專題23數(shù)列的基本知識與概念【考點預測】1．數(shù)列的概念（1）數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．（2）數(shù)列與函數(shù)的關系：從函數(shù)觀點看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)當自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應的一列函數(shù)值．（3）數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和通項公式法．2．數(shù)列的分類（1）按照項數(shù)有限和無限分：（2）按單調(diào)性來分：3．數(shù)列的兩種常用的表示方法（1）通項公式：如果數(shù)列的第項與序號之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式．（2）遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項（或前幾項），且從第二項（或某一項）開始的任一項與它的前一項（或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式．【方法技巧與總結】（1）若數(shù)列的前項和為，通項公式為，則注意：根據(jù)求時，不要忽視對的驗證．（2）在數(shù)列中，若最大，則若最小，則【題型歸納目錄】題型一：數(shù)列的周期性題型二：數(shù)列的單調(diào)性題型三：數(shù)列的最大（小）項題型四：數(shù)列中的規(guī)律問題題型五：數(shù)列的最值問題【典例例題】題型一：數(shù)列的周期性例1．已知無窮數(shù)列滿足，且，，若數(shù)列的前2020項中有100項是0，則下列哪個不能是的取值（）A．1147 B．1148 C． D．例2．若表示不超過的最大整數(shù)（如，，），已知，，，則（）A．2 B．5 C．7 D．8例3．數(shù)列滿足，，其前項積為，則等于（）A． B． C． D．例4．若數(shù)列滿足，且，則的前100項和為（）A．67 B．68 C．134 D．167例5．數(shù)列滿足若，則等于（）A． B． C． D．例6．已知數(shù)列滿足，，若且記數(shù)列的前項和為，若，則的值為（）A． B．3028 C． D．3029例7．（2022·廣東汕頭·三模）已知數(shù)列中，，當時，，則（

）A． B． C．5 D．例8．（2022·河北·滄縣中學高三階段練習）已知數(shù)列中，，，則等于（

）A． B． C．-1 D．2題型二：數(shù)列的單調(diào)性例9．（2022·四川達州·二模（理））已知單調(diào)遞增數(shù)列滿足，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例10．（2022·河南·溫縣第一高級中學高三階段練習（文））已知函數(shù)，若數(shù)列滿足且是遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例11．（2022·浙江·高三專題練習）已知數(shù)列的首項為，，且，若數(shù)列單調(diào)遞增，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．例12．（2022·全國·高三專題練習）已知等比數(shù)列前項和滿足（），數(shù)列是遞增的，且，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．例13．（2022·全國·高三專題練習（理））已知數(shù)列滿足，若對于任意都有，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例14．（2022·全國·高三專題練習）設數(shù)列的通項公式為，若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結】解決數(shù)列的單調(diào)性問題的3種方法作差比較法根據(jù)的符號判斷數(shù)列是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列作商比較法根據(jù)與1的大小關系進行判斷數(shù)形結合法結合相應函數(shù)的圖象直觀判斷題型三：數(shù)列的最大（小）項例15．已知數(shù)列的首項為1，且，則的最小值是（）A． B．1C．2 D．3例16．已知數(shù)列滿足，，則的最小值為（）A．2-1 B． C． D．例17．已知數(shù)列的前項和，且，，則數(shù)列的最小項為（）A．第3項 B．第4項 C．第5項 D．第6項例18．已知數(shù)列的前n項和數(shù)列的前n項和則的最小值____例19．數(shù)列，，，，中的最小項的值為__________．【方法技巧與總結】求數(shù)列的最大項與最小項的常用方法（1）將數(shù)列視為函數(shù)當x∈N*時所對應的一列函數(shù)值，根據(jù)f（x）的類型作出相應的函數(shù)圖象，或利用求函數(shù)最值的方法，求出的最值，進而求出數(shù)列的最大（?。╉棧?）通過通項公式研究數(shù)列的單調(diào)性，利用確定最大項，利用確定最小項．（3）比較法：若有或時，則，則數(shù)列是遞增數(shù)列，所以數(shù)列的最小項為；若有或時，則，則數(shù)列是遞減數(shù)列，所以數(shù)列的最大項為．題型四：數(shù)列中的規(guī)律問題例20．蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖．其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規(guī)律，以表示第幅圖的蜂巢總數(shù)，則（）；（）．A．35B．36C．37D．38例21．由正整數(shù)組成的數(shù)對按規(guī)律排列如下：，，，，，，，，，，，，．若數(shù)對滿足，，則數(shù)對排在（）A．第386位 B．第193位 C．第348位 D．第174位例22．已知“整數(shù)對”按如下規(guī)律排列：，…，則第個“整數(shù)對”為（）A． B． C． D．例23．將正整數(shù)排列如下：123456789101112131415……則圖中數(shù)出現(xiàn)在A．第行列 B．第行列 C．第行列 D．第行列題型五：數(shù)列的最值問題例24．（2022·北京市第十二中學高三期中）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的最小值為（

）A． B． C． D．例25．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列，，則下列說法正確的是（

）A．此數(shù)列沒有最大項 B．此數(shù)列的最大項是C．此數(shù)列沒有最小項 D．此數(shù)列的最小項是例26．（2022·河南·高三階段練習（理））在數(shù)列中，，（，），則的最小值是（

