的輸入輸出的位置有關(guān)；

(6)傳遞函數(shù)一旦確定，系統(tǒng)在一定的輸入信號下的動態(tài)特性就確定了。例.根據(jù)系統(tǒng)微分方程求響應(yīng)：,解：系統(tǒng)傳遞函數(shù)，它的極點為，無零點，在零初始狀態(tài)下所以傳遞函數(shù)中有共軛復(fù)數(shù)極點，系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)為衰減振蕩過程，其幅度、衰減速度和振蕩頻率由極點和零點決定，而穩(wěn)態(tài)性能由傳遞系數(shù)決定。系統(tǒng)的穩(wěn)定性僅由微分方程的特征根，即傳遞函數(shù)的極點決定；零點不影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但對瞬態(tài)過程的形式有影響。三、典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

1）比例環(huán)節(jié):其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下面的代數(shù)方程式來表示特點：輸入輸出量成比例，無失真和時間延遲。式中——環(huán)節(jié)的放大系數(shù)，為一常數(shù)。傳遞函數(shù)為：實例：電子放大器，齒輪，電阻(電位器)，感應(yīng)式變送器等。2）慣性環(huán)節(jié):其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下面的常系數(shù)非齊次微分方程式來表示特點：含一個儲能元件，對突變的輸入,其輸出不能立即發(fā)現(xiàn)，輸出無振蕩。

實例：RC網(wǎng)絡(luò)，直流伺服電動機的傳遞函數(shù)也包含這一環(huán)節(jié)。傳遞函數(shù)為：式中T——環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。3）積分環(huán)節(jié):其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下面的微分方程式來表示特點：輸出量與輸入量的積分成正比例，當(dāng)輸入消失，輸出具有記憶功能。實例：電動機角速度與角度間的傳遞函數(shù)，模擬計算機中的積分器等。傳遞函數(shù)為：4）微分環(huán)節(jié)：是積分的逆運算，其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下式來表示特點：輸出量正比輸入量變化的速度，能預(yù)示輸入信號的變化趨勢。實例：測速發(fā)電機輸出電壓與輸入角度間的傳遞函數(shù)即為微分環(huán)節(jié)。傳遞函數(shù)為：式中——環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。5）振蕩環(huán)節(jié)：其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下面的二階微分方程式來表示。特點：環(huán)節(jié)中有兩個獨立的儲能元件，并可進行能量交換，其輸出出現(xiàn)振蕩。實例：RLC電路的輸出與輸入電壓間的傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)為：6）延遲環(huán)節(jié)：其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下式來表示特點：輸出量能準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)輸入量，但須延遲一固定的時間間隔。實例：管道壓力、流量等物理量的控制，其數(shù)學(xué)模型就包含有延遲環(huán)節(jié)。傳遞函數(shù)為：式中——延遲時間以上6種是常見的基本典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型1）是按數(shù)學(xué)模型的共性建立的，與系統(tǒng)元件不是一一對應(yīng)的；2）同一元件，取不同的輸入輸出量，有不同的傳遞函數(shù)，有不同的傳遞函數(shù)；3）環(huán)節(jié)是相對的，一定條件下可以轉(zhuǎn)化；4）基本環(huán)節(jié)適合線性定常系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型描述。四、關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點說明傳遞函數(shù)的概念只適用于線性定常系統(tǒng)，是一種在復(fù)域中描述其運動特性的數(shù)學(xué)模型。2.傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，即，且所有系數(shù)均為實數(shù)（因為系統(tǒng)中元件參數(shù)是實數(shù)）。傳遞函數(shù)是一個輸入變量和一個輸出變量之間的關(guān)系，表征了系統(tǒng)的固有特性。建立一個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時，必須指明是哪一個輸入變量和哪一個是輸出變量之間的傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)與微分方程之間可以相互轉(zhuǎn)換。用微分算子替換傳遞函數(shù)中的復(fù)變量s，用輸入和輸出變量的時間函數(shù)替換傳遞函數(shù)中的象函數(shù)，就可以由傳遞函數(shù)得到微分方程。

5.傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，它與輸入信號的拉氏變換的乘積僅反映了系統(tǒng)在零初始條件下的響應(yīng)規(guī)律。若要求解系統(tǒng)在非零初始條件下的響應(yīng)，則應(yīng)該先由傳遞函數(shù)求出系統(tǒng)的微分方程，然后在考慮初始條件的情況下求解該微分方程，從而得到系統(tǒng)在非零初始條件下的響應(yīng)表達式。

