1本章主要內(nèi)容時(shí)域離散信號(hào)的基本概念及典型序列時(shí)域離散系統(tǒng)的定義及其性質(zhì)模擬信號(hào)數(shù)字處理方法確定性信號(hào)的相關(guān)函數(shù)線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入/輸出

δ(n)求解法時(shí)域離散系統(tǒng)的輸入輸出法：線性常系數(shù)差分方程21.1引言信號(hào)的分類系統(tǒng)的分類3信號(hào)的分類時(shí)域連續(xù)信號(hào)（模擬信號(hào)）：信號(hào)的自變量和函數(shù)值都取連續(xù)值，例如語(yǔ)言信號(hào)、溫度信號(hào)等；時(shí)域離散信號(hào)：如果自變量取離散值，而函數(shù)值取連續(xù)值，這種信號(hào)通常來源于對(duì)模擬信號(hào)的采樣；數(shù)字信號(hào)：信號(hào)的自變量和函數(shù)值均取離散值。4

采樣間隔T=0.005s進(jìn)行等間隔采樣，得時(shí)域離散信號(hào)x(n)，

={…

，0.0，0.6364，0.9，0.6364，0.0，-0.6364，-0.9，-0.6364，…}顯然,時(shí)域離散信號(hào)是時(shí)間離散化的模擬信號(hào)。如果用四位二進(jìn)制數(shù)表示該時(shí)域離散信號(hào)，得到相應(yīng)的數(shù)字信號(hào)x［n］={…，0.000，0.101，0.111，0.101，0.000，1.101，1.111，1.101，…

}數(shù)字信號(hào)是幅度、時(shí)間均離散化的模擬信號(hào)，或者說是幅度離散化的時(shí)域離散信號(hào)。

模擬信號(hào)5系統(tǒng)的分類模擬系統(tǒng)時(shí)域離散系統(tǒng)數(shù)字系統(tǒng)模擬網(wǎng)絡(luò)和數(shù)字網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的混合系統(tǒng)61.2時(shí)域離散信號(hào)—序列序列的定義及表示序列的基本運(yùn)算常用的典型序列序列的周期性用單位脈沖序列表示任意序列71.2.1序列的定義及表示序列的定義數(shù)字序列：離散時(shí)間信號(hào){-2,5,-6,8,3,-7}一般只在均勻間隔的離散時(shí)間nT上給出數(shù)值{…,x(-2T),X(-1T),X(0),X(T),X(2T),…}序列的表示用集合符號(hào)表示用公式表示用圖形表示8序列表示x(n)={x(n)}，-∞＜n＜+∞n代表nTnT指均勻間隔的離散時(shí)間點(diǎn)T采樣時(shí)間間隔n為非整數(shù)時(shí)沒有定義，不能認(rèn)為此時(shí)x(n)的值是零

用集合符號(hào)表示x(n)={……,x(-2),x(-1),x(0),x(1),x(2),….}用公式表示9

序列表示用圖形表示101.2.1常用的典型序列單位脈沖序列單位階躍序列矩形序列實(shí)指數(shù)序列正弦序列復(fù)指數(shù)序列周期序列任意序列表示11單位脈沖序列δ(n)只在n=0時(shí)取確定值1，其它均為零δ(n)類似于δ(t)，注意二者的定義與區(qū)別δ(n-m)只有在n=m時(shí)取確定值1，而其余點(diǎn)取值均為零

12單位階躍序列u(n)類似于u(t)u(t)在t=0時(shí)常不定義u(n)在n=0時(shí)為u(0)=1

δ(n)和u(n)的關(guān)系：δ(n)=u(n)-u(n-1)

13矩形序列

N為矩形序列的長(zhǎng)度

和u(n)、δ(n)的關(guān)系

：14實(shí)指數(shù)序列a為實(shí)數(shù)當(dāng)|a|＜1時(shí)序列收斂當(dāng)|a|＞1時(shí)序列發(fā)散

15正弦序列

A為幅度ω為數(shù)字域頻率φ為起始相位

設(shè)x(n)由x(t)=sinΩt取樣得到（A、φ與頻率無關(guān)

不考慮）x(n)=Asin(ωn+φ)

ω=ΩT=Ω/fs,ω與Ω線性關(guān)系,ω的單位為rad16復(fù)指數(shù)序列

ω為數(shù)字域頻率用實(shí)部與虛部表示

用極坐標(biāo)表示

只考慮頻率令σ=0，序列頻率ω呈現(xiàn)以2π為周期的周期性后續(xù)研究中頻率域只考慮或就夠了17

周期序列

對(duì)于序列x(n)，如果對(duì)所有n存在一個(gè)最小的正整數(shù)N，對(duì)任意整數(shù)m滿足x(n)=x(n+mN)則序列x(n)是周期序列，最小周期為N。以正弦序列為例討論周期性設(shè)x(n)=Asin(ωn+φ)

則有

x(n+N)=Asin[ω(n+N)+φ]=Asin(ωN+ωn+φ)

若滿足條件ωN=2kπ，則x(n+N)=Asin[ω(n+N)+φ]=Asin(ωn+φ)=x(n)18周期序列N、k為整數(shù)，k的取值滿足條件，且保證N最小正整數(shù)。其周期為