）A． B． C． D．例27．（2022·遼寧·高三階段練習）若數(shù)列滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．例28．（2022·全國·高三專題練習）若數(shù)列滿足，，則的最小值為（

）A． B．C． D．例29．（2022·全國·高三專題練習）設，則數(shù)列中最大項的值為（

）A． B．5 C．6 D．例30．（2022·浙江·高三專題練習）已知數(shù)列的通項公式為，是數(shù)列的最小項，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【過關測試】一、單選題1．（2022·陜西·交大附中模擬預測（理））函數(shù)定義如下表，數(shù)列滿足，且對任意的自然數(shù)均有，則（

）A． B． C． D．2．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預測（理））大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理．數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，其中一列數(shù)如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．按此規(guī)律得到的數(shù)列記為，其前n項和為，給出以下結論：①；②182是數(shù)列中的項；③；④當n為偶數(shù)時，．其中正確的序號是（

）A．①② B．②③ C．①④ D．③④3．（2022·河南·模擬預測（理））觀察數(shù)組，，，，，…，根據(jù)規(guī)律，可得第8個數(shù)組為（

）A． B．C． D．4．（2022·吉林長春·模擬預測（理））已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前2022項積為（

）A． B． C． D．5．（2022·江西·臨川一中模擬預測（理））已知數(shù)列滿足，則（

）A． B．1 C．2 D．6．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的通項公式為，則“”是“數(shù)列單調(diào)遞增”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2022·全國·高三專題練習）若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－10n(n∈N*)，則數(shù)列{nan}中數(shù)值最小的項是（

）A．第2項 B．第3項C．第4項 D．第5項9．（2022·上海普陀·二模）數(shù)列的前項的和滿足，則下列選項中正確的是（

）A．數(shù)列是常數(shù)列B．若，則是遞增數(shù)列C．若，則D．若，則的最小項的值為10．（2022·北京四中三模）已知數(shù)列{}的通項為，則“”是“，”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、多選題11．（2022·河北·衡水第一中學高三階段練習）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論．主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理．數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中國傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題．其前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，則下列說法正確的是（

）A．此數(shù)列的第20項是200 B．此數(shù)列的第19項是180C．此數(shù)列偶數(shù)項的通項公式為 D．此數(shù)列的前項和為12．（2022·全國·高三專題練習）若數(shù)列滿足，則數(shù)列中的項的值可能為（

）A． B．2 C． D．13．（2022·全國·高三專題練習）下列四個選項中，不正確的是（

）A．數(shù)列，的一個通項公式是B．數(shù)列的圖象是一群孤立的點C．數(shù)列1，，1，，與數(shù)列，1，，1，是同一數(shù)列D．數(shù)列，，是遞增數(shù)列14．（2022·全國·高三專題練習）已知是的前項和，，，則下列選項錯誤的是（

）A． B．C． D．是以為周期的周期數(shù)列15．（2022·全國·高三專題練習）若數(shù)列{an}滿足，，則數(shù)列{an}中的項的值可能為（

）A． B． C． D．16．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，則下列各數(shù)是的項的有（

）A． B． C． D．17．（2022·全國·高三專題練習（文））南宋楊輝在他1261年所著的《詳解九章算術》一書中記錄了一種三角形數(shù)表，稱之為“開方作法本源”圖，即現(xiàn)在著名的“楊輝三角”.如圖是一種變異的楊輝三角，它是將數(shù)列各項按照上小下大，左小右大的原則寫成的，其中是集合中所有的數(shù)從小到大排列的數(shù)列，即，，，，，…，則下列結論正確的是（

）A．第四行的數(shù)是17，18，20，24 B．C． D．18．（2022·全國·高三專題練習）如圖所示的數(shù)表中，第1行是從1開始的正奇數(shù)，從第2行開始每個數(shù)是它肩上兩個數(shù)之和．則下列說法正確的是（

）A．第6行第1個數(shù)為192B．第10行的數(shù)從左到右構成公差為的等差數(shù)列C．第10行前10個數(shù)的和為D．數(shù)表中第2021行第2021個數(shù)為19．（2022·河北·石家莊實驗中學高三開學考試）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論.主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中國傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題.其前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，則下列說法正確的是（

）A．此數(shù)列的第20項是200 B．此數(shù)列的第19項是182C．此數(shù)列偶數(shù)項的通項公式為 D．此數(shù)列的前項和為20．（2022·福建漳州·三模）已知數(shù)列{}的前n項和為，則下列說法正確的是（

）．A．是遞增數(shù)列 B．是遞減數(shù)列C． D．數(shù)列的最大項為和21．（2022·湖南·長沙一中高三階段練習）對于正整數(shù)n，是小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目．函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如（1，2，4，5，7，8與9互質(zhì)），則（

）A．若n為質(zhì)數(shù)，則 B．數(shù)列單調(diào)遞增C．數(shù)列的前5項和等于 D．數(shù)列為等比數(shù)列三、填空題22．（2022·北京·人大附中模擬預測）能說明命題“若無窮數(shù)列滿足，則為遞增數(shù)列”為假命題的數(shù)列的通項公式可以為__________．23．（2022·陜西·寶雞中學模擬預測）寫出一個符合下列要求的數(shù)列的通項公式：①是無窮數(shù)列；②是單調(diào)遞減數(shù)列；③.這個數(shù)列的通項可以是__________.24．（2022·海南·模擬預測）寫出一個同