6.一個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，可以通過該系統(tǒng)在零初始條件下的單位脈沖響應(yīng)的拉氏變換求得，即，并且由傳遞函數(shù)拉氏反變換可求得系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，即。2-5動態(tài)結(jié)構(gòu)圖及等效變換一、動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的組成1、信號線：有箭頭的直線，箭頭表示信號傳遞方向。2、引出點：信號引出或測量的位置。從同一信號線上引出的信號，數(shù)值和性質(zhì)完全相同3、綜合點：對兩個或兩個以上的信號進行代數(shù)運算，“＋”表示相加，常省略，“－”表示相減。4、方框：表示典型環(huán)節(jié)或其組合，框內(nèi)為對應(yīng)的傳遞函數(shù)，兩側(cè)為輸入、輸出信號線。二、動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的建立例：建立如圖所示的雙T網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。1）建立各元件的微分方程2）將各元件的微分方程進行拉氏變換，并改寫成以下相乘形式3）繪出系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖按照變量的傳遞順序，依次將各元件的結(jié)構(gòu)圖連接起來作用：1）直觀形象的分析變量之間的關(guān)系

2）方便求解傳遞函數(shù)三、典型連接方式及等效變換1、串聯(lián)及等效2、并聯(lián)及等效3、反饋及等效四、等效移動規(guī)則1、引出點的移動G(S)G(S)X1X2X2X2X1X2G(S)1）前移G(S)X2X1X1G(S)1/G(S)X1X2X12）后移在移動支路中串入所越過的傳遞函數(shù)的倒數(shù)方框

在移動支路中串入所越過的傳遞函數(shù)方框2、綜合點的移動在移動支路中串入所越過的傳遞函數(shù)的倒數(shù)方框

在移動支路中串入所越過的傳遞函數(shù)方框1）后移G(S)1/G(S)X1X2X3-G(S)X1X2X3-2）前移x2x3x1G(s)G(s)G(s)x1x2x3相鄰綜合點之間可以隨意調(diào)換位置

3）相鄰綜合點移動x1Yx2x3x1Yx2x3注意：相鄰引出點和綜合點之間不能互換!結(jié)構(gòu)圖等效變換方法1三種典型結(jié)構(gòu)可直接用公式2相鄰綜合點可互換位置3相鄰引出點可互換位置注意：1不是典型結(jié)構(gòu)不可直接用公式2引出點綜合點相鄰，不可互換位置例1：試簡化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。方法1:引出點后移例2：試簡化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。例2：試簡化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。方法2:引出點前移方框圖簡化

例3：引出點前移引出點交換G4(s)輸入不變G1(s)+G2(s)G1(s)+G2(s)按前移做—變?yōu)闊o交叉的兩部分：反饋相加G(s)例4：試簡化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。

上圖所示是一個多環(huán)反饋系統(tǒng)，存在兩個互相交錯的局部反饋回路，在化簡時刻考慮將信號綜合點作適當(dāng)移動，如將環(huán)節(jié)后的綜合點前移。再利用結(jié)構(gòu)圖化簡的基本公式可得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。例5：多環(huán)系統(tǒng)，試對其進行化簡并求閉環(huán)傳遞函數(shù)。將所有信號引出點均移至的輸出端，即可得到若干相互獨立的回路。例6：推導(dǎo)，，和。（在推導(dǎo)作用下的輸出時，可以假設(shè)為零，反之亦然）解：由圖可得則有解得于是可以求得下列的傳遞函數(shù)，，和：，，利用結(jié)構(gòu)圖化簡規(guī)則，求取系統(tǒng)閉環(huán)傳函：（1）確定系統(tǒng)的輸入輸出量；（2）利用移動規(guī)則消除交叉連接；（3）利用基本規(guī)則寫出總的傳遞函數(shù)。x1x4x3x2abc12-6信號流圖及梅遜公式一、信流圖的基本概念