2π/ω為整數(shù)時(shí)，取k=1，保證為最小正整數(shù)。此時(shí)為周期序列，周期為2π/ω。

例1.4

序列，因?yàn)?π/ω=8，所以是一個(gè)周期序列，其周期N=8。

19周期序列2π/ω為有理數(shù)而非整數(shù)時(shí)，仍然是周期序列，周期大于2π/ω。例1.5

序列，2π/ω=8/3是有理數(shù)，所以是周期序列，取k=3，得到周期N=8。

2π/ω為無理數(shù)時(shí)，任何k都不能使N為正整數(shù)，這時(shí)正弦序列不是周期序列。例序列指數(shù)為純虛數(shù)的復(fù)指數(shù)序列的周期性與正弦序列的情況相同。

20

用單位脈沖序列表示任意序列

任何序列都可以用單位脈沖序列的移位加權(quán)和來表示，即x(n)可看成是x(n)和δ(n)的卷積和，式中例1.6

211.2.2序列的基本運(yùn)算和積移位標(biāo)乘翻轉(zhuǎn)累加差分時(shí)間尺度變換序列能量卷積和22基本運(yùn)算—序列的和

設(shè)序列為x(n)和y(n)，則序列z(n)=x(n)+y(n)

表示兩個(gè)序列的和，定義為同序號(hào)的序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相加。23例：序列的和例：

設(shè)序列計(jì)算序列的和x(n)+y(n)。解：24例：序列求和圖示25基本運(yùn)算—序列的積

設(shè)序列為x(n)和y(n)，則序列z(n)=x(n)?y(n)

表示兩個(gè)序列的積，定義為同序號(hào)的序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相乘。26例：序列的積例：

設(shè)序列計(jì)算序列的和x(n)?y(n)。解：27例：序列求積圖示x(n)28基本運(yùn)算—序列的移位

設(shè)序列為x(n)，則序列y(n)=x(n-m)表示將序列x(n)進(jìn)行移位。

m為正時(shí)x(n-m)：x(n)逐項(xiàng)依次延時(shí)(右移)m位x(n+m)：x(n)逐項(xiàng)依次超前(左移)m位

m為負(fù)時(shí)，則相反。29例：序列的移位例：

設(shè)序列計(jì)算序列的和x(n+1)。解：30例：序列移位圖示x(n)31基本運(yùn)算—序列的標(biāo)乘

設(shè)序列為x(n)，a為常數(shù)(a≠0)，則序列y(n)=ax(n)

表示將序列x(n)的標(biāo)乘，定義為各序列值均乘以a，使新序列的幅度為原序列的a倍。32例：序列的標(biāo)乘例：

設(shè)序列計(jì)算序列4x(n)。解：33基本運(yùn)算—序列的翻轉(zhuǎn)

設(shè)序列為x(n)，則序列y(n)=x(-n)

表示以n=0的縱軸為對(duì)稱軸將序列x(n)加以翻轉(zhuǎn)。34例：序列的翻轉(zhuǎn)例：

設(shè)序列計(jì)算序列x(-n)。解：35基本運(yùn)算—序列的累加

設(shè)序列為x(n)，則序列

定義為對(duì)x(n)的累加，表示將n以前的所有x(n)值求和。36基本運(yùn)算—序列的差分前向差分：將序列先進(jìn)行左移，再相減Δx(n)=x(n+1)-x(n)后向差分：將序列先進(jìn)行右移，再相減

▽x(n)=x(n)-x(n-1)由此，容易得出▽x(n)=Δx(n-1)37基本運(yùn)算—時(shí)間尺度(比例)變換

設(shè)序列為x(n)，m為正整數(shù)，則序列

抽取序列

y(n)=x(mn)

x(mn)和x(n/m)定義為對(duì)x(n)的時(shí)間尺度變換。

插值序列

38插值序列x(n/m)：對(duì)x(n)進(jìn)行零值內(nèi)插運(yùn)算表示在原序列x(n)相鄰兩點(diǎn)之間插入m-1個(gè)零值點(diǎn)

保留

x(0)39基本運(yùn)算—序列的能量

設(shè)序列為x(n)，則序列

定義為序列的能量，表示序列各取樣值的平方之和；

若為復(fù)序列，取模值后再求平方和。401.3時(shí)域離散系統(tǒng)

時(shí)域離散系統(tǒng)的定義及表示

線性時(shí)不變系統(tǒng)

線性時(shí)不變系統(tǒng)h(n)與I/O關(guān)系線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)

系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性

41時(shí)域離散系統(tǒng)的定義及表示時(shí)域離散系統(tǒng)定義為將輸入序列x(n)映射成輸出序列y(n)的惟一變換或運(yùn)算。以T[·]表示這種運(yùn)算y(n)=T[x(n)]對(duì)變換T[·]加以不同的約束條件，所定義的系統(tǒng)就具有不同的特性和功能。線性時(shí)不變系統(tǒng):最重要、最常用，可表征許多物理過程。421.3.1、1.3.2線性時(shí)不變系統(tǒng)

線性系統(tǒng)滿足疊加原理疊加原理包含可加性和齊次性兩方面性質(zhì)

