專題36直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系【考點預測】一．直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系有3種，相離，相切和相交二．直線與圓的位置關(guān)系判斷（1）幾何法（圓心到直線的距離和半徑關(guān)系）圓心到直線的距離，則：直線與圓相交，交于兩點，；直線與圓相切；直線與圓相離（2）代數(shù)方法（幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題即交點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程根個數(shù)）由，消元得到一元二次方程，判別式為，則：直線與圓相交；直線與圓相切；直線與圓相離．三．兩圓位置關(guān)系的判斷用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關(guān)系確定，具體是：設(shè)兩圓的半徑分別是，（不妨設(shè)），且兩圓的圓心距為，則：兩圓相交；兩圓外切；兩圓相離兩圓內(nèi)切；兩圓內(nèi)含（時兩圓為同心圓）設(shè)兩個圓的半徑分別為，，圓心距為，則兩圓的位置關(guān)系可用下表來表示：位置關(guān)系相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含幾何特征代數(shù)特征無實數(shù)解一組實數(shù)解兩組實數(shù)解一組實數(shù)解無實數(shù)解公切線條數(shù)43210【方法技巧與總結(jié)】關(guān)于圓的切線的幾個重要結(jié)論（1）過圓上一點的圓的切線方程為．（2）過圓上一點的圓的切線方程為（3）過圓上一點的圓的切線方程為（4）求過圓外一點的圓的切線方程時，應(yīng)注意理解：①所求切線一定有兩條；②設(shè)直線方程之前，應(yīng)對所求直線的斜率是否存在加以討論．設(shè)切線方程為，利用圓心到切線的距離等于半徑，列出關(guān)于的方程，求出值．若求出的值有兩個，則說明斜率不存在的情形不符合題意；若求出的值只有一個，則說明斜率不存在的情形符合題意．【題型歸納目錄】題型一：直線與圓的相交關(guān)系（含弦長、面積問題）題型二：直線與圓的相切關(guān)系、切點弦問題題型三：直線與圓的相離關(guān)系題型四：圓與圓的位置關(guān)系題型五：兩圓的公共弦問題【典例例題】題型一：直線與圓的相交關(guān)系（含弦長、面積問題）例1．（2022·青海玉樹·高三階段練習（理））已知直線與圓C：相交于點A，B，若是正三角形，則實數(shù)（

）A．－2 B．2 C． D．例2．（2022·全國·高三專題練習）已知直線與圓相交于A，B兩點，則k＝（

）A． B． C． D．例3．（多選題）（2022·山東青島·二模）已知，則下述正確的是（

）A．圓C的半徑 B．點在圓C的內(nèi)部C．直線與圓C相切 D．圓與圓C相交例4．（多選題）（2022·全國·南京外國語學校模擬預測）已知圓：，直線：，則下列說法正確的是（

）A．當時，直線與圓相離B．若直線是圓的一條對稱軸，則C．已知點為圓上的動點，若直線上存在點，使得，則的最大值為D．已知，，為圓上不同于的一點，若，則的最大值為例5．（多選題）（2022·江蘇·高二單元測試）設(shè)有一組圓，下列命題正確的是（

）A．不論k如何變化，圓心始終在一條直線上B．存在圓經(jīng)過點（3，0）C．存在定直線始終與圓相切D．若圓上總存在兩點到原點的距離為1，則例6．（多選題）（2022·河北滄州·二模）已知直線，圓，則下列結(jié)論正確的有（

）A．若，則直線恒過定點B．若，則圓可能過點C．若，則圓關(guān)于直線對稱D．若，則直線與圓相交所得的弦長為2例7．（多選題）（2022·河北·高三階段練習）已知圓，直線，P為直線l上的動點，過點P作圓M的切線，切點為A，B，則下列說法正確的是（

）A．四邊形面積的最小值為4B．當直線的方程為時，最小C．已知圓上有且僅有兩點到直線l的距離相等且為d，則D．若動直線，且交圓M于C、D兩點，且弦長，則直線縱截距的取值范圍為例8．（多選題）（2022·全國·高三專題練習）已知圓的方程為，則（

）A．若過點的直線被圓截得的弦長為，則該直線方程為B．圓上的點到直線的最大距離為C．在圓上存在點，使得到點的距離為D．圓上的任一點到兩個定點、的距離之比為例9．（多選題）（2022·全國·模擬預測）（多選）已知圓，直線．則以下幾個命題正確的有（

