專題35圓的方程【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】知識(shí)點(diǎn)一：基本概念平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合（軌跡）叫圓．知識(shí)點(diǎn)二：基本性質(zhì)、定理與公式1．圓的四種方程（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，圓心坐標(biāo)為（a，b），半徑為（2）圓的一般方程：，圓心坐標(biāo)為，半徑（3）圓的直徑式方程：若，則以線段AB為直徑的圓的方程是（4）圓的參數(shù)方程：①的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；②的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．注意：對(duì)于圓的最值問題，往往可以利用圓的參數(shù)方程將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為（為參數(shù)，為圓心，r為半徑），以減少變量的個(gè)數(shù)，建立三角函數(shù)式，從而把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題，然后利用正弦型或余弦型函數(shù)的有界性求解最值．2．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：①點(diǎn)P在圓外；②點(diǎn)P在圓上；③點(diǎn)P在圓內(nèi)．（2）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：①點(diǎn)P在圓外；②點(diǎn)P在圓上；③點(diǎn)P在圓內(nèi)．【題型歸納目錄】題型一：求圓多種方程的形式題型二：直線系方程和圓系方程題型三：與圓有關(guān)的軌跡問題題型四：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件題型五：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷題型六：數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用題型七：與圓有關(guān)的對(duì)稱問題題型八：圓過定點(diǎn)問題【典型例題】題型一：求圓多種方程的形式例1．已知的圓心是坐標(biāo)原點(diǎn)，且被直線截得的弦長(zhǎng)為，則的方程為（

）A． B．C． D．例2．過點(diǎn)（7，-2）且與直線相切的半徑最小的圓方程是（

）A． B．C． D．例3．若圓C與直線：和：都相切，且圓心在y軸上，則圓C的方程為（

）A． B．C． D．例4．過點(diǎn)的圓與直線相切于點(diǎn)，則圓的方程為（）A． B．C． D．例5．已知直線與以點(diǎn)為圓心的圓相交于A，B兩點(diǎn)，且，則圓C的方程為（）A． B．C． D．例6．直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，，以線段為直徑的圓的方程為（）A． B．C． D．例7．過點(diǎn)，，且圓心在直線上的圓的方程是（）A． B．C． D．例8．過點(diǎn)作圓兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的外接圓方程是（）A． B．C． D．例9．已知三個(gè)點(diǎn)，，，則的外接圓的圓心坐標(biāo)是___________．例10．圓心在直線y＝－2x上，并且經(jīng)過點(diǎn)，與直線x＋y＝1相切的圓C的方程是______．【方法技巧與總結(jié)】（1）求圓的方程必須具備三個(gè)獨(dú)立的條件，從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程上來講，關(guān)鍵在于求出圓心坐標(biāo)（a，b）和半徑r；從圓的一般方程來講，必須知道圓上的三個(gè)點(diǎn)．因此，待定系數(shù)法是求圓的方程常用的方法．（2）用幾何法來求圓的方程，要充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)，如圓心在圓的任一條弦的垂直平分線上，半徑、弦心距、弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成直角三角形等．題型二：直線系方程和圓系方程例11．過圓與的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程是_______．例12．已知圓與圓相交于A、B兩點(diǎn)．（1）求公共弦AB所在直線方程；（2）求過兩圓交點(diǎn)A、B，且過原點(diǎn)的圓的方程．例13．已知圓．求證：對(duì)任意不等于的實(shí)數(shù)，方程是通過兩個(gè)已知圓交點(diǎn)的圓的方程．例14．已知圓和圓．（1）求證：兩圓相交；（2）求過點(diǎn)，且過兩圓交點(diǎn)的圓的方程．【方法技巧與總結(jié)】求過兩直線交點(diǎn)（兩圓交點(diǎn)或直線與圓交點(diǎn)）的直線方程（圓系方程）一般不需求其交點(diǎn)，而是利用它們的直線系方程（圓系方程）．（1）直線系方程：若直線與直線相交于點(diǎn)P，則過點(diǎn)P的直線系方程為：簡(jiǎn)記為：當(dāng)時(shí)，簡(jiǎn)記為：（不含）（2）圓系方程：若圓與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則過A，B兩點(diǎn)的圓系方程為：簡(jiǎn)記為：，不含當(dāng)時(shí)，該圓系退化為公共弦所在直線（根軸）注意：與圓C共根軸l的圓系題型三：與圓有關(guān)的軌跡問題例15．已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)P的軌跡為___________．例16．古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓．在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．例17．若圓與圓的公共弦的長(zhǎng)為1，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．C．中點(diǎn)的軌跡方程為D．中點(diǎn)的軌跡方程為例18．已知圓，直線，過上的點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則弦中點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．例19．已知A，B為圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P為弦的中點(diǎn)，若，則點(diǎn)P的軌跡方程為（）A． B．C． D．例20．（多選題）已知，過定點(diǎn)的直線為與過定點(diǎn)的直線，兩條動(dòng)直線的交點(diǎn)為，則（