時(shí)不變系統(tǒng)系統(tǒng)的響應(yīng)與輸入信號(hào)施加于系統(tǒng)的時(shí)刻無關(guān)運(yùn)算關(guān)系在整個(gè)運(yùn)算過程中不隨時(shí)間而變化

線性時(shí)不變系統(tǒng)

既滿足疊加原理，又滿足時(shí)不變性的系統(tǒng)

43線性系統(tǒng)

設(shè)系統(tǒng)的輸入序列與輸出分別為可加性:如果系統(tǒng)的輸入之和與輸出之和滿足齊次性(或比例性):設(shè)a為常數(shù)，系統(tǒng)的輸入增大a倍，輸出也增大a倍線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)（不滿足可加性與齊次性）44例：證明一個(gè)線性系統(tǒng)注意：必須證明系統(tǒng)同時(shí)滿足可加性和齊次性，且信號(hào)及比例常數(shù)都可以是復(fù)數(shù)。例：

試分析下列系統(tǒng)是否是線性系統(tǒng)

(1)y(n)=2x(n)-3，(2)y(n)=x(Mn)，其中M為正整數(shù)。不滿足疊加原理，非線性系統(tǒng)

滿足疊加原理，線性系統(tǒng)

45時(shí)不變系統(tǒng)

輸入序列x(n)移動(dòng)任意m位后，輸出序列y(n)也移動(dòng)m位，數(shù)值卻保持不變。

m為任意常整數(shù)

時(shí)不變系統(tǒng)也稱為移不變系統(tǒng)

46例：證明一個(gè)時(shí)不變系統(tǒng)例：

試分析下列系統(tǒng)的時(shí)不變性

(1)y(n)=2x(n)-3，(2)y(n)=x(Mn)，其中M為正整數(shù)。二者相等，具有時(shí)不變性

時(shí)變系統(tǒng)

471.3.3線性時(shí)不變系統(tǒng)h(n)與I/O關(guān)系

單位脈沖響應(yīng)(單位取樣響應(yīng))h(n)=T[δ(n)]線性時(shí)不變系統(tǒng)輸入為δ(n)時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)線性時(shí)不變系統(tǒng)特性都可以用它的單位脈沖響應(yīng)h(n)來表征已知h(n)

可得到線性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)任意輸入的輸出

時(shí)域離散系統(tǒng)：

完全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)48I/O關(guān)系推導(dǎo)

用δ(n)表示x(n)系統(tǒng)輸出

疊加原理

時(shí)不變性

I/O關(guān)系:

線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸出等于輸入序列和單位脈沖響應(yīng)h(n)的卷積。

49

線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)

交換律結(jié)合律分配律可以推廣到多個(gè)系統(tǒng)的情況，由卷積和的定義可以很容易加以證明。

50

序列的卷積和

設(shè)序列為x(n)和z(n)，則序列

定義為x(n)和z(n)的卷積和。卷積和又稱為離散卷積或線性卷積，是很重要的公式。

線性時(shí)不變系統(tǒng)的I/O關(guān)系：

就是序列卷積和的運(yùn)算！51卷積和計(jì)算的四個(gè)步驟(1)翻轉(zhuǎn)：x(m)，x(m)→x(-m)(2)移位：z(m)→

z(n-m)n為正數(shù)時(shí)，右移n位

n為負(fù)數(shù)時(shí)，左移n位

(3)相乘：x(m)z(n-m),（m值相同）

(4)相加：y(n)=∑x(m)z(n-m)52對(duì)應(yīng)點(diǎn)相乘！例：卷積和計(jì)算例

設(shè)序列求y(n)=x(n)*z(n)。解：

n＜0時(shí)，x(m)與z(n-m)沒有重疊，得y(n)=0。

0≤n≤4時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)相乘！53例：卷積和計(jì)算

4＜n≤6時(shí)，6＜n≤10時(shí)，n＞10時(shí)，x(m)與z(n-m)沒有重疊，得y(n)=0。

54

例：已知x(n)=R4(n),h(n)=R4(n),求y(n)=x(n)*h(n)。解計(jì)算卷積的基本運(yùn)算是翻轉(zhuǎn)、移位、相乘和相加。計(jì)算方法：圖解法、解析法線性時(shí)不變系統(tǒng)的I/O求解55例1.3線性卷積首先將h(n)用h(m)表示，并將波形翻轉(zhuǎn)，得到h(－m)，然后將h(－m)移位n，得到h(n－m)，n>0,序列右移；n<0，序列左移。如n=1，得到h(1-m)，接著將h(m)和h(n－m)相乘后，再相加,得到y(tǒng)(n)的一個(gè)值。對(duì)所有的n重復(fù)這種計(jì)算,最后得到卷積結(jié)果，如圖1.3.2(f)所示,y(n)表達(dá)式為y(n)={1,2,3,4,3,2,1}

圖解法56表1.3圖解法（列表法）

57

例：設(shè)x(n)=anu

(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。

解

關(guān)鍵：根據(jù)求和號(hào)內(nèi)的兩個(gè)信號(hào)乘積的非零值區(qū)間確定求和的上、下限。因?yàn)閚≥m時(shí)，u(n-m)才能取非零值；0≤m≤3時(shí)，R4(m)取非零值；所以，求和區(qū)間中m要同時(shí)滿足下面兩式：

m≤n

0≤m≤3這樣求和限與n有關(guān)系，必須將n進(jìn)行分段然后計(jì)算。解析法58n<0時(shí)，y(n)=00≤n≤3時(shí)，乘積的非零值范圍為0≤m≤n，因此n≥4時(shí)，乘積的非零區(qū)間為0≤m≤3，因此寫成統(tǒng)一表達(dá)式591.3.4系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性一般因果系統(tǒng)定義