）A．直線恒過定點 B．圓被軸截得的弦長為C．直線與圓恒相交 D．直線被圓截得最長弦長時，直線的方程為例10．（多選題）（2022·遼寧·一模）已知圓的圓心在直線上，且與相切于點，過點作圓的兩條互相垂直的弦AE、BF．則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓的方程為：B．弦AE的長度的最大值為C．四邊形ABEF面積的最大值為D．該線段AE、BF的中點分別為M、N，直線MN恒過定點例11．（2022·全國·高二專題練習）若圓上至少有三個不同點到直線的距離為，則的取值范圍__．例12．（2022·山東煙臺·三模）已知動點到點的距離是到點的距離的2倍，記點的軌跡為，直線交于，兩點，，若的面積為2，則實數(shù)的值為___________．例13．（2022·河南·高三階段練習（文））直線與圓C：相交于M，N兩點，則______．例14．（2022·天津·高考真題）若直線與圓相交所得的弦長為，則_____．例15．（2022·全國·模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，過點的直線l與圓相交于M，N兩點，若，則直線l的斜率為__________．例16．（2022·全國·高三專題練習（文））已知曲線y=與直線kx?y+k?1=0有兩個不同的交點，則實數(shù)k的取值范圍是_____．例17．（2022·全國·高三專題練習）已知直線：和圓：．（1）求圓的圓心、半徑（2）求證：無論為何值，直線總與圓有交點；（3）為何值時，直線被圓截得的弦最短？求出此時的弦長．例18．（2022·全國·模擬預測）在平面直角坐標系中，點，直線-1），動點滿足，則動點的軌跡的方程為______，若的對稱中心為與交于兩點，則的方程為面積的最大值為______．【方法技巧與總結(jié)】（1）研究直線與圓的相交問題，應(yīng)牢牢記住三長關(guān)系，即半徑長、弦心距和半徑之間形成的數(shù)量關(guān)系．（2）弦長問題=1\*GB3①利用垂徑定理：半徑，圓心到直線的距離，弦長具有的關(guān)系，這也是求弦長最常用的方法．=2\*GB3②利用交點坐標：若直線與圓的交點坐標易求出，求出交點坐標后，直接用兩點間的距離公式計算弦長．=3\*GB3③利用弦長公式：設(shè)直線，與圓的兩交點，將直線方程代入圓的方程，消元后利用根與系數(shù)關(guān)系得弦長：．題型二：直線與圓的相切關(guān)系、切點弦問題例19．（2022·湖北·模擬預測）已知圓：，為過的圓的切線，為上任一點，過作圓：的切線，則切線長的最小值是__________．例20．（2022·天津市第四十七中學模擬預測）過點與圓相切的直線是_________．例21．（2022·全國·高三專題練習）已知圓O：則，過點作圓的切線，則切線的方程為___________．例22．（2022·廣東·高三開學考試）過點作圓的兩條切線，切點分別為、，則直線的方程為_______．例23．（2022·河南·鄭州四中高三階段練習（文））已知圓，點P是直線上的動點，過P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則的最小值為______．例24．（2022·全國·高三專題練習）已知直線，若P為l上的動點，過點P作的切線，切點為A、B，當最小時，直線的方程為__________．例25．（2022·全國·高三專題練習）已知點Q是直線：上的動點，過點Q作圓：的切線，切點分別為A，B，則切點弦AB所在直線恒過定點___________．例26．（多選題）（2022·江蘇省贛榆高級中學模擬預測）已知點在直線上，點在圓上，則下列說法正確的是（

）A．點到的最大距離為B．若被圓所截得的弦長最大，則C．若為圓的切線，則的取值范圍為D．若點也在圓上，則到的距離的最大值為例27．（2022·河南·溫縣第一高級中學高三階段練習（理））設(shè)P為直線上的動點，過點P作圓C：的兩條切線，切點分別為A，B，則四邊形PACB面積的最小值為（

）．A． B． C． D．2例28．（2022·全國·高三專題練習）已知是半徑為1的動圓上一點，為圓上一動點，過點作圓的切線，切點分別為，，則當取最大值時，△的外接圓的方程為（

）A． B．C． D．例29．（多選題）（2022·全國·模擬預測）已知直線，過直線上任意一點M作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則有（

）A．四邊形MACB面積的最小值為 B．最大度數(shù)為60°C．直線AB過定點 D．的最小值為【方法技巧與總結(jié)】（1）圓的切線方程的求法=1\*GB3①點在圓上，法一：利用切線的斜率與圓心和該點連線的斜率的乘積等于，即．法二：圓心到直線的距離等于半徑．=2\*GB3②點在圓外，則設(shè)切線方程：，變成一般式：，因為與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出．注意：因為此時點在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個根，若方程只有一個根，則還有一條切線的斜率不存在，務(wù)必要把這條切線補上．（2）常見圓的切線方程過圓上一點的切線方程是；過圓上一點的切線方程是．過圓外一點作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為過曲線上，做曲線的切線，只需把替換為，替換為，替換為，替換為即可，因此可得到上面的結(jié)論．題型三：直線與圓的相離關(guān)系例30．（2022?荔灣區(qū)校級模擬）由直線上的點向圓引切線，則切線長的最小值為A． B． C． D．例31．已知點為圓上的動點，則點到直線的距離的最小值為．例32．（2022?洛陽二模）已知點是直線上一動點，、是圓的兩條切線，、是切點，若四邊形的最小面積是2，則的值為．例33．（2022春?個舊市校級期末）已知圓和定點，由圓外一點向圓引切線，切點為，且滿足．（1）求實數(shù)、間滿足的等量關(guān)系；（2）求線段長的最小值．例34．（多選題）（2022·全國·模擬預測）已知點在圓上，點，，則（