）A．定點(diǎn)B．定點(diǎn)C．點(diǎn)的軌跡方程為D．的最大值為例21．（多選題）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知，，是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列條件中使得點(diǎn)的軌跡為圓的有（

）A． B．C． D．例22．在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，邊AB、BC上分別有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q、R，且．求直線AR與DQ的交點(diǎn)P的軌跡方程．例23．已知圓C過點(diǎn)，，．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)P是直線與直線的交點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線與圓C交于點(diǎn)A，B，求弦的中點(diǎn)M的軌跡方程．例24．已知圓，平面上一動(dòng)點(diǎn)P滿足：且，．求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；例25．已知圓，直線l滿足___________（從①l過點(diǎn)，②l斜率為2，兩個(gè)條件中，任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問題中并作答），且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求AB中點(diǎn)M的軌跡方程．例26．直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，O為圓心，當(dāng)k變化時(shí)，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．例27．設(shè)不同的兩點(diǎn)A，B在橢圓上運(yùn)動(dòng)，以線段AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O，過O作，M為垂足．求點(diǎn)M的軌跡方程；例28．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓上．（1）求圓的方程；（2）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程．【方法技巧與總結(jié)】要深刻理解求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程就是探求動(dòng)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)x，y的等量關(guān)系，根據(jù)題目條件，直接找到或轉(zhuǎn)化得到與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的數(shù)量關(guān)系，是解決此類問題的關(guān)鍵所在．題型四：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件例29．若方程表示圓，則的取值范圍為________．例30．設(shè)甲：實(shí)數(shù)；乙：方程是圓，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例31．已知點(diǎn)A（1，2）在圓C：外，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．例32．若方程表示一個(gè)圓，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．例33．曲線上存在兩點(diǎn)A，B到直線到距離等于到的距離，則（

）A．12 B．13 C．14 D．15例34．“”是“方程是圓的方程”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例35．已知點(diǎn)在圓C：的外部，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．例36．方程表示的曲線為（

）A．兩條線段 B．一條線段和一個(gè)圓C．一條線段和半個(gè)圓 D．一條射線和半個(gè)圓例37．已知a∈R，若方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則此圓的圓心坐標(biāo)為（

）A．（－2，－4） B．C．（－2，－4）或 D．不確定【方法技巧與總結(jié)】方程表示圓的充要條件是，故在解決圓的一般式方程的有關(guān)問題時(shí)，必須注意這一隱含條件．在圓的一般方程中，圓心為，半徑題型五：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷例38．已知直線過點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．例39．已知點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】在處理點(diǎn)與圓的位置關(guān)系問題時(shí)，應(yīng)注意圓的不同方程形式對(duì)應(yīng)的不同判斷方法，另外還應(yīng)注意其他約束條件，如圓的一般方程的隱含條件對(duì)參數(shù)的制約．題型六：數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用例40．（多選題）關(guān)于曲線：，下列說法正確的是（

）A．曲線圍成圖形的面積為B．曲線所表示的圖形有且僅有條對(duì)稱軸C．曲線所表示的圖形是中心對(duì)稱圖形D．曲線是以為圓心，為半徑的圓例41．直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．則b的取值范圍是__________．例42．若關(guān)于的方程有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．例43．已知函數(shù)的圖像上有且僅有兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在的圖像上，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________．例44．已知是定義在上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，若方程的所有根的和為6，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．例45．廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽兩魚互糾在一起，因而被習(xí)稱為“陰陽魚太極圖”如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”整個(gè)圖形是一個(gè)圓形區(qū)域．其中黑色陰影區(qū)域在y軸左側(cè)部分的邊界為一個(gè)半圓．已知符號(hào)函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，下列不等式能表示圖中陰影部分的是（

