1.1.7柱、錐、臺(tái)和球的體積[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.了解柱、錐、臺(tái)和球的體積計(jì)算公式.2.能夠運(yùn)用柱、錐、臺(tái)、球的體積公式求簡(jiǎn)單幾何體的體積.3.會(huì)解決球的組合體及三視圖中球的有關(guān)問題.[知識(shí)鏈接]1.長(zhǎng)寬高分別為a、b、c的長(zhǎng)方體的表面積S＝2(ab＋bc＋ac)，體積V＝abc.2.棱長(zhǎng)為a的正方體的表面積S＝6a2，體積V＝a3.3.底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l的圓柱側(cè)面積S側(cè)＝2πrl，表面積S＝2πrl＋2πr2.4.底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l的圓錐側(cè)面積S側(cè)＝πrl，表面積S＝πr2＋πrl.[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1.祖暅原理(1)“冪勢(shì)既同，則積不容異”，即“夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.”(2)作用：等底面積、等高的兩個(gè)柱體或錐體的體積相等.(3)說明：祖暅原理充分體現(xiàn)了空間與平面問題的相互轉(zhuǎn)化思想，是推導(dǎo)柱、錐、臺(tái)體積公式的理論依據(jù).2.柱、錐、臺(tái)、球的體積其中S′、S分別表示上、下底面的面積，h表示高，r′和r分別表示上、下底面圓的半徑，R表示球的半徑.名稱體積(V)柱體棱柱Sh圓柱πr2h錐體棱錐eq\f(1,3)Sh圓錐eq\f(1,3)πr2h臺(tái)體棱臺(tái)eq\f(1,3)h(S＋eq\r(SS′)＋S′)圓臺(tái)eq\f(1,3)πh(r2＋rr′＋r′2)球eq\f(4,3)πR3要點(diǎn)一柱體的體積例1某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.8－2π B.8－πC.8－eq\f(π,2) D.8－eq\f(π,4)答案B解析這是一個(gè)正方體切掉兩個(gè)eq\f(1,4)圓柱后得到的幾何體，如圖，幾何體的高為2，V＝23－eq\f(1,4)×π×12×2×2＝8－π.規(guī)律方法1.解答此類問題的關(guān)鍵是先由三視圖還原作出直觀圖，然后根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)在直觀圖中求出計(jì)算體積所需要的數(shù)據(jù).2.若由三視圖還原的幾何體的直觀圖由幾部分組成，求幾何體的體積時(shí)，依據(jù)需要先將幾何體分割分別求解，最后求和.跟蹤演練1一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為________m3.答案4解析此幾何體是兩個(gè)長(zhǎng)方體的組合，故V＝2×1×1＋1×1×2＝4.要點(diǎn)二錐體的體積例2如圖三棱臺(tái)ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱錐A1－ABC，三棱錐B－A1B1C，三棱錐C－A1B1C1的體積之比.解設(shè)棱臺(tái)的高為h，S△ABC＝S，則S△A1B1C1＝4S.∴VA1－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)Sh，VC－A1B1C1＝eq\f(1,3)S△A1B1C1·h＝eq\f(4,3)Sh.又V臺(tái)＝eq\f(1,3)h(S＋4S＋2S)＝eq\f(7,3)Sh，∴VB－A1B1C＝V臺(tái)－VA1－ABC－VC－A1B1C1＝eq\f(7,3)Sh－eq\f(Sh,3)－eq\f(4Sh,3)＝eq\f(2,3)Sh，∴體積比為1∶2∶4.規(guī)律方法三棱柱、三棱臺(tái)可以分割成三個(gè)三棱錐，分割后可求錐體的體積和柱體或臺(tái)體的體積關(guān)系，割補(bǔ)法在立體幾何中是一種重要的方法.跟蹤演練2如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距離d.解在三棱錐A1－ABD中，由題意知AA1為三棱錐的高，AB＝AD＝AA1＝a，A1B＝BD＝A1D＝eq\r(2)a，∵VA1－ABD＝VA－A1BD，∴eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a2·a＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)a×eq\f(\r(3),2)·eq\r(2)a·d.∴d＝eq\f(\r(3),3)a.要點(diǎn)三臺(tái)體的體積例3已知正四棱臺(tái)兩底面邊長(zhǎng)分別為20cm和10cm，側(cè)面積是780cm2.求正四棱臺(tái)的體積.解如圖所示，正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中，A1B1＝10cm，AB＝20cm.取A1B1的中點(diǎn)E1，AB的中點(diǎn)E，則E1E是側(cè)面ABB1A1的高.設(shè)O1、O分別是上、下底面的中心，則四邊形EOO1E1是直角梯形，由S側(cè)＝4×eq\f(1,2)(10＋20)·E1E＝780，得EE1＝13.在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝eq\f(1,2)A1B1＝5，OE＝eq\f(1,2)AB＝10，∴O1O＝eq\r(E1E2－(OE－O1E1)2)＝12，V正四棱臺(tái)＝eq\f(1,3)×12×(102＋202＋10×20)＝2800(cm3).故正四棱臺(tái)的體積為2800cm3.