系統(tǒng)某時(shí)刻的輸出y(n)只取決于此時(shí)刻x(n)和以前的輸入x(n-1)，x(n-2)，…，而和此時(shí)刻以后的輸入x(n+1)，x(n+2)，…無關(guān)。先因后果

因果系統(tǒng)的響應(yīng)不會(huì)出現(xiàn)于外加輸入之前。非因果系統(tǒng)

當(dāng)前的輸出還取決于未來的輸入，不符合因果關(guān)系。60因果性的充分必要條件

線性時(shí)不變系統(tǒng)具有因果性的充要條件

h(n)=0，n＜0證明充分條件若n＜0時(shí)，h(n)=0，則m>n時(shí)，h(n)=0因而

n0時(shí)刻的輸出

可見，y(n0)只與m≤n0時(shí)的x(m)有關(guān)，因而是因果系統(tǒng)。61因果條件證明證明利用反證法證明必要條件假設(shè)因果系統(tǒng)，n＜0時(shí)h(n)≠0，則

在所設(shè)條件下，第二個(gè)求和式中至少有一項(xiàng)不為零，y(n)將至少和m＞n時(shí)的某一個(gè)x(n)值有關(guān)，這不符合因果性，假設(shè)不成立。62例：判斷因果系統(tǒng)例：

判斷差分系統(tǒng)的因果性。(1)前向差分系統(tǒng):y(n)=x(n+1)-x(n);(2)后向差分系統(tǒng):y(n)=x(n)-x(n-1)

。解

因?yàn)榍跋虿罘窒到y(tǒng)的y(n)決定于x(n+1)，故系統(tǒng)為非因果的。而后向差分系統(tǒng)定義為y(n)=x(n)-x(n-1)，顯然是因果的。63穩(wěn)定系統(tǒng)一般穩(wěn)定系統(tǒng)定義

系統(tǒng)的每個(gè)有界輸入，對(duì)應(yīng)產(chǎn)生的輸出都有界。如果輸入滿足|x(n)|≤M＜+∞(M為正常數(shù))，有輸出|y(n)|≤P＜+∞(P為正常數(shù))。

判斷系統(tǒng)不穩(wěn)定只要找出一個(gè)特別的有界輸入，對(duì)應(yīng)的輸出是無界的，則該系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。

判斷系統(tǒng)穩(wěn)定必須證明所有有界輸入，其輸出都是有界的。64穩(wěn)定性的充分必要條件

線性時(shí)不變系統(tǒng)具有穩(wěn)定性的充要條件是其單位脈沖響應(yīng)絕對(duì)可和，即證明充分條件若式成立，對(duì)于所有n都有|x(n)|≤M，得

即輸出y(n)有界，系統(tǒng)穩(wěn)定。

65穩(wěn)定條件證明證明利用反證法證明必要條件假設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，但單位脈沖響應(yīng)不絕對(duì)可和

定義一個(gè)有界輸入計(jì)算輸出，令n=0則有即y(0)無界，系統(tǒng)不穩(wěn)定，因此假設(shè)不成立。

66例：判斷穩(wěn)定系統(tǒng)例：

判斷累加器系統(tǒng)的穩(wěn)定性解

考慮有界輸入x(n)=u(n)，累加器的輸出為

雖然n為有限值時(shí)，系統(tǒng)輸出也為有限值，但對(duì)于所有n值(包括+∞)不存在有限值P，使得(n+1)≤P＜+∞，故系統(tǒng)輸出無界。系統(tǒng)不穩(wěn)定

67例：判斷因果穩(wěn)定系統(tǒng)例：

已知線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)解

因?yàn)閚＜0時(shí)，u(-n-1)=1，所以h(n)≠0，故系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)。

所以|a|＞1時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定，|a|≤1時(shí)不穩(wěn)定。

式中a為實(shí)常數(shù)，討論其因果性和穩(wěn)定性。

收斂序列：如|a|＞1時(shí)，h(n)模值隨n加大而減小發(fā)散序列：如|a|≤1時(shí)，h(n)模值隨n加大而加大因?yàn)?.4時(shí)域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述法