）A．點到直線的距離最大值為B．滿足的點有3個C．過點作圓的兩切線，切點分別為?，則直線的方程為D．的最小值是【方法技巧與總結(jié)】關(guān)于直線與圓的相離問題的題目大多是最值問題，即直線上的點與圓上的點的最近或最遠距離問題，這樣的題目往往要轉(zhuǎn)化為直線上的點與圓心距離的最近和最遠距離再加減半徑長的問題．題型四：圓與圓的位置關(guān)系例35．（2022·全國·高三專題練習）已知圓，圓圓與圓相切，并且兩圓的一條外公切線的斜率為7，則為_________．例36．（2022·全國·高考真題）寫出與圓和都相切的一條直線的方程________________．例37．（2022·黑龍江·雙鴨山一中高三開學考試（文））若圓與圓外切，則實數(shù)的值是（

）A． B． C．24 D．16例38．（2022·廣西桂林·模擬預測（文））圓與圓的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．內(nèi)切 C．外切 D．相離例39．（2022·陜西·西安中學一模（理））在平面直角坐標系中，圓：與圓：，則兩圓的公切線的條數(shù)是（

）A．4條 B．3條 C．2條 D．1條例40．（2022·全國·高三專題練習）圓與圓至少有三條公切線，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．例41．（2022·云南師大附中高三階段練習（文））已知圓：，圓：（且），則圓與圓的公切線有（

）A．4條 B．1條 C．2條 D．3條例42．（2022·山東聊城·二模）已知點在圓：上，點，，滿足的點的個數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．0例43．（2022·云南省下關(guān)第一中學高三開學考試）若圓上總存在兩個點到點的距離為2，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．例44．（2022·福建·三明一中模擬預測）已知圓，圓，若圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，使得，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例45．（2022·全國·高三專題練習）已知圓C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切線，若a，b∈R且ab≠0，則＋的最小值為（

）A．3 B．8 C．4 D．9例46．（2022·河南·模擬預測（文））下列方程中，圓與圓的公切線方程是（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】已知兩圓半徑分別為，兩圓的圓心距為，則：（1）兩圓外離；（2）兩圓外切；（3）兩圓相交；（4）兩圓內(nèi)切；（5）兩圓內(nèi)含；題型五：兩圓的公共弦問題例47．（2022·全國·高三專題練習）設(shè)點P為直線上的點，過點P作圓C：的兩條切線，切點分別為A，B，當四邊形PACB的面積取得最小值時，此時直線AB的方程為（

）A． B．C． D．例48．（2022·河南·二模（文））已知圓與圓的公共弦所在直線恒過點P，則點P的坐標為（

）A． B． C． D．例49．（2022·浙江省普陀中學高三階段練習）圓與的公共弦長為（

）A． B． C． D．例50．（2022·全國·高三專題練習）圓與圓公共弦所在直線的方程為（

）A． B． C． D．例51．（2022·全國·高三專題練習）已知圓與圓交于不同的，兩點，下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．例52．（2022·全國·高三專題練習）已知圓與圓相交于點，，則四邊形的面積是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【方法技巧與總結(jié)】兩圓的公共弦方程為兩圓方程相減可得．【過關(guān)測試】一、單選題1．不論k為何值，直線都與圓相交，則該圓的方程可以是（）A． B．C． D．2．已知圓O：，已知直線l：與圓O的交點分別M，N，當直線l被圓O截得的弦長最小時，（

）A． B． C． D．3．過點的直線與圓：交于，兩點，當弦取最大值時，直線的方程為（

）A． B． C． D．4．若直線與圓交于不同的兩點A、B，且，則（

）A． B． C． D．5．若點到直線的距離分別為1和4，則這樣的直線共有（

）條A．4 B．3 C．2 D．16．已知圓截直線所得的弦長為，則圓C與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切7．設(shè)，O為坐標原點，點P滿足，若直線上存在點Q使得，則實數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．點M為直線上一點，過點M作圓O：的切線MP，MQ，切點分別為P，Q，當四邊形MPOQ的面積最小時，直線PQ的方程為（

）A．x＋y－2＝0 B．C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0二、多選題9．已知圓和直線，則（

）A．直線與圓的位置關(guān)系無法判定B．當時，圓上的點到直線的最遠距離為C．當圓上有且僅有3個點到直線的距離等于1時，D．如果直線與圓相交于兩點，則弦的中點的軌跡是一個圓10．已知圓C：，直線l過點，若將圓C向上平移4個單位長度，再向右平移3個單位長度得到圓，則下列說法正確的有（

）A．若直線l與圓C相切，則直線l的方程為3x＋4y－10＝0B．若直線l與圓C交于A，B兩點，且ABC的面積為2，則直線l的方程為x＋y－2＝0或7x＋y＋10＝0C．若過點的直線與圓C交于M，N兩點，則當CMN面積最大時，直線的斜率為1或－1D．若Q是x軸上的動點，QR，QS分別切圓于R，S兩點，則直線RS恒過一個定點11．已知點是圓上的任意一點，直線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線與圓的位置關(guān)系只有相交和相切兩種B．圓的圓心到直線距離的最大值為C．點到直線距離的最小值為D．點可能在圓上12．若實數(shù)x，y滿足