規(guī)律方法求臺(tái)體的體積關(guān)鍵是求出上、下底面的面積和臺(tái)體的高.要注意充分運(yùn)用棱臺(tái)內(nèi)的直角梯形或圓臺(tái)的軸截面尋求相關(guān)量之間的關(guān)系.跟蹤演練3本例若改為“正四棱臺(tái)的上、下兩底的底面邊長(zhǎng)分別為2cm和4cm，側(cè)棱長(zhǎng)為2cm，求該棱臺(tái)的體積.”解如圖，正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中，上、下底面邊長(zhǎng)分別為2cm和4cm，則O1B1＝eq\r(2)cm，OB＝2eq\r(2)cm，過點(diǎn)B1作B1M⊥OB于點(diǎn)M，那么B1M為正四棱臺(tái)的高，在Rt△BMB1中，BB1＝2cm，MB＝(2eq\r(2)－eq\r(2))＝eq\r(2)(cm).根據(jù)勾股定理MB1＝eq\r(BB\o\al(2,1)－MB2)＝eq\r(22－(\r(2))2)＝eq\r(2)(cm).S上＝22＝4(cm2)，S下＝42＝16(cm2)，∴V正四棱臺(tái)＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×(4＋eq\r(4×16)＋16)＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×28＝eq\f(28,3)eq\r(2)(cm3).要點(diǎn)四球的體積例4過球面上三點(diǎn)A，B，C的截面到球心O的距離等于球的半徑的一半，且AB＝BC＝CA＝3cm，求球的體積和表面積.解如圖，設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的截面為圓O′，連接OO′、AO、AO′.∵AB＝BC＝CA＝3cm，∴O′為正三角形ABC的中心，∴AO′＝eq\f(\r(3),3)AB＝eq\r(3)(cm).設(shè)OA＝R，則OO′＝eq\f(1,2)R，∵OO′⊥截面ABC，∴OO′⊥AO′，∴AO′＝eq\f(\r(3),2)R＝eq\r(3)(cm)，∴R＝2cm，∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π(cm3)，S球＝4πR2＝16π(cm2).即球的體積為eq\f(32,3)πcm3，表面積為16πcm2.規(guī)律方法球的基本性質(zhì)是解決與球有關(guān)的問題的依據(jù)，球半徑、截面圓半徑和球心到截面的距離所構(gòu)成的直角三角形是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的主要方法.跟蹤演練4如果三個(gè)球的半徑之比是1∶2∶3，那么最大球的體積是其余兩個(gè)球的體積之和的()A.1倍 B.2倍C.3倍 D.4倍答案C解析半徑大的球的體積也大，設(shè)三個(gè)球的半徑分別為x,2x,3x，則最大球的半徑為3x，其體積為eq\f(4,3)π×(3x)3，其余兩個(gè)球的體積之和為eq\f(4,3)πx3＋eq\f(4,3)π×(2x)3，∴eq\f(4,3)π×(3x)3÷eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)πx3＋\f(4,3)π×(2x)3))＝3.1.已知長(zhǎng)方體的過一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)的比是1∶2∶3，對(duì)角線的長(zhǎng)是2eq\r(14)，則這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是()A.6 B.12C.24 D.48答案D解析設(shè)長(zhǎng)方體的過一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為x、2x、3x，又對(duì)角線長(zhǎng)為2eq\r(14)，則x2＋(2x)2＋(3x)2＝(2eq\r(14))2，解得x＝2.∴三條棱長(zhǎng)分別為2、4、6.∴V長(zhǎng)方體＝2×4×6＝48.2.一個(gè)球的表面積是16π，則它的體積是()A.64π B.eq\f(64π,3)C.32π D.eq\f(32,3)π答案D解析設(shè)球的半徑為R，則由題意可知4πR2＝16π，故R＝2.所以球的半徑為2，體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π.3.如果軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積是4π，那么圓柱的體積等于()A.π B.2πC.4π D.8π答案B解析設(shè)圓柱的底面半徑為r，則圓柱的母線長(zhǎng)為2r，由題意得S圓柱側(cè)＝2πr×2r＝4πr2＝4π，所以r＝1，所以V圓柱＝πr2×2r＝2πr3＝2π.4.如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則三棱錐D1ACD的體積是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.1答案A解析三棱錐D1ADC的體積V＝eq\f(1,3)S△ADC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AD×DC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).5.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是________.答案16π－16解析由三視圖可知該幾何體是一個(gè)圓柱內(nèi)部挖去一個(gè)正四棱柱，圓柱底面圓半徑為2，高為4，故體積為16π；正四棱柱底面邊長(zhǎng)為2，高為4，故體積為16，故題中幾何體的體積為16π－16.1.計(jì)算