——線性常系數(shù)差分方程描述一個(gè)系統(tǒng)可以不管系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)如何，將系統(tǒng)看成一個(gè)黑盒子，只描述系統(tǒng)的輸出與輸入之間的關(guān)系，這種描述法被稱為輸入輸出描述法。微分方程模擬系統(tǒng)差分方程時(shí)域離散系統(tǒng)狀態(tài)變量描述法線性時(shí)不變系統(tǒng)線性常系數(shù)差分方程T[·]x(n)y(n)時(shí)域離散系統(tǒng)用方程來描述兩種不同的描述方法返回1.4.1線性常系數(shù)差分方程一個(gè)N階線性常系數(shù)差分方程用下式描述：或，a0=1式中，x(n)和y(n)分別表示系統(tǒng)的輸入和輸出，系數(shù)ai和bi均為常系數(shù)，且x(n-i)和y(n-i)只有次冪，也沒有相互交叉的線性相乘項(xiàng)，故稱為線性常系數(shù)差分方程。1.4.2線性常系數(shù)差分方程的求解已知系統(tǒng)的輸入信號(hào)和描述系統(tǒng)的線性常系數(shù)差分方程，求解系統(tǒng)的輸出一般有三種方法：經(jīng)典解法:和求解微分方程解法類似，齊次解＋特解遞推解法：由初始值和輸入值遞推解出系統(tǒng)以后輸出值Z變換解法：適合計(jì)算機(jī)求解遞推解法：

觀察上式，如果已知輸入信號(hào)x(n)，求n時(shí)刻的輸出，需要知道輸入信號(hào)x(n)，以及n時(shí)刻以前的N個(gè)輸出信號(hào)值：y(n-1)，y(n-2)，y(n-3)，…，y(n-N)。這N個(gè)輸出信號(hào)值就構(gòu)成初始條件?？梢钥吹?，上式是一個(gè)遞推方程。如果已知輸入信號(hào)x(n)和N個(gè)初始條件，就可以求出n個(gè)時(shí)刻的輸出；如果將這公式中的n用n+1代替，就可求出n+1時(shí)刻的輸出，依此類推，可求出各個(gè)時(shí)刻的輸出。線性常系數(shù)差分方程的遞推解法72【例2.14】設(shè)系統(tǒng)用差分方程y(n)=ay(n－1)+x(n)描述，輸入序列x(n)=δ(n)，求輸出序列y(n)。解：該系統(tǒng)差分方程是一階差分方程，需要一個(gè)初始條件。遞推法求差分方程

（1）設(shè)初始條件:（2）設(shè)初始條件:

731.5模擬信號(hào)數(shù)字處理方法74

1.5.1采樣定理及A/D變換式中δ(t)是單位沖激信號(hào)，在上式中只有當(dāng)t=nT時(shí)，才可能有非零值，因此寫成下式：75對(duì)進(jìn)行傅里葉變換，得到式中，Ωs=2π/T，稱為采樣角頻率，單位是rad/s76理想采樣信號(hào)的頻譜是原模擬信號(hào)的頻譜沿頻率軸，每間隔采樣角頻率Ωs重復(fù)出現(xiàn)一次，或者說理想采樣信號(hào)的頻譜是原模擬信號(hào)的頻譜以Ωs為周期，進(jìn)行周期性延拓而成的。77圖1.5.3采樣信號(hào)的頻譜78采樣恢復(fù)79采樣恢復(fù)圖1.5.4采樣恢復(fù)80設(shè)xa(t)是帶限信號(hào)，最高頻率為Ωc，其頻譜Xa(jΩ)如圖1.5.3(a)所示。pδ(t)的頻譜Pδ(jΩ)如圖1.5.3(b)所示，那么按照（1.5.5）式，的頻譜

如圖1.5.3(c)所示，圖中原模擬信號(hào)的頻譜稱為基帶頻譜。如果滿足Ωs≥2Ωc，或者用頻率表示該式，即滿足Fs≥2fc，基帶譜與其它周期延拓形成的譜不重疊，如圖1.5.3(c)所示情況，可以用理想低通濾波器G(jΩ)從采樣信號(hào)中不失真地提取原模擬信號(hào)，如圖1.5.4所示。但如果選擇采樣頻率太低，或者說信號(hào)最高截止頻率過高，使Fs<2fc,Xa(jΩ)按照采樣頻率Fs周期延拓時(shí)，形成頻譜混疊現(xiàn)象，用圖1.5.3(d)表示。這種情況下，再用圖1.5.4所示的理想低通濾波器對(duì)Xa(t)進(jìn)行濾波，得到的是失真了的模擬信號(hào)。81折疊頻率Fs/2這里需要說明的是，一般頻譜函數(shù)是復(fù)函數(shù)，相加應(yīng)是復(fù)數(shù)相加，圖1.5.3和圖1.5.4僅是示意圖。一般稱Fs/2為折疊頻率，只有當(dāng)信號(hào)最高頻率不超過Fs/2時(shí)，才不會(huì)產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，否則超過Fs/2的頻譜會(huì)折疊回來而形成混疊現(xiàn)象，因此頻率混疊在Fs/2附近最嚴(yán)重。82

采樣定理（1）對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行等間隔采樣形成采樣信號(hào)，采樣信號(hào)的頻譜是原連續(xù)信號(hào)的頻譜以采樣頻率Ωs為周期進(jìn)行周期性的延拓形成的，用公式（1.5.5）表示。（2）設(shè)連續(xù)信號(hào)xa(t)屬帶限信號(hào)，最高截止頻率為Ωc，如果采樣角頻率Ωs≥2Ωc，那么讓采樣信號(hào)通過一個(gè)增益為T、截止頻率為Ωs/2的理想低通濾波器，可以唯一地恢復(fù)出原連續(xù)信號(hào)xa(t)。否則,Ωs<2Ωc會(huì)造成采樣信號(hào)中的頻譜混疊現(xiàn)象，不可能無失真地恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)。83