）A． B．C． D．例46．已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P，滿足圓上存在一點(diǎn)Q使得，則所有滿足條件的點(diǎn)P構(gòu)成圖形的面積為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】研究曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題常用數(shù)形結(jié)合法，即需要作出兩種曲線的圖像．在此過程中，尤其要注意需對(duì)代數(shù)式進(jìn)行等價(jià)變形，以防出現(xiàn)錯(cuò)誤．題型七：與圓有關(guān)的對(duì)稱問題例47．若直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則，的值分別是（

）A．， B．，4C．， D．，4例48．圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程是（

）A． B．C． D．例49．已知圓關(guān)于直線（，）對(duì)稱，則的最小值為（

）A． B．9 C．4 D．8例50．設(shè)點(diǎn)，若直線關(guān)于對(duì)稱的直線與圓有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是________．例51．若圓關(guān)于直線和直線都對(duì)稱，則D＋E的值為_________．【方法技巧與總結(jié)】（1）圓的軸對(duì)稱性：圓關(guān)于直徑所在的直線對(duì)稱（2）圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：①求已知圓關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標(biāo)準(zhǔn)方程②兩圓關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱，則此點(diǎn)為兩圓圓心連線的中點(diǎn)（3）圓關(guān)于直線對(duì)稱：①求已知圓關(guān)于某條直線對(duì)稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標(biāo)準(zhǔn)方程②兩圓關(guān)于某條直線對(duì)稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線題型八：圓過定點(diǎn)問題例52．點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)（

）A．和 B．和 C．和 D．和例53．一動(dòng)圓的圓心在拋物線上，且該動(dòng)圓恒與直線相切，則動(dòng)圓必經(jīng)過的定點(diǎn)為（

）A． B． C． D．例54．已知直線，圓，則直線l與圓C的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定例55．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)．經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為．（I）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（II）求圓的一般方程；（III）圓是否經(jīng)過某個(gè)定點(diǎn)（其坐標(biāo)與無關(guān)）？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．例56．判別方程（k為參數(shù)，）表示何種曲線?找出通過定點(diǎn)的坐標(biāo)．【方法技巧與總結(jié)】特殊值法【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．82．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知P是半圓C：上的點(diǎn)，Q是直線上的一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．3．（2022·北京市第十二中學(xué)三模）已知直線l過圓的圓心，且與直線2x＋y－3＝0垂直，則l的方程為（

）A．x－2y＋1＝0 B．x＋2y－1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x－2y－1＝04．（2022·河南·寶豐縣第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知p：，q：關(guān)于x，y的方程表示圓，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的外接圓的一般方程為（

）A． B．C． D．6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（

）A． B．C． D．7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線相交于點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B．C． D．8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線與圓：相交于，兩點(diǎn)，若，則的值為（

）A．或0 B．或4 C．0或4 D．或2二、多選題9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知定點(diǎn)、，是動(dòng)點(diǎn)且直線、的斜率之積為，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡可能是（

）A．圓的一部分 B．橢圓的一部分 C．雙曲線的一部分 D．拋物線的一部分10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓的一般方程為，則下列說法正確的是（

）A．圓的圓心為 B．圓的半徑為5C．圓被軸截得的弦長(zhǎng)為6 D．圓被軸截得的弦長(zhǎng)為611．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓關(guān)于軸對(duì)稱，經(jīng)過點(diǎn)且被軸分成兩段，弧長(zhǎng)比為，則圓的方程為（

）A． B．C． D．12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓被軸分成兩部分的弧長(zhǎng)之比為，且被軸截得的弦長(zhǎng)為4，當(dāng)圓心到直線的距離最小時(shí)，圓的方程為（

）A． B．C． D．三、填空題13．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））圓心為，且截直線所得弦長(zhǎng)為的圓的方程為___________．14．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知圓C的圓心為C（1，1），且經(jīng)過直線上的點(diǎn)P，則周長(zhǎng)最小的圓C的方程是________________．15．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））若不同的四點(diǎn)A（5，0），B（－1，0），C（－3，3），D（a，3）共圓，則a的值為________．16．（2022·上?！つM預(yù)測(cè)）設(shè)直線系，對(duì)于下列四個(gè)命題：①M(fèi)中所有直線均經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)；②存在定點(diǎn)P不在M中的任一條直線上；③對(duì)于任意整數(shù)，存在正n邊形，使其所有邊均在M中的直線上；④M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等．其中真命題的序號(hào)是_________（寫出所有真命題的序號(hào)）四、解答題17．（2022·陜西·武功縣普集高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A（2，-1），和直線x+y=1相切，且圓心在直線y=-2x上．（1）求