支路：表示變量之間的傳輸關(guān)系。

節(jié)點：表示系統(tǒng)中的變量。

信號流圖是一種表示線性化代數(shù)方程組變量間關(guān)系的圖示方法。信號流圖由節(jié)點和支路組成信流圖的基本術(shù)語1、源節(jié)點：只有輸出支路，沒有輸入支路的節(jié)點稱為源點，它對應(yīng)于系統(tǒng)的輸入信號，或稱為輸入節(jié)點。2、匯節(jié)點：只有輸入支路，沒有輸出支路的節(jié)點稱為阱點，它對應(yīng)于系統(tǒng)的輸出信號，或稱為輸出節(jié)點。3、混合節(jié)點：既有輸入支點也有輸出支點的節(jié)點稱為混合節(jié)點。輸入節(jié)點（源點）輸出節(jié)點（匯點）輸入節(jié)點（源點）信流圖的基本術(shù)語4、通道：從某一節(jié)點開始沿支路箭頭方向經(jīng)過各相連支路到另一節(jié)點（或同一節(jié)點）構(gòu)成的路徑稱為通道。5、開通道：與任一節(jié)點相交不多于一次的通路稱為開通道。6、閉通道：如果通道的終點就是通道的起點，并且與任何其他節(jié)點相交不多于一次的稱為閉通道或稱為回環(huán)。7、回環(huán)增益：回環(huán)中各支路傳輸?shù)某朔e稱為回環(huán)增益。8、前向通道：是指從源頭開始并終止于匯點且與其他節(jié)點相交不多于一次的通道，該通道的各傳輸乘積稱為前向通道增益。9、不接觸回環(huán)：如果一信號流圖有多個回環(huán)，各回環(huán)之間沒有任何公共節(jié)點，就稱為不接觸回環(huán)，反之稱為接觸回環(huán)。二、信流圖的繪制1、由結(jié)構(gòu)圖繪制信流圖結(jié)構(gòu)圖信流圖變量傳遞關(guān)系綜合點變成混合節(jié)點－12、由方程組繪制信流圖首先按照節(jié)點的次序繪出各節(jié)點，然后根據(jù)各方程式繪制各支路。當(dāng)所有方程式的信號流圖繪制完畢后，即得系統(tǒng)的信號流圖。三、梅遜（Mason）增益公式例1設(shè)某系統(tǒng)的方框圖如圖所示，試求其傳遞函數(shù)∑前向通道傳函之積：例2前向通道（2條）：

⊿1=1⊿2=1-cdP1=acegi=P1⊿1+P2⊿2=acegi+kgi(1-cd)P2=kgiL2=abef+abgh+abij+cdgh+cdij+efij+kfdbij1-31-41-52-42-53-55-6L3=abefijL1=ab+cd+ef+gh+ij+kfdb回環(huán)6個：

兩個互不接觸回環(huán)7對：

三個互不接觸回環(huán)1組：

⊿=1-L1+L2-L3

61 2 3 4 5L2=abef+abgh+abij+cdgh+cdij+efij+kfdbijL3=abefijL1=ab+cd+ef+gh+ij+kfdbL1L2=(G1H1)(-G2H2)L1=G1H1L2=–G2H2L3=–G1G2H31-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2G3G2+G1G2+G2R(s)[](1-G1H1)N(s)例3：梅遜公式求C(s)(1-G1H1)C(s)=梅遜公式求E(s)E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2(1+G2H2)(-G3G2H3)R(s)[](–G2H3)+N(s)+例4：梅遜公式求閉環(huán)傳遞函數(shù)前向通道（3條）：

四個獨立回路：

兩個不相接觸的回路，因此系統(tǒng)的特征式為：

僅存在與通道不相接觸的回路，故：

所以

2－7控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一、系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)定義為把主反饋通道斷開，得到的傳遞函數(shù)二、輸入作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)三、擾動作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)四、系統(tǒng)的總輸出五、誤差傳遞函數(shù)輸入作用下的誤差傳遞函數(shù)擾動作用下的誤差傳遞函數(shù)六、系統(tǒng)的總誤差例：簡化圖示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求出相應(yīng)的傳遞函數(shù)C/R,C/N

僅考慮R作用時，結(jié)構(gòu)圖可以簡化為

僅考慮N作用時，結(jié)構(gòu)圖可以簡化為2－8線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述一、幾個重要概念1、狀態(tài)與狀態(tài)變量：

動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)，是指能夠完全地描述系統(tǒng)時域行為的一個最小變量組，該變量組中的每個變量稱為狀態(tài)變量。2、狀態(tài)向量與狀態(tài)空間：如果一個系統(tǒng)有個狀態(tài)變量，用它們作為分量所構(gòu)成的向量稱為該系統(tǒng)的狀態(tài)向量，即；由軸，軸軸組成的維空間稱為狀態(tài)空間。3、狀態(tài)方程與輸出方程：設(shè)多輸入、多輸出系統(tǒng)中有個輸入變量和個輸出變量，定義個狀態(tài)變量為，則可用下列方程描述系統(tǒng)系統(tǒng)的輸出變量可表示為若定義則可變成（1）（