實(shí)際中對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行采樣，需根據(jù)模擬信號(hào)的截止頻率，按照采樣定理的要求選擇采樣頻率，即Ωs≥2Ωc，但考慮到理想濾波器G（jΩ)不可實(shí)現(xiàn)，要有一定的過渡帶，為此可選Ωs=(3~4)Ωc。另外，可以在采樣之前加一抗混疊的低通濾波器，濾去高于Ωs/2的一些無用的高頻分量，以及濾除其它的一些雜散信號(hào)。這就是在圖1.5.1中采樣之前加預(yù)濾的原因。

84例如：模擬信號(hào)xa(t)=sin(2πft+π/8)，式中f=50Hz,選采樣頻率Fs=200Hz，將t=nT代入xa(t)中，得到采樣數(shù)據(jù)：

A/DC模/數(shù)轉(zhuǎn)換器模/數(shù)轉(zhuǎn)換器原理框圖85當(dāng)

時(shí)，得到序列x(n)如下：

x(n)={,0.382683,0.923879,－0.382683,－0.923879,}如果A/DC按照M=6進(jìn)行量化編碼，即上面的采樣數(shù)據(jù)均用6位二進(jìn)制碼表示，其中一位為符號(hào)位，則數(shù)字信號(hào)用表示：

={,0.01100,0.11101,1.01100,1.11101,}用十進(jìn)制數(shù)表示的為

={,0.37500,0.90625,-0.37500,-0.90625,}顯然量化編碼以后的和原x(n)不同。這樣產(chǎn)生的誤差稱為量化誤差，這種量化誤差的影響稱為量化效應(yīng)，這部分內(nèi)容將在第9章介紹。86我們已經(jīng)知道模擬信號(hào)xa(t)經(jīng)過理想采樣，得到采樣信號(hào),xa(t)和之間的關(guān)系用（1.5.2）式描述。如果選擇采樣頻率Fs滿足采樣定理，的頻譜沒有頻譜混疊現(xiàn)象，可用一個(gè)傳輸函數(shù)為G（jω)的理想低通濾波器不失真地將原模擬信號(hào)xa(t)恢復(fù)出來，這是一種理想恢復(fù)。下面先分析推導(dǎo)該理想低通濾波器的輸入和輸出之間的關(guān)系，以便了解理想低通濾波器是如何由采樣信號(hào)恢復(fù)原模擬信號(hào)的，然后再介紹在實(shí)際中數(shù)字信號(hào)如何轉(zhuǎn)換成模擬信號(hào)。1.5.2將數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換成模擬信號(hào)87由低通濾波器的傳輸函數(shù)G(jΩ）推導(dǎo)其單位沖激響應(yīng)g(t)：因?yàn)棣竤=2πFs=2π/T，因此g(t)也可以用下式表示：理想低想濾波器的輸入、輸出分別為和ya(t)，將（1.5.7）式表示的g(t)和（1.5.2）式表示的代入上式，得到：88（1.5.8）

理想恢復(fù)89由于滿足采樣定理，ya(t)=xa(t)，因此得到：（1.5.9）式中，當(dāng)n=

,－1,0,1,2,時(shí)，xa(nT)是一串離散的采樣值，而xa(t)是模擬信號(hào)，t取連續(xù)值，g(t)的波形如圖1.5.6所示。其特點(diǎn)是:t=0時(shí)，g(0)=1;t=nT(n≠0)時(shí)，g(t)=0。在（1.5.9）式中，g(t)保證了在各個(gè)采樣點(diǎn)上，即t=nT時(shí)，恢復(fù)的xa(t)等于原采樣值，而在采樣點(diǎn)之間，則是各采樣值乘以g(t－nT)的波形伸展疊加而成的。90

圖1.5.6內(nèi)插函數(shù)g(t)波形

理想恢復(fù)91這種伸展波形疊加的情況如圖1.5.7所示。g(t)函數(shù)所起的作用是在各采樣點(diǎn)之間內(nèi)插，因此稱為內(nèi)插函數(shù)，而（1.5.9）式則稱為內(nèi)插公式。這種用理想低通濾波器恢復(fù)的模擬信號(hào)完全等于原模擬信號(hào)xa(t)，是一種無失真的恢復(fù)。但由于g(t)是非因果的，因此理想低通濾波器是非因果不可實(shí)現(xiàn)的。下面介紹實(shí)際的數(shù)字信號(hào)到模擬信號(hào)的轉(zhuǎn)換。

理想恢復(fù)92

圖1.5.7理想恢復(fù)93實(shí)際中采用D/AC（Digital/AnalogConverter）完成數(shù)字信號(hào)到模擬信號(hào)的轉(zhuǎn)換。D/AC包括三部分，即解碼器、零階保持器和平滑濾波器，D/AC方框圖如圖1.5.8所示。解碼器的作用是將數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換成時(shí)域離散信號(hào)xa(nT)，零階保持器和平滑濾波器則將xa(nT)變成模擬信號(hào)。

D/AC數(shù)模轉(zhuǎn)換器圖1.5.8

D/AC方框圖94由時(shí)域離散信號(hào)xa(nT)恢復(fù)模擬信號(hào)的過程是在采樣點(diǎn)內(nèi)插的過程。理想低通濾波的方法是用g(t)函數(shù)作內(nèi)插函數(shù)，還可以用一階線性函數(shù)作內(nèi)插。零階保持器是將前一個(gè)采樣值進(jìn)行保持，一直到下一個(gè)采樣值來到，再跳到新的采樣值并保持，因此相當(dāng)于進(jìn)行常數(shù)內(nèi)插。零階保持器的單位沖激函數(shù)h(t)以及輸出波形如圖1.5.9所示。對(duì)h(t)進(jìn)行傅里葉變換，得到其傳輸函數(shù)：（1.5.10）95圖1.5.9零階保持器的輸出波形96其幅度特性和相位特性如圖1.5.10所示。由該圖看到,零階保持器是一個(gè)低通濾波器，能夠起到將時(shí)域離散信號(hào)恢復(fù)成模擬信號(hào)的作用。圖中虛線表示理想低通濾波器的幅度特性。零階保持器的幅度特性與其有明顯的差別，主要是在|Ω|>π/T區(qū)域有較多的高頻分量，表現(xiàn)在時(shí)域上，就是恢復(fù)出的模擬信號(hào)是臺(tái)階形的。因此需要在D/AC之后加平滑低通濾波器，濾除多余的高頻分量，對(duì)時(shí)間波形起平滑作用，這也就是在圖1.5.1模擬信號(hào)數(shù)字處理框中，最后加平滑濾波器的原因。雖然這種零階保持器恢復(fù)的模擬信號(hào)有些失真，但簡(jiǎn)單、易實(shí)現(xiàn)，是經(jīng)常使用的方法。實(shí)際中，將解碼器與零階保持器集成在一起，就是工程上的D/AC器件。97圖1.5.10零階保持器的頻率特性981.6確定性信號(hào)的相關(guān)函數(shù)1.6.1信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)1.6.2周期信號(hào)的相關(guān)性1.6.3相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)1.6.4輸入信號(hào)與輸出信號(hào)的相關(guān)函數(shù)1.6.5相關(guān)函數(shù)的應(yīng)用1.6.6用MATLAB計(jì)算相關(guān)函數(shù)991.6確定性信號(hào)的相關(guān)函數(shù)1.6.1信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)定義為信號(hào)x(n)和y(n)的互相關(guān)函數(shù)。

100與序列卷積運(yùn)算相比較,相關(guān)運(yùn)算僅缺少了將y(n)翻轉(zhuǎn)變成y(-n)的步驟,其他運(yùn)算過程完全相同。所以因此,用于卷積的計(jì)算過程和程序都可以直接用于計(jì)算序列的相關(guān)函數(shù)。

101

如果式(1.6.1)中y(n)=x(n),則上面定義的互相關(guān)函數(shù)即變成x(n)的自相關(guān)函數(shù),記為rxx(m),即自相關(guān)函數(shù)表示了信號(hào)x(n)與其自身移位后的x(n-m)的相似程度。為了表示簡(jiǎn)單,一般將自相關(guān)函數(shù)記為rx(m)。102

式(1.6.4)說明,rx(0)表示x(n)的能量,記為Ex。當(dāng)Ex<∞時(shí),信號(hào)x(n)稱為能量信號(hào);當(dāng)Ex=∞時(shí),信號(hào)x(n)稱為能量無限信號(hào)。對(duì)能量無限信號(hào),我們主要研究其平均功率。信號(hào)x(n)的功率定義為

當(dāng)Px<∞時(shí),稱x(n)為功率信號(hào)。功率信號(hào)是工程實(shí)際和理論研究中的常用信號(hào),如周期信號(hào)。

103當(dāng)輸入序列是有限長(zhǎng)序列,或只能獲得無限長(zhǎng)序列的有限個(gè)序列值時(shí),通常將互相關(guān)函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)表示成有限和的形式。特別是當(dāng)x(n)和y(n)是長(zhǎng)度為N的因果序列時(shí),互相關(guān)函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)可以表示為

104上述對(duì)相關(guān)函數(shù)的定義都是針對(duì)實(shí)信號(hào)的,如果x(n)和y(n)是復(fù)信號(hào),其相關(guān)函數(shù)也是復(fù)信號(hào),此時(shí)定義式(1.6.1)和式(1.6.3)應(yīng)該為105

【例1.6.1】設(shè)信號(hào)為x(n)=anu(n),0<a<1。求其自相關(guān)函數(shù)。

解由于x(n))是無限時(shí)寬的,所以rx(m)也是無限時(shí)寬的。下面分m≥0和m<0兩種情況來求解。當(dāng)m≥0時(shí),由圖1.6.1可見:因?yàn)閍<1,無限級(jí)數(shù)收斂,所以有106當(dāng)m<0時(shí),由圖1.6.1可見:因?yàn)閙<0時(shí),a-m=a|m|,于是,rx(m)的上述兩段表示式可以合并為自相關(guān)函數(shù)rx(m)如圖1.6.1所示。107

圖1.6.1信號(hào)x(n)=anu(n)的自相關(guān)函數(shù)運(yùn)算示意圖108

【例1.6.2】已知序列x(n)和y(n)分別為求x(n)和y(n)的互相關(guān)函數(shù)rxy(m)。109

解序列x(n)和y(n)均為有限長(zhǎng)序列,但不是因果序列,所以不能直接套用式(1.6.6),必須用式(1.6.1)計(jì)算。

(1)當(dāng)m=0時(shí),乘積序列對(duì)于n的所有值,對(duì)乘積序列各項(xiàng)求和,可得

110(2)當(dāng)m>0時(shí),只要將y(n)相對(duì)x(n)向右平移m個(gè)時(shí)間單位,得到y(tǒng)(n-m),再計(jì)算乘積序列vm(n)=x(n)y(n-m),最后求可得111(3)當(dāng)m<0時(shí),只要將y(n)相對(duì)x(n)向左平移|m|個(gè)采樣間隔,再進(jìn)行同樣的計(jì)算可得綜上可得x(n)和x(n)的互相關(guān)函數(shù)rxy(m)為

1121.6.2周期信號(hào)的相關(guān)性設(shè)x(n)和y(n)是兩個(gè)功率信號(hào),其互相關(guān)函數(shù)定義為當(dāng)y(n)=x(n)時(shí),功率信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)定義為113

特別是,如果x(n)和y(n)是兩個(gè)周期為N的周期信號(hào),則式(1.6.11)和式(1.6.12)中有限區(qū)間上的平均值就等于一個(gè)周期上的平均值,因此,式(1.6.11)和式(1.6.12)就可以簡(jiǎn)化為114由周期信號(hào)的定義可得所以,周期為N的周期信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)也是以N為周期的。這樣,如果一個(gè)周期信號(hào)的周期未知,我們可以根據(jù)其自相關(guān)函數(shù)的周期性質(zhì),估計(jì)其周期。115

【例1.6.3】已知x(n)=sin(ωn),其周期為N,即ω=2π/N,求x(n)的自相關(guān)函數(shù)。

解由式(1.6.14)得116由于第二項(xiàng)中第一項(xiàng)中所以由此可見,正弦序列的自相關(guān)函數(shù)是同頻率的余弦序列,顯然自相關(guān)函數(shù)與原序列周期相同。1171.6.3相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)1.互相關(guān)函數(shù)性質(zhì)

(1)rxy(m)不是偶函數(shù),而且rxy(m)≠rxy(m),但有

118

(2)rxy(m)滿足證明生成線性組合序列119其中,a和b為任意常數(shù),m為整數(shù)(表示延時(shí))。該線性組合序列的能量可以表示為我們知道能量是非負(fù)的,所以下式成立:120121

2.自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)

(1)若x(n)是實(shí)信號(hào),rx(m)是實(shí)偶函數(shù),即當(dāng)式(1.6.16)中y(n)=x(n)時(shí),即可得式(1.6.22)。若x(n)是復(fù)信號(hào),則rx(m)是共軛對(duì)稱函數(shù),即rx(m)=rx*(-m)。122

123

(3)對(duì)于能量信號(hào)x(n),將x(n)相對(duì)自身移至無窮遠(yuǎn)處,則二者不相關(guān)。即124

假設(shè)系統(tǒng)輸入信號(hào)x(n)的自相關(guān)函數(shù)rx(m)已知,系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)為h(n),系統(tǒng)輸出信號(hào)為1.6.4輸入信號(hào)與輸出信號(hào)的相關(guān)函數(shù)125

由式(1.6.2)可知,輸出信號(hào)與輸入信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)可表示為126由式(1.6.25)可見,輸出信號(hào)與輸入信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)等于系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)h(m)與輸入信號(hào)自相關(guān)函數(shù)rx(m)的卷積。所以,ryx(m)可以看成線性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)輸入序列rx(m)的響應(yīng)輸出,如圖1.6.2所示。圖1.6.2ryx(m)的輸入與輸出關(guān)系127在式(1.6.2)中令x(n)=y(n),再利用卷積的性質(zhì),可以得到系統(tǒng)輸出信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)ry(m):128如果系統(tǒng)穩(wěn)定,則h(n)為能量信號(hào),rh(m)存在。這樣,如果rx(m)存在,則ry(m)存在,即輸出信號(hào)也是能量信號(hào)。在式(1.6.26)中令m=0,可得輸出信號(hào)的能量為1291.6.5相關(guān)函數(shù)的應(yīng)用

1.相關(guān)函數(shù)在雷達(dá)和主動(dòng)聲吶系統(tǒng)中的的應(yīng)用假設(shè)信號(hào)序列x(n)和y(n)是我們需要比較的兩路信號(hào),在雷達(dá)和主動(dòng)聲吶系統(tǒng)中,

x(n)一般是發(fā)射信號(hào)的采樣,而(n)表示接收端A/D變換器輸出的信號(hào)。如果目標(biāo)是某個(gè)被雷達(dá)或聲吶搜索的物體,則接收信號(hào)(n)由發(fā)射信號(hào)被目標(biāo)反射,并經(jīng)加性噪聲污染后的延遲信號(hào)組成。雷達(dá)目標(biāo)檢測(cè)示意圖如圖1.6.3所示130

圖1.6.3雷達(dá)目標(biāo)檢測(cè)示意圖131接收信號(hào)y(n)可以表示為

其中,a是衰減因子,表示發(fā)射信號(hào)x(n)在發(fā)射信